Universit´e de Toulouse III, FSI - D´epartement de Math´ematiques Licence 2 parcours sp´ecial, module “Calcul scientifique” , 2017-2018
Projet “Introduction ` a l’´ epid´ emiologie, mod` eles SIS et SIR”
On s’int´eresse dans ce projet `a la mise en place de mod`eles pour l’´epid´emiologie. Ces mod`eles sont apparus dans les ann´ees 1980 et avaient initialement pour but de mod´eliser la propagation du SIDA. Il est `a noter qu’ils sont toujours largement utilis´es de nos jours.
1 Un premier mod` ele ` a 2 compartiments : le mod` ele SIS
On consid`ere une population close et on mod´elise la propagation d’une maladie infectieuse dans cette population. On suppose que les individus composant la population peuvent ˆetre dans l’un de deux ´etats : ils sont susceptibles (`a la maladie) s’ils peuvent contracter la maladie, et in- fectieux s’ils ont contract´e la maladie et qu’ils la propagent (contagieux donc). Cela d´efinit donc deux compartiments, l’objet de la mod´elisation ´etant de d´ecrire l’´evolution du nombre d’individus dans chaque compartiment. Soient S(t) et I(t) les nombres respectifs de suscep- tibles et d’infectieux dans la population `a l’instant t, respectivement, et N(t) =S(t) +I(t) la population totale dans le syst`eme. Si cela ne donne pas lieu `a une ambigu¨ıt´e, on omettra la d´ependance ent de ces variables et l’on noteraS, I etN. Pour formuler le mod`ele, il nous faut formuler quelques hypoth`eses au sujet des populations et de leurs interactions. Les hypoth`eses qui suivent d´ecrivent une maladie pour laquelle la p´eriode d’incubation est tr`es courte, voire inexistante. On va supposer aussi que l’infection a une dur´ee limit´ee dans le temps, pour un individu donn´e, et qu’apr`es avoir gu´eri, un individu est de nouveau instantan´ement susceptible.
Plus pr´ecis´ement, on fait les hypoth`eses suivantes : Les individus susceptibles :
— (i) naissent au taux d, proportionnellement `a la population totale N,
— (ii) meurent au taux d, proportionnellement `a la population susceptible S.
Il est `a noter que nous supposons que tous les nouveaux-n´es sont susceptibles, on consid`ere donc que des parents infect´es n’infectent pas le nouveau-n´e.
Les individus infect´es :
— (i) meurent au taux d, proportionnellement `a la population infectieuseI,
— (ii) gu´erissent de la maladie au taux γ.
Il est `a noter que le taux de mortalit´e est le mˆeme chez les susceptibles et les infectieux. La maladie consid´er´ee n’est donc pas particuli`erement mortelle : elle n’augmente pas le taux de mortalit´e “naturel”.
Contact Suceptible/Infectieux : Enfin, quand un contact a lieu entre un infectieux et un susceptible, la maladie peut se transmettre. La fonction qui d´ecrit ce processus s’appelle l’incidence. Elle n´ecessite la connaissance :
— (i) d’un d´ecompte du nombre de contacts ayant lieu,
— (ii) d’une description de la probabilit´e qu’un tel contact, lorsqu’il a lieu, se traduise par la transmission de la maladie.
On utilisera deux formes classiques d’incidences :
— l’incidence ”en action de masse” o`u l’on consid`ere que toute la population S peut ˆetre rencontr´ee par un individu de la populationI(cela peut ˆetre le cas pour des maladies sans
“niche g´eographique” particuli`ere, ou dans des populations petites). Le taux d’infection s’´ecrit alors βSI
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— l’incidence proportionnelle, qui vise les cas de grandes populations ou de maladies `a niches g´eographiques. Dans ce cas on consid`ere qu’un infectieux ne rencontre qu’une partie de la population de susceptibles totale. Le taux d’infection s’´ecrit alors βSIN
Figure 1 – Diagramme de mod´elisation, mod`ele SIS
Avec ces hypoth`eses, et en choisissant une fonction d’incidence proportionnelle, le mod`ele peut ˆetre r´esum´e grˆace au diagramme de la Figure 1. Pour obtenir un syst`eme d’´equations diff´erentielles ordinaires `a partir de ce diagramme, on ´ecrit que, pour un compartiment donn´e, les flˆeches entrantes correspondent `a des taux positifs et les flˆeches sortantes `a des taux n´egatifs.
