Jean-PierreBecirspahic Automates

Automates

Jean-Pierre Becirspahic

Lycée Louis-Le-Grand

Automates finis déterministes

Un automate est une machine abstraite qui peut prendre un nombre fini d’états, qui reçoit en entrée un mot écrit sur un alphabetΣ, et qui change d’état à la lecture des lettres de ce dernier.

Certains états sontacceptants; à la fin de la lecture du mot passé en entrée l’automate aura changé d’état ; on dira que le mot estacceptési l’état final est un état acceptant, etrejetédans le cas contraire.

q₀ a q₁ q₂

a b

b

a

L’état initialq₀est désigné par une flèche entrante ; les états acceptants (iciq₂) sont représentés par une flèche sortante.

Automates finis déterministes

Un automate est une machine abstraite qui peut prendre un nombre fini d’états, qui reçoit en entrée un mot écrit sur un alphabetΣ, et qui change d’état à la lecture des lettres de ce dernier.

Certains états sontacceptants; à la fin de la lecture du mot passé en entrée l’automate aura changé d’état ; on dira que le mot estacceptési l’état final est un état acceptant, etrejetédans le cas contraire.

q₀ a q₁ q₂

a b

b

a

Pour qu’un mot soit lu et aboutisse à un état acceptant il faut et il suffit qu’il débute par un a et se termine par un b; on dira que cet automate reconnait le langage des mots de aΣ^∗b.

La lecture du mot abbaabab fait passer l’automate par les états :

Automates finis déterministes

Un automate est une machine abstraite qui peut prendre un nombre fini d’états, qui reçoit en entrée un mot écrit sur un alphabetΣ, et qui change d’état à la lecture des lettres de ce dernier.

Certains états sontacceptants; à la fin de la lecture du mot passé en entrée l’automate aura changé d’état ; on dira que le mot estacceptési l’état final est un état acceptant, etrejetédans le cas contraire.

q₀ a q₁ q₂

a b

b

a

Le couple(q₀,b)est unblocagede l’automate. Un automate sans blocage est ditcomplet.

Automates finis déterministes

Un automate est une machine abstraite qui peut prendre un nombre fini d’états, qui reçoit en entrée un mot écrit sur un alphabetΣ, et qui change d’état à la lecture des lettres de ce dernier.

Certains états sontacceptants; à la fin de la lecture du mot passé en entrée l’automate aura changé d’état ; on dira que le mot estacceptési l’état final est un état acceptant, etrejetédans le cas contraire.

q₀ q₁ q₂

q₃ a

a b

b

a b

a,b

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

• Sii=0 alorsn≡rmod 3 et sir=0 l’automate reste à l’étatq₀, si r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

• Sii=0 alorsn≡rmod 3 et sir=0 l’automate reste à l’étatq₀, si r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

Automates finis déterministes

Un second exemple

Σ={0,1}; le mot lu par l’automate correspond à l’écriture binaire d’un entiern. Cet automate reconnait les entiersnqui sont divisibles par 3 :

q₀ q₁ q₂

1 0

0

1 0

1

L’état final atteint estq₀sin≡0 mod 3,q₁sin≡1 mod 3 etq₂sin≡2 mod 3.

• C’est vrai sin=0 ;

• sin>1 on posen=2p+ravecr∈ {0,1}.

Avant la lecture derl’automate se trouve dans l’étatq_iavecp≡i mod 3.

• Sii=0 alorsn≡rmod 3 et sir=0 l’automate reste à l’étatq₀, si r=1 l’automate passe à l’étatq₁;

• sii=1 alorsn≡2+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₂, si r=1 l’automate passe à l’étatq₀;

• sii=2 alorsn≡1+rmod 3 et sir=0 l’automate passe à l’étatq₁, si r=1 l’automate reste à l’étatq₂.

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Définition formelle d’un automate

Unautomate à états finis déterministeest défini parA = (Σ,Q,q₀,F,δ).

