Electromagnetisme
29.
Flux magnetique capte par un c,adre. Forces exercees sur un cadre
1° Un cadre ayant la forme d'un triangle rectangle isocele est place avec son angle
B,non droit, situe 11 la distance
Dd'w1 Iii indelini de son plan partouru par un courant
J.Exprimer le flux capte par le cadre, les cotes de !'angle droit ayant pour longueur a, celui oppose a
B i:tanlparallele au courant., du cote le pJus eloigne du fil L'ensemble est place clans le vide.
2°
Lecadre est maintenant parcouru par un courant constant d'intensite /'.
Determiner (es forces s'exer.-;ant sur chacun des cotes du cadre, leur resultante et leur point d'application; le cadre est suppose indefom1able; qu'en est-ii de la resultapte ?
SOLUTION
1° Le
nu,(
est donne par-la relationlef.
l:X-4),t,
= ff
B.dS;!'induction
Ben tout point
du cadresitue a
unedistance
xdu
[iirectiligne est
(ef.X-2, X-6]:
X
Po I B
=
211x·---
Fig. 48.
C
Electromagnetisme 245
~oisissons comme surface
i:lemenlaire une
bande MN,parallele
ll AC et delargeur
d-!:, sa distance au courantet.ant
x (fig. 48); nous aurons : ·dS
=
MN.dx=
B,H.dx ""(x D) dx.Le flux est done :
<P
= ff
B dS= [+n
µo l(x - D} qx l 1tx 'IJ
ou mieux:
cela donne, un integrant :
soil, apres simplification :
2° Supros?ns que I~ courant I' ait le sens indique sur la figure 48. La loi de Laplace [cf IX-IJ s ecnt, pour n_ 1mporte lequel des trois cotes du cadre -
dF /' ctt"
A -+8 e•d J · '"' ""' • , .., comme
ans
es trots cas les vecteurs
diet B sont rectangulaires :ctJ:' ['
D di;en
r!"ropla,;;ant B par sa valeur :- Cole
AC-+
11' .,
dF
=
µ0 - • di.2
nxLe
module de la force dJ! sera ici
(x.=
a+
D)ii vient done :
JI' ·
fc Jc
dF
=
µ0211(~+
D) di; or df =-a;
A .<
F,.c
=
Po • _.,'l__. 11' 2na+
DL'applicatfo~ de l_a regle (tdedre
1, B,F
de sens direct) impose une force dans le plan du cadre, perpend1cula1rea
AC et, sappliquant au milieu de AC vers l'exterieur du cadre (si le courant va de C vers A).-C61l!AB
Cette fois-c~ di
=
dx et l'in1egrale s·ectit : II'[+D
dxF = !'o-2 _ ,
11' X '
I)
246 Exercices et
problemeson trouve :
II' a
+
D F,.8=
µ02n
l n -0-Celle fois-c~ encore cette force est perpendiculaire au ciile AB et dirigee vers l'e;xterieur du cadre; e!le 11es'applique pas eu milieu de AB, car les forces elementaires etanl plus grandes vers B que vers A, la resultante s'applique plus pres de B que de A.
- Cote
BCLe long de AC, nous avons dl
=
dxj2; toutes les autres donnees sont les memes;on aura done :
Fae
=fi
F,i.,, soitLa meme remarque s'applique pour le sens et la direction de cette force qui est
perpen-
diculairea
BC, dirigee vers l'exterieur.- ....
REMA.RQUES I" Le point d'application de f Re et celui de f ,8 son! sur une parallele
a
BC; le point d'application de la resultante n'est pas le centre du cercle circonscrit au trian-
gle. ____.
Enfin, nous pouvons constater que la composanle de F 8c est, en module, egale
a
F "";la resultante est done,
en
module:I n I =
I FAc -
F•cf
1 ·c'esl-a-dire: R-- Po 2rt II'
I-a--
a+D 21 n a+
DDI
.Ellene pent pas
ctn:
nulle et, conformementa
la regle du flux maximal le cadre tenda
serapprocher ou a s'eloigner du Iii selon le sens des courants I et I'.
2° Si le courant /' est de sens contraire
a
celui de lafigure
48, Jes lrois forces precedentes soot dirigees vers l'interieur du cadre.30. Flux magnetique traversant un rectangle. Energie. Forces Soil un Iii conducteur rigide dispose suivant le perimetre d'un rectangle ABCD et parcouru par un courant /'.