Par cons´equent, l’´evolution respectives des populationsS(t) et I(t) suit le syst`eme d’´equations suivant :
S0(t) = dN(t)−dS(t)−βS(t)I(t)
N(t) +γI(t) I0(t) =βS(t)I(t)
N(t) −γI(t)−dI(t).
(1)
On consid`ere le probl`eme aux valeurs initiales constitu´e du syst`eme (1) auquel sont adjointes les conditions initiales S(0) =S0 > 0, et I(0) =I0 > 0, avecS0 +I0 =N0 >0 pour ´eviter de poser un probl`eme trivial. Les param`etres β >0, γ >0 et d >0 sont donn´es.
Sachant que N(t) = S(t) +I(t) on constate que N(t) = N0 =S0 +I0 est constante. On peut donc d´efinir de nouvelles fonctions proportions : s(t) = N(t)S(t) et i(t) = N(t)I(t) qui v´erifient alors
(s(t) = 1−i(t)
i0(t)−(β−(d+γ))i(t) = −βi(t)2. (2) Cette ´equation suriest une ´equation de Bernoulli qui peut ˆetre r´esolue explicitement en posant u(t) = 1/i(t), et alors
u0(t) + (β−(d+γ))u(t) = β dont la solution est donn´ee par
u(t) = β
β−(d+γ)+Ce−(β−(d+γ))t
, C = β−(d+γ)−i0β
i0(β−(d+γ)) . (3) On peut alors ´enoncer le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme 1 On d´efinit le le r´eel suivant (appel´e en ´epid´emiologie nombre de reproduction
´
el´ementaire) habituellement not´eR0 R0 = β
d+γ, de sorte que (R0 >1)⇔(β−(d+γ)>0).
Pour le syst`eme (1), on a alors l’alternative suivante : 2
— Si R0 <1, alors lim
t→+∞s(t) = 1 et lim
t→+∞i(t) = 0 : la maladie s’´eteint.
— SiR0 >1, alors lim
t→+∞s(t) = 1/R0 et lim
t→+∞i(t) = 1−1/R0, la maladie devientend´emique.
2 D’autres maladies, d’autres mod` eles
Il est tout d’abord `a noter que dans le cas o`uγ = 0 dans le mod`ele SIS pr´ec´edant, on mod´elise pour le coup une maladie ”dont on ne gu´erit pas” dans le sens o`u l’on est infectieux `a vie.
En fonction des maladies et leurs caract´eristiques, on peut cr´eer de nombreux autres types de mod`eles. On peut s’int´eresser `a des maladies l´etales (dans ce cas le taux de mort dans le compartimentIest sup´erieur `a celui du compartimentS). On peut aussi consid´erer des maladies dans lesquelles les individus gu´eris ne sont plus contagieux (par exemple la varicelle). On cr´ee alors un nouveau compartiment dans lequel on classe les individus qui ont ´et´e infectieux et ne le sont plus. On parle de “r´emis”, ce compartiment est souvent not´e R. Pour conserver le caract`ere ”constant” de N, on ajoute en g´en´eral dans ce compartiment les individus qui sont morts de la maladie, et les individus gu´eris qui ne sont plus contagieux. Ce syst`eme appel´e SIR ou syst`eme de Kermack et McKendrick s’´ecrit alors (dans le cas sans d´emographie : on n´eglige le nombre de naissances et de morts “naturelles”, on peut aussi consid´erer qu’ils sont ´egaux) :
S0(t) = −βS(t)I(t) I0(t) = βS(t)I(t)−γI(t) R0(t) =γI(t).
