Ellipsoïde de John-Loewner

Ellipsoïde de John-Loewner

Référence :FGNal3p. 229 + p. 222 Notations :

-Qest l’ensemble des formes quadratiques deRⁿ.

-Q⁺ est l’ensemble des formes quadratiques positives deRⁿ.

-Q⁺⁺ est l’ensemble des formes quadratiques définies positives deRⁿ.

- Si q ∈ Q, on note D(q) le déterminant d’une matrice associée àq (on montre dans le Lemme 1 qu’il est indépendant de la base choisie).

SoitK un compact d’intérieur non vide de Rⁿ. Il existe un unique ellipsoïde centré enO de volume minimal contenantK.

Théorème

On munitRⁿ de sa structure euclidienne usuelle.

Un ellipsoïde plein centré enO a une équation du typeq(x)61 oùq∈Q⁺⁺. On noteEq ={x∈Rⁿ |q(x)61}l’ellipsoïde associé àq∈Q⁺⁺.

But : montrer qu’il existe une unique forme quadratiqueq∈Q⁺⁺ tqEq soit de volume minimal et contienne K.

Le volume deEq est Vq = V0

pD(q),oùV0est le volume de la boule unité pour la norme euclidienne canonique.

Lemme 1

Preuve du Lemme 1

Il existe une base orthonormaleBdans laquelleqs’écritq(x) =

n

X

i=1

aix²_i.avec lesai>0 carqest définie positive.

On a donc

V_q = Z

...

Z Pn

i=1a_ix²_i61

dx₁. . .dx_n.

On effectue le changement de variablesti=√

aixi. C’est un C¹-difféomorphisme de jacobien 1

√a₁. . . a_n, et on obtient donc

Vq= Z

Pn i=1t²_i61

dt₁. . .dt_n

√a1. . . an

.

SoitSla matrice deqdans une base orthonormale quelconque deRⁿ.Sest symétrique réelle. On peut donc la diagonaliser i.e.∃P ∈ On(R) telle queS =Pdiag(a1, . . . , an)^tP. (iciP est la matrice de passage de notre base quelconque àB).

Donc det(S) = det(diag(a₁, . . . , a_n)) =a₁. . . a_n. Donc,D(q) est indépendant de la base orthonormale choisie, et vautD(q) =a₁. . . a_n.

DoncVq= V0

pD(q).

Preuve du Théorème

Laura Gay p.1 31 mai 2015

Par leLemme 1, le problème consiste maintenant à montrer qu’il existe une unique forme quadratique définie positiveq∈Q⁺⁺ telle queD(q) soit maximal, et telle que∀x∈K, q(x)61.

On munit l’ensemble des formes quadratiquesQde la norme N(q) = sup

kxk61

|q(x)|.

On poseA={q∈Q⁺ | ∀x∈K, q(x)61}. On remarque que siq∈ Aest définie positive, alorsK⊂ Eq. On va donc chercher à maximiserD(q) sur ce domaine.

Pour cela, on montre queAest un compact convexe non vide deQ.

• Aest convexe : (servira pour l’unicité) Siqet q⁰ sont dansA, etλ∈[0,1] :

— ∀x∈Rⁿ, (λq+ (1−λq⁰)(x) =λq(x) + (1−λ)q⁰(x)>0. (somme de termes positifs)

— ∀x∈K, (λq+ (1−λ)q⁰)(x)6λ+ 1−λ61.

Doncλq+ (1−λ)q⁰ ∈ A

• Aest fermé :

Soit (q_n)_n∈N une suite deAqui converge dansQ(i.e. pourN) versq. Alors

∀x∈Rⁿ, |qn(x)−q(x)|6N(qn−q)kxk². Par suite :q(x) = lim

n→+∞qn(x)>0 etq(x) = lim

n→+∞qn(x)61.

Doncq∈ A.

• Aest borné :

K est d’intérieur non vide, donc∃a∈K etr >0 tel queK contienne la boule centrée enade rayon r.

Soitq∈ A. Sikxk6r, alorsa+x∈K, et doncq(a+x)61. D’autre part,q(−a) =q(a)61. Alors pq(x) =p

q(x+a−a) 6p

q(x+a) +p

q(−a) par Minkowski 61 + 1 = 2

Doncq(x)64.

Sikxk61, alorskrxk6r. Donc on a

|q(x)|=q(x) = 1

r²q(rx)6 4 r² Donc, en prenant le sup à gauche,N(q)6 4

r², et doncAest borné.

,→ DoncAest compact.

• Aest non vide :

K est compact, donc il est borné : soitM >0 tel que∀x∈K, kxk6M. En posantq1(x) = kxk²

M² , on aq1∈Q⁺, et pour toutx∈K,q1(x)61.

Doncq1∈ A, et donc Aest non vide.

Comme det est continue, q 7→ D(q) l’est aussi sur le compact A. Elle atteint son maximum sur A, en une certaine forme quadratiqueq0∈ A.

