LRI,28mars2014 VivianePons IntervalsoftheTamarilattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervals of the Tamari lattice

Viviane Pons

Universit¨ at Wien

LRI, 28 mars 2014

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436 254136 251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436 254136 251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436

254136 251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436

254136 251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436 254136

251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436 254136

251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

251436

521436 254136 251463

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

123

213 132

231 312

321

1234 2134 1324 1243 2314 3124 2143 1342 1423 3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

123

213 132

231 312

321

1234 2134 1324 1243 2314 3124 2143 1342 1423 3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

123

213 132

231 312

321

1234 2134 1324 1243 2314 3124 2143 1342 1423 3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Ordre faible

123

213 132

231 312

321

1234 2134 1324 1243 2314 3124 2143 1342 1423 3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132 3421 4231 4312

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Permuto` edre

1234

2134 1324 1243

2314 3124 2143 1342 1423

3214 2341 3142 2413 4123 1432

3241 2431 3412 4213 4132

3421 4231 4312

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Treillis de Tamari

I 1962, Tamari : ordre sur les parenth´ esages formels

I 1972, Huang, Tamari : structure de treillis

Arbres binaires

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Treillis de Tamari

I 1962, Tamari : ordre sur les parenth´ esages formels

I 1972, Huang, Tamari : structure de treillis Arbres binaires

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Rotation droite

x y

A B

C →

x A y

B C

y x

→ x

y

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Associa` edre

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Associa` edre et permuto` edre

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Lien avec l’ordre faible

´ Etiquetage canonique

x

< x > x

5 1

3

2 4

3 1

2 7

5 8

4 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4

2

1 3

5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4 2

1 3

5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4 2

1

3

5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4 2

1

3 5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4 2

1 3

5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

15324 →

4 2

1 3

5

Caract´ erisation : les permutations qui correspondent ` a un arbre donn´ e sont ses extensions lin´ eaires

15324, 31254, 35124, 51324, . . .

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

Insertion dans un arbre binaire de recherche

4 2

1 3

5

13254 31254 13524

31524 15324 35124 51324

53124

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Ordre faible Treillis de Tamari Lien avec l’ordre faible

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

Intervalles du treillis de Tamari

Chapoton 2007 : ´ enum´ eration des intervalles.

2 n(n + 1)

4n + 1

n − 1

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Definition

Un intervalle-poset est un poset de taille n ´ etiquet´ e par 1, . . . , n tel que

I Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.

I Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.

On note a C b pour a inf´ erieur ` a b dans le poset.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Definition

Un intervalle-poset est un poset de taille n ´ etiquet´ e par 1, . . . , n tel que

I Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.

I Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.

On note a C b pour a inf´ erieur ` a b dans le poset.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Definition

Un intervalle-poset est un poset de taille n ´ etiquet´ e par 1, . . . , n tel que

I Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.

I Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.

On note a C b pour a inf´ erieur ` a b dans le poset.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Definition

Un intervalle-poset est un poset de taille n ´ etiquet´ e par 1, . . . , n tel que

I Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.

I Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.

On note a C b pour a inf´ erieur ` a b dans le poset.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Definition

Un intervalle-poset est un poset de taille n ´ etiquet´ e par 1, . . . , n tel que

I Si a < c et a C c alors b C c pour tout a < b < c.

I Si a < c et c C a alors b C a pour tout a < b < c.

On note a C b pour a inf´ erieur ` a b dans le poset.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Theorem (Chˆ atel, P.)

Les intervalles-posets sont en bijection avec les intervalles du treillis de Tamari.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

4

2 5

1 3 9

7

6 8

final forest F ≥ (T )

1 2

3

4 5

6 7 9

8

Initial forest F _≤ (T )

4

2 3

1

5 9

7 8

6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

4

2 5

1 3 9

7

6 8

final forest F ≥ (T )

1 2

3

4 5

6 7 9

8 Initial forest F _≤ (T )

4

2 3

1

5 9

7 8

6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

4

2 5

1 3 9

7

6 8

final forest F ≥ (T )

1 2

3

4 5

6 7 9

8

Initial forest F _≤ (T )

4

2 3

1

5 9

7 8

6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

4

2 5

1 3 9

7

6 8

final forest F ≥ (T )

