Divergence par l'effet de la charge d'espace d'un faisceau électronique cylindrique non accéléré

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Divergence par l’effet de la charge d’espace d’un faisceau

électronique cylindrique non accéléré

Georges Goudet, A.-M. Gratzmuller

To cite this version:

DIVERGENCE PAR L’EFFET DE LA CHARGE D’ESPACE D’UN FAISCEAU

_{ÉLECTRONIQUE}

_CYLINDRIQUE

NON

ACCÉLÉRÉ

Par M. GEORGES GOUDET et Mlle A.-M. GRATZMULLER. Les Laboratoires L. M. T. de la Société « Le Matériel

_{Téléphonique}

».

Sommaire. 2014 I. INTRODUCTION. 2014

Objet du travail : Un faisceau électronique cylindrique se

propage entre deux électrodes planes indéfinies, normales au faisceau et portées au même _potentiel;

on étudie l’augmentation relative du diamètre du faisceau sous l’effet de la _{charge d’espace.} II. ÉTABLISSEMENT DES FORMULES. 2014 _{Moyennant quelques hypothèses simplificatrices,} on calcule

en tous points de la surface du faisceau, la _composante radiale du champ électrique dont l’action sur

les _{électrons provoque l’effet} On en déduit la trajectoire d’un électron périphérique.

On donne finalement la relation _qui existe entre _{l’augmentation} relative du diamètre du faisceau

au niveau de la seconde électrode, le courant _{électronique,} la tension qui a servi à donner aux électrons

leur vitesse initiale et les données _{géométriques :} diamètre du faisceau et distance des électrodes. Cette formule _généralise un _{résultat établi par Watson (1)} dans le cas où les électrodes sont

infi-niment éloignées l’une de l’autre. Elle fait intervenir une fonction dont on a calculé les valeurs

numériques dans un certain intervalle au delà duquel elles s’identifient _pratiquement à _{l’expression}

asymptotique donnée par Watson.

III. LIMITE DE VALIDITÉ. 2014 On discute enfin les limites de validité des

hypothèses de base du calcul.

1. ~--- Introduction.

A. Nous nous _{proposons d’examiner l’effet de la}

charge

d’espace

sur un faisceau

_{électronique}

cylin-drique

se

_propageant

dans

_{l’espace dépourvu}

de

champ

appliqué,

compris

entre deux électrodes illimitées I et 2,

planes

et

parallèles.

Fig. 1.

Soient _{R le rayon du} faisceau et _{- p} la densité

de

_charge,

uniforme dans toute la

_section;

l’élec-trode r, au

_potentiel

_communique

aux électrons

la

_{vitesse v.}

= - e et m étant

respecti-vement la

_charge

et la masse de l’électron.

Lorsque

la densité de

_charge

est suffisamment

faible,

le faisceau se _propage en conservant

sensi-blement son _{rayon R et} la vitesse uniforme vo;

(1) E. E. -WATSO-N-, Phil. 3, ~g27, 849.

mais aux densités de

_{charge plus}

élevées,

il existe

en tout

_point

du faisceau un

_{champ électrique}

non

négligeable

dû aux actions mutuelles des électrons;

sa

_composante

radiale E,. tend à

_épanouir

le fais-ceau ; nous étudierons la variation relative du

rayon .7: R R

en fonction de la distance z à l’élec-trode

_{I (fig. y.}

Ceci revient à étudier la

_trajectoire

d’un électron

_{périphérique.}

B. Afin de

_simplifier

l’étude,

nous ferons

_quelques

hypothèses

de

_départ,

_que nous

_justifierons

a

poste-riori,

et dont nous

_préciserons

les limites de validité.

1. Nous admettrons tout d’abord _{que la variation}

relative du rayon est _{suffisamment faible pour}

n’introduire

_qu’une

modification

_négligeable

dans

la valeur du

_champ

à la surface extérieure du

fais-ceau. Le

_problème

revient donc à calculer le,

_champ

à la surface d’un faisceau

_cylindrique,

se

_propageant

dans un _espace

équipotentiel

_compris

entre deux

électrodes

_planes

illimitées.

2. Nous _{admettrons que la densité} de

_charge

_{- fi}

demeure constante; ceci revient à _{supposer que la} vitesse demeure

_égale

à _vo,

_puisque

le

cou-rant - i = -

p v est constant.