Le rectangle est tel que
AB= CD= b, AD= BC=
C.Les coles AD el BC sont paralleles a un fil conducteur ZZ' situe dans le vide.
Le
cote
ADest a une distance de a unites du fil conducteur ZZ'; ce fil est parcouru par le courant / qui a le sens indique sur le schema ci-contre [fig. 49}.
!0 (:,1 lr11ler ,,.
n,,x
rf'inrlnrtinn d) ~ fr,ivf'r~ ,,. rirrnit ,,nrn
Electromagnetisme 247
z
~
iA --~/ /' B
"--!.___- - _·"-_,., -. __
-/J ___ - _ -- _ ]1,
- Ct
D
Fig. 49 ..
2° Calculer le coefficient d'induction mutu~lle M entre le circuit ABCD et le circuit contenant le
filZZ'.
3° Exprimer l'energie du circuit
ABCD.
40 En deduire Jes for~~s 0qui s'exercent sur !es cotes AD el BC du circuit;
quel est leur elfel sachant que le cadre est immobile
?5<> En utilisanl la Joi de Laplace, retrouvcr l'expressiori de la force qui s'exerce sur les" quatre cotes du circuit ABCD.
REMARQUE. - Le sens de J' n'etant pas pre.cise. on envisagera !es deux cas possibles.·
SOLUTJON
z
dx J'.
A~---1--4---,B
face Sud
.Z'
Fig. 50.
10 Considerons un petit rectangle de largeur dx, parnllele au cote AD. [fig. 50], situe
a
la distance x du Iii Z'Z; sa surface est dS=
c ,c dx; lenux.
qui le tiaver~.e est [cf IX-4];d\/> "'
B
dS= Be
dx.Or le thamp d'induction Ben tout point du rectangle situe a une distance
xdu
Iii conduc-µ0 / . )
n
T 'e
'd l ,. "t'teur est [cf X-2, X-6] : B
=
'fn;. Par smte e ux e ementatre pr .ce en s ecn .248 Exercices et problemes
µo le
[+6
d!li
= 2nx
dx, d'ou If,=
0
on trouve done :
qi
=
Po le In at
b21t
a
Jc d.t nx
La figure 50 montre le circuit ABCD parcouru par le courani. dans le sens .ABCD, c'est-4\-dire que la face vue du circuit est la face sud (cf. IX-4). Comme, d'aprcs la figure, le champ d'induction
B
entre par la face nord, le Rux est alors positif. Si fon inversait le sens du couraut l, 011 celui de J'. ce !lux serait negnlif.2° Le coellicient d'induction rnutuelle esl delini par [cf. X-8] :
<P_.=
MI, d'ouCe coefficient est positif si le flux ti> est posili[ [cf question precedente], el uegalif dans le cas contraire.
3° L'energie du circuit ABCD est donne par [cf. X-8] :
W
= -
M.ll'·= -~
ll'.ln a• · 2 n: a
b
Le signe - n·esl valable que dens le cas
ou
les courants / et J' ont le sens indique sur la figure 50.4• Avec !es sens de courant choisis, remarquons tout d'abord que, d'apres la regle des trois doigts, !es forces qui s'e.xereent sur !es cotes AD et BC sont toutes deux dons le plan du cadre. Elles n'ont done auc,m elfet de rotation snr celui-ci D'autre part, elles soot necessairemenl de sens contraires puisque le courant n'a pas le meme sens dam AD et BC.
Les deux
coles
du cadre ont done tendancea
se.repousser [fig. 51] et cesforces
ont uneffet de defonnation sur le cadre.
Cct
elfet est d'ailleurs confonnea
huegle du l)llll maxi•ma! : celui-ci ne pcut augmenter dans le cas presint que si la surface du cadre augmente.
puisque B est constant
z
r
Z' Fig. 51.
Electromagnetisme 249 D'autre part, ces forces sont inegales; le
cote
BC, etanl plus eloigne du filconducteur,, est soumisa
une force d'intensile plus faible que celle qui s'exerce sur lecote
AD. Si le cadre n'etait pas immobile, ii aurait lendancea
se rapprocher du fil ZZ'(a .s'rJ:I
eloigner si !'on inversait le sens du courant J ou celui du courant I'). En consequenc~,.c}foisisso'ns comme variable x =a.Par suite, on en deduit [cf Vll-11 :soit:
F - - oW - oa.
µol: 211II' a ca (1na+/J),
(J- =
f'o~
JI'(-1-
F 2n:· a+b
!) = _
/lo C 11 , _ _ b_. -.a 2 n a(a + b)
Le signe - pdlcise que la resultante des forces agissant sur le cadre est dir1gec vers le Iii conducteur ZZ'. Cette resultante admet pour intensite :
F _ J!!.
