DES NIVEAUX EXCITÉS DU SAMARIUM 151

P R E M I E R M I N I S T R E C E A - R 3047

C O M M I S S A R I A T A L'ÉNERGIE ATOMIQUE

CONTRIBUTION A L'ÉTUDE

DES NIVEAUX EXCITÉS DU SAMARIUM 151

par

Pierre LOCARD

Rapport C E A - R 5047

C E N T R E D ' É T U D E S

1967

LOCARD (Pierre).-

Contrttmtion à l'étude des niveaux excités du Samarium 1*51 —

Sacîay (Essonne), Centre d'études nucléaires, Service de documentation du Coranissariat à l'énergie atomique,

1967.- 27 cm, 32U p., fig., tabl,

(Thèse. Se. phys. Grenoble. 1966. No 698.)

CEA-R 3047 — LOCARD Pierre

CONTRIBUTION A L'ÉTUDE DES NIVEAUX EXCITÉS DU SAMARIUM 151

Sommaire :

Le noyau de ^Sm, qui possède 89 neutrons, se trouve à la limite inférieure des noyaux déformés de la région II. L'étude de ses niveaux excités est donc d'un intérêt tout particulier pour la vérification de la validité des différents modèles collectifs pour les noyaux déformés, lorsque la déformation est petite (nous intro- duisons ces modèles dans un premier chapitre). Le

¹⁵¹

Sm a déjà fait l'objet de nombreuses études, mais le spectre y direct fait avec une jonction de germanium compensé au lithium (chapitre 3), nous a montré l'existence d'un grand nombre de transitions de hautes énergies qui ne sont pas placées dans les schémas pro- posés jusqu'à ce jour. Pour préciser la place de ces transitions, nous avons donc entrepris des expériences de coïncidences y-y ^ de « spectres de somme ») à l'aide d'un ensemble de spectrométrie à scintillation réalisé au laboratoire (cha- pitre 2). L'étude des intensités de ces coïncidences (chapitre 3) nous amène à modifier le dernier schéma proposé : nous supprimons les niveaux à 405,5 et

CEA-R 3047 — LOCARD Pierre

CONTRIBUTION TO THE STUDY OF SAMARIUM-151 EXCITED LEVELS Summary :

The nucleus of

¹⁵¹

Sm,, which has 89 neutrons, happens to be on the lower

edge of the deformed nuclei of region II. Therefore, the study, of his levels is

very interesting for the verification of the goodness of the collective models for

deformed nuclei when the deformation is small (we introduce these models in the

first chapter).

¹

5

¹

Sm has been often studied, but the direct y spectrum measured

with a lithium drift-germanium detector (chapter 3) shows many high energy

transitions which are not placed in the previous level schemes. In order to pjdce

these transitions, we have undertaken y-y coïncidence spectra (as well as sum-

coïncidence spectra) experiments with a scintillation spectrometer, realized in our

laboratory (chapitre 2). The investigation of the intensities of these coïncidences

leads us to modify the last proposed level scheme : we suppress the levels dt 405.5

650 keV, nous ajoutons des niveaux à 245,6 - 306,6 - 522 - 952 et 962 keV.

Nous avons également vérifié la multipolarité des principales transitions et mesuré la durée de vie de certains niveaux (chapitre 3) (nous trouvons une période^ de (1,1 ± 0,5) nanoseconde pour le niveau à 167,7 keV). Le Chapitre 4 est enfin consacré à !a comparaison de nos résultats avec les prédictions des différents modèles décrits au chapitre 1.

1967 . " 124 pages

/

Commissariat à l'Energie Atomique - France.

arid 650 keV, we add levels at 245.6, 306.6, 522, 952 et 962 keV. We have also verified the multipolarities of the main transitions and measured the half- lives of a few levels (chapitre 3) (we find a half-life of (1.1 ± 0.5) nanosecond for the level at 167.7 keV). In chapter 4, we compare our results to the predictions of the models described in chapter 1.

1967 . 124 pages

Commissariat a l'Energie Atomique - France

N- D'ORDRE : 698

THÈSES

PRÉSENTÉES

A LA FACULTE DES SCIENCES DE L'UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

POUR OBTENIR

LE GRADE DE DOCTEUR ÈS-SCIENCES PHYSIQUES

PAR

Pierre LOCARD

PREMIÈRE THESE

Contribution à l'étude des niveaux excités du Samarium 151

DEUXIÈME THÈSE

Propositions données par la Faculté

Les rapports du COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE sont, à partir du n" 2200, en vente à la Documentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quai Voltaire, Paris Vif.

The CJL4. reports starting with n° 2200 are available at the Documentation Française, Secrétariat Général du Gouvernement, Direction de la Documentation, 31, quai Voltaire, Paris Vif.

Soutenues le 30 septembre 1966 devant la Commission d'Examen MM. L. NEEL Président

t BO°UCHG } Examinateurs

S. GORODETZKY Professeur invité

Ce travail a été réalisé au laboratoire de Chimie Nucléaire et Radioactivité de la Faculté des Sciences et du Centre d'Etudes Nucléaires de Grenoble, dirigé par Monsieur le Professeur A.

MOUSSA.

Je tiens à lui exprimer ici ma profonde reconnaissance pour m'avoir accueilli dans son labo- ratoire, ainsi que pour les conseils bienveillants qu'il n'a cessé de me prodiguer au cours de mes recherches et pour les nombreuses discussions que nous avons eu ensemble.

Que Monsieur le Professeur L. NEEL trouve également ici l'expression de mes remerciements respectueux pour avoir bien voulu accepter, malgré de lourdes tâches, de présider mon jury de thèse.

Je voudrais remercier aussi Monsieur le Professeur S. GORODETZKY qui a accepté de me parrainer auprès du conseil scientifique de l'Ecole Polytechnique et a montré tout l'intérêt qu'il portait à mon travail en assistant à ma soutenance de thèse, ainsi que Monsieur le Professeur R . BOUCHEZ qui a bien voulu s'intéresser à ce travail et a accepté de faire partie de mon jury de thèse.

Je ne puis oublier non plus tous mes camarades de laboratoire et particulièrement Monsieur J. BERTHIER qui a guidé mes premiers pas dans la recherche et m'a initié aux circuits de coin- cidences "lents-rapides". Ce dernier, ainsi que Monsieur J.C. HOCQUENGHEM m'ont continuelle- ment aidé au cours des différentes mesures et au cours de leur interprétation : qu'ils en soient très profondément remerciés.

Je pense également à tout le personnel du laboratoire de Chimie Nucléaire : les électroniciens qui ont réalisé une bonne partie des circuits nécessaires, les mécaniciens qui ont fabriqué les pièces indispensables aux expériences, ainsi que les chimistes qui ont fait deux fois par semaine les sépa- rations des sources.

Je suis très reconnaissant, enfin, au Commissariat à l'énergie Atomique, d'avoir bien voulu m'engager pour me permettre de mener à bien ce travail.

