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Texte intégral

(1)

Electromagnetisme

29.

Flux magnetique capte par un c,adre. Forces exercees sur un cadre

1° Un cadre ayant la forme d'un triangle rectangle isocele est place avec son angle

B,

non droit, situe 11 la distance

D

d'w1 Iii indelini de son plan partouru par un courant

J.

Exprimer le flux capte par le cadre, les cotes de !'angle droit ayant pour longueur a, celui oppose a

B i:tanl

parallele au courant., du cote le pJus eloigne du fil L'ensemble est place clans le vide.

Le

cadre est maintenant parcouru par un courant constant d'intensite /'.

Determiner (es forces s'exer.-;ant sur chacun des cotes du cadre, leur resultante et leur point d'application; le cadre est suppose indefom1able; qu'en est-ii de la resultapte ?

SOLUTION

1° Le

nu,(

est donne par-la relation

lef.

l:X-4)

,t,

= ff

B.dS;

!'induction

Ben tout point

du cadre

situe a

une

distance

x

du

[ii

rectiligne est

(ef.

X-2, X-6]:

X

Po I B

=

211x·

---

Fig. 48.

C

Electromagnetisme 245

~oisissons comme surface

i:lemenlaire une

bande MN,

parallele

ll AC et de

largeur

d-!:, sa distance au courant

et.ant

x (fig. 48); nous aurons : ·

dS

=

MN.dx

=

B,H.dx ""(x D) dx.

Le flux est done :

<P

= ff

B dS

= [+n

µo l(x - D} qx l 1tx '

IJ

ou mieux:

cela donne, un integrant :

soil, apres simplification :

Supros?ns que I~ courant I' ait le sens indique sur la figure 48. La loi de Laplace [cf IX-IJ s ecnt, pour n_ 1mporte lequel des trois cotes du cadre -

dF /' ctt"

A -+8 e•

d J · '"' ""' • , .., comme

ans

es trots cas les vecteurs

diet B sont rectangulaires :

ctJ:' ['

D di;

en

r!"ropla,;;ant B par sa valeur :

- Cole

AC

-+

11' .,

dF

=

µ0 - di.

2

nx

Le

module de la force dJ! sera ici

(x.

=

a

+

D)

ii vient done :

JI' ·

fc Jc

dF

=

µ0211(~

+

D) di; or df =-

a;

A .<

F,.c

=

Po • _.,'l__. 11' 2n

a+

D

L'applicatfo~ de l_a regle (tdedre

1, B,F

de sens direct) impose une force dans le plan du cadre, perpend1cula1re

a

AC et, sappliquant au milieu de AC vers l'exterieur du cadre (si le courant va de C vers A).

-C61l!AB

Cette fois-c~ di

=

dx et l'in1egrale s·ectit : II'

[+D

dx

F = !'o-2 _ ,

11' X '

I)

(2)

246 Exercices et

problemes

on trouve :

II' a

+

D F,.8

=

µ0

2n

l n -0-

Celle fois-c~ encore cette force est perpendiculaire au ciile AB et dirigee vers l'e;xterieur du cadre; e!le 11es'applique pas eu milieu de AB, car les forces elementaires etanl plus grandes vers B que vers A, la resultante s'applique plus pres de B que de A.

- Cote

BC

Le long de AC, nous avons dl

=

dxj2; toutes les autres donnees sont les memes;

on aura done :

Fae

=fi

F,i.,, soit

La meme remarque s'applique pour le sens et la direction de cette force qui est

perpen-

diculaire

a

BC, dirigee vers l'exterieur.

- ....

REMA.RQUES I" Le point d'application de f Re et celui de f ,8 son! sur une parallele

a

BC; le point d'application de la resultante n'est pas le centre du cercle circonscrit au trian-

gle. ____.

Enfin, nous pouvons constater que la composanle de F 8c est, en module, egale

a

F "";

la resultante est done,

en

module:

I n I =

I F

Ac -

F

•cf

1 ·

c'esl-a-dire: R-- Po 2rt II'

I-a--

a+D 21 n a

+

D

DI

.

Ellene pent pas

ctn:

nulle et, conformement

a

la regle du flux maximal le cadre tend

a

se

rapprocher ou a s'eloigner du Iii selon le sens des courants I et I'.

2° Si le courant /' est de sens contraire

a

celui de la

figure

48, Jes lrois forces precedentes soot dirigees vers l'interieur du cadre.

30. Flux magnetique traversant un rectangle. Energie. Forces Soil un Iii conducteur rigide dispose suivant le perimetre d'un rectangle ABCD et parcouru par un courant /'.

