Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

(1)

Instructions à lire attentivement avant de commencer.

La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Juillet 2018 comporte 3 questions et se dé- roule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

La question 1 se trouve au verso de cette feuille et devra être résolue sans calculatrice. Au bout de 90 minutes d’examen, un assistant viendra prendre directement auprès de vous la question 1 complétée et ce quel qu’en soit l’état. En échange de cette feuille, vous pourrez en retour utiliser votre calculatrice pour les 60 minutes et les questions restantes.

La question 1 comporte 5 sous-questions pour lesquelles votre réponse doit tenir uniquement dans le cadre indiqué à la suite de la question. Ne fournissez aucune justification à vos réponses pour cette question 1 ! Pour les questions 2 et 3, par contre, expliquez soigneusement votre raisonnement.

N’oubliez pas d’indiquer vos nom, prénom et numéro sur chaque feuille.

Bon examen !

1

(2)

1.1. Déterminer les conditions d’existence de l’inéquation suivante : x−

qx+1 2

ln√

5−x² <e^x Réponse :

1.2. Une urne contient 10 jetons possédant une valeur différente allant de 1 à 10 par pas de 1.

Quelle est la probabilité d’atteindre une valeur totale de 8 en tirant au hasard 3 jetons. Donner le résultat sous forme de fraction de nombres entiers.

Réponse :

1.3. Pour tout nombre complexez = x+iy, avecx,y ∈ R, on note ¯z = x−iy, son complexe conjugué et|z| = ^px²+y², sa norme. Trouvez tous les nombres complexes ztels que(z−z¯)² =

|z|².

Réponse :

1.4. Trouvez les deux valeurs réelles deatelles que log_a2=log₂a⁴.

Réponse :

1.5. Calculez le produit matricielA·Bde matrices réellesAetBsuivantes : A=

1 2 1 2 1 1

, B=



 0 1 0 0 1 2





Réponse :

(3)

2. Résoudre dansRl’inéquation suivante, en discutant en fonction du paramètre réela≥0 :

|x²−4x|>|x²−4x+a|. (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

(4)

3. Le 8 juillet 2014, Laurent et Bruno ont eu la chance d’assister au match de la demi-finale de la coupe du monde entre l’Allemagne et le Brésil.

Au moment où les entrées dans le stade ont débuté, à 15h30, on leur a annoncé qu’il y avait 53.000 personnes devant eux.

La première heure, le rythme des entrées dans le stade était très soutenu mais il a ralenti pendant la seconde heure. Ainsi, entre 16h30 et 17h30, seules 10.000 personnes sont parvenues à entrer, ce qui représentaitkfois le nombre des entrées de la première heure. Pendant la troisième heure, les entrées se sont ralenties encore par rapport à la deuxième heure avec le même facteurk. Tou- tefois, le stade était tout juste rempli pour le début du match, à 18h30, alors que nos deux amis étaient installés dans le stade depuis juste une heure, soit 17h30.

Au terme de la première mi-temps, le score était de 5-0 pour l’Allemagne, si bien qu’une partie des supporters brésiliens ont décidé de quitter le stade.

A la fin du match, le score était de 7-1 et les supporters restés durant la seconde mi-temps se sont mis à sortir du stade à un rythme initialement élevé, mais décroissant rapidement. On a ainsi observé que 8.000 supporters avaient quitté le stade le premier quart d’heure, mais qu’à chaque quart d’heure écoulé ce nombre était multiplié par un facteur 0, 84. Trois heures après la fin du match, il restait encore 6.000 supporters allemands fêtant la victoire dans le stade, forçant les services de sécurité à intervenir.

Nous voulons savoir :

— Combien de spectateurs ont assisté au match ?

— Que vaut le facteurk?

— Combien de spectateurs brésiliens ont quitté le stade lors de la mi-temps ? (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

Note: mettez ce problème en équation(s), justifiez toutes vos réponses et arrondissez le nombre de spectateurs à l’unité la plus proche dans vos réponses finales.

(5)

La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Juillet 2018 comporte 3 questions et se dé- roule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

Bon examen !

(6)

1.1. Déterminez les valeurs du paramètre m pour lesquelles l’inégalité suivante est satisfaite

∀x ∈_R\ {−1}:

5x²−mx+5 (x+1)² <6

Réponse :

1.2. Un marchand de glace ambulant se vante de pouvoir confectionner 110 cornets de glaces à deux boules différents. Combien de parfums différents doit-il avoir en stock pour y parvenir ?

Réponse :

1.3. Quatre nombres réels positifs a₁, a₂, a₃ et a₄ sont en progression géométrique. On donne a₄= (2000)²eta₃−a₂= (1000)². Que vauta₁?

Réponse : a₁=

1.4. On note ¯zle conjugué du nombre complexez = x+iy. Combien y a-t-il de nombres com- plexesztels quez²⁰¹⁸ =1 etz+z¯>0 ?

Réponse :

1.5. Calculez l’opération matricielleA+2B^T des matrices réellesAetBsuivantes : A=

1 2 0 ¹₂

, B=

0 ¹₄ 4 1

, oùX^T signifie « la transposée deX».

Réponse :

(7)

2. Résoudre dansRl’inéquation suivante :

ln(x³−2x²−29x+30)≤1+ln(x−6). (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

(8)

3. Lors des célèbres 24h de Francorchamps, l’EPL aligne une concept-car révolutionnaire aux mains de deux brillants pilotes, Laurent et Bruno, qui tenteront de boucler le plus de tours de circuit possible (le circuit fait 8 km).