TABLE DES MATIERES

Papes

INTRODUCTION 7 1 - MODELES COLLECTIFS 9

1.1. Hamiltonien du système 9 1.2. Noyaux pairs-pairs 13 1.2. 1. Noyau rigide 13 1 . 2 . 2 . Introduction des vibrations 16 1.2.3. Conclusion 21 1.3. Noyaux impairs 22 1.3.1. Coeur rigide 23 1. 3.2. Introduction des vibrations 35 2 - DISPOSITIFS EXPERIMENTAUX 37 2.1. Réalisation du spectromètre à scintillation 37 2. 1. 1. Montage d'une sonde à scintillation 37 2. 1.2. Etude des voies lentes 43 2. 1.3. Unité de coïncidences rapides 45 2. 1.4. Unité de coïncidences triples 51 2. 1. 5. "Tiroir somme" 55 2. 1. 6. Temps de résolution de notre ensemble 55 2 . 2 . Expériences réalisées 56 2.2. 1. Spectres de coïncidences y - y 56 2 . 2 . 2 . "Spectres de somme" 69 2 . 2 . 3 . Mesures de temps de vie 69 2 . 3 . Autres dispositifs , 75 2.3. 1. Jonction de germanium compensé au lithium 75 2. 3.2. Spectromètre P sans fer à n\[2 75 3 - ETUDE DES NIVEAUX EXCITES DU SAMARIUM 151 79 3. l. Introduction 79 3.2. Préparation des sources 79 3. 3. Spectre y direct 80 3.3. 1. Jonction 80 3.3.2. Cristal d'iodure de sodium 80 3.4. Multipolarité des principales transitions 86 3. 5. Coïncidences y - y 87 3. 6. "Spectres de sommes" 99 3.7. Mesures de temps de vie 104

3. 8. Schéma des niveaux excités du

^I51

Sm 110

4 - I N T E R P R E T A T I O N DU SCHEMA DU SAMARIUM 151 4. 1. Spin du niveau fondamental

4 . 2 . Niveaux excités 4. 3. Interprétation CONCLUSION

R E F E R E N C E S

Pages 115 115 115 117 121 123

INTRODUCTION

Si l'on considère systématiquement les schémas des niveaux excités de basses énergies des noyaux, on s'aperçoit que la densité de ces niveaux augmente beaucoup à mesure que le nombre de protons et de neutrons s'éloigne des nombres magiques. Ce phénomène peut s'expliquer en suppo- sant que, loin des couches fermées-, le noyau se déforme : il faut alors tenir compte des mouve- ments collectifs dus à cette déformation, ce qui entraîne l'apparition de niveaux de rotation et de vibration dans les schémas de désintégration.

Il existe trois régions principales de déformation :

- La région I pour laquelle la masse totale du noyau, A, est de l'ordre de 25.J—»*-* * ^. & A V^ * * J. M*-* *-**• AC* ""H l*\* ±±\^ J.fc* AU, *•*»_» kj V- b V S « f i * AV> VJ V» A A \S J W. M } ** * > *w *-J *,

- La région II pour laquelle A est compris entre 150 et 190.

- La région III pour laquelle A est supérieur à 225.

Considérons, maintenant, la variation du paramètre de déformation des noyaux de la région II en fonction du nombre de masse A (figure 1). Nous constatons que l'apparition de la déformation pour un nombre de masse de l'ordre de 150 est assez brutale. Pour les noyaux pairs-pairs, la limite est assez bien connue : ainsi, le Sm 150 ne possède pas de niveaux de rotation, alors que le Sm 152 en possède (moment d'inertie = 20,3 keV). Par contre, pour les noyaux de masses im- paires (qui ont, en général, une déformation plus grande que les noyaux pairs qui les entourent) , cette limite n'est pas très bien définie. Il semble, cependant, qu'il y ait une brusque augmentation du paramètre de déformation entre le 88ème et le 90ème neutron. L'étude des niveaux excités du Sm 151, qui posséda 89 neutrons,est donc d'un intérêt tout particulier. Nous avons entrepris cette étude par spectrométrie à scintillation pour vérifier si le noyau de Sm 151 est déformé et pour essayer de voir si l'un des modèles collectifs actuellement connus permet de rendre compte de son schéma de désintégration.

(Paromàtra dtt diformalion)

94

0,30

o»o

'ICO IT»

Figure 1 - Paramètre de déformation des noyaux déformés de la région II.

r:

I. - MODÈLES COLLECTIFS

Dans ce chapitre, nous allons montrer comment le fait que le noyau se déforme fait apparaître des niveaux de rotation et de vibration et comment, en faisant différentes approximations, on peut prédire théoriquement l'énergie de ces niveaux. (Nous utiliserons pour cela une revue récente faite par Davidson sur les "rotations et vibrations dans les noyaux déformés" [1]).

Remarque : Nous nous intéressons principalement aux noyaux de masses impaires. Cependant, pour simplifier l'exposition, nous nous occuperons, d'abord, des noyaux pairs-pairs, avant d'étudier ceux de masses impaires.

8

1 . 1 - HAMILTONIEN DU SYSTEME -

Pour traiter le noyau d'un point de vue collectif, nous allons le considérer comme une goutte liquide qui peut se déformer mais qui doit garder un volume constant, en admettant que la matière nucléaire est incompressible.

Soit SL(9, 9) l'équation de la surface de cette goutte liquide dans un système d'axes fixé dans le laboratoire et SB(9', 9') cette même équation dans un système lié au noyau. D'une façon tout à fait générale, ces deux équations peuvent se développer en fonction des harmoniques sphériques Yj(9, 9) et Y*(9', 9') :

, 9) =

L

et

SB(9', 9') = R o 1 L

9)]

'. 9')J

( i )

(2)

où Ro est le rayon de la surface nucléaire non déformée de même volume (supposée sphérique).

Les coordonnées aj et a£ tf sont les coordonnées collectives du noyau dans les deux systèmes d'axes . Si l'on passe du système lié au noyau au système du laboratoire par une rotation d'angles d'Euler QI. §2. 93, les coordonnées collectives sont liées par la relation (les rotations conservant le nombre quantique \) :

v - A \.w (3)

où les D^*v sont les éléments des matrices de rotation définies par Rosé [2].

D'autre part, la réalité de la surface nucléaire impose les relations :

«A.-u= H1* «3t. ii et a-£ = (-fajt> v

Lorsque la déformation varie en fonction du temps, les coordonnées collectives dans le sys- tème d'axes lié au laboratoire dépendent du temps et l'hamiltonien total du système sera la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle dans ce même système d'axes :

H = TL+ VL

L't'-nergie cinétique est :

T -TL - ô ^(4!

A. M

où âA j U représente la dérivée de aA > yp a r rapport au temps et où BA joue le rôle d'une masse affec- tée au mouvement collectif (c'est un des paramètres de la théorie).

D'autre part, si l'on suppose que l'on peut considérer les variations du système comme har- moniques, l'énergie potentielle s'écrit :

V = - V C_{L o ^rf A}^x

2

a

A , U I (5)

où WA =_!*_ représente la fréquence des oscillations harmoniques (c'est un autre paramètre de la/-i théorie).

BA

On a donc finalement :

-i y ~ ² f u

⁽⁶⁾

Pour interpréter les différentes parties de l'hamiltonien (6), nous allons l'exprimer dans le sys- tème d'axes liés au noyau (c'est-à-dire en fonction des coordonnées a, ). Pour cela, il nous faut utiliser les formules de passage (3). Nous aurons donc besoin des dérivés par rapport au temps des éléments des matrices de rotation. On peut démontrer que celles-ci s'écrivent [3] :

3 A

DÎ'V(9,, 9a, 9,)- = i £ I < \a | Lk| \v > DjJ (9l f 92, 93)wk k-l o-A

(7)

où Lk et wk sont les composantes d'ordre k (k = 1, 2, 3) du moment cinétique et de la. vitesse de rotation du noyau (dus à la rotation) dans le système d'axe lié à celui-ci.

1. 1. 1. Expression de l'Hamiltonien en fonction des coordonnées collectives liées au noyau.

D'après (3), nous avons :

A.n = S Dérivons par rapport au temps :

et

«X.M " I DJTv *>

v

n*«

\.v

D'après la formule (4) nous avions :

Pour calculer l'énergie cinétique en fonction des coordonnées aA>v, il faut donc faire le oroduit :

En remplaçant les éléments de matrice Dp*v et D£V par leurs valeurs tirées de (7), et en remarquant que [2] :

£ U

= 6

on trouve :

On trouve, d'autre part, facilement :

/ | L k - L j \v > U)k.ojk

4¹ S *V

L W . v . k v aA . v <X v' (8)

V^B - 2 c^A

A . v

|aA. (9)

Nous pouvons, maintenant interpréter les trois termes de l'équation (8)

- le'premier qui ne contient que des dérivées de ax v par rapport au temps est le terme de vibration

- le second qui contient les produits des composantes wk, o^ est le terme de rotation - le troisième est le terme d'interaction rotation-vibration.