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• q₀∈Qest l’étatinitial;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants(ou finaux) ;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansQ, appeléefonction de transition.

Lorsqueδest définie surQ×Σtout entier, l’automateA est ditcomplet.

Une transitionδ(q_i,a) =q_jest représentée parq_i−→q_j. Unchemindans A est une suite finie de transitions consécutivesq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n débutant par l’état initialq₀. Le mota₁a₂· · ·a_n est appelé l’étiquette du chemin.

Un chemin estacceptantlorsque l’état d’arrivée est un état acceptant ; un mot deΣ^∗estreconnuparA lorsqu’il est l’étiquette d’un chemin ac- ceptant. Le langageL(A)reconnuparA est l’ensemble des mots recon- nus parA.

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Définition formelle d’un automate

Unautomate à états finis déterministeest défini parA = (Σ,Q,q₀,F,δ).

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• q₀∈Qest l’étatinitial;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants(ou finaux) ;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansQ, appeléefonction de transition.

Lorsqueδest définie surQ×Σtout entier, l’automateA est ditcomplet.

Une transitionδ(q_i,a) =q_jest représentée parq_i−→^a q_j. Unchemindans A est une suite finie de transitions consécutivesq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n débutant par l’état initialq₀. Le mota₁a₂· · ·a_n est appelé l’étiquettedu chemin.

un mot deΣ^∗estreconnuparA lorsqu’il est l’étiquette d’un chemin ac- ceptant. Le langageL(A)reconnuparA est l’ensemble des mots recon- nus parA.

Définition formelle d’un automate

Unautomate à états finis déterministeest défini parA = (Σ,Q,q₀,F,δ).

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• q₀∈Qest l’étatinitial;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants(ou finaux) ;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansQ, appeléefonction de transition.

Lorsqueδest définie surQ×Σtout entier, l’automateA est ditcomplet.

Une transitionδ(q_i,a) =q_jest représentée parq_i−→^a q_j. Unchemindans A est une suite finie de transitions consécutivesq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n débutant par l’état initialq₀. Le mota₁a₂· · ·a_n est appelé l’étiquettedu chemin.

Un chemin estacceptant lorsque l’état d’arrivée est un état acceptant ; un mot deΣ^∗ estreconnuparA lorsqu’il est l’étiquette d’un chemin ac- ceptant. Le langageL(A)reconnuparA est l’ensemble des mots recon-

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Définition formelle d’un automate

Exemple

• _Σ={a,b};

• Q={q₀,q₁,q₂};

• F={q₀,q₁};

δ a b

q₀ q₁ q₀ q₁ q₂ q₀ q₂ q₂ q₂

q₀ q₁ q₂

a b

a

b

a,b

On noteL_il’ensemble des étiquettes des chemins débutant parq_iet finis- sant par un état acceptant.

L₀=ε+bL₀+aL₁, L₁=ε+bL₀ et L₂=∅.

0 0 0 0

le lemme d’Arden,L₀= (b+ab)^∗(ε+a). Le langage reconnu par cet auto- mate est le langage des mots qui ne comportent pas deuxaconsécutifs.

Définition formelle d’un automate

Exemple

• _Σ={a,b};

• Q={q₀,q₁,q₂};

• F={q₀,q₁};

δ a b

q₀ q₁ q₀ q₁ q₂ q₀ q₂ q₂ q₂

q₀ q₁ q₂

a b

a

b

a,b

On noteL_il’ensemble des étiquettes des chemins débutant parq_iet finis- sant par un état acceptant.

L₀=ε+bL₀+aL₁, L₁=ε+bL₀ et L₂=∅.

On en déduit queL₀=ε+bL₀+a(ε+bL₀) = (b+ab)L₀+ (ε+a). D’après le lemme d’ ,L = (b+ab)^∗(ε+a). Le langage reconnu par cet auto-

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Émondage

Deux automates sont ditséquivalents lorsqu’ils reconnaissent le même langage :

q₀ q₁ q₂

a b

a

b

a,b

q₀ q₁

a b

b

Le premier est complet, le second ne l’est pas.