La voiture pèse seulement 400 kg à vide et est équipée d’un réservoir de 40 L. On estime gros- sièrement que la masse volumique de l’essence est de 1 kg/L. En moyenne, la voiture consomme du 20 L en 100 km.

Voici trois faits de course :

— Laurent est le premier à prendre le volant. Sa voiture est équipée de pneus neufs et le plein est fait. Il vide entièrement son réservoir avant de revenir aux stands.

— Lors de cet arrêt, le plein est fait et Laurent repart. Il effectue ainsi seulement 24 tours, mais doit rentrer au stand où l’on constate qu’un pneu vient de crever, car complètement usé.

— Le plein est refait, les pneus changés, et Bruno prend la relève de Laurent qui a bien mérité une petite pause. Avec ce train de pneus neufs, Bruno est capable de vider deux fois son réservoir entièrement, mais lors de son deuxième passage aux stands, on constate que les pneus sont à nouveau complètement usés et doivent donc de nouveau être changés.

Sachant que Laurent pèse 80 kg et que le taux d’usure des pneus, que l’on noteraα, est linéaire- ment dépendant du poids total de la voiture, déterminez la masse de Bruno, en kg.

(Expliquez soigneusement votre raisonnement.)

Note: mettez ce problème en équation(s), justifiez toutes vos réponses et arrondissez la masse de Bruno à l’unité la plus proche.

(9)

La partie « Algèbre »de l’examen d’admission EPL Septembre 2018 comporte 3 questions et se déroule en 2h30. Toutes les questions sont fournies au lancement de l’examen.

Vous pouvez prendre une calculatrice (standard ou graphique), mais elle devra être placée visiblement sur la rangée devant vous pour les 90 premières minutes.

Bon examen !

(10)

1.1. Représentez sous la formea+bi, aveca,b∈ R, l’expression suivante :





1−√ 3

+i 1+√

3 1+i√

3





4

oùiest l’unité imaginaire telle quei² =−1.Indice : utilisez les coordonnées polaires.

Réponse :

1.2. Un facteur doit distribuer 5 enveloppes dans 5 boîtes aux lettres différentes. Incapable de déchiffrer l’adresse des destinataires, il décide de répartir les 5 enveloppes de manière aléatoire dans les 5 boîtes aux lettres. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à distribuer le courrier cor- rectement dans au moins 3 des 5 boîtes aux lettres ? Donnez le résultat sous forme de fraction de nombres entiers.

Réponse :

1.3. La division d’un polynôme P(x) _par (2x+₁)² donne un quotient égal à son reste, valant 2x+1. Déterminez le coefficient du monôme de puissance 2 deP(x).

Réponse :

1.4. Déterminez la valeur den∈_Ztelle que

∑

n i=0

3·2ⁱ =765.

Réponse :

1.5. Calculez la valeur du déterminant de la matriceAsuivante : A=





1 2 5 0 4 ¹₂ 0 0 5



.

Réponse :

(11)

2. Résoudre dansRl’équation suivante :

log_x(10) +2 log_10x(10) +3 log_100x(10) =0.

(12)

3. C’est l’histoire de trois maraîchers qui ont des modes de culture bien différents.

Le premier, Laurent, est convaincu qu’il faut agir pour le bien de la planète. Il est à la tête d’une coopérative qui cultive ses tomates à l’ancienne, à la main et sans produit chimique, sur une terre de 20 hectares. Il vend ses tomates aux différents marchés bio pour la modique somme de 3,10€/kg.

Le second, Donald, cultive de manière industrielle : herbicides, arrosage automatique, récolte robotisée,. . . Il est très fier de son énorme investissement qu’il a fait il y a quatre ans pour rénover son exploitation de 60 hectares. Ses tomates sont les moins chères du marché (2,10€/kg seulement !) et servent à faire des soupes en boîte.

Le troisième, Ernest, est fainéant et ne sait pas trop quoi penser. Il trouve cependant que les produits chimiques ce n’est quand même pas très bon pour la santé ! Il tient donc une petite exploitation biologique de 45 hectares. Comme il n’aime pas trop se fatiguer, il l’a malgré tout automatisée pour une somme équivalente à trois-quart de l’investissement de Donald. C’était il y a quatre ans également. Ses tomates partent comme des petits pains dans les supermarchés, à 2,40€/kg ce qui lui assure un très beau chiffre d’affaire.

Lors du Forum International de l’Agriculture et de la Tomate (FIAT), nos trois maraîchers se retrouvent et comparent leurs différents revenus. A la surprise générale, Ernest est le plus riche. Il emmagasine un bénéfice sur les quatre dernières années de 3,75 millions d’euros. Quelle n’est pas la déception de Donald de constater que même Laurent a gagné cinquante mille euros de plus que lui sur la même période. Il n’y comprend rien : il a pourtant un rendement de production par hectare et par mois 20% supérieur à celui d’Ernest et Laurent ; son bénéfice sur quatre ans s’élève quand même à 3,2 millions d’euros ! Ernest lui réplique que, par rapport à ses propres coûts d’entretien par hectare et par mois, Donald supporte un surcoût de 15%. A titre de comparaison, Laurent, qui doit tout faire à la main, affiche un surcoût de 20%.

Soyez l’arbitre de ce débat. On vous demande de calculer trois valeurs : (1) Le rendement de production par hectare et par mois de Laurent ; (2) L’investissement initial qui a fait la fierté de Donald, il y a quatre ans ; (3) Les coûts d’entretien en euros par hectare et par mois d’Ernest.

Note : mettez ce problème en équation(s), justifiez toutes vos réponses et arrondissez-les de manière à donner un ordre de grandeur adéquat à la problématique. Le "bénéfice" est la différence entre le chiffre d’affaire et l’ensemble des coûts.