L'énergie potentielle (9) est simplement l'énergie potentielle de vibration.

On met, en général, le terme de rotation sous une forme plus simple en définissant les élé- ments du tenseur d'inertie du noyau sous la forme :

tf. \v' f L,. ^LJ \ v On a alors :

= 2

A . k ' . k

De plus, il est toujours possible de choisir les axes de coordonnées liés au noyau de façon à diagonaliser le tenseur d'inertie :

avec :

On a donc : ^v.v1

TB (Rot. _{^ «k ^k}

^ A . k

Finalement, l'Hamiltonien (6) du système devient :

\ v > (10)

où

+ terme d'interaction 1

rotation-vibration + ô* CA _w-A ^{t . v l}

(11)

En fait, pour les niveaux de basses énergies, nous pouvons supposer que les mouvements du noyau sont correctement représentés par les termes de l'Hamiltonien pour lesquels \ est petit :

- le terme \ = 1 représente des translations du noyau et ne nous intéresse pas ici.

- le terme \ = 2 représente des oscillations quadrupolaires et nous donnera les niveaux de parités positives (pour les noyaux pairs).

- le terme X = 3 représente des oscillations octopolaires et nous donnera les niveaux de parités négatives (pour les noyaux pairs).

Dans ce qui suit, nous ne nous intéresserons qu'au terme de l'Hamiltonien pour lequel X. = 2 (la surface du noyau est alors une surface du second degré) et nous laisserons tomber l'indice X.

L'indice v de la formule (11) ne peut alors prendre que les valeurs ± 2 , ± 1 et 0 et nous n'avons que cinq coordonnées collectives.

Or, nous nous sommes placés dans un système d'axes liés au noyau qui diagonalise le tenseur d'inertie. Ceci entraîne que :

U n = °

&2. +2 = 3 2 . - 2

Le noyau possède alors un axe de symétrie et nous n'avons plus que deux coordonnées collec- tives. Nous pouvons donc faire un nouveau changement de variables dans le système d'axes lié au

noyau :

,⁰

cosy

(12)

En nous limitant à X = 2 et en reportant ces valeurs des coordonnées collectives dar.f, l'équa- tion (2) de la surface du noyau dans le système d'axes lié à celui-ci, on s'aperçoit que les varia- tions de p et "Y en fonction du temps conservent l'axe de symétrie du système.

- Lorsque (3 varie, la section de cette surface par un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie reste homothétique à elle-même. Les variations de p représentent donc des vibrations le long de cet axe de symétrie.

- Lorsque Y varie, la section oscille, au contraire, entre deux formes extrêmes. Les variations de Y représentent donc des vibrations dans un plan perpendiculaire à l'axe de symétrie .

1.1.2. Expression de l'hamiltonien en fonction des coordonnées P et "

Calculons, d'abord, les moments d'inertie en fonction de P et de Y - D'après (10), nous avons :

v.v1

a '

^{2 v}

. a

^{2 t f}

< 2 V j L > j 2 v >

'

En remplaçant a

^{a O}

et a

^{a a}

par leurs valeurs (12), et en utilisant les relations suivantes L

³

| 2 v > = v|2 v >

L ± | 2 v > = V (2 T v) (2 ± v + 1) | 2 , v ± 1 >

(où L ± = L

^t

± i L

²

) et < 2 v' 1 2 v > = ô

^v$v

. ,

on obtient :

<k = 1'2«3 )

(13)

On a, d'autre part :

C O S Y -

L'hamiltonien du système s'écrit donc finalement :

H - -B(p2 + |32Y2) + 2 B p2 I sin2

2 k-i y - ^ - k l u »

[_ 3 I E

1 _ R 2 Terme d'interaction 2 rotation-vibration

(14)

Rappelons que le premier terme représente l'énergie cinétique de vibration, le second l'énergie cinétique de rotation et le troisième l'énergie potentielle de vibration.

Cet hamiltonien est la base de la pi x; pi ri des modèles collectifs pour les noyaux déformés . Nous allons l'utiliser successivement pour ?.es noyaux pairs-pairs et les noyaux impairs.

1.2 - NOYAUX PAIRS-PAIRS -

Pour ces noyaux, nous allons considérer que tous les nucléons sont enfermés à l'intérieur de la surface définie par les équations (1) et (2). Les fonctions propres et les énergies des niveaux sont donc données par la résolution de l'équation de Schrodinger :

= Eï où H est l'hamiltonien de la formule (14).

Pour trouver une première solution de ce problème, nous pouvons faire deux approximations différentes :

- Considérer que le noyau prend une déformation stable, c'est-à-dire négliger les vibra- tions (et l'interaction rotation-vibration).

- Considérer que l'axe de symétrie dent nous avons parlé au paragraphe 1.1. est un axe de révolution.

Nous appelerons Lt, L2, L3 les composantes du moment cinétique du noyau dans les axes liés à celui-ci.

Nous avons La = L* + L2 + L3

Soient :

L la valeur de ce moment cinétique

M sa projection sur l'axe OZ du système du laboratoire

K sa projection sur l'axe de symétrie du noyau (cet axe est l'axe 3 dans le système lié au noyau)

Nous savons que les éléments des matrices de rotation D[|*K (9,, 92, 93) (où 9t, 9a et 9a sont les angles d'Euler de la rotation qui fait passer du système lié au noyau au système lié du laboratoire sont fonctions propres de L2 et de L3 [3] :

L2 D£K (9l f 92, 93) = L(L + 1) D,}^ (9,, 92, 93) } L3 Df.i (9», 92 J 93) = K D^ (9,, 92, 9,)

Remarque : Le nom quantique L doit toujours rester un bon nombre quantique du noyau.

1.2.1. Noyau rigide.

Si nous ne tenoi:s pas compte des vibrations, l'hamiltonien (14) se réduit au seul terme de rotation. Une fois quantifié, il s'écrit :

(15)

H , i H =

•

⁽¹⁶⁾

13 12

1 . 2 . 1 . 1 . Noyau à symétrie de révolution. [4], [5] et [6].

Dans ce cas, on a simplement Y r 0, d'où :

J^t = J² = 3 B J3² - J⁰ et J³ = 0

En fait, nous allons trouver que K doit être nul. Ceci nous permet de prendre J³ quelconque et snt de J⁰ .

L'hamiltonien s'écrit donc : différent de J⁰.

D'après les formules (15), cet hamiltonien est diagonal dans la base des fonctions Dj'^ (9j, 92, 93) . Les fonctions d'ondes du noyau s'écriront donc, dans ce cas simple :

(Le coefficient

o

^a

,

est un coefficient de normalisation), et les énergies des niveaux :

(17)

(18) II nous reste à voir ce qu'entraînent les propriétés de symétrie du noyau :

l/ Symétrie de révolution autour de l'axe 3.

La fonction d'onde doit être invariante dans une rotation quelconque autour de cet axe

*in (9^{t )} 9², 9³+ 9 ) - tf., (9i. 9a, 9,) Or nous savons que :

DJÛ (9,, 9,, 9³ + <p) = e"* Djj'i (9,, 9², 9,) La symétrie de révolution nous conduit donc à :

2/ Symétrie par rapport au plan des axes 1 et 2^

On doit avoir :

*JJ.^K (e,, e^{a +} n.-9,)" ^.,(9,. 9^a, 9³)

A l'aide de la définition des matrices de rotations, on démontre que [6] : D^0(9,, 92+ u , - 93) = (-)LD^0(9,, 92, 9,)

II en résulte que L doit être pair : L - 0, 2, 4 ...