De plus, on a vu queq1 ∈ A, et q1 ∈Q⁺⁺, doncD(q0)>D(q1) = 1

M²ⁿ >0 Doncq0∈Q⁺⁺. Nous venons de prouver qu’il existe un ellipsoïdeEq₀ de volume minimal qui contientK.

Il reste maintenant à montrer l’unicité.

Supposons qu’il existeq∈ Atel queD(q) =D(q₀) etq6=q₀.

NotonsS et S₀les matrices deqet q₀ dans la base canonique deRⁿ. Par convexité deA, 1

2(q+q₀)∈ A. Par leLemme 2, on a : D

1

2(q+q0)

= det 1

2(S+S0)

>(detS)^1/2(detS0)^1/2=D(q0)

Ceci contredit la maximalité deD(q0). D’où l’unicité.

Laura Gay p.2 31 mai 2015

SoientAetB dansS_n⁺⁺(R),α, β∈R⁺tels que α+β= 1. Alors det(αA+βB)>(detA)^α(detB)^β. De plus, siA6=B, alors l’inégalité est stricte.

Lemme 2 (Convexité logarithmique)

Preuve du Lemme 2

Par théorème de pseudo-réduction simultanée, il existe des matrices P ∈ GL_n(R) et D = diag(λ₁, . . . , λ_n) avec les λ_i∈R⁺ telles queA=^tP P etB =^tP DP.

Donc

(detA)^α(detB)^β= (detP²)^α(detP²detD)^β = detP²(detD)^β et

det(αA+βB) = detP²det(αIn+βD).

On veut montrer que : det(αI_n+βD)>(detD)^β ie :

n

Y

i=1

(α+βλ_i)>

n

Y

i=1

λ_i

!^β

ie :

n

X

i=1

ln(α+βλ_i)>β

n

X

i=1

lnλ_i Or, par concavité de ln, on a, pour touti∈J1;nK:

ln(α+βλi)>αln(1) +βln(λi) =βln(λi) On a le résultat en sommant suri.

SiA6=B, un desλi est différent de 1.

Donc, siα∈]0,1[, la stricte concavité de ln donne une inégalité stricte.

Réponses à de possibles questions

1. Voir ce qui se passe dans le cas dégénéré (où le convexe est d’intérieur vide, un segment par exemple).

,→[ ]

Notes :

X A l’oral, on fait le Lemme qui nous arrange selon le temps. Attention à bien justifier le changement de variables au début quand on prend une base orthonormée (Cyril).

XAttention, quand on cherche une baseq-orthogonale, on sait juste que^tP AP sera diagonale mais que a priori

tP 6= P⁻¹. (même si q est symétrique réelle donc diagonalisable en base orthonormale avec ^tP = P⁻¹, à ce niveau nous ne l’avons pas encore.)

X Le résultat reste vrai dans un e.v. réel de dim finie quelconque, avec la même démonstration (il suffit de munirE d’une structure euclidienne quelconque).

XUn corollaire important montre qu’un sous-groupe compact du groupe linéaire est forcément un sous-groupe du groupe orthogonal pour une structure euclidienne deE.

Xla matrice deqdans n’importe quelle base -même non orthonormale- est toujours symétrique . XRappel : inégalité de Minkowski. Si qest positive alors∀x, y,p

q(x+y)6p

q(x) +p q(y) XRappel : Dans Rⁿ, fermé borné⇔compact.

XRappel : Dans un espace séparé (2 points disjoints ont des voisinages disjoints), tout compact est fermé. Dans un espace métrique, il est de plus (tout espace métrique est séparé) borné.

X En fait, il y a deux ellipsoïdes de John et Loewner. La première est celle dont on vient de démontrer l’existence (Loewner, qui ne l’a jamais publié). La deuxième (John1948) est une ellipsoïde de volume maxi- mal contenu dans un convexe compact d’intérieur non vide deRⁿ. Elles permettent d’approximer les convexes

Laura Gay p.3 31 mai 2015

compacts deRⁿ (en utilisant la notion de polarité, dans le cas des convexes compacts, ces ellipsoïdes peuvent se déduire l’un de l’autre).

NB : Au départ, en 1938, Behrend montre que ∀ convexe compact d’intérieur 6= ∅, ∃! ellipse inscrite d’aire maximale et ∃! ellipse circonscrite d’aire minimale. Ces résultats ont ensuite été généralisés à Rⁿ parJohnet Loewner.

♣Charles Loewner (1893 – 1968) est un mathématicien d’origine tchèque. Son premier résultat scientifique fut la démonstration, en 1923, du premier cas non trivial de la conjecture de Bieberbach.

♣FritzJohn(1910 – 1994) est un mathématicien allemand spécialisé dans les équations aux dérivées partielles.

Ces travaux concernent la transformée de Radon et il est connu pour l’équation de John.

Laura Gay p.4 31 mai 2015