Le rectangle est tel que

AB= CD= b, AD= BC=

C.

Les coles AD el BC sont paralleles a un fil conducteur ZZ' situe dans le vide.

Le

cote

AD

est a une distance de a unites du fil conducteur ZZ'; ce fil est parcouru par le courant / qui a le sens indique sur le schema ci-contre [fig. 49}.

!0 (:,1 lr11ler ,,.

n,,x

rf'inrlnrtinn d) ~ fr,ivf'r~ ,,. rirrnit ,,

nrn

Electromagnetisme 247

z

~

i

A --~/ /' B

"--!.___- - _·"-_,., -. __

-/J ___ - _ -- _ ]

1,

- Ct

D

Fig. 49 ..

Calculer le coefficient d'induction mutu~lle M entre le circuit ABCD et le circuit contenant le

fil

ZZ'.

3° Exprimer l'energie du circuit

ABCD.

40 En deduire Jes for~~s 0qui s'exercent sur !es cotes AD el BC du circuit;

quel est leur elfel sachant que le cadre est immobile

?

5<> En utilisanl la Joi de Laplace, retrouvcr l'expressiori de la force qui s'exerce sur les" quatre cotes du circuit ABCD.

REMARQUE. - Le sens de J' n'etant pas pre.cise. on envisagera !es deux cas possibles.·

SOLUTJON

z

dx J'.

A~---1--4---,B

face Sud

.Z'

Fig. 50.

10 Considerons un petit rectangle de largeur dx, parnllele au cote AD. [fig. 50], situe

a

la distance x du Iii Z'Z; sa surface est dS

=

c ,c dx; le

nux.

qui le tiaver~.e est [cf IX-4];

d\/> "'

B

dS

= Be

dx.

Or le thamp d'induction Ben tout point du rectangle situe a une distance

x

du

Iii conduc-

µ0 / . )

n

T '

e

'd l ,. "t'

teur est [cf X-2, X-6] : B

=

'fn;. Par smte e ux e ementatre pr .ce en s ecn .

(3)

248 Exercices et problemes

µo le

[+6

d!li

= 2nx

dx, d'ou If,

=

0

on trouve done :

qi

=

Po le In a

t

b

21t

a

Jc d.t nx

La figure 50 montre le circuit ABCD parcouru par le courani. dans le sens .ABCD, c'est-4\-dire que la face vue du circuit est la face sud (cf. IX-4). Comme, d'aprcs la figure, le champ d'induction

B

entre par la face nord, le Rux est alors positif. Si fon inversait le sens du couraut l, 011 celui de J'. ce !lux serait negnlif.

2° Le coellicient d'induction rnutuelle esl delini par [cf. X-8] :

<P_.=

MI, d'ou

Ce coefficient est positif si le flux ti> est posili[ [cf question precedente], el uegalif dans le cas contraire.

3° L'energie du circuit ABCD est donne par [cf. X-8] :

W

= -

M.ll'·= -

~

ll'.ln a

• · 2 n: a

b

Le signe - n·esl valable que dens le cas

ou

les courants / et J' ont le sens indique sur la figure 50.

4• Avec !es sens de courant choisis, remarquons tout d'abord que, d'apres la regle des trois doigts, !es forces qui s'e.xereent sur !es cotes AD et BC sont toutes deux dons le plan du cadre. Elles n'ont done auc,m elfet de rotation snr celui-ci D'autre part, elles soot necessairemenl de sens contraires puisque le courant n'a pas le meme sens dam AD et BC.

Les deux

coles

du cadre ont done tendance

a

se.repousser [fig. 51] et ces

forces

ont un

effet de defonnation sur le cadre.

Cct

elfet est d'ailleurs confonne

a

huegle du l)llll maxi•

ma! : celui-ci ne pcut augmenter dans le cas presint que si la surface du cadre augmente.

puisque B est constant

z

r

Z' Fig. 51.

Electromagnetisme 249 D'autre part, ces forces sont inegales; le

cote

BC, etanl plus eloigne du filconducteur,, est soumis

a

une force d'intensile plus faible que celle qui s'exerce sur le

cote

AD. Si le cadre n'etait pas immobile, ii aurait lendance

a

se rapprocher du fil ZZ'

(a .s'rJ:I

eloigner si !'on inversait le sens du courant J ou celui du courant I'). En consequenc~,.c}foisisso'ns comme variable x =a.Par suite, on en deduit [cf Vll-11 :

soit:

F - - oW - oa.

µol: 211

II' a ca (1na+/J),

(J

- =

f'o

~

JI'

(-1-

F 2n:· a+b

!) = _

/lo C 11 , _ _ b_. -.

a 2 n a(a + b)

Le signe - pdlcise que la resultante des forces agissant sur le cadre est dir1gec vers le Iii conducteur ZZ'. Cette resultante admet pour intensite :

F _ J!!.