Les fonctions d'onde et les énergies des niveaux s'écrivent finalement dans ce cas simple

et

:- ^ - L ( L + l ) avec L = 0 , 2 , 4 . . . 2J0

(19)

La séquence des niveaux est donc très remarquable et se trouve assez bien vérifiée expéri- mentalement pour un grand nombre de noyaux déformés (en particulier dans la région II). Le pa-

14

ramètre J⁰ se déduit de l'énergie du premier niveau excité (2+) et l'on peut ensuite calculer les énergies de tous les niveaux de la bande de rotation. Ce modèle simple a eu beaucoup de succès pour le calcul de l'énergie des niveaux. Malheureusement il explique mal les fortes probabilités de transitions E2 trouvées dans la région des noyaux déformés.

1 . 2 . 1 . 2 . "Noyau asymétrique" [7].

L'hypothèse d'une asymétrie du noyau par rapport à la symétrie de révolution a été introduite par Davydov et Filippov pour essayer de justifier les transitions E2 dont nous avons parlé au paragraphe précédent. Le paramètre y est alors différent de zéro et peut varier de zéro à K/3 (les résultats étant symétriques autour de Y = n/6).

L'hamiltonien du système est celui de la formule (16) :

avec :

H = y A

^k

k-1

A

k = et

où, dans ce cas, J, / J² / J³

Or nous savons que [G] :

L* D!û = l K) (L I K +7) Df

L *-

avec

K = 0, 2, 4

Les coefficients CK sont tels que :

et K 4 L si L est pair K < L si L est impair

, 0 . 2, . . .

Le spectre du noyau va donc se présenter sous la forme d'un mélange de 1 bande de rotation K = 0 (L = 0, 2, 4, 6, .. . ) 1 bande de rotation |K| = 2 (L = 2, 3, 4, 5, 6, . . . ) 1 bande de rotation |K| = 4 (L = 4, 5, 6, . . . )

1 bande de rotation |K| = 6 (L = 6, . . . )

Ce spectre va donc comporter : etc.

„,„„,.

(20)

1 niveau de spin O, 2 niveaux de spin 2 1 niveau de spin 3, 3 niveaux de spin 4 2 niveaux de spin 5, 4 niveaux de spin 6

etc.

Les coefficients C, des fonctions d'ondes et les énergies des différents niveaux, pour un L donné, sont obtenus en dîagonalisant une matrice de la forme (pour L = 2, par exemple) :

K'\K 0

0 / < K' = 0 |H| K = 0 >

2 V < K1 = 0 |H| K = 2 >

< K1 = 2 |H| K = 0 >

< K ' = 2 | H | K - 2 >

Ces calculs ont été faits par Davydov en fonction des paramètres (3 et y. La figure 2 montre les

fc2

résultats obtenus pour les énergies des niveaux en fonction du paramètre y e* en unités -»: (Nous 4Bp

remarquons que lorsque y * 0 nous retrouvons les résultats du noyau à symétrie de révolution).

= J

Développons également au premier ordre les différents termes de l'hamiltonien - L'énergie Cinétique de vibration devient :

-h ²

2 B

- L'énergie cinétique de rotation devient :

JRJfLf + L l . Lll h2 F l ' - U l

2 L ^j * rJ ^B "2"L ^j ° J

- L'énergie potentielle de vibration doit s'écrire

sous la forme :

Energie

Figure 2 - Energies des niveaux d'un noyau déformé, rigide et asymétrique, en fonction du paramètre d'asy- métrie y (eⁿ unités h^a/ 4 B p^J) , d'après le modèle de Davydov et Filippov.

1.2.2. Introduction des vibrations.

Lorsque l'on veut tenir compte des vibrations, il faut considérer l'hamiltonien total de la for- mule (14). Cet hamiltonien doit êtr-3 quantifié dans un espace à 5 dimensions 9t, 9a, 93 (ce sont les angles d'Euler définis précédemment), P et Y- Ceci donne [8] :

(21)

+ Terme interaction rotation-vibration 1.2.2. 1. Noyau à symétrie de révolution.

Nous allons, d'abord, supposer que le noyau vibre autour d'une position d'équilibre à symétrie axiale, pour laquelle p = Po et y = Y = 0- Pour que le noyau garde, en première approximation, sa symétrie, nous devons nous limiter à de petits déplacements autour de cette position d'équilibre . En développant, alors, au premier ordre, la formule (13) donnant les moments d'inertie, on obtient :

- Le terme d'interaction rotation-vibration disparaît. La forme de cet hamiltonien nous montre que :

- Le nombre quantique K reste un bon nombre quantique (ce qui est normal, étant donné que le noyau garde, en première approximation, sa symétrie axiale).

- L'équation de Schrodinger correspondante peut se séparer en trois équations, la fonc- tion d'onde se mettant sous la forme :

,, P. Y) -=

J] . F(P) . G ( Y ) (22)

h2 F L2- I 2 1

Les éléments des matrices de rotation sont donnés par le t e r m e — I ^ J , les énergies iveaux étant :

des niveaux étant :

2

Les fonctions F ( p ) et G(y) sont données par les équations :

• P0)2 F((3) =

et

[

^2B"

2B i2 (K/2)2 I

" ~ ~

(23)

, _i (24)

Nous avons vu que les vibrations P se font le long de l'axe du noyau : elles préservent donc la symétrie de révolution et doivent avoir K = 0 et L pair (voir paragraphe 1.2. 1. 1. ). Les vibrations y ne conservent pas la symétrie de révolution, mais le noyau garde un axe de symétrie, ce qui en- traîne que, pour ces vibrations, |K| doit être pair.

L'équation (23) est l'équation d'un oscillateur harmonique à une dimension dont les niveaux d'énergie sont donnés par :

où

= 0, 1. 2,

0)3 = B

16 17

L'équation (24) est l'équation d'un oscillateur harmonique gie sont donnés par :

EY - tiojy(ny -t-

à deux dimensions dont les niveaux d ' é n e r -

o

et où

N = 0, 1, 2,

|K| pair

wr ⁼ v ^Bv

Les énergies des niveaux sont donc données finalement par : E = Erott 4-. ^E

E ( L , K , n³, n^y) - CUL où

L = 0, 2, 4 pour K = 0 L -- K, (K + 1), . . . pn^ ^K / nⁿ = 0, 1, 2

f2 N , N = 0, 1, 2,

(25) , |K| pair

>

Le spectre de basse énergie d'un noyau va donc se présenter sous la forme de bandes de rotations construites sur les différents niveaux de vibrations possibles. Expérimentalement, on a pu mettre en évidence, principalement, les trois bandes suivantes. (On a pu également observer quelques états pour lesquels np et riy sont supérieurs à 1 ("états à plusieurs phonons") (en parti- culier, dans la région des Osmium)).

- La bande fondamentale pour laquelle :

= n^y = 0 et

K = 0 , L = 0, 2, 4, - La "bande de vibration p" pour laquelle

et

et

K = 0 , L = 0, 2, 4, . . . - La "bande de vibration y" P^our laquelle :

n^& = 0 , n^y = 1

|K| = 2 , L = 2 , 3, 4, ..

Les différences d'énergie entre les niveaux les plus bas de ces deux dernières bandes et le niveau fondamental sont respectivement :

2

et *ur + 2 ^ Le spectre aura donc l'allure de la figure 3.

6 +

4 +

•4 +

3 +

-G + !

>

.0+

n^p = 1 n^y = 0

K = °

np = 0 ny = 1 K = 2

0+

np = n^y = 0 K - 0

Figure 3 - Energies des niveaux d'un noyau déformé et symétrique lorsque l'on tient compte des vibrations Nous montrons trois bandes de rotation : la bande fondamentale, la bande (3 et la bande Y-

Ce modèle dépend finalement de trois paramètres expérimentalement à partir :

J0, et hu) que l'on peut déterminer - du premier niveau excité de la bande fondamentale

- du niveau fondamental de la bande (3 - du niveau fondamental de la bande y

Remarque : Si nous avions développé les moments d'inertie jusqu'au second ordre (au lieu de les développer jusqu'au 1er ordre, comme nous l'avons fait au début de ce paragraphe), le terme d'in- teraction rotation -vibration ne disparaît pas. Ce terme a pour effet de mélanger des bandes de nombres quantiques K différents. On peut, cependant le considérer comme suffisamment petit pour être traité comme une perturbation. C'est ce qui a été fait par A. Faessler et ses collaborateurs dans une série d'articles consacrés à "l'interaction rotation -vibration dans les noyaux déformés "

[9] à [12].