.

Nous pouvons alors nous ramener au

_problème

purement

statique

du calcul du

_champ

radial à la

surface d’un

cylindre

Co

de rayon

R,

uniformément

chargé

en volume avec la densité -

p, et

compris

entre deux

_plans

conducteurs indéfinis distants de 1.

La méthode des

_images

_électriques

nous conduit

à

_remplacer

ce

_système

_par le

_{système équivalent}

143

de la

_figure

’2,

composé

d’un

cylindre

de

longueur

illimitée, divisé en sections de

_{longueur 1,}

de

_charges

alternativement

_positives

et

_négatives;

nous voulons

calculer le

_champ

en ~’1 à la surface du

_{cvlindre Co.}

II. -

Établissement

des formules.

A. CALCUL DU CHAMP. - Soient zz l’axe du

faisceau,

0 son

_point

d’intersection avec l’électrode 1,

Ox Oy

deux axes

_{rectangulaires}

situés dans le

_plan

de

celle-ci,

et

_{P (x,}

_y,

_z)

un

_point

quelconque

du

volume

_Co

_3).

’

Fi g. 2.

Au

_point

_{M (R,}

o,

_zo)

situé sur la surface du

cylindre

d’axe z’z et de _rayon R, l’élément de

volume dx

_dy

dz entourant le

_point

P crée un

champ dirigé

suivant PM et dont la valeur

algé-brique

comptée

positive

de P vers M est, en unités

électrostatiques

C.G;S. :

La

_composante

radiale de ce

_champ

est ici sa

composante

suivant Ox :

Le

_champ

créé en M _par toutes les

_charges

du volume

_Co

a _pour

_composante

radiale définie par :

En

_intégrant

d’abord en x, nous obtenons :

L’intégration

en z f ournit alors :

Utilisons des variables

réduites,

en

_{posant :}

~

~

Fig.3.

Compte

tenu de la

_symétrie

des

_intégrales

précé-dentes,

nous obtenons :

Posons :

Nous pouvons alors écrire :

Nous obtiendrons

_{l’expression}

de la

_composante

volume

_C,,

en

_remplaçant

dans

_{l’équation}

_(2),

Eo

par

E’0,

- p par

+ p

et 03BE par -

ç.

On montrerait de même _que les

_composantes

radiales et

_{2013 E~}

des

_champs

dus aux

volumes Cil et

_C~

sont définies

_{respectivement}

_{par :}

La

_composante

radiale E du

_champ

total est

donc définie par :

Avant d’étudier cette

série,

il nous est utile de

préciser

quelques

propriétés

de la

Nous avons déterminé les valeurs de cette

fonc-tion pour diverses valeurs de ~ par calcul

graphique.

La fonction à

_intégrer

devient infinie _{pour u} =

o, par suite de la

présence

du terme

Pour évaluer l’aire

_{correspondant}

à un

_petit

intervalle,

nous avons

_remplacé

dans

_{l’intégrale,}

Y

arg

sh -

par l’infiniment

grand

équi-v2 1 - % 1 - u2 valent :

Log

_rr , y et _{arg sh} ,_ 1

+ " §I _ - 12

par sa valeur limite

Y arg

_{s h .}

e D’où: e e L - ’J

Le résultat de ces calculs est

_représenté

par les

Tableaux I et II et _{par la} courbe de la

_figure

_(~.

145

TABLEAU II.

Valcnrs _{( suite).}

Le coefficient

_angulaire

en un

_point

de la courbe

a _{pour valeur :}

L’examen de cette

_intégrale

montre _que

_{t’ (Ç)}

augmente

indéfiniment

_{quand ~}

tend vers zéro et

_peut,

au

_voisinage

_{de "}

= o être

_représenté

_par

un

_{développement}

de la forme :

On en déduit

et le _rayon de courhure à

_{l’origine :}

Par

_{intégration,}

on obtient

_également

le

dévelop-pement

de

_{i (~)}

au

_voisinage

de

l’origine :

Pour des valeurs élevées de la

variable,

_{f (j)}

peut

être

_{représentée}

par un

_{développement}

asympto-tique ;

on

_part

du

_{développement asymptotique,}

valable pour x > o :

En

_portant,

dans

_{l’intégrale}

₍₃₎

et en

_intégrant

terme à terme, nous obtenons :

développement qui

montre l’existence de

_{l’asymptote}

d’ordonnée 2 T

quand ~

augmente

indéfiniment et

permet

de calculer les valeurs de

_f

_(i)

_pour les

valeur; élevées de la variable.

