DEFINITIONS GENERALES & RAPPELS MATHEMATIQUES

INTRODUCTION

Par opposition au solide, le fluide liquide ou gazeux est aisément déformable, sans qu’il soit nécessaire de lui appliquer de grandes contraintes sur son contour. Une même matière peut passer de l’état du solide à celui du fluide (liquide puis gaz) sous l’effet d’un accroissement de température à pression constante. En mécanique des milieux déformables, le fluide est décrit par une équation de comportement qui lie la contrainte locale au taux (ou à la vitesse) de déformation, alors que pour le solide intervient une relation entre contrainte et déformation.

Les bases de la mécanique des fluides sont résumées en insistant sur l’aspect énergétique, car l’ingénieur doit le plus souvent considérer des écoulements de fluides non isothermes. On s’est efforcé de présenter clairement l’unité des concepts qui concernent tous les fluides et dont l’application porte ici uniquement sur les fluides monophasiques newtoniens.

Il est essentiel que l’ingénieur garde toujours un regard critique sur les hypothèses qu’il introduit pour faciliter ses calculs, ou sur l’adéquation de la formule qu’il emploie dans le cas particulier étudié ; la mécanique des fluides est un domaine où le bon sens peut facilement tromper. On doit vérifier le bien- fondé d’une hypothèse après avoir obtenu la solution du problème.

DEFINITIONS GENERALES & RAPPELS MATHEMATIQUES

1.ECOULEMENTS PERMANENTS ET NON PERMANENTS

1- L’étude de l’écoulement des fluides est un problème fort ardu. Pour le simplifier on commence par négliger les forces de frottement interne.

2- On étudie un fluide parfait dans lequel n’apparait aucune force de frottement interne (ni tangentielle, ni normale) quels que soient les mvts . 3- Les seules forces superficielles pouvant s’exercer dans un fluide parfait

sont les forces de pression normale P. la pression P est univoquement déterminée par la densité et la température du fluide.

4- En général les propriétés du fluide (propriétés physiques ou cinématiques) en un point donné de l’espace varient avec le temps, l’écoulement est appelé non permanent ou instationnaire (par rapport au référentiel envisagé).

5- Parfois ces propriétés en un point fixe ne varient pas avec le temps, (les particules qui passent successivement en ce point y présentent donc les mêmes propriétés). L’écoulement est alors appelé permanent ou stationnaire.

6- La description d’une propriété quelconque d’un tel mouvement correspond à une forme simple telle que : q=q(r) ou q=q(x,y,z)

7- Quand l’écoulement est permanent, les trajectoires sont des courbes fixes, confondues avec les lignes de courant et les lignes d’émission.

8- Enfin il existe une très importante catégorie d’écoulements non permanents, dont cependant, en un point fixe, les propriétés moyennes temporelles sont constantes. Il est alors possible de trouver un intervalle

de temps T assez grand tel que les quantités moyennes de la forme : q=∫t q.dt sont indépendante de l’instant initial t choisi.

9- Ces écoulements sont appelés permanentes en moyenne. On en définira aisément par exemple le vecteur vitesse moyenne V, dont les projections sont u,v,w indépendantes du temps.

2. LES PRINCIPES

Les principes sont des principes de conservation tirés de la Mécanique et de la Physique, ils conduisent à écrire un certain nombre d’équations fondamentales.

1- Principe de Conservation de la Masse : c’est un principe de physique qui permet d’établir une relation entre certaines caractéristiques du fluide et ses m^vts, indépendamment des causes qui les provoquent.

Il se traduit par l’équation de continuité (équation scalaire)

Enoncé du principe (cet énoncé traduit un point de vue Lagrangien)

Quelque soit le domaine D de fluide que l’on suit dans son mouvement, sa masse m= D ρ(M,t).dw reste constante (fluide conservatif), nous avons par conséquent :

dM/dt =d/dt ( D ρ(M,t).dw)=0 ………..(2.1)

2- Principe de conservation des quantités de m^vt : c’est un principe de mécanique qui permet d’établir des relations entre les caractéristiques du

fluide, celles de ces mv^ts et les causes qui les produisent (forces).

Il se traduit par les équations des quantités du m^vt, ou par l’équation fondamentale de la dynamique (eqs vectorielles)

Enoncé du principe (cet énoncé traduit un point de vue Lagrangien)

Quelque soit le domaine D de fluide que l’on suit dans son mouvement, la dérivée par rapport au temps du torseur (ρ.V)D des quantités de mvt est égal au torseur des forces extérieures appliquées au domaine D (forces de volume et forces de surface), on a :

d/dt(ρ.V)D= (ρ.V)D + (T)s ……….(2.2)

3- Principe de conservation de l’énergie : c’est un principe d’énergétique (1^er principe de thermodynamique), qui permet d’établir des relations entre

les différentes formes d’énergie mises en jeu.

Il se traduit par l’équation d’énergie (éq- scalaire)

Enoncé du principe (cet énoncé traduit un point de vue Lagrangien)

Quelque soit le domaine D de fluide que l’on suit dans son mouvement, la dérivée par rapport au temps de la somme de son énergie interne et de son énergie cinétique est égale à la somme de la puissance mécanique fournie à D par les forces extérieures (de volume et de surface) et de la puissance calorifique fournie à D par l’extérieure.