Ces auteurs prennent comme hamiltonien non perturbé l'hamiltonien que nous venons de con- sidérer. Leurs solutions d'ordre zéro sont alors celles que nous avons discutées. L'interaction rotation-vibration est ensuite introduite comme une perturbation qui vient corriger les fonctions d'ondes et les énergies des niveaux. Pour les énergies, cette correction contient, en particulier, un terme de la forme :

b [L(L + 1) - K²]² (26)

Faessler et collaborateurs calculent b en fonction de J⁰, hu^, hu)^y, mais, on peut également con- sidérer b comme un paramètre et ajouter le terme ci-dessus à la formule (25). On a alors une théorie à 4 paramètres que l'on peut calculer en comparant le modèle avec l'expérience. Nous verrons à la fin du paragraphe 1.2. quel est l'accord de ce modèle avec l'expérience.

1 . 2 . 2 . 2 . "Noyau asymétrique".

Nous allons, maintenant, généraliser le modèle de Davydov et Filippov en tenant compte des vibrations. Dans ce paragraphe, nous négligerons l'interaction rotation-vibration.

l/ Davydov et Chaban [13] introduisent, d'abord, uniquement les vibrations P et laissent

u n

mansions :

. 0

H r

"

,—nien «M

(27)

corresponde se sépare * nouveau en deu, .ouaUons, >*

lion d'onde s'écrivant

^ - - A 5 j ( 3^t, Y) • Bjj K n'est plus un bon nombre quantique

N est un indice qui numérote les différents états de L donné.

AÎiOi , Y) = euNA^St, Y) (28)

(29)

s=

de la formule (20) :

son, r e n « é e s n^gure , en ,onc«on ou ^,.n écmation (29) définissent une nouvelle énergie po-

^ ., „:+,-«„ jiA~,"i,-K».o définie car un oara- nouvelle position d c

mètre >

Définissons les nouveaux paramètres :

<L e,

(H est appelé paramètre de "non adiabadicité", il représente la dureté du noyau vis-à-vis des vi- brations).

Et posons :

n -"

En faisant des changements de fonctions et de variables convenables dans l'équation ( 2 9 ) , il est possible de la résoudre. Les niveaux d'énergie du noyau- sont alors donnés par la formule :

'

où M. est donné par une condition à la limite (p. n'est pas, en général, entier). Cependant, si

est

M. es

petit, on peut faire un développement limité, et on trouve :

où n est entier.

20

Cette nouvelle théorie contient encore 3 paramètres : fvuïjj, Y et u..

Remarque : Si l'on tient compte également dans ce cas de l'interaction rotation-vibration, on est amené à ajouter à la formule (31) le terme :

- D h2

4B(3 ^'L.N

OÙ

Ici aussi, on peut considérer D comme un paramètre.

2 / Lorsque l'on veut introduire également les vibrations Y. il faut résoudre l'équation de Schrodinger correspondant à l'Hamiltonien de la formule ( 2 l ) . (Nous avons dit que nous négli- gions l'interaction rotation-vibration). Si le potentiel garde la forme V = - C |3 , cette équation se1 2 sépare de nouveau :

:

^L

O

^t

. Y )

^{( 3 2 )}

et

( 3 3 )

L'équation (33) montre que la fonction (3²D^L(p) satisfait à la même éqxiation différentielle que la partie radiale d'un oscillateur harmonique à trois dimensions. Il est donc possible de détermi- ner les niveaux d'énergies E du système. Malheureusement, c^tte solution donne une dégénérescence assez forte en L. Pour lever celle-ci, il est nécessaire de changer la forme du potentiel. Mais alors, l'équation de Schrodinger ne peut plus, en général, se séparer. (Pour que la séparation soit

f ( y )

enccre possible, il faudrait que le potentiel soit de la forme V ( ( 3 , Y ) = ™A , alors qu'un calcul au second ordre en P et Y conduit à un potentiel V((â, Y) = P²sin2 Y).

Davidov et ses collaborateurs ([14] et [15]) ont réalisé une séparation approximative en par- tant des équations séparées (32) et (33) et en ajoutant à la première un terme :

V ( Y ) = - Y⁰)² 1.2.3. Conclusion.

Pour conclure cette étude sur les noyaux pairs nous allons indiquer rapidement quels sont les accords, ou les désaccords des différents modèles que nous avons exposés avec les résultats expé- rimentaux .

l/ Lorsque l'on considère le noyau comme rigide, le modèle le plus simple à symétrie de révolution retrouve assez bien les énergies des niveaux les plus bas. Par contre, en ce qui concerne les probabilités de transitions, l'accord avec l'expérience est moins bon. C'est pour cette raison que Davidov et Fillipov introduisent l'hypothèse d'une certaine "asymétrie" du noyau : leur théorie se rapproche de l'expérience.

2/ Lorsque l'on introduit les vibrations, il est intéressant de noter que le modèle qui con- serve la symétrie axiale (avec interaction rotation-vibration) et le modèle de Davydov contenant les vibrations P dépendent du même nombre de paramètres {f»u>cj, îiw^y et J⁰ pour le premier et hou, y et [i pour le second). Il serait donc instructif de comparer les prédictions de ces deux modèles avec l'expérience. Cette comparaison est faite en détail par les auteurs de l'article [12]. Leur conclusion est que, aussi bien pour les niveaux d'énergie que pour les probabilités de transitions les prévi- sions des deux modèles sont tout à fait semblables et en assez bon accord avec l'expérience . (L'accord est de 10 % à 20 % pour les probabilités de transitions). (Le modèle à interaction rotation- vibration étant un peu meilleur pour les états à plusieurs phonons).

21

Los résultats des deux théories étant s e m b l a b l e s , on peut se demander si il y a intérêt ou non à c o n s i d é r e r que le noyau ne conserve pas sa symétrie axiale. Le problème est de savoir si le noyau possède une énergie totale m i n i m u m dans une position d'équilibre à symétrie axiale ou "asy- m é t r i q u e " . En utilisant comme force nucléon-nucléon la force dite de "pairing" (cette force tient compte du f a i t qu'une paire de nucléons est difficile à séparer) et en ajoutant une force quadrupo- l a i r e , on peut calculer l'énergie potentielle de surface du noyau. A l'aide du "cranking model"

d ' I n g l i s , on en déduit les paramètres B, et GJ, des formules (4) et (5) et l'énergie totale du noyau en fonction des paramètres (3 et y. Cm cherche, alors, pour quelles valeurs de ces paramètres l ' é n e r g i e totale est m i n i m u m . Ce calcul a été fait par Baranger et Kumar [16] : il montre que CP m i n i m u m a lieu pour une position d'équilibre à symétrie axiale. Ceci se voit clairement sur la figure 4 qui représente, pour le noyau de 164 Dy, la variation de l'énergie totale du noyau en *~"~- tion de p et de y. Le minimum a lieu pour (3 = 0, 3 et y = 0. (Dans la région des Osmium, qui est la région de transition pour les grandes déformations, la position d'équilibre ne serait pas tout à fait à symétrie axiale, mais le gain en énergie est si faible qu'il n'est pas utile de considérer cette- asymétrie). Il semblerait donc, finalement, qu'il faudrait donner la préférence aux modèles qui conservent la symétrie axiale.

