• Aucun résultat trouvé

Methodes de relaxation d'ondes pour l'equation de la chaleur en dimension 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "Methodes de relaxation d'ondes pour l'equation de la chaleur en dimension 1"

Copied!
8
0
0

Texte intégral

(1)

Article

Reference

Methodes de relaxation d'ondes pour l'equation de la chaleur en dimension 1

GANDER, Martin Jakob, HALPERN, Laurence

GANDER, Martin Jakob, HALPERN, Laurence. Methodes de relaxation d'ondes pour l'equation de la chaleur en dimension 1. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. I,

Mathematics , 2003, vol. 336, p. 519-524

DOI : 10.1016/s1631-073x(03)00009-8

Available at:

http://archive-ouverte.unige.ch/unige:6287

Disclaimer: layout of this document may differ from the published version.

1 / 1

(2)

!"# #$ %& '!!()

# *

#+ ,!'-- )

*+ ,!'---,!!

. #+ /.*#$ %&

0 1 2 3 $ 3%% 4 % #$ 5 %

34# *. #$ 5 # 3 4#6 78 0

#$5 % % # 1 #3% 4# .5 . . #

* . ## % 9 1 % 3%

! " " #

$" "

1 $ & 4##$& #:

* 4#& #$& % 1 *

784# 8 #$1 # 4# :.

. ; #. & ## #: Æ 1 ## %

#: :< #.%#5 = > . * 1#

#: &

?@= ?!@

. A1 *4 8 4# . . % : # .

B 9 B 2## $ . # 2 ##

= ?(@

(3)

=

?-@

8 4#2*

# # ? . @ #:

& # 2# # # #: #

8.

# # . % 1 #

1 . % Æ

8 . % . . 1 .. 1

* .# C; '!D C')DC8E

')D C"0')D % .##

4 #. + # 1 % # .# CE')D *

%& . #. B& #: #. ##

4 $ 78 . #$& #: * 1 ##

1 ; ##:#$ . #:. &

* 1 ##

E & # 4#& : #& & #:*.

#: & ?1C#D@ ## : # .. . #

# #: & C',D C8'-D 8:

# # F ## : #$ $.& CF'D 8 # Æ#

% # 4# &# & & #. # # ;

1*#: $. & # % 1#4#

9 &.#B $ :*. 8: $. & .

B 1: #2 ##$& #784#

% # 1* 1 0.C0'!0'(D 2 #

#02 C02'02'D

;# ( # #: & #: .G

#.

¾

?

H

@?

@

2#

& # $.4# +

=

!

H

H

( H

!

(

? H @ H ? H @ ? @

= =

!

=

H

( H

!

(

? H @ H ? H @

8 78 ?78#$& @ - 8: % *G

.## #$. : ( I4 # %

=

!

?

H

@?

@

=

¾ H

¾

¾

H

?H @

=

8 Æ % J

&

# #% 4# #: & #& 1# & %2

#. % F$#1 ; #. & #

(4)

1 % < #.%#5 = > 2+ $

$ =(-3 #1 %

###9 # &

?@= ?K@

21 .A$

3% 4$ ; 52% ## 3%B

# . B 9 . % 23 4#2 $ .# &

= ?@

3% % ## %% 4#6

=

?@

% 2#4#6

% 5% % ##

# % 2#% 5% % ## % 4 2

2#1 ?@4$ 1 . % $

% $ . 4% # Æ #$

;. . . % 4 C; '!D C')D C8E

')D

C"0')D % % % 7 3 % % .*4

## .# 5CE')D % %& # % #$29 #

2 # #6% 5% #$2 3 1 78 .% #$

5 % 9 # # 4 5 % *.2

3 ##% 7 % #$ ##3 .5 %

% 21 ##;"

#%2%% 4#5 ## %4 3%# C#E'-D

% B %% 1 #1 3 4$ C',D * C8'-D

% 3 # 6 4$ # F ## .1 4$ $. #$ CF'D %

. Æ# .2 %% % #3&#$% *. 5 %%

#. #4#$ 7 ##% 136 % 3 $.. % *.