II'

_b_c_

- 2 rt a(a

+

b)

50 Si 1'011 applique la formule de Laplace (cf.

1x·.11 dF =

l' df A

B;

dans le cas present, pour !es

cotes

AB el CD la force est nulle, ct pour Jes

cotes

AD et BC,

df"

B =

dl.B sin (n/2)

=

dl.B.

En

integranl,

on a f =

J'

Bl avec I = AD "' BC = c, ii vient

, 110 1

F ,1o

=

l x c X 2 rra

, f'o l

F BC

= -

l x c x 2 n(a

+

b)

Comme ces deux forces son! de sens contraires, la rtsultante

F = F,

40

+ F\;,

admefc.omme intensite:

soit naturellement

F Po II'-£'!.,__

2 n a(a

+

b)

31.

Etude progressive : champ d' un fil infini, d' une portion de, fil rectiligne, d' un poly gone. d' une spire ·

I" En utilisant le theorenie d'Ampere, determiner le champ d'mduction magnetique B

cree par un

Iii

rectiligne de

longueur

infinie,

parcoun1

~ar UJJ

courant d'intensite /, en un point M sit11e a la distance d du fil.

20 Meme question mais en utilisant cetle fois, la loi de lliot et Savart ·

(4)

:SO Exercices et problemes

3° En deduire le

champ

d'induction magnetique

If cree

par une portion de

ce Iii en

un point M de son plan mediateur,

a

la distanced; ce fil etant vu de M

sous l'angle 2 a11

Un fil conducteur en fonne de cam~ de

cote a

est parcouru par un courant d'intensile /. Calculer, e11 utilisant le resultat precedent, le champ d'induction magnetique au centre du carre.

5° Generaliser le

resultat

precedent pour calculer le champ d'induction magne- tique au centre d'un polygone regulier de II

cotes

(ce polygone etant constitue d'un fil conducteur parcouru par un courant

d'inlensite /).

Le centre de ce poly~

gone

est

situe

a la

distanced de chacun des

n cotes.·

6° En• deduire !'expression du champ d'induction magnetique cree par une spire circulaire de rayon

d

parcoutue

pat un

courant d'intensite

L

On detenninera ce champ au centre de la spife.

SOLUTJON

1--

di

--

p

(l

r

di

-,~==

I p

- -- ---

I I

/ 9

t 0 /M

' ,:

I

'-...

,,,

---

l I

d5

I

_j_

t,

Fig. 52

d

f,

Fig, 53.

1•, 2" On renvoie le lecteur aux paragraphes X,6 et X,,2 du cours pour les demons•

trutionS- C'esl du cours pur.

Notons toutefois que la detennination du champ d'illduction par la loi de Biot et Savart impose que l'angle O !fig, 5 3) varie dans le cas d'uo Iii rectiligne indelini de ~· l[/2

a +

n/2 : c'esl-a-dire que

B

= J

dB

3° Pour la portion de fil en question, !'integration se fait cetle fois entre oc0 et

+

a0 . On obtient done

/10 I . B

=

2 n:d sm <Io

Electromagnetisme 251

40 La relation pr~ente esl valable pour un des cotes du carre avec sin «o

= ✓2/2

et d

=

a/2; on obtient al ors la valeur de B 1 [fig, 54] :

Fig, 54

Les quatte vecteurs B, en O. centre du cane, sont portes par le

merne

axe perpendi- culaire au plan du carre et ont tous meme sens. On a done · B

=

4 B1 et :

50 L'angle o:0 esl ici o:0 :::

rr./n

[lig. 55], En prenant la relation µo I •

B

=

2 itd sm O:o ,

pour un

cote,

elle devient

et pour le polygone :

Fig. 55,

/lo l . n Bi "'2 ,cdsm n

B 11B,, soit : 11;1 0

I .

11

B =--sm-211.d n

(5)

252 Exercices et problemes

6<> Lorsque n est tres grand. n/n est petit et sin (K/nJ ~ 1C{11; le produit 11 sin (n/11} tend done

vers

re. Par consequent, A la limite ;

B

=

n110 1.::

2 rtd

n'

et comme d lend

vers

le rayon de la spire,

on

en dedui1 le champ

d'induction au

centre d'une spire de rayou d parcourue

par

le courant J :

32. Champ magnetique d' une spire, puis d' un ensemble de deux

spires identiques non para/Jt'Jles ·

1° Soil unespirecirculairedecentre Oet de rayon R, parcourueparuncourantl Detenniner la direction, le sens el

l'intensite

du champ d'induction magnetique B

produit en

un

point S de !'axe de la spire tel que OS =

d.