-.SO-

IL Û 7 6 5 4 3 2 1 q« 44 q« 2 3 4- 6 A10 U 16 2Z

4 - Variation de l'énergie totale du noyau de Dy en fonction des paramètres de déformation p et y

1.3 - NOYAUX IMPAIRS -

Nous considérerons un noyau impair comme formé d'un coeur pair que nous traiterons comme dans le paragraphe précédent et d'un extra-nucléon, cet extra-nucléon étant soumis à un potentiel qui a la forme du coeur. Dans son article sur le modèle collectif [4], Bohr discute du couplage d'une telle particule à un coeur. Dans la limite du "couplage fort", on suppose que le coeur (et donc le potentiel) possède une déformation moyenne et que tout changement de forme de ce coeur se fait d'une façon suffisamment lente pour que la particule célibataire suive adiabatiquement. Le mouvement du nucléon dans le système d'axes lié au noyau est alors exactement le même que celui d'un nucléon dans un potentiel fixé dans l'espace. Les modèles que nous allons discuter so placent tous dans cette approximation du "couplage fort".

L'hamiltonien du système aura maintenant la forme suivante :

où H^{c o c u r}e^{S t} l'hamiltonien défini au paragraphe 1.1. ^et où Hp B r t l c u l e ,_Ë_^{+ V}(r î s)

,^T 2m

(Le^potentie! peu, dépendre du moment orbital e, du spin du nucléon célibataire)

du noyau ^VL"' a"êUlaire *" " I"liCUta « £ «** '« — , * momen, angula,,B tol,,

- > - > - »

I = L + j

Soient :

I : la valeur du moment angulaire total î

la projection de I ^sur r^{a x e OZ} du système du laboratoire M

K j Q

la projection de î sur l'axe 3 du système lié au noyau la valeur du moment angulaire de la particule célibataire j la projection de J sur l'axe 3 du système lié au noyau la valeur du moment angulaire du coeur L

la projection de L sur l'axe 3 du système lié au noyau

Le nombre quantique I reste, dans tous !es cas, un bon nombre Antique et Ton a toujours : K = Q ⁺ L

1.3.1. Coeur rigide.

ce,^ui de laTormU'uS) ="" _*' ^c

""- ''^iKonien du coeur se rédu,, a

Tl _*_ I I * 1* «

H - — V J1* ~ JkJ P2 , , - » - » o L* ' + — 1- V(r 1

* *-i Jk 2m ' '

et l'hamiltonien total est :

(34)

1-3'1-1- g°eur à symétrie de révolution [6J.

alors ^A " ^C°nSldér0ns d'^abord le cas où le ^coeur admet un axe de symétrie de révolution. On a

Ji ^{= J}2 ^{= J 0 et} J, quelconque / j D'après ce que nous avons vu au paragranhe 1 2 1 î i

l'axe 3 entraîne que L³ , 0. On a donc, f^ci™^{graphe l}-²' ^l- ^ • ^ symétrie de révolution autour de

H = + Hp a r t l c u l e

L'hamiltonien (34) devient :

Posons :

et

On a alors :

_K = QJ

H = + V

I* = Ii ± i!2

J* = J, ± iJ2

= f² + ]^{> 2}-2I^{3 2}- (IJ. + I J J Et, l'hamiltonien se sépare en trois parties :

H = H(Rotation) + H(particule) + H^c ou

H ( R o t a t i o n ) =

)

H(Particule) H *2 [I

c ~~ 2Jⁿ *

71 FT2

2J⁰ ft² "2

-IT. '' .

3. + . J*

2 12]

+ "2m ^{+ V}

Le terme H^c est le terme de "Rotation-Particule-Coupling". Il représente la force de Coriolis agissant sur le nucléon célibataire à cause de la rotation du système.

Ce terme relie des états pour lesquels le nombre quantique K diffère de 1 unité (sauf dans le cas |K| = -, comme nous le verrons plus loin). Cependant, si la particule célibataire est forte-

2 -» -» .»

ment liée au coeur, les niveaux de particules dans le potentiel V ( r , l , s ) sont bien séparés par rapport à l'espacement des niveaux de rotation du coeur. On peut alors négliger les éléments de matrice non diagonaux de Hc, les termes H(Rotation) et H(Particule) commutent, K et Q sont de bons nombres quantiques et la fonction d'onde peut se mettre sous la forme :

'i*K (9i) XQ(?) (36)

Les éléments de matrices Djj* (9t) sont les fonctions propres de H (Rotation). (Voir les for- mules (15)) et les fonctions X^Q(r) sont les fonctions propres de H(Particule) :

Hp x^a( r ) = E^P x^Q( r ) ja X a ( r ) = $ X g ( r )

Enfin on peut développer les fonctions Xa suivant les fonctions propres de l'opérateur j² :

(37)

(38)

ou

I². XJ( r )

Comme au paragraphe 1.2.1.1. nous allons voir ce qu'entraîné pour la fonction d'onde les proprié- tés de symétrie du coeur.

- Nous avons vu que l'existence d'un axe de révolution donne : K = Q

- La symétrie par rapport au plan des axes 1 et 2 entraîne que la fonction d'onde doit être invariante dans une rotation de n autour de l'axe 2. On démontre facilement [G] que :

R (it) V1 - ( 11 + U1/V n2 \,ni YB_K - (- } * M . - K

La fonction (36) ne possède donc pas les propriétés de symétrie convenable : nous devons donc écrire la fonction d'onde sous la forme :

24

f (~> ui.-«l°i) X - r f r ) ] ( 3 9 ) (Nous voyons que c'est |K| qui est le bon nombre quantique et nous pouvons prendre K > 0).

Pour trouver la formule donnant les énergies des niveaux du noyau, il nous faut d'abord écrire l'action du terme H^c sur la fonction d'onde (39). Nous savons [6] que :

K) (I ? K et

J^± *i = VTj T K) (j ±K + 1) X^JK±1 Considérons la première partie de la fonction d'onde (39) :

<T)I _ T-)I* v

V«.K ~ UM . K *K

= Di*^K S CJK *^JK (d'après (38)) On a :

et

Si nous considérons la fonction d'onde totale (39) et si nous remarquons que : 21 + 1 _^t ._ ..

et

CJ.-K = ( - ) '² C^{J > K}

(nous démontrerons cette formule plus loin), nous obtenons les éléments de matrice de H •

c '

< Y i . . |HJ Y» > = --*L V c" C«.K c i B.K L, ^ . C

O J

(40)

(puisque K et K' sont positifs, nous n'avons pas à tenir compte du terme en V.

«£•-£

_2J0 + 1) - 2K²] + Ep(K) avec I = K, (K + 1).. . (41)

b) K =- 2

H^c possède alors un élément de matrice diagonal : c'est le terme en <>..._„.„ qui vaut 1 lorsque

= — •

K' = K = - et qui donne :

25

H i *l

. 1/2 "c i - M . 1/2 —

2J

où a est le "paramètre de découplage" défini par la formule :

(42)

Dans ce c a s , il faut ajouter ce nouveau terme à la formule ( 4 1 ) . D'une façon générale, l'énergie E s'écrit donc finalement :

E - ••£ ^mi

^{E f l / aH Ep}( K ) avec I = K, K - f 1... (43' Le spectre de basse énergie d ' u n noyau impair va donc se présenter sous la forme de bandes de rotation construites sur chacun des niveaux de particules. Chaque bande est caractérisée par un nombre quantique K et la succession des spins est :

I = K, (K + 1),. . . pour K i - .

L*

Pour K = -, l'ordre des spins peut être inversé, à cause du paramètre de découplage (figure 5).

Figure f> - Ordre des niveaux d'une bande de rotation K = 1/2 en fonction du paramètre de découplage a.

Remarquons, d'ailleurs, qu'il est possible de comparer la théorie avec l'expérience sans connaître les solutions de l'hamiltonien de particule. En effet, d'après la formule (43), on a :

n

El-E^K. = —{1(1 + 1 ) - K ( K + ï) + a [ ( - )^{m / 2}( I + 1/2) + 1] ÔK.