équivalent en supprimant tous les états inutiles ainsi que les transitions qui les concernent.

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Émondage

Deux automates sont ditséquivalents lorsqu’ils reconnaissent le même langage :

q₀ q₁ q₂

a b

a

b

a,b

q₀ q₁

a b

b

un étatqqu’il est :

• accessiblelorsqu’il existe un chemin menant de l’état initialq₀àq;

• co-accessiblelorsqu’il existe un chemin menant deqà un état acceptant.

équivalent en supprimant tous les états inutiles ainsi que les transitions qui les concernent.

Émondage

Deux automates sont ditséquivalents lorsqu’ils reconnaissent le même langage :

q₀ q₁ q₂

a b

a

b

a,b

q₀ q₁

a b

b

un étatqqu’il est :

• accessiblelorsqu’il existe un chemin menant de l’état initialq₀àq;

• co-accessiblelorsqu’il existe un chemin menant deqà un état acceptant.

Un état accessible et co-accessible est ditutile. On obtient un automate équivalent en supprimant tous les états inutiles ainsi que les transitions qui les concernent.

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Émondage

Exemple

q₀ q₁ q₂

q₃ q₄

a

b

a b

a b

a,b a

b

L’automate ci-dessus possède deux états inutiles :q₄n’est pas accessible etq₃n’est pas co-accessible.

q₀ a q₁ q₂

a b

a b

q₃n’est pas co-accessible q₄n’est pas accessible

et reconnait le langage dénoté para(a+b)^∗b.

Émondage

Exemple

q₀ q₁ q₂

q₃ q₄

a

b

a b

a b

a,b a

b

L’automate ci-dessus possède deux états inutiles :q₄n’est pas accessible etq₃n’est pas co-accessible. Il est équivalent à :

q₀ a q₁ q₂

a b

a b

q₃n’est pas co-accessible

et reconnait le langage dénoté para(a+b)^∗b.

JP Becirspahic — Automates — 2015-2016 — Page 4/18

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Mise en œuvre

On utilise le type_charpour représenter l’alphabetΣ, le type _int pour l’en- semble des états et un dictionnaire pour énumérer la liste des transi- tions possibles. Pour simplifier, ce dictionnaire sera représenté par le type ( int * char) * int list.

dfa = {Start: int ; Accept: int list ;

Delta: ((int * char) * int) list} ;; let chemin a m =

let rec aux q = function

| k when k = string_length m −> q

| k −> aux (assoc (q, m.[k]) a.Delta) (k+1) in aux a.Start 0 ;;

let reconnu a m =

try mem (chemin a m) a.Accept with Not_found −> false ;;

Mise en œuvre

On utilise le type_charpour représenter l’alphabetΣ, le type _int pour l’en- semble des états et un dictionnaire pour énumérer la liste des transi- tions possibles. Pour simplifier, ce dictionnaire sera représenté par le type ( int * char) * int list.

type dfa = {Start: int ; Accept: int list ;

Delta: ((int * char) * int) list} ;;

let chemin a m =

let rec aux q = function

| k when k = string_length m −> q

| k −> aux (assoc (q, m.[k]) a.Delta) (k+1) in aux a.Start 0 ;;

let reconnu a m =

try mem (chemin a m) a.Accept with Not_found −> false ;;

Automates non déterministes

Un NFA est défini par un quintupletA= (Σ,Q,I,F,δ)où :

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• I⊂Qest l’ensemble des étatsinitiaux;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansP(Q): lafonction de transition.

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Automates non déterministes

Un NFA est défini par un quintupletA= (Σ,Q,I,F,δ)où :

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• I⊂Qest l’ensemble des étatsinitiaux;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansP(Q): lafonction de transition.