53#$ .##9 Æ 3%%.#B %$ *. 0

% $.. 2 #6 4 3 % #$5% *4#68

.3 4*. 5%2%&#$ I% # # 36

% # 1 #4$0. C0'!0'(D * # 4$02 C02'02'D

(5)

1 ## ?@3 3 % 34#

?@=?

HL

@?

L @?@ ?)@

3% L

L 1 . % B 4#

2 % 1 % 4# 2 % 21

7 % & # 3 #1 % #$ % = ? >@ 3% > %

8# 3. ,

I # 4 #$ 0 6 . =? >@ 4

? >@=

H =?

H

@?

@ ?'@

%3 %1 % 4#5

? >@=?

HL

@?

L @ ?!,@

3% L

=L =

? @ % % L

## 4 % &

# %4#5 % *4#68 . % .*

3 5 % ? >@ . % #$ 5 ?'@ % .

? >

@ 0 %1

>

=

H

3%

?@+=?

@

?@+=?

@ % 11 21 . %

62 . >

4 3 4% .

? >

@=

!

?

H

@?

@=

!

?

H

@

3% % 63

% # . 4 % 5 2

=

# % .3%

3 B

=

!

H

H

( H

!

(

? H @ H ? H @ ?!!@

3% 3 % % 1 3 B

4 1 .##$3

B

= =

!

=

H

( H

!

(

? H @ H ? H @

3%% 1 % . #$4#5%21 4$

? >

@=

H?

!

@

!

?

!

@ ?!(@

%3 6 % #., ?!(@3 1 2% 4#5 ?'@

% .# . % #. 4# . %3 1 . # %

.# 3%%3% 136 4#5 I %3

%?!(@ % *4#6G8 .% ##$ .* ?@ C''D

(6)

I # #$ % 4#5 21 ?!(@ #1 % 2# 4# . ?@ 7

#12% # $ . 3#%1 #1 3#3 . #4#4# . % 1

% 21 2 3 463#1 % *4#68

. % %3 1 14# % 4# 5 ##

0 % *. % 4# 5 4$ ## % 5

2 3$ 78 3 ##78?#$78@0 # %

## ?!(@4$##*.% .

=

!

H

H

( H

!

(

?H @ % ?@,

3%% # ## # 4# 4# . 3 %1 % #$ 4# G

5 3 % . .5 % . % 78 0

% *. % 5?!(@4% #2.% *.

5 H

% .

=

H H

!

(

% .# *.4 4 % %

# 4# % $ *

3 & 3%%3## 4 6 4$% F$#1. % 0 B . ##%

3 %1 ..5

?@+=

!

(? H @?( HH?H@ @

? H?H@ @

7. # 2% & $. 1$4#$ ;%# 4$

4 . 4 #3 4$% 5 % .

3% % 5 % . %

.41 4 4$% . %5

0 % %%?@ &#5

= % % . % % % $.4#?@# 4# 5 *

% & $= 3% =!$.

0 B 3. # 1$4# .

=Æ?

!

(

@Æ?

!

(

@ ,!

3%%.2 ;%# 4$% 4.2%4 I% # 4$

?=,@ 3 . 4424$?

H @?@=, % 2%%

% % 1$ 0 M 3% % # 2

=,3 . %

3 3% % M #2%. % 78?:,:@ 78?! G

(@ 2 % M #2%. # ! G 4# ! %3 % # 4 . . #

* . 9 1# 3% !, 31 # 2% % # % 3 78

(7)

M 78?:,:@ 78?! G(@ 78 M 78?:,:@ 78?! G(@ 78 78?:,:@ 78?! G(@ 78

K !' , (( (- !(,! , ()- ()- ,( K! ,-

!, - -, ), - !)K)( ! )'- (! !( ,) -) ,'

!K !K (,,, ((, - !,!)K( !)!--( (!K! K' !' !(K (,

(, (,,, O (,,, (,--K! O (-(,! !(,( - (')( -

-, O O O ', O O O -') ! ) ''! )!