Nous avons donc l’équation intégrale :

d/dt( D (ρ.E+ρ.V²/2))dw = D ρ.F.V dw + S T.V dS + ∑ dQ/dt …………..(2.3)

3. LES HYPOTHESES

Pour écrire ces équations fondamentales et poser sous formes mathématiques complète un problème de Mécanique des Fluides, il faut auparavant disposer d’un certain nombre d’informations sur :

1. La nature des forces et des énergies mise en jeu 2. La nature du fluide

3. La nature des conditions aux frontières (conditions aux limites et initiales)

1. HYPOTHESES CONCERNANT LA NATURE DES FORCES

Considérons un domaine D de fluide limité par une surface fermée S (fig 3.1). Les forces agissant en chaque point M du fluide sont de deux sortes :

 Les forces intérieures : d’origine moléculaire et forment un torseur nul

 Les forces extérieures : se composent des :

 Des forces de volume dues à l’existence d’un ou plusieurs champs de forces. Elles sont de la forme ρ.f.dw pour un élément de volume dw. En général f ne dépend que de la position du point M et ne dépend pas du temps.

 Des forces de surface, à raison de T.dS sur un élément de surface dS entourant M. la force unitaire T appelée contrainte (ou tension), dépend de la position du point M de la surface, et de l’orientation de dS

autour de M. on peut écrire : T=Tn+Tf………(3.1) avec ;

Tn est la contrainte normale à dS, Tf est la contrainte tangentielle à dS

Dans les calculs, T sera plutôt défini par un tenseur : tenseur des contraintes dont les composantes sur les axes de coordonnées cartésiennes forment les 9 éléments d’une matrice symétrique.

Montrons en effet que T peut s’exprimer en fonction des contraintes unitaires σ_x ,σy ,σz s’exerçants sur trois éléments de surface triangulaires passant par M, on obtient donc : TdS - σ_xdSx – σydSy – σzdSz =0

Soit

T - σxnx – σyny – σznz =0 ou T – σini =0 ………..(3.2)

Introduisant maintenant les composantes σij de σi sur les trois axes on a successivement : T = σ_xnx + σyny + σznz

=(σxxi + σxyj+ σxzk)n_x +(σyxi +σyyj+σyzk)n_y+(σzxi + σzyj + σzzk)n_z

soit Ti = σji .nj ………..(3.3)

 ce qui montre que les composantes de T sont des fonctions linéaires des composantes des σ.

2. HYPOTHESES CONCERNANT LES ENERGIES

Les énergies qui entrent en jeu peuvent être cinétique, potentielle, calorifique, etc., leur expression est donnée par la physique. Les transferts d’énergie calorifique peuvent s’effectuer par : rayonnement (loi de Stevan ), conduction (loi de Fourier ) et convection.

.

3. HYPOTHESES CONCERNANT LA NATURE DU FLUIDE

Elles concernent l’équation d’état du fluide f(p,ρ,T)=0 ainsi que les expression de μ, η et λ.

4. HYPOTHESES CONCERNANT LES CONDITIONS AUX LIMITES ET INITIALES

Ces conditions dépendent du problème étudié. Elles concernent généralement des valeurs de vitesse ou de pression le long de surface donnée.

4.THEOREMES GENERAUX

4.1 Introduction

Pour appliquer les principes de Mécanique et de Thermodynamique à un fluide en m^vt, il faut suivre une masse individualisée de matière. A chaque élément de matière, contenu à l’instant t dans un domaine D, sont attachés des fonctions scalaires f ou vectorielles A pour lesquelles on aura à calculer des intégrales à l’instant t.

La conduite de ces calculs fait appel à un certain nombre de théorèmes généraux et de formules que nous allons indiquer :

4.2 FORMULE DE LA DIVERGENCE

Cette formule et celles qui en dérivent permettent de transformer une intégrale de volume en une intégrale de surface et inversement.

Soit n le vecteur unitaire normal à dS et orienté vers l’extérieur de D, on a la relation :

D divA.dw = S A.n.dS = S An.dS ……… (4.1)

Qui est la formule d’Ostrogradski, ou bien encore :

D ( Ai/ xi).dw = S Ai.ni.dS ……… (4.2)

Fig.(4.1):représentation géométrique de la formule d’Ostrogradski

On peut donc donner l’énoncé suivant :

Le flux d’un vecteur sortant d’une surface fermée égal à l’intégrale de la divergence de ce vecteur étendue au volume que limite cette surface.

Fig.(4.2):mouvement des cellules convectives sur la surface du soleil [1]

4.3 FORMULE DU GRADIENT (ou formule de Gauss) f étant une fonction scalaire quelconque de M, on a :

D grad(f).dw = S f.n.dS ……….. (4.3) Exemple :

Le vecteur grad(P) est orthogonal aux lignes isobares P(x,y)=C^te

Si les lignes isobares sont serrées alors le gradient de pression est élevé Le vent suit la direction des isobares.

