Élargissement d'un faisceau d'électrons par la charge d'espace

HAL Id: jpa-00212793

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00212793

Submitted on 1 Jan 1960

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Élargissement d’un faisceau d’électrons par la charge

d’espace

Michel Boivin

To cite this version:

171

ÉLARGISSEMENT D’UN FAISCEAU D’ÉLECTRONS PAR LA CHARGE D’ESPACE

Par MICHEL

_BOIVIN,

Laboratoire de Chimie _Physique de la Faculté des Sciences de Paris.

Résumé. 2014 Nous avons établi une formule de récurrence _qui permet de calculer _{l’élargissement} d’un faisceau d’électrons _par la _{charge d’espace.} Nous avons _appliqué cette relation dans le cas

d’un accélérateur d’électrons de 1 MeV, et vérifié que les résultats sont en bon accord

avec _{l’expérience.} Abstract. 2014 We have

developed a récurrence formula for the _computation of the _widening of an electron beam _by the space charge. The _application of this formula has been found to be in

agreement with _experiments we have made with a 1 MeV electron accelerator.

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _21, NOVEMBRE 1960

La méthode utilisée est celle dite « de

pertur-bation _», d’un

_emploi

_fréquent

_pour le calcul des

aberrations en

_{optique électronique.}

A notre

connaissance,

elle n’a

_jamais

servi à chiffrer l’aber-ration de

_{charge d’espace.}

Si on

remplit

les conditions de

Gauss,

l’équation

des

_{trajectoires électroniques,}

dans un

champ

élec-trique

de

_révolution,

est :

où (D est le

_{potentiel le long}

de l’axe de révolution z et r la distance de la

trajectoire à

l’axe.

Il est habituel de calculer deux

_trajectoires

parti-culières : v et u telles que :

Si le courant

_transporté

_par le faisceau d’élec-trons n’est _pas

_trop

_important,

on

_peut

_négliger

la

variation de

_{potentiel correspondant}

à la

_charge

d’espace

et ne tenir

_compte

_{que de la} modification du

_champ

radial.

L’équation

des

_trajectoires

devient dans ce cas :

p =

densité

de courant dans le

faisceau,

E = _constante

diélectrique

du vide.

Pour

_simplifier

le

_problème,

on

néglige

les

vitesses initiales des électrons. Les

_trajectoires

sont alors

_{perpendiculaires}

à la cathode et ne se croisent

jamais

avant le « cross over o. Considérons :

a)

La

_{trajectoire marginale lorsque}

la

_charge

d’espace

est

_{négligée :}

re

re est solution du

_système

_{d’équations}

rc _{étant le rayon de la} cathode.

b)

La

_{trajectoire marginale}

en

_présence

_de

charge d’espace :

Rie

Re est solution du

_système

_{d’équations :}

Nous allons chercher à calculer la différence h =

Re

~-

re,

qui correspond

à

l’élargissement

du faisceau. Nous _{supposerons que} la densité de cou-rant dans le faisceau est

_{indépendante}

de la

_position

radiale à l’intérieur du faisceau. Dans ce _cas, cette densité à l’intérieur d’un faisceau à

_symétrie

axiale est :

en notant I l’intensité du courant et V la vitesse

des électrons ’

mais

_{(1 /2)}

mV2 = e (D.

Posons

_{e/m = ~3}

d’où

Le second membre de

_{l’équation}

₍₄₎

devient :

La solution

_générale

de

_{l’équation (1)}

est de la

forme

Pour résoudre

_{l’équation}

₍₂₎

nous _poserons

- Rpl4s

=

f (z),

en

_supposant

cette fonction

connue.

Nous sommes ainsi ramenés à une

équation

diffé-rentielle linéaire du deuxième ordre avec second

membre,

que l’on résout par la méthode de

varia-tion des contantes.

avec

d’où

172

et

voltage équivalent

à la vitesse initiale des

électrons la

_{plus probable.}

Si l’on choisit

_{pour R}

et r les mêmes conditions

initiales :

On obtient :

d’où la valeur cherchée :

avec

Posons

mais 1

équation

que l’on résout par itération

Cette méthode a été utilisée lors de l’étude d’un

accélérateur d’électrons de 1 MeV

_(*).

Ce tube

accélérateur est _{constitué par} un

_empilement

d’électrodes étudiées de

_façon

à réaliser un

_champ

axial aussi constant _que

_possible,

d’un filament et d’un wehnelt

_qui

_permet

de

_régler

l’intensité et l’ouverture du faisceau. ,

Après

avoir calculé les

_trajectoires

« u » et « v »

nous avons évalué l’influence de la

_{charge d’espace}

sur les dimensions du « cross over ».

Le calcul a été fait pour un courant de 1 mA et une tension totale de 500 kV. Le rayon de la

cathode était de 2 mm.

Soit

Zc

la

_position

de ce « cross over »

mais b

Nous avons trouvé une

_première

valeur par

excès de

_hx~

en faisant dans

_{l’intégrale}

h =

0,

valeur _que nous avons

_reportée

dans

_{l’intégrale.}

Les valeurs trouvées ont été les suivantes :

Les valeurs encadrant la valeur réelle de

_hx~

étant donc

_3,92

mm et

_3,05

mm. Ces valeurs sont en bon accord avec

_{l’expérience.}

Ce travail a été effectué dans le cadre de la

prépa-ration d’une thèse

_{d’ingénieur}

C. N. A. M. au

Laboratoire de Chimie

_Physique

de la Faculté des

Sciences de

_Paris,

sous la Direction de Mlle Y.

Cauchois.

J’adresse mes sincères remerciements à

MM. Bruck et Wendt _pour leurs

_précieux

conseils. Manuscrit reçu le 29 mars 1960.

(*)

On trouvera la _description détaillée du _montage et

de ses conditions _types de fonctionnement dans le Journal