Fig.4.

Revenant alors à la série

_(8),

nous _{pouvons écrire}

la somme de ses n

_premiers

termes sous la forme

146

signalée

montre _que le dernier terme de la somme

₍₁₀₎

tend vers zéro

_quand

n tend vers l’infini.

La somme Sn a donc même limite _{que la} série

de terme

_{général :}

,

D’où

_{l’expression}

du

_{champ :}

En utilisant

_{l’expression}

_{asymptotique de 1 (~),}

il est facile de constater _que le terme

_général

de cette série est

_équivalent,

en valeur

absolue

à

4 n 03BE,

n s a

ce

_qui

montre _que la série est absolument

conver-gente.

De

_plus,

la forme même de la

_{courbe f}

_{( ~ )}

montre

que cette série est alternée et _que ses termes

décroissent

_{régulièrement}

"en

valeur absolue à

partir

du

deuxième,

ce

_qui

_permet

_{d’affirmer que}

l’erreur commise dans le calcul de la somme en

s’arrêtant à un certain terme, est inférieure en

valeur absolue au

_premier

terme

_négligé.

La série

₍₁₁₎

_permet

de déterminer la variation

du

_champ

le

_long

du faisceau

_{(c’est-à-dire}

_quand

varie)

pour diverses valeurs du

rapport ?

= i.

_R

TABLEAU III.

de

_{9 ~ ( ~ ) .}

La distribution du

_champ

étant évidemment

symétrique

par

rapport

au

_plan

_équidistant

des

Fig. 5.

électrodes,

il Suffit _pour

_chaque

valeur de

calculer _{varie de}

_{zéro à - -}

"

Rp

2

Si oc est

_{suffisamment grand,}

_{la série}

₍₁₁₎

_se

réduit

_pratiquement

à son

_premier

terme.

Or i

( ~ )

atteint sa valeur limite 2n

_à

_{I/200e près,}

dès

que §

dépasse

10. Si l’intervalle est

grand

vis-à-vis

de

_{10, t ( ~ )}

est _presque constamment

_égale

à 21:’,

à la

_précision

_indiquée.

En d’autres

termes,

en un

point

suffisamment

_éloigné

des deux

_électrodes,

on

_peut

considérer que le

_champ

E est constant

et

_égal

à c’est _{la solution donnée par} Watson

_{(1) qui}

n’en a d’ailleurs pas

_précisé

les

limitations.

Les résultats de nos calculs sont rassemblés dans

le Tableau III et _{traduits par les courbes de la}

figure

5.

Pour faciliter la

_comparaison

de ces diverses

courbes entre

elles,

on a

_porté

en

abscisse,

non

pas 03BE mais ,= 03BE

_x

_l.

z

B. DÉTERMINATION DE LA TRAJECTOIRE D’UN

ÉLECTRON _{PÉRIPHÉRIQUE.} -

L’équation

du

mou-vement

_longitudinal

de l’électron est :

~

Z = va t

147

tandis que celle de son mouvement radial est :

Désignons par 1 l’augmentation

relative du rayon.

L’équation précédente

peut

s’écrire :

On en

_déduit,

_par

_{intégration,}

_{l’équation}

de la

vitesse :

Une deuxième

_intégration

fournit

_{l’équation}

de la

_{trajectoire :}

Fig.6.

En

_{introduisant,}

dans cette

_équation,

la densité de courant i et la tension d’accélération lio =

nous obtenons :

En

_{particulier, l’augmentation}

_{relative du rayon}

au niveau de la deuxième électrode est :

La se déduit

_{numériquement}

des

fonctions par calcul d’aires. La

symétrie

des

courbes,

indiquée

sur la

_figure

6, _prouve

d’ail-leurs

_{l’égalité}

des aires

hachurées;

d’où l’on déduit

la relation :

ce

_qui

_permet

de n’avoir à calculer

_qu’une

aire au

lieu de deux pour

chaque

valeur de ce.

. TABLEAU 1 V.

de _1f(:x).

L’application

de la formule

₍₁₆₎

a conduit au

Tableau IV et à la courbe de la

_figure

7.