II'_b_c_
- 2 rt a(a
+
b)50 Si 1'011 applique la formule de Laplace (cf.
1x·.11 dF =
l' df AB;
dans le cas present, pour !escotes
AB el CD la force est nulle, ct pour Jescotes
AD et BC,df"
B =
dl.B sin (n/2)=
dl.B.En
integranl,on a f =
J'Bl avec I = AD "' BC = c, ii vient
, 110 1
F ,1o
=
l x c X 2 rra, f'o l
F BC
= -
l x c x 2 n(a+
b)Comme ces deux forces son! de sens contraires, la rtsultante
F = F,
40+ F\;,
admefc.omme intensite:soit naturellement
F Po II'-£'!.,__
2 n a(a
+
b)31.
Etude progressive : champ d' un fil infini, d' une portion de, fil rectiligne, d' un poly gone. d' une spire ·I" En utilisant le theorenie d'Ampere, determiner le champ d'mduction magnetique B
cree par unIii
rectiligne delongueur
infinie,parcoun1
~ar UJJcourant d'intensite /, en un point M sit11e a la distance d du fil.
20 Meme question mais en utilisant cetle fois, la loi de lliot et Savart ·
:SO Exercices et problemes
3° En deduire le
champ
d'induction magnetiqueIf cree
par une portion dece Iii en
un point M de son plan mediateur,a
la distanced; ce fil etant vu de Msous l'angle 2 a11• •
4°
Un fil conducteur en fonne de cam~ decote a
est parcouru par un courant d'intensile /. Calculer, e11 utilisant le resultat precedent, le champ d'induction magnetique au centre du carre.5° Generaliser le
resultat
precedent pour calculer le champ d'induction magne- tique au centre d'un polygone regulier de IIcotes
(ce polygone etant constitue d'un fil conducteur parcouru par un courantd'inlensite /).
Le centre de ce poly~gone
est
situea la
distanced de chacun desn cotes.·
6° En• deduire !'expression du champ d'induction magnetique cree par une spire circulaire de rayon
d
parcoutuepat un
courant d'intensiteL
On detenninera ce champ au centre de la spife.SOLUTJON
1--
di--
p(l
r
di
-,~==
I p- -- ---
I I/ 9
t 0 /M
' ,:
I
'-...
,,,
---
l Id5
I
_j_
t,
Fig. 52
d
f,
Fig, 53.1•, 2" On renvoie le lecteur aux paragraphes X,6 et X,,2 du cours pour les demons•
trutionS- C'esl du cours pur.
Notons toutefois que la detennination du champ d'illduction par la loi de Biot et Savart impose que l'angle O !fig, 5 3) varie dans le cas d'uo Iii rectiligne indelini de ~· l[/2
a +
n/2 : c'esl-a-dire queB
= J
dB3° Pour la portion de fil en question, !'integration se fait cetle fois entre oc0 et
+
a0 . On obtient done/10 I . B
=
2 n:d sm <IoElectromagnetisme 251
40 La relation pr~ente esl valable pour un des cotes du carre avec sin «o
= ✓2/2
et d
=
a/2; on obtient al ors la valeur de B 1 [fig, 54] :Fig, 54
Les quatte vecteurs B, en O. centre du cane, sont portes par le
merne
axe perpendi- culaire au plan du carre et ont tous meme sens. On a done · B=
4 B1 et :50 L'angle o:0 esl ici o:0 :::
rr./n
[lig. 55], En prenant la relation µo I •B
=
2 itd sm O:o ,pour un
cote,
elle devientet pour le polygone :
Fig. 55,
/lo l . n Bi "'2 ,cdsm n
B 11B,, soit : 11;1 0
I .
11B =--sm-211.d n
252 Exercices et problemes
6<> Lorsque n est tres grand. n/n est petit et sin (K/nJ ~ 1C{11; le produit 11 sin (n/11} tend done
vers
re. Par consequent, A la limite ;B
=
n110 1.::2 rtd
n'
et comme d lend
vers
le rayon de la spire,on
en dedui1 le champd'induction au
centre d'une spire de rayou d parcouruepar
le courant J :32. Champ magnetique d' une spire, puis d' un ensemble de deux
spires identiques non para/Jt'Jles ·
1° Soil unespirecirculairedecentre Oet de rayon R, parcourueparuncourantl Detenniner la direction, le sens el
l'intensitedu champ d'induction magnetique B
produit en
unpoint S de !'axe de la spire tel que OS =
d.2° On considere deux spires circulaires, de rayon
Rd'axes
OXet
O'X'dis- posees comme
l'indiquela
figure56
elou
ii esll'angle du plan de chaque spire avec le plan vertical passant par le milieu H de 00'. D'autre part, on pose
AK= KA'=e.