1 2

3

4 5

6 7 9

8 Initial forest F _≤ (T )

4

2 3

1

5 9

7 8

6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

4

2 5

1 3 9

7

6 8

final forest F ≥ (T )

1 2

3

4 5

6 7 9

8 Initial forest F _≤ (T )

4

2 3

1

5 9

7 8

6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

4 2

1 3

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

F ≤ (T )

1

2 3

4

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

F ≥ (T )

1 2

3 4

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

2

1 3

4

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

F ≤ (T ⁰ )

1

2 3 4

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1234

2134 1324

3124

1243

1423

4123

2314 2143

2413

4213

1342

3142

3412

3214 2341 1432

4132

4312

3241 2431

4231 3421

4321

F ≥ (T )

1 2

3 4

F ≤ (T ⁰ )

1

2 3 4

Intervalle-poset [T , T ⁰ ]

1 2

3 4

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5 6 7 8

9 10

1 2

3 4 5

6 7

8 9

10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6 1

5 2

4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 2

4 3

5

10 8

7 9

6

1

5

2 4 3

7

6 10

8 9

1 2

3 4

5

6 7 8

9 10

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ = x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ = x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ = x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ = x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4

x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ = x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4

x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8 x ⁴

= x ² .x. x ³ x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4

x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8 x ⁴ = x ² .x. x ³

x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8 x ⁴ = x ² .x. x ³

x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

1 3 2

5 6

4

7 8 x ⁴ = x ² .x. x ³

x ²

1 3 2

x ²

1 2 3

4 x ³

2

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

0 1

1 3 2

5 6

4

7 8

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁶ x ⁵

2 3

1 3 2

5 6

4

7 8

1 3 2

5 6

4

7 8

x ⁴ x ³

= x ³ .x.(1 + x + x ² + x ³ )

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

Theorem (Chapoton)

La s´ erie g´ en´ eratrice des intervalles de Tamari v´ erifie

Φ(x, y ) = B(Φ, Φ) + 1 o` u

B(f , g ) = xyf (x, y) xg (x, y ) − g (1, y) x − 1

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

Polynˆ omes de Tamari

On d´ efinit r´ ecursivement B _T par B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1

avec T =

L

• R

Theorem (Chˆ atel, P.)

B _T compte le nombre d’arbres inf´ erieurs ou ´ egaux ` a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

Polynˆ omes de Tamari

On d´ efinit r´ ecursivement B _T par B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1

avec T =

L

• R

Theorem (Chˆ atel, P.)

B _T compte le nombre d’arbres inf´ erieurs ou ´ egaux ` a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

Polynˆ omes de Tamari

On d´ efinit r´ ecursivement B _T par B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1

avec T =

L

• R

Theorem (Chˆ atel, P.)

B _T compte le nombre d’arbres inf´ erieurs ou ´ egaux ` a T dans le treillis de Tamari en fonction du nombre de nœuds sur leur branche gauche.

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1

B _L (x)= x ³ + x ² B _R (x)= x ²

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1 B _L (x)= x ³ + x ²

B _R (x)= x ²

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _∅ := 1

B _T (x) := xB _L (x) xB _R (x) − B _R (1) x − 1 B _L (x)= x ³ + x ²

B _R (x)= x ²

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _∅ := 1

B _T (x) := x(x ³ + x ² ) xB _R (x) − B _R (1) x − 1

B _L (x)= x ³ + x ²

B _R (x)= x ²

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _∅ := 1

B _T (x ) := x(x ³ + x ² )(1 + x + x ² )

B _L (x)= x ³ + x ² B _R (x)= x ²

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶

B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶

B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶

B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶

B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶

B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Intervalle-posets

´Enum´eration des intervalles Arbres plus petits

B _T (x) = x ³ + 2x ⁴ + 2x ⁵ + x ⁶ B _T (1) = 6

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice

Ordre faible et treillis de Tamari Intervalles du treillis de Tamari Conclusion

Quelques autres r´ esultats et pistes...

I Lien avec les flots sur les arbres.

I Bijection avec les triangulations.

I Nouvelle involution sur les intervalles.

I G´ en´ eralisation ` a m-Tamari.

I Mieux comprendre le treillis de Tamari et ses liens multiples avec d’autres th´ eories ?

Viviane Pons Intervals of the Tamari lattice