Une transitionest un triplet (q_i,a,qj) tel queq_j ∈ δ(q_i,a), représentée parq_i −→^a q_j. Uncheminest une suite finie de transitions consécutives q₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n.

Un mot deΣ estreconnupar l’automateA s’il étiquette un chemin me- nant d’un état initial à un état acceptant. Le langage des mots reconnus par l’automateA est notéL(A).

Automates non déterministes

Un NFA est défini par un quintupletA= (Σ,Q,I,F,δ)où :

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• I⊂Qest l’ensemble des étatsinitiaux;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansP(Q): lafonction de transition.

Une transitionest un triplet (q_i,a,qj) tel queq_j ∈ δ(q_i,a), représentée parq_i −→^a q_j. Uncheminest une suite finie de transitions consécutives q₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n.

Un mot deΣ^∗estreconnupar l’automateA s’il étiquette un chemin me- nant d’un état initial à un état acceptant. Le langage des mots reconnus par l’automateA est notéL(A).

Automates non déterministes

Un NFA est défini par un quintupletA= (Σ,Q,I,F,δ)où :

• Σest un alphabet (fini) ;

• Qest un ensemble fini d’étatsdeA;

• I⊂Qest l’ensemble des étatsinitiaux;

• F⊂Qest l’ensemble des étatsacceptants;

• δest une application d’une partie deQ×ΣdansP(Q): lafonction de transition.

Exemple: l’automate ci dessous reconnait le langage dénoté par a(a+b)^∗b.

q₀ a q₁ q₂

a,b b

Déterminisation

Considérons donc un automate non-déterministeA = (Σ,Q,I,F,δ)et po- sonsA⁰= (Σ,P(Q),I,F⁰,δ⁰)avec :

F⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

et ∀(P,a)∈P(Q)×Σ,δ⁰(P,a) =[

q∈P

δ(q,a).

SiAest un automate non-déterministe ànétats,A⁰est un automate dé- terministe à 2ⁿétats.

Déterminisation

Considérons donc un automate non-déterministeA = (Σ,Q,I,F,δ)et po- sonsA⁰= (Σ,P(Q),I,F⁰,δ⁰)avec :

F⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

et ∀(P,a)∈P(Q)×Σ,δ⁰(P,a) =[

q∈P

δ(q,a).

q₀ a q₁ q₂

a,b b

États et transitions deA⁰:

δ⁰ a b

∅ ∅ ∅

∗ {q₀} {q₁} ∅ {q₁} {q₁} {q₁,q₂} {q₂} ∅ ∅

δ⁰ a b

{q₀,q1} {q₁} {q₁,q₂}

∗ {q₁,q2} {q₁} {q₁,q₂}

∗ {q₀,q2} {q₁} ∅

∗ {q₀,q₁,q₂} {q₁} {q₁,q₂}

*: état initial, *: états acceptants.

Déterminisation

Considérons donc un automate non-déterministeA = (Σ,Q,I,F,δ)et po- sonsA⁰= (Σ,P(Q),I,F⁰,δ⁰)avec :

F⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

et ∀(P,a)∈P(Q)×Σ,δ⁰(P,a) =[

q∈P

δ(q,a).

q₀ a q₁ q₂

a,b b

Dans la pratique on écrit que les états accessibles :

δ⁰ a b

∗ {q₀} {q₁} − →q₀⁰ {q₁} {q₁} {q₁,q₂} →q₁⁰

∗ {q₁,q₂} {q₁} {q₁,q₂} →q₂⁰

Déterminisation

Considérons donc un automate non-déterministeA = (Σ,Q,I,F,δ)et po- sonsA⁰= (Σ,P(Q),I,F⁰,δ⁰)avec :

F⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

et ∀(P,a)∈P(Q)×Σ,δ⁰(P,a) =[

q∈P

δ(q,a).

q₀ a q₁ q₂

a,b b

On obtient l’automate déterminisé suivant :

q₀⁰ a q₁⁰ q₂⁰ a

b

a b

A⁰reconnait lui aussi le langage dénoté para(a+b)^∗b.