2° On considere deux spires circulaires, de rayon

R

d'axes

OX

et

O'X'

dis- posees comme

l'indique

la

figure

56

el

ou

ii esl

l'angle du plan de chaque spire avec le plan vertical passant par le milieu H de 00'. D'autre part, on pose

AK= KA'=

e.

_, Determiner le sens, la

direction

et

l'intensite

du champ d'induction magnetique B

produit

en S

quand les

deux

spires sont

parcourues par

des

courants :

n) de meme sens et

de

meme intensite,

b) de sens contraires et de meme intensite. L'intensite du champ sera

exprimee

en fonction de

R, e, a. '

jz

J•----·--.! ____ ..,..\ ;· '

---!---A I

I

X'

I

X

--:-::-.s --

·~_:,~-,<-.._

- ---

-l]i __

L ____ ..__

1n .

I I I I

--- -~-·-- --

!z·

Flg. 56.

Electromagnetisme 253

APPLICATION NUMERIQUE : e

=

15 cm;

R =

20 cm;

1

l A. ~'!mgl~ a

est tel que les points Bet B' sont

confondus

sur !'axe.

SOLUTJON

I• Considerons {rig. 57] l'elemen1 de spire,

de

longueu(

di en

P;

eel elem,eni cree

en S

un vecteur elementaire d'induction dBt = t ·

Id{;,

iJ

lcf

X-1 I,

relatfon

dan~ laqueHe it

est le vecteur unitaire porte par PS.

Fig. 57.

Le

vecteur dB1 est perpendiculaire

a dl et a PS

qui fait avec l'a:xe

OZ

de la spire !'angle ex_

Le produit d(

A

i1 a

pour

module di; nous avons done :

dB l•o I di R d' .

1

= -

4 ·-, ,avec

r = .,..-;

ou:

It r Stn ll

µ0 I di . i , ..

dB1

=

411R2 ·sm rt.·

Tous !es vecteun 1f1 onl

comme

resultante. par raison de symetrie de revolution, un vecteur

B

porte par !'axe OZ.

La projection de

dB

1 sur l'axe est :

dB= d81 sin ir;

ou encore:

Si

O

est

l'angle

au centre qui

intercepte !'arc

elements.ire di,

nous

avons. di = _

RdO et ainsi :

(6)

254 Exercices et problemes

en integrant de O it 2 Jt, ii vient :

. . R . R

1 Ii

ma1s : sm a. "" - - ~ " ' , 1 reste en m : r

v

112

+

d'

Remarquons que le champ en O a pour viJ!eur (d "' 0)

~ - ~

Le sens de B est donne par la regle de Maxwell dite du lire-bouchon ou paf la regle des trois doigts (cf. : Mecanique Il

2° Considerons la figure 58 montrant l'une des deu:i:: spires. D'apres la question prece•

dente, i'intensite B

1

de !'induction de cetle spire en S est :

1 sin3 0.

z

A - - ~ - - -

_...,4

·:~ --: ---

1 ,xi

H

z•

Fig. 58.

Si Jes courants son! de sens contraires, clans les spires, !es deux inductions BI et Bi

ont

leur resul!ante sur l'axe

z·z;

si elles

son!

de meme sens, la

resullante

est perpendi- culaire

a

cet a;,:e. '

On devrn done considerer suivant les cas : B ""2 B, sin a ou B 2 B, cos CL Determinons B1• Comme sin 8

=

R/AS, ii sumt de calculer la distanci: AS ·

·OH

=

AK - AJ ""' F. R

sin

rt

d'ou

OS

=

OH

=

e R

sin

a

' cosa cosa

par suite : AS1 OA

~

+·'OS1

=

R' + (e - R sin a)2 . cos1 oc

Electrnmagnetisme 255

soil

Jn

1 + ei - 2eRsinoc

AS= cos a

Aimi: R R cos f1.

sin(/ ""' AS

= ✓

Ri

·+·e

1 - 2 t1R sin~

µ0 Jl!.2 cos3 a et·

SI les co11m11ts sont de sens contraires, on a done : l'o /R2 cos3 «sin«

B

=

(R1 + e1 2 e:R sin 1X)311

S'ils

s.,nt

de

meme

sens

110 I R2 cos• oc B

=

(R2

+

e2 - 2 eR sin aJ311

APPLlCAT!ON NUMERIQUS: Dans le ca.~

present sin

a

= di R

OU encore

sin

a

= e/2

R ; cos ct

=

JI -

sin

1 a

soi! : cos 11 =J4 R2 _ e:2/2 R; !es relations qui viennent d'etre etab!ies se simplifient puisque 2 eR sin a

=

e1. :

B B'

I

lz·

Fig. 59.