_, Determiner le sens, la
directionet
l'intensitedu champ d'induction magnetique B
produiten S
quand lesdeux
spires sontparcourues par
descourants :
n) de meme sens et
dememe intensite,
b) de sens contraires et de meme intensite. L'intensite du champ sera
exprimee
en fonction de
R, e, a. '
jz
J•----·--.! ____ ..,..\ ;· '
---!---A I
I
X'
I
X--:-::-.s --
·~_:,~-,<-.._
- ---
-l]i __
L ____ ..__
1n .
I I I I
--- -~-·-- --
!z·
Flg. 56.
Electromagnetisme 253
APPLICATION NUMERIQUE : e
=
15 cm;R =
20 cm;1
l A. ~'!mgl~ aest tel que les points Bet B' sont
confondussur !'axe.
SOLUTJON
I• Considerons {rig. 57] l'elemen1 de spire,
de
longueu(di en
P;eel elem,eni cree
en Sun vecteur elementaire d'induction dBt = t ·
Id{;,iJ
lcfX-1 I,
relatfondan~ laqueHe it
est le vecteur unitaire porte par PS.
Fig. 57.
Le
vecteur dB1 est perpendiculairea dl et a PS
qui fait avec l'a:xeOZ
de la spire !'angle ex_Le produit d(
Ai1 a
pourmodule di; nous avons done :
dB l•o I di R d' .
1
= -
4 ·-, ,avecr = .,..-;
ou:It r Stn ll
µ0 I di . i , ..
dB1
=
411R2 ·sm rt.·Tous !es vecteun 1f1 onl
comme
resultante. par raison de symetrie de revolution, un vecteurB
porte par !'axe OZ.La projection de
dB
1 sur l'axe est :dB= d81 sin ir;
ou encore:
Si
Oest
l'angleau centre qui
intercepte !'arcelements.ire di,
nousavons. di = _
RdO et ainsi :254 Exercices et problemes
en integrant de O it 2 Jt, ii vient :
. . R . R •
1 Ii
ma1s : sm a. "" - - ~ " ' , 1 reste en m : r
v
112+
d'Remarquons que le champ en O a pour viJ!eur (d "' 0)
~ - ~
Le sens de B est donne par la regle de Maxwell dite du lire-bouchon ou paf la regle des trois doigts (cf. : Mecanique Il
2° Considerons la figure 58 montrant l'une des deu:i:: spires. D'apres la question prece•
dente, i'intensite B
1de !'induction de cetle spire en S est :
1 sin3 0.z
A - - ~ - - -
_...,4
·:~ --: ---
1 ,xi
H
z•
Fig. 58.
Si Jes courants son! de sens contraires, clans les spires, !es deux inductions BI et Bi
ont
leur resul!ante sur l'axez·z;
si ellesson!
de meme sens, laresullante
est perpendi- culairea
cet a;,:e. 'On devrn done considerer suivant les cas : B ""2 B, sin a ou B 2 B, cos CL Determinons B1• Comme sin 8
=
R/AS, ii sumt de calculer la distanci: AS ··OH
=
AK - AJ ""' F. Rsin
rtd'ou
OS=
OH=
e Rsin
a' cosa cosa
par suite : AS1 OA
~
+·'OS1=
R' + (e - R sin a)2 . cos1 ocElectrnmagnetisme 255
soil
Jn
1 + ei - 2eRsinocAS= cos a
Aimi: R R cos f1.
sin(/ ""' AS
= ✓
Ri·+·e
1 - 2 t1R sin~µ0 Jl!.2 cos3 a et·
SI les co11m11ts sont de sens contraires, on a done : l'o /R2 cos3 «sin«
B
=
(R1 + e1 2 e:R sin 1X)311S'ils
s.,nt
dememe
sens110 I R2 cos• oc B
=
(R2+
e2 - 2 eR sin aJ311APPLlCAT!ON NUMERIQUS: Dans le ca.~
present sin
a= di R
OU encoresin
a= e/2
R ; cos ct=
JI -sin
1 asoi! : cos 11 =J4 R2 _ e:2/2 R; !es relations qui viennent d'etre etab!ies se simplifient puisque 2 eR sin a
=
e1. :B B'
I
lz·
Fig. 59.
