G 151. Surréservation.
Un restaurateur avec les 20 couverts de sa salle, une compagnie aérienne avec 200 sièges à bord de ses avions moyen courrier et le gérant d’un stade contenant 2000 places constatent que 5% en moyenne des personnes qui ont pris des réservations font faux bond le jour venu. Ils délivrent respectivement 21, 210 et 2100 réservations. Quel est celui des trois qui a la plus forte probabilité de ne pas pouvoir accueillir tous ses clients ?
Solution proposée par Michel Lafond :
Notons S l’événement "Surréservation" et Pr la probabilité.
Avec 20 couverts et 21 réservations, le nombre D de désistements (supposés indépendants) suit la loi binomiale B (21 ; 0.05).
Pr (S) = Pr (D = 0) = C210 0.0500.9521 0,341
Avec 200 sièges et 210 réservations, le nombre D de désistements (supposés indépendants) suit la loi binomiale B (210 ; 0.05) qui s’approxime par la loi de Poisson de paramètre 210 0.05 = m = 10,5.
Pr (S) = Pr (D < 10) = ) 0,397
! 9
! 2 1 1
(
9 2
m m m
e m
Avec 2000 places et 2100 réservations, le nombre D de désistements (supposés indépendants) suit la loi binomiale B (2100 ; 0.05) qui s’approxime par la loi normale de paramètres 2100 0.05 = m = 105 et = m0.95 9,987492.
Si T = (D – m) / est la loi normale centrée réduite et sa fonction de répartition, Pr (S) = Pr (D < 100) Pr (D 99,5) avec la correction de continuité.
t = (99,5 – m) / -0,550689
Donc Pr (S) P (T < -0,550689) = 1 – (0,550689) 0,291.
C’est la compagnie aérienne qui a la plus forte probabilité de surréservation (près de 40%).