(7)

256 Exerdces et problemes

Courants de sens contralres :

soit : On trouve

8

=

µ0 1(4 R' - e1

)3

12 .e 16 R5

fJ

=

4 Jl, J0-7(0,16 - 0,022 5)112 X 0,15 16 X 32. 10-i

Courants de meme sens

soit : On lrouve:

/to 1(4 R2 - e2)1

B =

16

R

3 B

=

4 Jt. 10-1(0,16 - 0,022 5)1

16 X 32.JQ-J

B

=

4,64.

w-

6 T

33. Champ d'un solenoi'de : a l'interieur et a l'exterieur Determiner l'intensite du champ d'induction magnetique produit par un solenoide de section circulaire, de longueur

I

et comportant

N

spires traversees par un courant

i,

en un point de son axe :

a)

a

l'

exterieur

du

solenoide;

b) ii.

l'interieur

du

solenoide;

c) dans le cas ou / est infini.

On

designera

par n le nombre de spires par unite de longueur

et

par p

1

et p,.

!es angles sous lesquels sont vus les rayons des spires extremes du point considere.

SOLUTION

Si B1 est !'induction creee en M par une spire [fig. 60], l'induc,tion creee par !'element d:r de longueur du solenoide et qui comporle n dz spires est : dB 11 dzB1•

Fig. 6Q

Electromagnetisme 257

N ous avons vu e::1erc1ce [ . 32} que B,

=

Po

2R

i ' ' sm fJ . N ous avons one : d dB µ0 ni . ,

2 R sm {J dz,

el comme

z =

R cot

/1,

ii vient dz

= - . ~ a

dP, Par suite, le champ elemei'itaire d'in- sm I'

duction dB s' ecrit :

dB Po ni . n dfJ

- -2-SJnp

d'oil le champ produit par le soleno'ide

B

= f

dB

= -

0 ni/2)

f

sin

p

dfJ .

a) Si M est exterieur au solenoide [fig. 611 en designant par

P,

el

/J

2 les valeurs lirnites de

P,

nous aurnns :

B

=

(p0 n.f2) [cos (J

l

soit:

Fig. 61.

Nous pouvons remarquer ici que la valeur rr/2 est exterieure

a l'intervalle (/J,. /J,)

et que

fintegration se

fail

« sans souci "· ..

Le vecteur induction est porte par !'axe et oriente conformement

a

la regle de Maxwell dite du tire-bouchon. ~

b) Dans le e1U OU M est inthieur au solenoide, ii sumt de considerer que nous llVons deux solfooides joints, l'un S2

a

gauche de la spire donl le plan contient M, l'autte S1

a

droite (fig. 62].

-1==5El--

Fig. 62

(8)

258 Exercices et

problemes

Pour le premier, [cos

/l r: =

cos

P1;

pour l'autre [ CO$ /J

1:l "-'

cos

p

I; ces dewt

valeurs s'ajoutent pufoque, de toutes fa~ons !es inductions des demr solenoides ont mi!me direction et mi!me sens; nous avons done dans ce cas :

I

JJ

=

0 ni/2)(cos /12

+

cos

P

1)

t) Si le solenoide est inlin~ M est interieur et

/J, "" /1

1

=

0 et cos

/!

1 + cos

fJ, =

2;

done:

34.

Champ d' un element de courant: d' un

courant

en

spirale.

Resistance des spirales

]" Rappeler la loi de Biot et Savart; en

donner une

expression qui fait inter- venir !'angle dq, sous lequel est vu

!'element

de

courant du

point

O

ou l'on calcule le champ magnetique a la

distance

OP =

r

[fig. 63].

ry- df

1 I I I I I I I I I

I II

I

I

I

I I

I

I I

0

I I I I

_ _ _ _ _ _ _ _ ! _ _ --~.r1_l_

R

Fig. 63.

Un conducteur parcouru par un courant d'i1Hensite I est emoule en

spirale plane

aulour

de

l'otigine

O. Un point

du

conducteur est

defini parses

coordonnees polaires (r, qi); l'enroulement esl limite par !es points

P

0 ( R0 • 0) et

P

1(

R

1, <p 1) [fig. 64].

Determiner l'intensite B du champ d'induction magnetique cree au point 0 pour !es trois spirales suivantes ;

11) r

= R

0

+

a1p; a, constante

positive.

h) r

=

R0 eh"'; b, constante positive.

c) 1/r

=

(I/R0) - cqi: c, constante

positive.