256 Exerdces et problemes
Courants de sens contralres :
soit : On trouve
8
=
µ0 1(4 R' - e1)3
12 .e 16 R5fJ
=
4 Jl, J0-7(0,16 - 0,022 5)112 X 0,15 16 X 32. 10-iCourants de meme sens
soit : On lrouve:
/to 1(4 R2 - e2)1
B =
16R
3 B=
4 Jt. 10-1(0,16 - 0,022 5)116 X 32.JQ-J
B
=
4,64.w-
6 TI·
33. Champ d'un solenoi'de : a l'interieur et a l'exterieur Determiner l'intensite du champ d'induction magnetique produit par un solenoide de section circulaire, de longueur
Iet comportant
Nspires traversees par un courant
i,en un point de son axe :
a)
a
l'exterieur
dusolenoide;
b) ii.
l'interieur
dusolenoide;
c) dans le cas ou / est infini.
On
designerapar n le nombre de spires par unite de longueur
etpar p
1et p,.
!es angles sous lesquels sont vus les rayons des spires extremes du point considere.
SOLUTION
Si B1 est !'induction creee en M par une spire [fig. 60], l'induc,tion creee par !'element d:r de longueur du solenoide et qui comporle n dz spires est : dB 11 dzB1•
Fig. 6Q
Electromagnetisme 257
N ous avons vu e::1erc1ce [ . 32} que B,
=
Po2R
i ' ' sm fJ . N ous avons one : d dB µ0 ni . ,2 R sm {J dz,
el comme
z =
R cot/1,
ii vient dz= - . ~ a
dP, Par suite, le champ elemei'itaire d'in- sm I'duction dB s' ecrit :
dB Po ni . n dfJ
- -2-SJnp
d'oil le champ produit par le soleno'ide
B
= f
dB= -
(µ0 ni/2)f
sinp
dfJ .a) Si M est exterieur au solenoide [fig. 611 en designant par
P,
el/J
2 les valeurs lirnites deP,
nous aurnns :B
=
(p0 n.f2) [cos (Jl
soit:
Fig. 61.
Nous pouvons remarquer ici que la valeur rr/2 est exterieure
a l'intervalle (/J,. /J,)
et quefintegration se
fail
« sans souci "· ..Le vecteur induction est porte par !'axe et oriente conformement
a
la regle de Maxwell dite du tire-bouchon. ~b) Dans le e1U OU M est inthieur au solenoide, ii sumt de considerer que nous llVons deux solfooides joints, l'un S2
a
gauche de la spire donl le plan contient M, l'autte S1a
droite (fig. 62].-1==5El--
Fig. 62
258 Exercices et
problemes
Pour le premier, [cos
/l r: =
cosP1;
pour l'autre [ CO$ /J1:l "-'
cosp
I; ces dewtvaleurs s'ajoutent pufoque, de toutes fa~ons !es inductions des demr solenoides ont mi!me direction et mi!me sens; nous avons done dans ce cas :
I
JJ=
(µ0 ni/2)(cos /12+
cosP
1)I·
t) Si le solenoide est inlin~ M est interieur et
/J, "" /1
1=
0 et cos/!
1 + cosfJ, =
2;done:
34.
Champ d' un element de courant: d' uncourant
enspirale.
Resistance des spirales
]" Rappeler la loi de Biot et Savart; en
donner uneexpression qui fait inter- venir !'angle dq, sous lequel est vu
!'elementde
courant dupoint
Oou l'on calcule le champ magnetique a la
distanceOP =
r[fig. 63].
ry- df
1 I I I I I I I I I
I II
I
II
I II
I I
0
I I I I
_ _ _ _ _ _ _ _ ! _ _ --~.r1_l_
R
Fig. 63.
2°
Un conducteur parcouru par un courant d'i1Hensite I est emoule en
spirale planeaulour
del'otigine
O. Un pointdu
conducteur estdefini parses
coordonnees polaires (r, qi); l'enroulement esl limite par !es pointsP
0 ( R0 • 0) etP
1(R
1, <p 1) [fig. 64].Determiner l'intensite B du champ d'induction magnetique cree au point 0 pour !es trois spirales suivantes ;
11) r
= R
0+
a1p; a, constantepositive.
h) r
=
R0 eh"'; b, constante positive.c) 1/r
=
(I/R0) - cqi: c, constantepositive.