Fig.(4.3): utilisation du gradient en Météo [1]

4.4 FORMULE DU ROTATIONNEL

D rot(A).dw = S n⋀A.dS………(4.4)

Exemple : utilisation du rotationnel pour un écoulement dans le plan (xOy) Cas du tourbillon fluide de vitesse orthoradiale v dans le plan horizontal

0 rotation dans le sens antihoraire (trigonométrique) 0 rotation dans le sens horaire

Météo hémisphère Nord : rotation sens trigo autour d’une dépression D

Hémisphère Sud : situation inverse (orientation par la force de Coriolis) NB : Le vecteur tourbillon est défini par ½ rot(v)

Fig.(4.4): tourbillons en hémisphère Sud et Nord [1]

4.5 FORMULE DE STOKES

Soit S est une portion de surface orientable limitée par une courbe fermée C, sur laquelle on fixe un sens de circulation. En orientant convenablement le vecteur unitaire n par rapport au sens de la circulation, on a :

S n.rot(A).ds = C A.dl ………..(4.5)

Cette formule permet de transformer une intégrale de surface en intégrale curviligne et inversement.

On peut donc donner l’énoncé suivant :

Le travail d’un vecteur A (ou la circulation du vecteur A) le long d’une courbe fermée C est égale au flux de son rotationnel à travers une surface S qui s’appuie sur cette courbe.

Fig.(4.5): formule de Stocks

4.6 DERIVEE PARTICULAIRE

1- DERIVEE PARTICULAIRE D’UNE FONCTION SCALAIRE f(M,t) Quand on suit M dans son déplacement, on a :

df/dt = ( f/ t) + V.grad(f)………(4.6) en posant f(M,t)=f(x,y,z,t) il vient :

df/dt = ( f/ t) + u. ( f/ x) + v. ( f/ y) + w. ( f/ z) = ( f/ t) + ui. ( f/ xi)………(4.7)

2- DERIVEE PARTICULAIRE D’UNE FONCTION VECTORIELLE A(M,t)

Quand on suit M dans son déplacement et pou chaque projection, la formule précédente s’applique :

dAi/dt = ( Ai/ t) + V.grad(Ai)……….(4.8) avec :

( Ai/ t) ………...terme local

V.grad(Ai)………..termes convectifs

Remarque

Si le vecteur A est la vitesse V(M,t), on a l’expression vectorielle suivante : dV/dt = ( V/ t) + V.grad(V)

= ( V/ t) + grad(V²/2) + (rot(V))⋀V avec :

(dV/dt) ………...accélération

( V/ t) ………...accélération locale qui traduit la non permanence du m^vt grad(V²/2) + (rot(V))⋀V ………..l’accélération convective qui traduit la non uniformité de l’écoulement

3-DERIVEE D’UNE INTEGRALE DE VOLUME

Quand on suit le domaine D dans son déplacement.

Soit l’intégrale : dK= _D f(M,t).dw ……….(4.9) On a : dK/dt= D (( f/ t)+div(f.V)).dw

= D (( f/ t)+f.div(V)).dw

Ou encore:

dK/dt= D (( f/ t) dw+ D div(f.V)) dw

dK/dt= D (( f/ t) dw+ s (f.V.n) ds

Remarques

On peut encore écrire:

dK/dt= / t D f dw)+ s (f.Vn) ds ………(4.10)

au deuxième membre de cette équation:

 La première intégrale représente la variation, par unité de temps, de la quantité de f contenue dans D considéré comme fixe.

 La deuxième intégrale représente le débit de f sortant de S ou bien encore le flux de (f.V) sortant de S.

1- Si : f=1 et k= D dw = , est le volume du domaine D On trouve :

dK/dt= d /dt 0 + D div(V) dw = s Vn .ds …….(4.11)

La dernière intégrale est par définition le débit volumique sortant de S (flux de V sortant de S).

2- Si : div V=0 en tout point, le volume du domaine D ne varie pas au cours du mouvement.

3- Si : div V 0 le volume du domaine D varie. Par exemple il augmente si, pendant le temps dt, le flux de V sortant de S est inférieur à celui qui y entre.

Remarques à retenir

- Le gradient s’applique à un champ scalaire et le résultat est un champ vectoriel

- La divergence s’applique à un champ vectoriel et le résultat est un champ scalaire

- Le rotationnel s’applique à un champ vectoriel et le résultat est un champ vectoriel

Quelques formules très utiles

- Le rotationnel d’un gradient est nul : ⋀ - La divergence d’un rotationnel est nulle : . ⋀

- Divergence et Rotationnel du produit d’un champ scalaire par un champ vectoriel :

.

∧

Cas particulier : si est un vecteur fixe indépendant des coordonnées

de l’espace :

.

∧

Divergence d’un produit vectoriel

∧

Carré d’un champ vectoriel :

⁄ ∧ . .

Rotationnel d’un rotationnel : ∆

Laplacien scalaire

Il est défini par : ∆ Laplacien vectoriel

Il est défini par : ∆

Remarque

Le Laplacien s’applique à un champ scalaire ou vectoriel et le résultat est de même nature.