Electromagnetisme 159

Fig. 64.

3° Le conducteur a pour section un rectangle de

cotes a

el

/J;

oc, normal au

plan

de

la spirale est

constant;

/Jest

determine

par la

condition

que les spires soient jointives.

Donner l'expression

generale

de la

resistance

:R du conducteur, de

resistivite p.

On prendra

r

comme

variable

d'integratio11 et on fern-

les approximations

sui- vantes :

P = 2

n

dq, dr et d/ =

r

drp .

APPLICATION :

calculer !es

resistances '.It

des spirales a) b) c) delinies dans la question

prtX:edente.

4° Calculer pour les trois spirales les

puissanccs P", P,,, P,

necessaires pour entretenir tin champ doone Bet comparer ces puissances pour R

1

4 Ro-

50

Calculer numeriquement P., Pr,, P,

pour

R

0

= I cm, R

1

= 4

cm,

rx I mm;

p

= l,6µil.cm;B = 10-

2

T.

SOLUTJON

1° La Ioi de Biot et Savart

s'ecrlt

(cf. X-1] :

dB

*

[cl cos qi d{r et tan ,p -= 1/d d'ou di

=

..J!:L..

cos1 q, comme

I

df A il

I =

d/ cos rr, nous aurons :

dB

=

µ0 J · dcp 4 rr r

e'est rexpression du module du champ elementaire.

l I

1!

(I

(9)

260 Exercices et problemes

2° a) Si l'oll considere !'element de spirale interceple par !'angle dq, jlig. 651 de la rela- tion donnee r

=

R0 + aq,, OJI tire

Fig, 65.

La loi de Biol et Savart s'ecrit alors :

dB

=

41t0 /lo I

!!!:

r et B

= I."'

41ta r 14> l

~

On lrouve aisemenl :

b) En lirant lfJ de la relation r

=

R0 e""', nous avons

I r dr

rp "' -b ln -R0 et d,p

=

-b • r En portanl dans rexpression de dB: on obtient :

}lo 1 dr

f."'

/lo I dr

dB

= Tit

brl ou encore B

=

Ro 4 1tbr2 .•

II

vient aisement :

c) Celle fois-ci la relation

l "'

R.l - c,p donne par differe11dation : - dr/r2

= -

r: dq,

f D

ou encore dq, "" ;;:,- . Nous obtenons alors : dr

et

dB=p..,l,dr 4 ltC r3

on trouve alors ;

B

= !:0_ (-~ he Rt J...) R;

3° En dill'ereoliant la relation 11.

=

p(l/s), on obtient d:Ji.

Electr~magnetisme 261

p di. La longueur de l'ele- s

ment du courant est di

=

r d,p; lu section est : s

= r1p.

Or a est constant et nous pouvons done ccrire : s

= ,xp

2 no:;~, puis

r(dq,}2

Ml ""

P

2

Rtt dr.

q, est une fonction de

r;

done dq, q,'(r) dr et, en definitive :

d:Ji.

= ,I!,-

r[<p'(r)]1 dr

- ,to;

r R0 , I

a) Ave:c q,

= --a-,

on a <p(r} "";; el

En integrant entre R0 el R,

d :R.

=

~':!!_ .

2

1ta1 a

:ll.

= -

4

P,

(Rf -

R~) na ,x

b) Avec, cetle fois-ci. r

=

R., e•~, on a q,

=

(l/h) In (r/ R0 ) et q/tr)

=

1/br; d'ou : d:R

=

prdr

=

~!...

b1 r1 .2 Jto: 2 mxb1 r On trouve alors, en integrant entre R0 et R, :

p

R,

jl• = - - l n - 2 1t«b2 R0

c) La relation (1/r)

=

(1/RJ ·-crp doom,:

- dr/r2

= -

c dq,;

d'ou q,'(r)

=

l/cr1; en portant dans !'expression de d.'.R. :

On a done·

(10)

262 Exerckes et problemes

soil

4<> Les puissances soot

f

=

Jl/2

(cf VIII-51 Nous avoos !es trois valeurs de

:It;

tirnns le& trois valeurs de /, a partir des eitpressions de

B,

sans oublier que

R1 ,..

4

R.

0 :

) D /lo I. R,

a e B

=

4 na In

7f•

on tire :

0

l _ 41tt1B

µ0 In 4'

d'oit:

soit:

b) D e B - - -µo 41tb I~ ( -RJ - - . on hre : l ) .

0 R1

d'ou:

soil:

c) De B

=

110 /,

(l.