Electromagnetisme 159
Fig. 64.
3° Le conducteur a pour section un rectangle de
cotes a
el/J;
oc, normal auplan
dela spirale est
constant;/Jest
determinepar la
conditionque les spires soient jointives.
Donner l'expression
generalede la
resistance:R du conducteur, de
resistivite p.On prendra
rcomme
variabled'integratio11 et on fern-
les approximationssui- vantes :
P = 2
ndq, dr et d/ =
rdrp .
APPLICATION :
calculer !es
resistances '.Itdes spirales a) b) c) delinies dans la question
prtX:edente.4° Calculer pour les trois spirales les
puissanccs P", P,,, P,necessaires pour entretenir tin champ doone Bet comparer ces puissances pour R
14 Ro-
50
Calculer numeriquement P., Pr,, P,
pourR
0= I cm, R
1= 4
cm,rx I mm;
p
= l,6µil.cm;B = 10-
2T.
SOLUTJON
1° La Ioi de Biot et Savart
s'ecrlt
(cf. X-1] :dB
*[cl cos qi d{r et tan ,p -= 1/d d'ou di
=
d·..J!:L..
cos1 q, comme
I
df A ilI =
d/ cos rr, nous aurons :dB
=
µ0 J · dcp 4 rr re'est rexpression du module du champ elementaire.
l I
1!
(I
260 Exercices et problemes
2° a) Si l'oll considere !'element de spirale interceple par !'angle dq, jlig. 651 de la rela- tion donnee r
=
R0 + aq,, OJI tireFig, 65.
La loi de Biol et Savart s'ecrit alors :
dB
=
41t0 /lo I!!!:
r et B= I."'
41ta r 14> l~
"·
On lrouve aisemenl :
b) En lirant lfJ de la relation r
=
R0 e""', nous avonsI r dr
rp "' -b ln -R0 et d,p
=
-b • r En portanl dans rexpression de dB: on obtient :}lo 1 dr
f."'
/lo I drdB
= Tit
brl ou encore B=
Ro 4 1tbr2 .•II
vient aisement :c) Celle fois-ci la relation
l "'
R.l - c,p donne par differe11dation : - dr/r2= -
r: dq,f D
ou encore dq, "" ;;:,- . Nous obtenons alors : dr
et
dB=p..,l,dr 4 ltC r3
on trouve alors ;
B
= !:0_ (-~ he Rt J...) R;
3° En dill'ereoliant la relation 11.
=
p(l/s), on obtient d:Ji.Electr~magnetisme 261
p di. La longueur de l'ele- s
ment du courant est di
=
r d,p; lu section est : s= r1p.
Or a est constant et nous pouvons done ccrire : s= ,xp
2 no:;~, puisr(dq,}2
Ml ""
P2
Rtt dr.q, est une fonction de
r;
done dq, q,'(r) dr et, en definitive :d:Ji.
= ,I!,-
r[<p'(r)]1 dr- ,to;
r R0 , I
a) Ave:c q,
= --a-,
on a <p(r} "";; elEn integrant entre R0 el R,
d :R.
=
~':!!_ .2
1ta1 a:ll.
= -
4
P,(Rf -
R~) na ,xb) Avec, cetle fois-ci. r
=
R., e•~, on a q,=
(l/h) In (r/ R0 ) et q/tr)=
1/br; d'ou : d:R=
prdr=
~!...b1 r1 .2 Jto: 2 mxb1 r On trouve alors, en integrant entre R0 et R, :
p
R,
jl• = - - l n - 2 1t«b2 R0
c) La relation (1/r)
=
(1/RJ ·-crp doom,:- dr/r2
= -
c dq,;d'ou q,'(r)
=
l/cr1; en portant dans !'expression de d.'.R. :On a done·
262 Exerckes et problemes
soil
4<> Les puissances soot
f=
Jl/2(cf VIII-51 Nous avoos !es trois valeurs de
:It;tirnns le& trois valeurs de /, a partir des eitpressions de
B,sans oublier que
R1 ,..4
R.0 :
) D /lo I. R,
a e B
=
4 na In7f•
on tire :0
l _ 41tt1B
• µ0 In 4'
d'oit:
soit:
b) D e B - - -µo 41tb I~ ( -RJ - - . on hre : l ) .
0 R1
d'ou:
soil:
c) De B
=
110 /,(l.