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Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

DansA tout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

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Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

DansA tout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

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Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

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Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Sachant queF = P P(Q)P F, ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Considérons un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_ndansA.

Il existe dansA⁰un cheminI−→^a1 P₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹P_n−1tel queq_n−1∈P_n−1.

n δ(q_n−1, _n) _n δ(P_n−1, _n). En posant _n =δ(P_n−1, _n) cheminI−→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_ntel queq_n∈P_n.

Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Considérons un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_ndansA.

Il existe dansA⁰un cheminI−→^a1 P₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹P_n−1tel queq_n−1∈P_n−1.

q_n∈δ(q_n−1,a_n)doncq_n∈δ⁰(P_n−1,a_n). En posantP_n=δ⁰(P_n−1,a_n)on établit un cheminI−→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_ntel queq_n∈P_n.

Sachant queF = P P(Q)P F, ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Réciproquement, considérons un cheminI −→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_n dansA, et consi- dérons un élémentq_n∈P_n.

rence il existe un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹q_n−1dansA. Ceci prouve l’existence d’un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n. Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Réciproquement, considérons un cheminI −→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_n dansA, et consi- dérons un élémentq_n∈P_n.

Il existe un étatq_n−1∈P_n−1tel queq_n∈δ(q_n−1,a_n), et par hypothèse de récur- rence il existe un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹q_n−1dansA.

Ceci prouve l’existence d’un cheminq₀−→q₁−→ · · ·−→q_n. Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Réciproquement, considérons un cheminI −→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_n dansA, et consi- dérons un élémentq_n∈P_n.

Il existe un étatq_n−1∈P_n−1tel queq_n∈δ(q_n−1,a_n), et par hypothèse de récur- rence il existe un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹q_n−1dansA.

Ceci prouve l’existence d’un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n.

Sachant queF = P P(Q)P F, ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

Déterminisation

Les automatesAetA⁰reconnaissent le même langage.

On montre par récurrence sur|u|que pour tout motu∈Σ^∗, il existe dansA un chemin étiqueté parumenant à un étatqsi et seulement s’il existe dansA⁰un chemin étiqueté parumenant à un étatPcontenantq.

• DansAtout chemin étiqueté parεmène à un élément deI; dansA⁰tout chemin étiqueté parεmène à l’étatI.

• Siu,ε, supposons le résultat acquis pour tout mot de longueur strictement inférieure, et posonsu=a₁a₂· · ·a_n.

Réciproquement, considérons un cheminI −→^a1 P₁−→ · · ·^a2 −→^an P_n dansA, et consi- dérons un élémentq_n∈P_n.

Il existe un étatq_n−1∈P_n−1tel queq_n∈δ(q_n−1,a_n), et par hypothèse de récur- rence il existe un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^{a2 a}−→ⁿ⁻¹q_n−1dansA.

Ceci prouve l’existence d’un cheminq₀−→^a1 q₁−→ · · ·^a2 −→^an q_n. Sachant queF⁰=n

P∈P(Q)

P∩F,∅o

ceci prouve qu’un mot est reconnu parA si et seulement s’il est reconnu parA⁰.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2 états. Considérons un tel automateA et notonsq₀son état initial. À tout motuden lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

On considère deux motsu,vtels queq(u) =q(v)et le plus long suffixewcom- mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw. On complètewpour former un motww⁰de longueurn−1.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

MaisAest déterministe etq(u) =q(v)donc les chemins étiquetés paruw⁰etvw⁰ doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2ⁿ états.

lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

On considère deux motsu,vtels queq(u) =q(v)et le plus long suffixewcom- mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw. On complètewpour former un motww⁰de longueurn−1.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

MaisAest déterministe etq(u) =q(v)donc les chemins étiquetés paruw⁰etvw⁰ doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2ⁿ états.