2J0

-h

²

Si l'on suppose donc l'existence d'une bande de rotation, on pourra calculer le paramètre ——

•h2 2J°

à partir du premier niveau excité de cette bande (où les paramètres et a à partir des deux premiers niveaux pour une bande K = 1/2) et vérifier que les énergies calculées pour les autres0

niveaux correspondent avec l'expérience. (On a, de plus, là une méthode pour attribuer un spin à certains niveaux).

Remarque : Si le nucléon célibataire n'est pas lié au coeur suffisamment fortement (c'est-à-dire , si les niveaux de particule sont proches les uns des autres), les bandes correspondantes interagissent et il y a lieu de tenir compte dans l'hamiltonien des termes non diagonaux de Hc.

D'après la formule (40) ce terme relie des états de même spin total I et de même nombre quantique j (donc de même parité), mais pour lesquels K diffère de une unité. Le nombre quan- .ique K n'est donc plus, dans ce cas, un bon nombre quantique et les fonctions d'ondes deviennent :

= y

k

<. K (44]

où f j est la fonction d'onde de la formule (39) et où la somme sur K s'étend à toutes les bandes qui interagissent.

Considérons, par exemple, deux bandes K et (K + 1). La formule ( 4 0 ) nous donne :

¥i.»*i | H c l ¥i.

- K) a + K + ï;

où

AK - ~ I C;.KH CJ > K V ( j - K ) < j + K + l)

^Jo J

Pour trouver les coefficients CK de la fonction d'onde (44) ainsi que les énergies des niveaux , il faut diagonaliser l'hamiltonien (35). Ceci conduit pour les énergies des deux niveaux de spin I à résoudre l'équation :

= 0

| HC| <K> E J U - E

où EJ[ et Ej»! sont donnés par la formule (43). Cette équation s'écrit : E2 - [Ej+I + Ej] E + Ej+, Ej - Ajj (I - K) (I + K + 1) = 0 dont les solutions sont :

E = 1 j [ E jn + E{] i \l[E\n - Ej]24- 4AJ| (I - K) (I + K -s- 1) j (45)

Le raisonnement se conduit de la même façon lorsqu'il y a plus de deux bandes qui in- teragissent. Ce calcul a été appliqué pour la première fois avec de bons résultats au W¹⁸³ [17l , dont le schéma de basse énergie est formé d'une bande 1/2 et d'une bande 3/2 qui sont proches l ' u n e de l'autre. Malheureusement, ce modèle possède un très grand nombre de paramètres. En effet , dans le cas de l'interaction de deux bandes dont l'une est une bande 1/2, on peut avoir jusqu'à

/ "h2 \ / ti2 \

6 paramètres : i — — i , ( j (d'après la théorie, ces deux nombres sont égaux, mais on les

^ 2Jo 'K ^2J⁰'^Kti

considère souvent comme deux paramètres différents), E^p(K), E^P(K + 1), A^K et a. Il faudra donc connaître le spin et le nombre quantique K de six niveaux pour calculer tous ces paramètres.

B - II s'agit maintenant de résoudre le problème du mouvement du nucléon célibataire et de trouver les niveaux de particules. D'après ce que nous venons de voir, il nous faut résoudre l'équation :

H

où

HP = n2

=

E

2m V ( r , l , s )

Ce problème a été étudié principalement par Nilsson [18]-et nous allons exposer cette étude.

Nous avons vu que, dans l'approximation du couplage fort, le potentiel est considéré comme fixe et doit posséder les mêmes symétries que le coeur. Nilsson néglige le terme en j² (on peut

2JS

montrer que ceci ne modifie pas sensiblement les résultats) et prend un potentiel de la forme :

V ( r . l . s ) = -

&

21 + C 1. S -r D Î2 (46)

(Les coordonnées x, y, z, sont ici celles dans le système lié au noyau). Le premier terme de V représente le potentiel d'un oscillateur harmonique à trois dimensions. Les deux derniers termes ont été ajoutés pour lever les dégénérescences dues à ce potentiel. Les paramètres C et D sont déterminés de façon à retrouver les états individuels du modèle en couche lorsque la déformation tend vers zéro.

Le coeur possédant un axe de symétrie, on peut poser :

"\- u²( ô ) (l - - 6)

0 \ 3 '

Le- paramètre 6 est un paramètre qui mesure la déformation du coeur. On peut montrer qu'il est relié à p par la formule :

La fonction (^,(0) est déterminée par le fait que le volume intérieur d'une surface équipotentielle doit rester constant lorsque & varie. Cette condition s'écrit :

d'où ^{1 - 1 / 6}

o ,⁰( 6 ) = ô [1-3 ^ô - 2 7^Ô En passant en coordonnées polaires x = r sin 9 cos q>

y = r sin 9 sin cp z = r c o s 9 et en remarquant que Y £ ( 9 , cp) = ~5~

16*

cos² 9 - 1), l'hamiltonien H s'écrit

C0b ° '• »

où :

H° ⁼"2r^

Hi ⁼ + C Î. s + D l²

(47)

H⁰ correspond à un oscillateur isotrope et H⁵ contient l'anisotropie due à la déformation.

Remarquons, maintenant, que les opérateurs H⁰, l², l^z et s^ (l^z et s^z correspondent à ce que nous avons appelé 1³ et s³) commutent. Nous pouvons donc choisir une base de fonctions propres qui les diagonalise tous.

Soient | N , 1 , A , Z > les vecteurs de cette base.

On a :

H j N , i , A , z > = h w

^a

( N + - ) I N . I . A . Z

^o

Î

²

( N . I . A . Z > = i(i + D | N , I , A , Z >

1, j N . I . A . Z > = A| N.l. A, Z >

s^s |N,1, A E > = Z|N,1. A. Z>

28

(1 est la valeur du moment orbital de la particule, A et Z les projections de ce moment orbital et du spin sur l'axe 3 du système lié au noyau).

De plus, on doit avoir :

N = 0, 1, 2, ...

1 = N , N - 2 . N - 4 , . . . l o u O

D'autre part, Hj conserve les nombres quantiques N et 1, mais change A en A ± 1 et I en Z ± 1.

Hg conserve A et Z, mais change N en N ± 2 et 1 en 1 ± 2. Cependant, Nilsson admet que l'on peut négliger le couplage des états de N différents de 2 unités (ils sont séparés, en effet, de 2 fi (4,) (*).

Remarqons, également, que nous avons :

A + Z = Q = K (où Q est la projection de j sur l'axe 3 ). Q doit donc rester un bon nombre.+

quantique.

Nous allons donc rechercher les fonctions propres de H^p sous la forme de développements de la forme :

S a « , i . A . z l N , l . A . Z >

i.A+2-fl

(48)

Les coefficients a^ i A Z et *es energies EP(K =• Q) des niveaux de particules sont alors données par la résolution de l'équation :

qui peut s'écrire, avec nos hypothèses, sous la forme d'un système d'équations linéaires et homo- gènes :

[ E^p( Q ) - (N + 3 / 2 ) f m )⁰] a û> 1 > A i £= £ a^. ^{> A}.^{> Z}. < N.l' , A ' , Z ' |H⁵ + H, | N, l.A .Z >

r.A'+Z'-Q

(49) La résolution de ce système a été obtenue par Nilsson numériquement en fonction de la déforma- tion ô .

Nilsson définit d'ailleurs de nouveaux paramètres : K---^r

2 nu)

» ™2D et

n = ô.^l Ko

K est considéré comme fixe (K = 0,05} et u\ dépend de N (|a^o = \i^v = u.^a = 0, ^³ = 0,35, H⁴ = 0,45 ou 0,55, n⁵= n⁶ = 0,45). Dans la référence [19], ces calculs ont été étendus aux orbites N = 5 et N = 7 avec Us = 0,70 et H⁷ = 0.40.

Les résultats pour les coefficients ajj ^{l A} ^ sont donnés sous la forme de tableaux. Les énergies sont données sous la forme de diagrammes ' donnant les différentes orbites en fonction de la défor- matiom**'. (La figure 6 donne la suite des niveaux pour un nombre de neutrons compris entre 82 et 126).