8rcc
R~d'ou:
I _ 4 lf.bB X 4 R0
• - 3µo '
I} .
tiJ
on tire :[, =
8 ttcB X 16 llo p _ 15 p • 64 1t2c1 x 256
R6
7 ,' - 4 nc' r,. x 16 R~ 225 µ~ B ' soit :
soil: p _ 256 rrpRt 2
' - 15 , B ct.J1o
APPLICATI0/'4 NUMERIQU6: Rernarquons que B/µ0
=
10-1/4 n. 10-1 ""'10~/4 it u.S.L60
It XI 6. 10-s. io-• (I0')
2a) P. = 10..' 3(ln 4)2 . •
4n .
Ontrouve :
P.
=
9,94 WI·
EJectromagnetisme 263
I
Pb=
6,28 WI·
P,
=
5,43 WI·
35.
Canducteur cylindrique de mercure. Champ magnetique, forces. Extensiona des
faisceaux d'electrons
1°
a) Rappeler en quelques lignes comment on detennine le champ magne-tique cree par un conducteur rectiligne indefini, parcouru par un courant d'inten-
~
i .
On indiquera avec precision la direction, le sens et
lemodule du vecteur champ en un point determine.
b) Si !'on
consideredeux conducteurs rectilignes paralleles, parcourus .par des couranls de meme sens, quelle est la force qu'exerce sur un de ces conducteurs le champ cree par l'autre 1 (Les conducteurs sont dans un milieu de permea- bilite µ
0 .)2° Un tube en verre n la
formed'un cylindre de revolution vertical; ii est rempli de mercure; on y fail passer verticalement un courant d'inlensite /,: dont on admet gu'il se repartit uniformement sur la section du tube.
a) Detenniner avec precision (direction, sens, module) le vecteur champ
magnetique
ere{,en tout point (interieur
OUexterieur au mercure).
On admettra que la permfabilite magnetique du mercure et celle du verre.sont pratiquement egalesa µ
0 ;le rayon du tube est
a;la distance d'un point quelconque
a faxe du tube est r; le tube est indefini.
b)
Representer graphiquemenl les variations de B en fonction de
r.3°
a)On considere une portion de mercure ayant la forme d'un cylindre de section fofinitesimale dS, de generatrices paralleles a celles du tube et situe i la distance r de l'axe; sa hauteur est dz. Determiner le sens, la direction, le module de la force que subit ce volume de mercure, par suite de !'action du champ magnetique:
b)
Calculer le module de la force qui s'exerce sur une portion de volume de l mm
3,situee a une distance r = 2 cm de !'axe. On donne a = 5 cm; / 3 A.
Comparer cette force au poids du mercure de masse volumique
p= 13 600 kg.m-
3;on donne
g= 9,15 m.s~
2•Que! est l'mdre de grandeur de l'intensite du couranl
264 Exerdces et problemes
qu'il faudrait faire passer
pour
que la force soitcomparable
au poids?
Que sepasserait-il si l'on
faisaitpasser un tel courant ?
4° On etudie maintenanl ce qui se passe dans une section horizontale donnee du t~e. On admettra que la pression
p obeit a!'equation gra<lp = ctfidV,
ou dF est la force que subit !'element de volume dV. Comme on reste dans un meme plan horizontaL on n'a pas a s'occuper du poids du mercure. Calculer la pression
<iuea
laforce magnetique.
5° Un canon
a
electrons C1 emet un faisceau d'electrons F 1, dont lesdimensions transversales sont negligeables; on appelle n le nombre d'electrons du faisceau par unite de longueur,
vleur
vitesse.Un
autre canonC
2emet un faisceau
F 2parallele au premier; la distance des
faisceal!;{ est r.a) Calculer le champ electrique cree en un point de F
2par les electrons de F
1•(F
Iest considere
commeindefini.)
Quelleest la force
qu'exercece
champ surun electron de
f1?
b) Calciuler le champ
d'induction magnelique cree
enun point
de F 2 par leselectrons de F
1•Quelle
estla force qu'exerce ce champ
surun electron de
F2?
c) Calculer le rapport de la force electromagnetique a la force electrique;
evaluer ce rapport
pour v= l04. km.s~
1•6° Expliquer sans aucun calcul, en quelques mots le
rapportentre Jes pheno- mi:nes faudies dans les questions l
Ob); 3°; 5°.
