Chapitre 8 : Fonctions référence et problèmes Page 1
Chapitre 8 : Fonctions référence et problèmes
Objectifs :
*Connaitre les différents types de fonctions de référence : carré, polynôme du second degré, Inverse, homographique
* Connaitre les variations de chacune des fonctions précédentes
I .Fonction carré
Définition : La fonction carré f est définie sur R par . Etude des variations :
Soient m et p deux nombres réels tels que m < p.
Propriété : La fonction carré f est décroissante sur l’intervalle et croissante sur l’intervalle .
Représentation graphique :
Remarques :
Dans un repère, la courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.
Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Exercices : Math’X 2014 Didier
7p120+15à19,21à24p121+27à31,33à35p122 x -2 -1 0 1 2
f(x) 4 1 0 1 4
Chapitre 8 : Fonctions référence et problèmes Page 2 II .Fonctions polynômes de degré 2
Définition : Une fonction polynôme de degré 2 (ou trinôme du second degré), f est définie sur R par , où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0.
Exemples : f x( )5x2 4x9 a= b= c=
La fonction carré est une fonction trinôme particulière telle que : a = , b = et c = . Propriétés : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que ,.
Si a est positif, f est d’abord décroissante, puis croissante.
Si a est négatif, f est d’abord croissante, puis décroissante.
a > 0 a < 0
Définitions : La courbe représentative de f est une parabole qui admet un axe de symétrie parallèle à l’axe des ordonnées. Le point de la courbe qui correspond au maximum ou au minimum est appelé le sommet de la parabole.
Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que ,. Le sommet de la parabole représentant la fonction f a pour abscisse
-
.
Exemple : Soit la fonction f définie sur R par .
a) Calculer les coordonnées du sommet de la parabole représentant la fonction f.
b) Construire le tableau de variations de f
Exercices : Math’X 2014 Didier
9à12p120+36à38p122+40,41,44,46p123
Chapitre 8 : Fonctions référence et problèmes Page 3 III . Fonction inverse
Définition : La fonction inverse f est définie sur R\ par .
Remarque : La fonction inverse n’est pas définie en 0.
Etude des variations :
Soient m et p deux nombres réels tels que m < p.
Propriété : La fonction inverse est décroissante sur l’intervalle et décroissante sur l’intervalle .
Remarque : La variation d’une fonction ne peut s’étudier que sur un intervalle. On ne peut donc pas évoquer de décroissance sur ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[ qui n’est pas un intervalle mais conclure de manière séparée que la fonction inverse est décroissante sur l’intervalle ];0[ et décroissante sur
l’intervalle]0;[.
Représentation graphique :
Remarques :
1) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction inverse est une hyperbole de centre O.
2) La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l’origine.
Exercices : Math’X 2014 Didier 49à52p124+54p124
x -2 -1 0,25 1 2 3 f(x) -0,5 -1 4 1 0,5 1
3
Chapitre 8 : Fonctions référence et problèmes Page 4 IV. Fonctions homographiques
Définition : Une fonction homographique f est définie par
, où a, b, c et d sont des nombres réels donnés et c 0.
Exemples :
a = , b = , c = et d = .
a = , b = ,c = et d = .
La fonction inverse est aussi une fonction homographique telle que : a = , b = , c = et d = .
Méthode : Inéquation quotient
Exemple :
Résumons dans un même tableau de signes les résultats pour les deux expressions : x +
+ 0 - - - - 0 +
- 0 + -
Exercices : Math’X 2014 Didier
13p120+55à57p124+58,60,61,64,65p125+95,96p128+98p129+43,44,46,48p146+54,55p147+63,65,68, 69p148
Exercices supplémentaires : Math’X 2014 Didier
P104,109,111,113à115+1à6p120+14,20p121+32,39p122+53p124+p126,127+4p137+6p138