K, O O O ()K O O O ( ,,, P P ((K

4# !+ 3G. # 1$ 3%!, 31 # 2% . N

. 2N% # .2% #$

7 # #$ N N

M 78?! G(@ 78 M 78?! G(@ 78 78?! G(@ 78

()K K) ( !)! )- K))( ))( (-) K !())'

4# (+ % G. #4 ==!, . N

% # #$.2% #$. 2N %4# .3 3

4# . 78?:,:@ #4

%3 * ## % .% #% 21 4# .

2B#$ # N % $ % % . % 42 4# . 3 % #$ #

#1 % 78%3 1 % % 78?:,:@

* *.# 3 % . #. #4# .

=Æ?

!

(

@Æ?

!

(

@Æ?

!

(

@ , !

3% %.2 ;%# 4$ ## * % % # 2% 4 3% 3

?

H @?@=, 0 . % 3 3% M 78?! G(@ 2

# ! G 0 3 4# . 78?:,:@ %4# .5 #4 4# (%3%

% N 278%3 * ## % N% #

% .? #2% % @178 1 %2%3 %1

% % #1 % 4#4# .3%78 *#$4$5.3%% #$

42 4# . 3## 4 4 1 #1 3% 78 3 ## 7 % 4#

4# . 4 #1 1 $ #$ % $ 4 % . #1 #$ *. %

3## # 2B % % 4% . N. .$

% G. #4# . % 1 2

!"

CE')D % # E 5 #1. .1 $ *. 1 G

%# 8GG')G,,( 8#.#84$!'')

(8)

%35 #2%. #12 < #.%#5: & 7

!"2 -'!P-''. %1 7!'')

C#D R # 4 # $ %

3G<##!'

C')D %# % 1# $.. 5 . % 3% .5 G G

% < #.%#5 & 7 !"

2 ,,P ,. %1 7!'')

C; '!D E ; ;. . . % % < #.%#5 4# . 7 &

% ' " 2 PK(7

%# #%!''!

C8E

')D . # 8E$ %4 #% 2# JG

Q1 * G1 #2. .. % * < #.%#54# .

7 !" 2 (P . %

1 7!'')

CF'D "##R % EF ## 7 1 # ##4# .4$*. G

5 ( )& )K+()P-!-!''

C''D 78+ 3 4 % #$5%

## % !'''

C',D # #: & 1 G9

4#& *+* ) *'*, 7-!,?!-@+)'P)(!'',

C8'-D R 8% %5. 4# *. % 1 G9

& & * *,+K!KPK-,!''-

CE'-D R E#% - ) $ 2 E #!''-

C02'D %02 2 # & $B# 2 .$.. . -*

& * )?!@+!!'P! (!''

C0'!D 4 #0.78G4 .2 % . 7, .

/ ,*01)&&.'* 231*--*#&*1#. -!

2 (()P( ,!''!

C0'(D 4 # 0. # 4* ' 56 6 1$ 4

6 5. 62!''(

&),-+' 7&+ !08

,$/

9: , ; #

< ;*$/* < ;*$/*

Références

Documents relatifs

[r]

A cet effet, on fixe des valeurs de f et de g pour lesquels on connaˆıt explicitement la solution u de l’´ equation de la chaleur, puis on v´ erifie la convergence de la solution

On note en outre qu’une onde ´electrique de la forme u(x, t) = v(x − ct) est solution de l’´equation des ondes (3), justifiant ainsi l’appellation “vitesse de la lumi`ere”

Cependant lorsque la fonctionnelle est convexe au sens large la méthode de relaxation semblait inutilisable et d'autre part, même dans le cas strictement convexe, lorsque

On remarque aussi que 9 optimal = 0 pour X = - , on aura donc une appro- ximation du 4 e ordre en x et du second ordre en /, par une méthode explicite pour X = - • Bien qu'on

Plus g´ en´ eralement, il s’agit d’une premi` ere approche du probl` eme de l’´ echangeur thermique : quelle doit ˆ etre la longueur minimale de refroidissement pour bais- ser

* Ajuster les mesures par une droite de régression et déterminer par un calcul de régression linéaire la pente et l’ordonnée à l’origine avec leurs incertitudes (absolues

Ex : Un corps chaud en contact avec un corps froid, un échange de chaleur va provoquer un refroidissement du corps chaud et une augmentation de température