( • ) II est possible également de diagonaliser rigoureusement l'hamiltonien, en faisant le changement de variables : , y =

s

mu, ^mU).

et en introduisant l'opérateur infinitésimal l^t dans l'espace £ , t ) , Ç .

(••) II existe des diagrammes différents pour les protons et les neutrons (correspondants aux différentes valeurs j- ..\

de

29

Pour utiliser les diagrammes do Nilsson, il faut prendre celui qui correspond au nucléon i m p a i r (neutron ou proton) et r e m p l i r , pour une valeur donnée de la déformation 5, chaque orbite avoc deux nucléons ( c h a q u e orbite est, en e f f e t , dégénérée en ± f2). La dernière orbite occupée détermine le spin de l'état fondamental du noyau (I = K = Q).

Remarques :

l / Lorsque la déformation est très grande, le terme Ht de l'hamiltonien Hp peut être traité comme une perturbation, les solutions d'ordre zéro étant celles d'un oscillateur anisotrope . Si nous négligeons encore les états de N± 2, les nombres quantiques N, n^ A , Z sont alors, de bons nombres quantiques (on a N = nt + ny + n£). Cependant, puisque Q = A + ï. est toujours un bon nombre q u a n t i q u e , il s u f f i t de donner Q, N, n^, A. Chaque orbite de Nilsson pourra donc être ca- ractériser par :

Q ± [N, n^ A]

(La parité est plus ou moins suivant que N est pair ou impair). N, n^, A sont appelés les "nombres quantiques asymptotiques".

2 / La formule ( 4 2 ) nous donne le "paramètre de découplage" a en fonction des coeffi- cients Cj_2. Il sers.it intéressant de connaître a en fonction des coefficients a j ^ j /\ £ calculés par Nilsson.

En comparant les expressions de la fonction d'onde Xçen fonction des fonctions XQ(formule (38) ) et des fonctions |N, 1, A, Z > (formule (48)), on peut relier les coefficients C j Q et les coefficients

"S...A.2 ^:

CJ > Q= X « j, Q |1, -, A, Z > a °l A Z

A»Z-a

(50)

où le coefficient de Clebsch-Gordan est celui du couplage du moment orbital 1 au spin s = 1/2 pour donner le moment angulaire total j.

Nous allons porter cette valeur dans l'expression (42) donnant a. En remarquant que j = 1 ± 1/2 , A + Z = Q - 1/2, 2 - ± 1/2 et A - 0 ou 1 et en calculant les coefficients de Clebsch-Gordan grace à [3l, on trouve :

+ 2

Le calcul de ces paramètres de découplage en fonction des coefficients a été fait par J. Valentin [20],

(51) donnés par Nilsson 3/ Nous avons utilisé la formule :

c

^{j > a}

« i A ^{= a a}i i i -A -£•

Celle-ci se démontre facilement grâce à l'équation (50). Il suffit de remarquer que :

car les états de Nilsson avec Q = A+ Z et - Q = -A - Z sont dégénérés.

C - Nous n'avons pas parlé, au cours de cette étude, des probabilités de transitions Y entre les différents niveaux. Celles-ci peuvent se calculer lorsque l'on connaît la fonction d'onde du ni- veau initial ( j i >) et celle du niveau final ( | F > ) . En effet, la probabilité par unité de temps d'émis- sion d'un photon d'énergie fiw = fie k, transportant le moment angulaire A., est donnée par la for- mule [21] :

' ^! X [ ( 2 \ + 1)1'.]» n

où B ( \ , Lj - * Lp) est la "probabilité de transition réduite" :

+ l)-1 V | < F | T J j J i > |2

VF

où Tj[ est l'opérateur de transition défini dans le système du laboratoire.

JIS/2

i 11/2

pi/2

i 13/2

h 9/2 f 7/2

0

7/2 + 6.1,3 H/2-7,2,5

,-1/2-50 i :-5/2-5^5

13/2+6,0,6

0,1 o,2

0,29

-7/2-7,4,3 5/2 + 6,3,3 9/2-5,05 H/2 + 6,1,5 3/2 + 6, 5 i 7/2-5,0,3 5/2-7,5,2 3/2-5,1,2 1/2-5,1,0 3/2 + 6,4,2 J/2-7,6,1 1/2*6,4,0 - 2 + 6 , 2 , 4 7/2-5,1 4 1/2- l i

^tQ

5/4-5,1.2

! + 6,3,J 1/2-5,2,1

1/2-5, q 5 5/2-5,2,3 3/2-5,2,1 5/2+6,4,2 3/2 + 4,0,2 1/2+4.0,0 9/2-5,1,4 3/2 + 6,5,) 3/2-5,3,2

1 / 2 + 6 , 6 0 J/2-5,3,0

Le modèle que nous venons d'exposer nous donne les fonctions d'ondes | i > et j F > et permet de calculer T(\). Cependant, les nombres quantiques asymptotiques permettent de définir des règles de sélection qui sont valables pour une déformation infinie. Ces règles ont été données par Alaga [22]

et ne sont qu'approchées pour les noyaux réels.

1 . 3 . 1 . 2 . "Coeur asymétrique". [23].

Le modèle de Davydov et Filippov, dont nous avons parlé au paragraphe 1 . 2 . 1 . 2 , a été éten- du aux noyaux de masses impaires par Hetch et Satchler [23]. L'hamiltonien est celui de la for- mule ( 3 4 ) , mais nous avons maintenant :

2 n , J

k

= 4B(3

2

sin

2

( Y - — k) H = H(Coeur) + H(Particule)

fl2 3 (T _ i \*

H (coeur) = — £ -3 ^~

2 k-i J

^k

H(particule) =JL-+ V(r, , s)

2m

(52)

Nous verrons que H(coeur) relie dans ce cas des états de nombres quantiques K différents . K n'est donc plus un bon nombre quantique. Cependant, comme pour les noyaux pairs, le nombre quantique L = (K - Q ) doit rester pair à cause de la symétrie du coeur par rapport à l'axe principal.

La fonction d'onde d'un niveau de spin I est alors un mélange sur le nombre quantique K des fonctions d'ondes (39) trouvées pour le cas symétrique :

,1*1-1/2

M . - K (53)

où les fonctions X peuvent encore se développer suivant les fonctions propres de j

^{22 .}

:

(54)

On a encore :

| l * J - l / 2

Le symbole Z' exprime que l'on doit sommer sur les valeurs de K et de Q telles que (K - Q ) soit un nombre entier pair. Pour cela, on peut limiter les sommes sur K et Q aux valeurs :

n_

2 '

3 1 5 9 2' 2 ' 2 ' 2'

A - Les coefficients C

K

de la formule (53), ainsi que les énergies des niveaux de rotation , sont donnés par la diagonalisation de H(coeur). En posant :

A -^

Ak

' 2j

^k

' on a :

H(coeur) = A

t

<I

t

- j

t

)

2

+ A

a

(I

a

- J

2

)

2

Cet hamiltonien peut se développer en fonction des opérateurs I

^±

= Ii ±iI

²

- J

³

)

²

et

On trouve :

32

'I

I

II s'agit, maintenant, de calculer les éléments de matrices de H(coeur)

^ ^{Ï T / Z} I T T / * ( T

* ÏH.I- IH(coeur) I yj

K

>

éléments, se calculent facilement, car nous

J K = V (I ± K) (I T K + ij D'"

et

8n2

= « .Q.

Dans ,a

rticl

e CM]. Hetch et Satchler donnent

ces éléments de matrlce et

_

en fonction des paramètres suivants :

(Ceoaramètre devient

le

paramètre de décod

Y = 0).

age pour le

cas à symétrie rfe

c

'

J.Q

e = - i ' c ^{J Q} c ^(j-+ o) c- Q—rn -

Par exemple, pour I = 1/2 (i

2)

obtient : (on ne peut avoir que K . 1/2 et l'hamiltonien est diagonale,.

on

(55)

déjà di

33