8rcc

R~

d'ou:

I _ 4 lf.bB X 4 R0

• - 3µo '

I} .

tiJ

on tire :

[, =

8 ttcB X 16 llo p _ 15 p • 64 1t2

c1 x 256

R6

7 ,

' - 4 nc' r,. x 16 R~ 225 µ~ B ' soit :

soil: p _ 256 rrpRt 2

' - 15 , B ct.J1o

APPLICATI0/'4 NUMERIQU6: Rernarquons que B/µ0

=

10-1/4 n. 10-1 ""'10~/4 it u.S.L

60

It X

I 6. 10-s. io-• (I0')

2

a) P. = 10..' 3(ln 4)2 . •

4n .

On

trouve :

P.

=

9,94 W

EJectromagnetisme 263

I

Pb

=

6,28 W

P,

=

5,43 W

35.

Canducteur cylindrique de mercure. Champ magnetique, forces. Extension

a des

faisceaux d'

electrons

a) Rappeler en quelques lignes comment on detennine le champ magne-

tique cree par un conducteur rectiligne indefini, parcouru par un courant d'inten-

~

i .

On indiquera avec precision la direction, le sens et

le

module du vecteur champ en un point determine.

b) Si !'on

considere

deux conducteurs rectilignes paralleles, parcourus .par des couranls de meme sens, quelle est la force qu'exerce sur un de ces conducteurs le champ cree par l'autre 1 (Les conducteurs sont dans un milieu de permea- bilite µ

0 .)

2° Un tube en verre n la

forme

d'un cylindre de revolution vertical; ii est rempli de mercure; on y fail passer verticalement un courant d'inlensite /,: dont on admet gu'il se repartit uniformement sur la section du tube.

a) Detenniner avec precision (direction, sens, module) le vecteur champ

magnetique

ere{,

en tout point (interieur

OU

exterieur au mercure).

On admettra que la permfabilite magnetique du mercure et celle du verre.sont pratiquement egalesa µ

0 ;

le rayon du tube est

a;

la distance d'un point quelconque

a faxe du tube est r; le tube est indefini.

b)

Representer graphiquemenl les variations de B en fonction de

r.

a)

On considere une portion de mercure ayant la forme d'un cylindre de section fofinitesimale dS, de generatrices paralleles a celles du tube et situe i la distance r de l'axe; sa hauteur est dz. Determiner le sens, la direction, le module de la force que subit ce volume de mercure, par suite de !'action du champ magnetique:

b)

Calculer le module de la force qui s'exerce sur une portion de volume de l mm

3,

situee a une distance r = 2 cm de !'axe. On donne a = 5 cm; / 3 A.

Comparer cette force au poids du mercure de masse volumique

p

= 13 600 kg.m-

3;

on donne

g

= 9,15 m.s~

2

Que! est l'mdre de grandeur de l'intensite du couranl

(11)

264 Exerdces et problemes

qu'il faudrait faire passer

pour

que la force soit

comparable

au poids

?

Que se

passerait-il si l'on

faisait

passer un tel courant ?

4° On etudie maintenanl ce qui se passe dans une section horizontale donnee du t~e. On admettra que la pression

p obeit a

!'equation gra<lp = ctfidV,

ou dF est la force que subit !'element de volume dV. Comme on reste dans un meme plan horizontaL on n'a pas a s'occuper du poids du mercure. Calculer la pression

<iue

a

la

force magnetique.

5° Un canon

a

electrons C1 emet un faisceau d'electrons F 1, dont les

dimensions transversales sont negligeables; on appelle n le nombre d'electrons du faisceau par unite de longueur,

v

leur

vitesse.

Un

autre canon

C

2

emet un faisceau

F 2

parallele au premier; la distance des

faisceal!;{ est r.

a) Calculer le champ electrique cree en un point de F

2

par les electrons de F

1•

(F

I

est considere

comme

indefini.)

Quelle

est la force

qu'exerce

ce

champ sur

un electron de

f1

?

b) Calciuler le champ

d'induction magnelique cree

en

un point

de F 2 par les

electrons de F

1•

Quelle

est

la force qu'exerce ce champ

sur

un electron de

F2

?

c) Calculer le rapport de la force electromagnetique a la force electrique;

evaluer ce rapport

pour v

= l04. km.s~

1

6° Expliquer sans aucun calcul, en quelques mots le

rapport

entre Jes pheno- mi:nes faudies dans les questions l

O

b); 3°; 5°.

