Universit´e Bordeaux I – 2008/09 MHT411
Math´ematiques M. Sombra - G. Ricotta
DM2
Commentaire. Le but de ce devoir maison est d’´etudier en d´etail le groupe (Sn,◦) o`uSn d´esigne l’ensemble des bijections (ou permutations) de{1, . . . , n}
dans lui-mˆeme. Pourk∈ {2, . . . , n}, unk-cycle est une permutationσ∈Sntelle qu’il existe des entiersi1, . . . , ikcompris entre 1 etnv´erifiant
∀j∈ {1, . . . , k}, σ(ij) =ij+1
(o`uik+1:=i1) et
∀`∈ {1, . . . , n} \ {i1, . . . , ik}, σ(`) =`.
Un telk-cycle se noteσ= (i1, . . . , ik) et l’ensemble{i1, . . . , ik}est le support du k-cycle. L’entierkest la longueur du cycle. Un 2-cycle est une transposition.
(1) D´ecrire explicitement le groupe (S4,◦).
(2) Quel est l’ordre d’une transposition ? (3) Quel est l’ordre d’unk-cycle ?
(4) La d´ecomposition d’une permutation en produit de transpositions est-elle unique ?
(5) Ecrire explicitement la d´ecomposition d’un cycle en produit de transposi- tions.
(6) Montrer que deux cycles `a supports disjoints commutent.
(7) Soit σ l’´el´ement de σ7 d´efini par σ(1) = 3, σ(2) = 4, σ(3) = 1, σ(4) = 5, σ(5) = 2,σ(6) = 6 etσ(7) = 7. On noteσ=
1 2 3 4 5
3 4 1 5 2
. D´ecomposer σ en produit de cycles `a supports disjoints puis d´ecomposer σ en produit de transpositions puis calculerσ201 puis calculer l’ordre de σ.
(8) D´ecrire une m´ethode g´en´erale permettant de calculer l’ordre d’une permu- tation.
(9) Montrer queσn est engendr´e par les n−1 transpositions (1, i) o`u 1 ≤ i≤ n−1.
(10) Montrer que σn est engendr´e par le n-cycle (1, . . . , n) et la transposition (1,2) (Question difficile).
(11) Calculer la signature d’une transposition.
(12) Calculer la signature d’un cycle.
(13) Calculer la signature de σ=
1 2 3 4 5
3 4 1 5 2
∈σ7.
1
2 DM2
(14) Montrer queAn:={σ∈σn, ε(σ) = +1}est un sous-groupe deσnde cardinal n!/2.
(15) D´ecrire explicitement le groupeA3.
(16) Montrer que les seuls morphismes de groupes entre (σn,◦) et (C∗,×) sont le morphisme trivial et la signature (Indication : que vaut l’image d’une transposition par un tel morphisme ?) (Question difficile).