SOLUTION
1° a) Le tbeoreme d'Ampere [cf X-6] precise que la circulation du vecleur
7/
est pro- portionnellea
rintensite totale :e ""f o df =
µoEL
Dans le cas d'un Iii rectiligne indefini, ii la distance
r,
cela s'ecrit : B x 2 r<r=
µ0 Iet ~ -
Le vecteur
71
est perpendiculaire, au point considere, auIii
parcouru par le courant eta
la perpendiculaire abaisse de ce point sur le fiJ; son sens est doom\
par la regle
de l'observa- leur d' Ampere (fig. 66].b) Si !'on considere [fig, 67) Je Iii z 1z'1 parcouru 1iar le courant li, ii est, d'apres ce qui precede, place dans un champ d'induction B
=
µ2°
rcr 1 cree par l'autre Ii~ parcoutu, lui par le countnt J. De ce fail. ii est soumisa
une force :F -
I I f J\ 1f dont le module est icl F=
11 Bi (pour une longueur f), soil : F=
µ0211Rr1!_;
le meme calcul conduita
la memeElectrort19int1tisme
t 2':1
It i /
1--- ---
If
]1'
0
o, /
O .._ ______ .,. M
r "
/ ¥; F'
Bi
z i,
Fig. 66. Fig. 67.
force s'appliquan1
a
l'autre Iii; les vecteursF
s'appliquanta z
1z'1
elFi
s'appliquant il.zz'
sont, d'apres ce qui precede portes par le meme axe el opposi:es Ir[ X-4).Rl!MARQUE. - La resultante de ces forces est nulle el !'ensemble des
deux
fils constitue un systeme d'inertie, ce qui est parfaitement conforme au prindpe de !'action el de la reac- tion qui s'appliquea
tout systeme isole [ef. MecnniqueJ.zo a} Pour r ~ a, le theoreme d' Ampere !cf X-6] donne.
le vecleur
B,
perpendiculairea
l'a;,;e du cylindre, est aussi perpendieulaire A OM; son sens est tel qu'il est orientevers
!a gauche de !'observ"!teur d' Ampere [lig. 68).Fig. 68.
265
Pour r < a, la somme des iatensites interieures i\ un cercle « hypothetique ll d~ l'ayon,.
est:
266 K~ercices et problemes
Comme I et !' designenl respectivement les intensites des courants qui passent
a
l'inte- rieur des cercles de rayon a el r, on en deduit. d'apres la definition de la densile de courant (cf VIJI-3], que :I/
rr.a
2= I' /1tr
1 , d' oil I'=
(r1/a1)
l.Dans ces conditions, le theoreme d'Ampere implique:
B.2 nr
=
µ0 l'=
f1 0(r2/a1} I, d'oub) D'apres les deux el(pressions trouvees precedemment. on en deduit que l'intensite du champ d'induction est une fonction continue de la variable
r.
Pourr
,s:;a,
le graphe est une droite, pour r ;;,, a, le graphe est 110 arc d'hyperbole equilatere (fig. 69!IJ
Fig. 69.
3° a) Considi:rons !'element de cylindre en question [lig. 70l Calculons le courant i qui traverse la section oonsideree. D'apres la definition de la densite de courant
{ef
VIJI-31 on aI
i 1=::-:r=-,ltO dS d'ou i=-4ds.
ltO
L'elemenl
considere constitue un courant rectiligne d'intensite i, de l'ongueur dz, place dans un champ d'induclion d'intensite B - 11 0 - 1'! r (ici r < a) perpendiculaire
a l'ele-
2 no .
ment de ctrnranl La force
dF"'
id; 11B
subie par cet element est radiate et dirigee vers l'axe d11 tube, son mooule est :. 1 110 f1
dF
=
rµ0? "'"; r dz ""l.n' 04 r dz dS;Electromagnetisme 267
Fig.
70.or dz dS represente le volume dV du cylindre consider/!. Ainsi, il vient :
dF
~ r d V2
Jt1 04I,) APPLICATION NUMERIQUB:
dV""
I
mm3=
I0-9m1; r=
2cm ""'2.10··2 m;1=3A; a=5cm,,.5.l0-'m.
Apres calcuL on trouve :
dF=l,83.I0-12N
I·
Le poids de mercure sournis
a
celle force est :P ':: pVg
=
13 600. 10-9 x 9,81soit;
P=
1,33. 10-4 Nel l'on a:
F/P ""
l,37. 10-8I·
Nous avons vu que Fest proportionnel
a 1
2; si nous voulons queF/P =
I, ll faut choisir une intensite egalea
la precedente divisee par )1,37. 10-•.Nous auwns done J'
=
3/)l,377if'1'.On trouve
I'= 2,56.104 A