REMARQUES. - i°

en faisant intervenir le courant total I = T R~ 1

2° Dans le cas,

déjà

mentionné

(Watson)

où

l’on suppose que oc est

_grand

devant

l’unité,

l’expres-sion de

_(~z)

se réduit à 2 T et l’on _{obtient pour ’~’}

l’expression asymptotique :

lJ,"( a) == ;: 0:2.

Fig. 7.

Pour comparer cette formule à la formule

exacte

_(15),

nous avons déterminé la variation de

en fonction de a, Les résultats sont traduits par la courbe de la

_figure

8.

Fig. 8.

On constate, par

exemple,

que, pour « _ i, la

formule

_asymptotique

donne un résultat

_quatre

fois

trop

grand

et _{que, pour} oc = _20, le résultat est

encore

_majoré

de

_81pour

100.

RÉSUMÉ DES FORMULES :

Unités

_{électrostatiques}

C. G. S. :

Formule

_{générale :}

Formule

_{asymptotique :}

Unités

_pratiques

_{électriques.}

_Longueurs

en cm :

Formule

_générale

Formule

_{asymptotique (valable}

à 8 _{pour 100}

_près

à

_partir

de x ---

₂₀₎

-Le tableau des valeurs

_numériques

de T

_(oc)

est le tableau IV.

III. - Limites de validité.

Le calcul

_précédent

_{suppose que}

_{l’augmentation}

relative du diamètre d du faisceau est faible.

Il n’est donc valable

_qu’avec

la restriction :

Il _suppose

_également

_que la vitesse v des électrons reste constante entre les deux électrodes.

Or,

la

présence

des

_charges

_{électroniques}

a _pour effet non

seulement de créer le

_champ

radial

_qui

vient d’être

étudié,

mais aussi un

_{champ longitudinal}

-~ Ez.

La

_présence

de ce

_champ

confère aux électrons une

accélération.

Soit 1 la durée de transit entre o et un

point

M

de cote Z

_9).

_Négligeons,

dans cette

étude,

l’effet de

bord,

c’est-à-dire supposons E~ constant

dans toute la section droite du faisceau.

L’application

du théorème de Gauss fournit alors

_(en

unités

_{électrostatiques) :}

.

149

de

_{l’équation}

_{précédente,}

Il 7. ii,

-

2?o représentant

le

_{champ longitudinal}

au

voisi-nage de l’électrode i.

Fig. 9.

L’équation

du mouvement

_longitudinal

des

élec-trons s’écrit alors :

La constance de v suppose donc la condition :

Dans cette

_{hypothèse :}

D’autre

_{part, la}

différence de

_{p otentiel’IL}

=

est

défi*nie

par :

dU -

E=.

es définie _par:

dz -

Ez. D’où : dU dU d_z _

]

d-t-

dS

dt u

vo Vo [E0 + 4 n

_it]

et ’IL

= 6’°C~~°t-;-2~~1t’)--~’p,~-I-2~~L-.

’-’0

Les électrodes

₍₁₎

et

₍₂₎

étant au même

_potentiel,

’IL est nul pour z =

1.

D’où:

La condition

₍₂₁₎

s’écrit donc :

La

_{quantité qui}

_figure

au

_premier

membre atteint

son maximum pour : t

== 2013?

ce maximum étant :

? Po

La condition

₍₂₁₎

fournit donc :

Soient i2

le deuxième membre de cette

_inégalité

et

_i,

la borne

_imposée

_par la condition

(20) :

étant inférieur ou

_égal

à

r a’, i1

est

_supérieur

t,

ou

_égal

à

1/2.

La condition

₍₂₂₎

est donc

générale-ment

_plus

restrictive _que

₍₂₀₎

ou, tout au

moins,

à _peu

_{près équivalente.}

Elle

_peut

encore s’écrire :

J ,

En

_précisant

les

_unités,

elle s’écrit :

REMARQUE. - Si le courant

_{électronique}

est

produit

à l’aide d’une cathode et d’une électrode

portée

au

potentiel

et située à la distance d

Fig. I U.

de celle-ci

_{( fig. 1 o),}

son

_expression,

dans le cas de la limitation par

charge d’espace,

est

et la condition

₍₂₄₎

_{s’exprime simplement}

par