Considérons un tel automateA et notonsq₀son état initial. À tout motuden lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

, ffi

mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw. On complètewpour former un motww⁰de longueurn−1.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

MaisAest déterministe etq(u) =q(v)donc les chemins étiquetés paruw⁰etvw⁰ doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2ⁿ états.

Considérons un tel automateA et notonsq₀son état initial. À tout motuden lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

On considère deux motsu,vtels queq(u) =q(v)et le plus long suffixewcom- mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

MaisAest déterministe etq(u) =q(v)donc les chemins étiquetés paruw⁰etvw⁰ doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2ⁿ états.

Considérons un tel automateA et notonsq₀son état initial. À tout motuden lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

On considère deux motsu,vtels queq(u) =q(v)et le plus long suffixewcom- mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw.

On complètewpour former un motww⁰de longueurn−1.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

q(u) =q(v)

doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

Un exemple de coût exponentiel

Considérons le langage L dénoté par(a+b)^∗a(a+b)ⁿ⁻¹. Il est facile d’obtenir un automate non-déterministe àn+1 états qui le reconnait :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

a,b

a a,b a,b a,b

Tout automate déterministe qui reconnaitLpossède au moins 2ⁿ états.

Considérons un tel automateA et notonsq₀son état initial. À tout motuden lettres on associe l’étatq(u)auquel aboutit le chemin étiqueté paru. On définit ainsi une applicationq:{a,b}ⁿ→Q.

On considère deux motsu,vtels queq(u) =q(v)et le plus long suffixewcom- mun àuet àv. Sans perte de généralité on peut poseru=u⁰awetv=v⁰bw.

On complètewpour former un motww⁰de longueurn−1.

Le motuw⁰=u⁰aww⁰est reconnu parA mais pasvw⁰=v⁰bww⁰.

MaisAest déterministe etq(u) =q(v)donc les chemins étiquetés paruw⁰etvw⁰ doivent mener au même état (ou être tous deux bloquants) ce qui est absurde.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Recherche d’un mot dans un texte

Siu ∈ Σ^∗ est un mot donné, on souhaite un automatedéterministequi reconnait le langageΣ^∗uΣ^∗.

siu=a₁a₂· · ·a_n il suffit de considérer :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

Σ

a₁ a₂ a₃ a_n

Σ

Il reste ensuite à déterminiser cet automate.

Recherche d’un mot dans un texte

Siu ∈ Σ^∗ est un mot donné, on souhaite un automatedéterministequi reconnait le langageΣ^∗uΣ^∗.

Ce problème est aisément résolu à l’aide d’un automate non-déterministe : siu=a₁a₂· · ·a_n il suffit de considérer :

q₀ q₁ q₂ · · · q_n

Σ

a₁ a₂ a₃ a_n

Σ

Il reste ensuite à déterminiser cet automate.

l y c é e l o u i s - l e - g r a n d o p t i o n i n f o r m a t i q u e

Recherche d’un mot dans un texte

Siu ∈ Σ^∗ est un mot donné, on souhaite un automatedéterministequi reconnait le langageΣ^∗uΣ^∗.

Exemple: recherche du motabasur l’alphabet{a,b}.

q₀ q₁ q₂ q₃

a,b

a b a

a,b

δ a b

∗ {q₀} {q₀,q₁} {q₀} →q₀⁰ {q₀,q1} {q₀,q₁} {q₀,q2} →q₁⁰ {q₀,q2} {q₀,q1,q3} {q₀} →q₂⁰

∗ {q₀,q₁,q₃} {q₀,q₁,q₃} {q₀,q₂,q₃} →q₃⁰

∗ {q₀,q₂,q₃} {q₀,q₁,q₃} {q₀,q₃} →q₄⁰

∗ {q₀,q₃} {q₀,q₁,q₃} {q₀,q₃} →q₅⁰