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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Juillet 2006

1. Dans un triangle ABC, calculer la distance du milieu du côté BC à la droite qui joint les pieds des hauteurs issus de B et de C. Exprimer la solution en fonction de a=BC et de l’angle opposé A.

En premier lieu, représentez graphiquement le problème posé.

---

2. On donne l’équation en x

(2 cos a - 1)x

2

- 4 x + 4 cos a + 2 = 0

Pour quelles valeurs de a les racines sont-elles réelles et distinctes ?

---

3. Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est vraie ou faux si l'affirmation est fausse.

• La moyenne de n’importe quelle paire d’angles d’un triangle est supérieure à 90°

vrai † faux †

• La solution unique de 3 sin a + 4 cos a = 5 est sin a = 3/5 et cos a = 4/5

vrai † faux †

• (sin a cos b + cos a sin b)

2

+ (cos a cos b - sin a sin b)

2

= 2.

vrai † faux †

• Dans un triangle rectangle en A, on a sin C - cos C = cos B – sin B

vrai † faux †

---

4. Un parterre de fleurs a la forme d’un pentagone régulier dont le coté a une longueur de 2 mètres. On décide de mettre au centre de ce pentagone une fontaine circulaire d’un diamètre de d cm.

1. Faites un croquis de la situation et indiquez les mesures connues.

2. Comment choisir le diamètre d du cercle tel que la superficie restante du parterre mesure exactement 4 m2 ?

3. Comment choisir le diamètre d du cercle tel que la superficie restante du parterre est la moitié de la superficie originale ?

(2)

Septembre 2006

1. Dans un quadrilatère ABCD, on donne les côtés opposés AB=a et CD=b ; on a aussi les angles B et D égaux à 90° et l’angle aigu A égal à α.

Calculer les côtés inconnus et l’aire S du quadrilatère.

---

2. Résolvez en fonction de x l’inéquation suivante :

x x x

x

sin

2

4 1

sin 1 sin

2 1

sin 1

< +

---

3. Pour les affirmations suivantes, cochez la réponse correcte.

• La somme des deux plus petits angles d’un triangle obtus est

a) inférieur à 90° † b) supérieur à 90° † c) égal à 90° †

• L’équation sin

2

a = cos

2

a possède pour 0 < a < 360°

a) 2 solutions † b) 4 solutions † c) 8 solutions †

• Dans un triangle rectangle en A, soit AH la hauteur. Alors BH.HC - AH

2

a) est égal à 0 † b) est positif † c) est negatif †

• Dans l’intervalle 160°< a <350° la fonction (1 – cos2a – sina) change a) 1 fois de signe † b) 2 fois de signe † c) 3 fois de signe †

---

4. Un parterre de fleurs a la forme d’un pentagone régulier dont le côté a une longueur de 2 mètres. On décide de mettre des fleurs en forme de drapeau tricolore dans ce pentagone.

Deux solutions sont considérées :

Solution 1 Solution 2

d

(3)

1. La première solution : tracer deux verticales à partir des extrémités du côté inférieur.

Quelles sont les aires des trois parties de ce parterre (en m2 et à deux décimales près)?

2. La deuxième solution : tracer deux verticales de façon symétrique par rapport au centre et de façon à avoir trois parties de surface égale. Quelle est la distance d entre ces deux verticales (en m et à deux décimales près)?

3. Indiquez sur un croquis les angles et distances intermédiaires que vous calculez.

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