(4) Il est `a noter que l’on a un peu modifi´e la fonction d’interaction pour le nombre d’individus infect´es. Ici pour simplifier, on suppose que l’ensemble de la population des infect´es `a acc`es `a l’ensemble de la population susceptible (dans le cas SIS on avait−βS(t)I(t)N(t) , on supposait que les infect´es n’avaient acc`es qu’`a un certaine portion αS/N de la population des susceptibles). On peut alors ´ecrire le th´eor`eme suivant, remarquant que, cette fois, on ne peut obtenir de formule explicite des solutions (l’´etude des solutions est donc qualitative dans ce cas)
Th´eor`eme 2 : On d´efinit R0 = βSγ0, soit (S(t), I(t)) solution de (4) associ´ee `a la donn´ee initiale (S0, I0) et R0 = 0, on a l’alternative suivante :
— Si R0 61, alors lim
t→+∞I(t) = 0.
— Si R0 >1, alors I(t) croˆıt jusque’`a atteindre un maximum Imax =S0+I0−S0(1+ln(RR 0))
0
puis d´ecroˆıt vers 0 quandt tend vers ∞.
La population S est d´ecroissante et sa limite S∞ est la solution unique dans ]0,1/R0[ de l’´equation
S0+I0−S∞+ γ β ln
S∞
S0
= 0.
Il est finalement `a noter que l’on peut utiliser ce mod`ele SIR (avec taux de naissance et de mort
´
egaux cette fois ci) pour ajouter une mod´elisation de vaccination en retirant une portion pdes naissances de la classe des susceptibles S pour la mettre directement dans la classe des r´emis R (ceux qui ne peuvent pas ˆetre infect´es). On consid`ere un taux de naissance d et un taux de mort naturelle d. Le mod`ele devient
S0(t) =d((1−p)N −S(t))−βS(t)I(t) I0(t) =βS(t)I(t)−(d+γ)I(t)
R0(t) = γI(t) +dpN(t)−dR(t).
(5)
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3 M´ ethodes num´ eriques et repr´ esentations graphiques
On propose dans ce projet de comprendre ces mod`eles, ´eventuellement leur comportement aussi et d’impl´ementer des m´ethodes num´eriques pour illustrer les th´eor`emes ´enonc´es. On fera donc appel `a la m´ethode d’Euler explicite par exemple (mais vous pouvez aussi en proposer d’autres) que l’on red´etaille ici.
Consid´erons que nous voulons trouver une approximation des solutions de notre syst`eme d’EDOs sur un intervalle de temps [0, T] (T est donn´e, on peut le choisir grand pour illustrer les com- portements en temps long). On cr´ee une subdivision uniforme (tk)06k6K de [0, T] de pash, on a alors :
t0 = 0, tk =k∗h, tK =T.
On fabrique alors les suites suivantes (Sk)06k6K,(Ik)06k6K (et (Rk)06k6K ´eventuellement) pour approcher S(tk), I(tk) (et ´eventuellement R(tk), cela d´epend des mod`eles consid´er´es) par la m´ethode d’Euler explicite. Pour le syst`eme SIS, elle s’´ecrira
Sk+1 =Sk+h
d(Sk+Ik)−dSk−β SkIk
Sk+Ik +γIk
Ik+1 =Ik+h
β SkIk
Sk+Ik −γIk−dIk
(6)
On pourra prendre pour les simulations les param`etres suivants, puis les faire varier pour ´etudier les diff´erents cas :
T = 25, h= 0.1, β= 0.8, d= 0.1, γ = 0.4, S0 = 95, I0 = 5 T = 25, h= 0.1, β= 0.08, d= 0.1, γ = 0.4, S0 = 95, I0 = 5.
On pourra par la suite adapter ce code pour les autres mod`eles pr´esent´es.
Sources/ Documentation :
— divers documents disponibles sur la page de Julien Arino dont l’article “Quelques notions d’´epid´emiologie math´ematique”
— la page suivante contient des donn´ees et exemples de mod`eles pour le SIDA notamment : http ://acces.ens-lyon.fr/acces/ressources/sante/epidemiologie/donnees-epidemiques-sida
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