SOLUTION

a) Le tbeoreme d'Ampere [cf X-6] precise que la circulation du vecleur

7/

est pro- portionnelle

a

rintensite totale :

e ""f o df =

µo

EL

Dans le cas d'un Iii rectiligne indefini, ii la distance

r,

cela s'ecrit : B x 2 r<r

=

µ0 I

et ~ -

Le vecteur

71

est perpendiculaire, au point considere, au

Iii

parcouru par le courant et

a

la perpendiculaire abaisse de ce point sur le fiJ; son sens est doom\

par la regle

de l'observa- leur d' Ampere (fig. 66].

b) Si !'on considere [fig, 67) Je Iii z 1z'1 parcouru 1iar le courant li, ii est, d'apres ce qui precede, place dans un champ d'induction B

=

µ2

°

rcr 1 cree par l'autre Ii~ parcoutu, lui par le countnt J. De ce fail. ii est soumis

a

une force :

F -

I I f J\ 1f dont le module est icl F

=

11 Bi (pour une longueur f), soil : F

=

µ0211Rr

1!_;

le meme calcul conduit

a

la meme

Electrort19int1tisme

t 2':1

It i /

1

--- ---

If

]1'

0

o, /

O .._ ______ .,. M

r "

/ ¥; F'

Bi

z i,

Fig. 66. Fig. 67.

force s'appliquan1

a

l'autre Iii; les vecteurs

F

s'appliquant

a z

1

z'1

el

Fi

s'appliquant il.

zz'

sont, d'apres ce qui precede portes par le meme axe el opposi:es Ir[ X-4).

Rl!MARQUE. - La resultante de ces forces est nulle el !'ensemble des

deux

fils constitue un systeme d'inertie, ce qui est parfaitement conforme au prindpe de !'action el de la reac- tion qui s'applique

a

tout systeme isole [ef. MecnniqueJ.

zo a} Pour r ~ a, le theoreme d' Ampere !cf X-6] donne.

le vecleur

B,

perpendiculaire

a

l'a;,;e du cylindre, est aussi perpendieulaire A OM; son sens est tel qu'il est oriente

vers

!a gauche de !'observ"!teur d' Ampere [lig. 68).

Fig. 68.

265

Pour r < a, la somme des iatensites interieures i\ un cercle « hypothetique ll d~ l'ayon,.

est:

(12)

266 K~ercices et problemes

Comme I et !' designenl respectivement les intensites des courants qui passent

a

l'inte- rieur des cercles de rayon a el r, on en deduit. d'apres la definition de la densile de courant (cf VIJI-3], que :

I/

rr.a

2

= I' /1tr

1 , d' oil I'

=

(r1

/a1)

l.

Dans ces conditions, le theoreme d'Ampere implique:

B.2 nr

=

µ0 l'

=

f1 0(r2/a1} I, d'ou

b) D'apres les deux el(pressions trouvees precedemment. on en deduit que l'intensite du champ d'induction est une fonction continue de la variable

r.

Pour

r

,s:;

a,

le graphe est une droite, pour r ;;,, a, le graphe est 110 arc d'hyperbole equilatere (fig. 69!

IJ

Fig. 69.

3° a) Considi:rons !'element de cylindre en question [lig. 70l Calculons le courant i qui traverse la section oonsideree. D'apres la definition de la densite de courant

{ef

VIJI-31 on a

I

i 1=::-:r=-,

ltO dS d'ou i=-4ds.

ltO

L'elemenl

considere constitue un courant rectiligne d'intensite i, de l'ongueur dz, place dans un champ d'induclion d'intensite B - 11 0 - 1

'! r (ici r < a) perpendiculaire

a l'ele-

2 no .

ment de ctrnranl La force

dF"'

id; 11

B

subie par cet element est radiate et dirigee vers l'axe d11 tube, son mooule est :

. 1 110 f1

dF

=

0? "'"; r dz ""l.n' 04 r dz dS;

Electromagnetisme 267

Fig.

70.

or dz dS represente le volume dV du cylindre consider/!. Ainsi, il vient :

dF

~ r d V

2

Jt1 04

I,) APPLICATION NUMERIQUB:

dV""

I

mm3

=

I0-9m1; r

=

2cm ""'2.10··2 m;

1=3A; a=5cm,,.5.l0-'m.

Apres calcuL on trouve :

dF=l,83.I0-12N

Le poids de mercure sournis

a

celle force est :

P ':: pVg

=

13 600. 10-9 x 9,81

soit;

P

=

1,33. 10-4 N

el l'on a:

F/P ""

l,37. 10-8

Nous avons vu que Fest proportionnel

a 1

2; si nous voulons que

F/P =

I, ll faut choisir une intensite egale

a

la precedente divisee par )1,37. 10-•.

Nous auwns done J'

=

3/)l,377if'1'.

On trouve

I'= 2,56.104 A

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