HAL Id: jpa-00233918
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Submitted on 1 Jan 1945
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Divergence, sous l’effet de la charge d’espace, d’un
faisceau électronique cylindrique au voisinage d’une
cathode
G. Goudet, A.-M. Gratzmuller
To cite this version:
LE
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
DIVERGENCE,
SOUS L’EFFET DE LA CHARGED’ESPACE,
D’UN FAISCEAU
ÉLECTRONIQUE
CYLINDRIQUE
AU VOISINAGE D’UNE CATHODEPar M. G. GOUDET et Mlle A.-M. GRATZMULLER.
Sommaire. 2014 I. INTRODUCTION. 2014 Un faisceau
électronique émis par une cathode circulaire plane,
entourée d’un anneau de garde, est accéléré par une anode plane, indéfinie, parallèle à la cathode. L’influence de la charge d’espace sur un tel faisceau peut être double :
Elle peut tout d’abord limiter l’émission électronique (loi de Langmuir); nous nous placerons dans le cas où cette condition est vérifiée.
Elle provoque nécessairement un effet de divergence du faisceau que nous nous proposons d’étudier. Nous admettrons que les électrodes sont assez proches pour que cet effet transversal soit faible et pour que le mouvement longitudinal des électrons soit le même que dans le cas d’une cathode indéfinie.
Dans ces conditions, nous pouvons déterminer la distribution des charges à l’intérieur du faisceau,
puis celle du potentiel et celle du champ.
Nous en déduisons la trajectoire d’un électron périphérique.
II. MÉTHODE. 2014 Pour conduire ce calcul, il est commode de s’appuyer sur le théorème des images
électriques et de représenter toutes les grandeurs inconnues par des développements en série de Fourier.
III. CONCLUSION. 2014 L’effet de divergence étudié est indépendant des données de nature électrique,
et ne dépend que d’un paramètre géométrique : le rapport $$03B1
= a/R
de la distance des deux électrodes aurayon du faisceau.
Nous résumons les résultats numériques obtenus en traçant la courbe qui fournit l’augmentation relative du rayon du faisceau au niveau de l’anode en fonction de 03B1.
SÉRIE VIII. - TOME VI. No 6. JUIN 1945.
1. Introduction. - L’effet des forces de
répulsion
des électrons d’un faisceau est d’autant
plus
impor-tant que la densité decharge
d’espace
estplus
élevée et que la vitesse des électrons estplus
faible. Il se fait doncparticulièrement
sentir auvoisinage
d’une cathode émissive.
Nous nous proposons de déterminer
l’augmen-tation du diamètre d’un faisceau issu d’une cathode
plane
circulaire de rayonR,
entourée d’un anneaude
garde
(~tg.
i).
Les électrons sont accélérés par une anode
plane
illimitée,
parallèle
à lacathode,
située à la distancea de
celle-ci,
etportée
aupotentiel
Uo. Noussuppo-serons que l’émission est limitée par la
charge
d’espace.
Dans ces conditions, et si deplus
la cathodeétait
indéfinie,
la densité - i du courantélectro-nique
serait donnée par la loi deLangmuir
dontnous allons
rappeler
brièvement la démonstration.Soit un
point
M situé à la distance z de lacathode;
Fig. 1.
désignons
par U lepotentiel,
- p la densité decharge, v
la vitesse des électrons en cepoint.
Cesdiverses
grandeurs
sont des fonctions de z définiespar les
équations
1.... T r
(théorème des forces vives; -- e et ni, étant
respective-ment la charge et la masse de l’électron).
Par élimination de p et de
V,
on en déduitEn
multipliant
les deux membres pard U
et enz
intégrant,
on obtientLa constante
d’intégration
estnulle,
car au voisi-nage de lacathode,
lechamp électrique
--dU
dzest
nul,
puisque
le courant estlimité
par lacharge
d’espace.
On a donc simultanément
En
intégrant
une deuxièmefois,
et tenantcompte
à nouveau des conditions sur lacathode,
on obtientenfin
2
Le courant i est déterminé par la condition aux
limites
D’où
On
peut également
introduireUo
et cc dansl’expres-sion de la distribution de
potentiel;
celle-ci s’écritalors
le
On en déduit aussitôt
et
en
posant
On
peut
également
calculer la durée detransit,
de la cathode aupoint
M.L’expression
précédente
de la vitesse fourniten effet
qui
conduit,
parintégration, à
la relationSi les électrodes sont suffisamment
rapprochées,
l’augmentation
relative du diamètre du faisceau estfaible;
nous pourrons donc, dans ce cas, calculerles forces de
répulsion
exercées sur un électronpériphérique
en substituant au faisceau réel unfaisceau
cylindrique,
à l’intérieurduquel
larépar-tition des
charges
est encore donnée parl’équation
précédente.
2. Méthode. -- o
Images
électriques.
-La méthode desimages électriques déjà
utilisée(1)
Fige.
z
conduit à
remplacer
lesystème
précédent
par lesystème
équivalent
de lafigure 2
enprenant
lesimages multiples
du faisceau.Le
système
étant derévolution,
nousemploierons,
pour le
définir,
les coordonnéescylindriques
r, z, 0. La densité decharge
- ~ est fonctionpériodique
de z,
depériode 2
a; elle estindépendante
de 0. ~1~ GOUDET - GRATZMULLER, Divergence, sous l’effet de lacharge d’espace, d’un faisceau électronique cylindrique non
155
Elle
peut
donc êtrereprésentée
par undévelop-pement
en série de Fourier de ~; celui-ci,compte
tenu des éléments de
symétrie,
ne contient quedes termes d’ordre
impair.
Nous l’écrironsLes coefficients
A 2/7+1
peuvent
être connus,A l’extérieur du faisceau
(r > R) A2p+1
= o.A l’intérieur du faisceau
(r
R),
d’après
noshypothèses, A2p+t
estindépendant
de r, et se déduit. de
l’expression
de p
fournie par la loi de
Langmuir.
2° Relations entre le
développement
ensérie de I~’ et celui de p.
Expression
de lacomposante
radiale duchamp. -
Lepotentiel
Upeut
êtreexprimé
par undéveloppement
du mêmetype
zLes coefficients
B2p+1
se déduisent de la relation dePoisson
àU - 4xp = o
(U.E.S.)
(7)
jointe
aux conditions aux limites : a.U == 0 pour r == 00.
b. A la surface du faisceau
électronique,
continuité dupotentiel
et de lacomposante
normale duchamp.
Enexplicitant -AU
en coordonnéescylindriques
on obtient
d’où,
enportant
lesdéveloppements
dansl’équa-tion
(7)
et en identifiant en z,A l’extérieur du faisceau
A2P+1
(r)
=o,
l’équa-tion
précédente
se ramène alors, par lechan-- 7*
gement
de variablex = l (2 p -f- 1) ‘ à
uneéquation
de Bessel
(2) ,
dontl’intégrale générale
estIo
désignant
la fonction de Bessel modifiée depremière espèce
et d’ordre zéro etH’ 0 la
fonction de Hankel depremière espèce
et d’ordre zéro, 7.2p-.let
~~p~.~
étant des constantes arbitraires.‘
A l’intérieur du faisceau
Désignons
parB9p+1 l’expression
du coefficientB2p--t-l
dans cetterégion :
~~,,+, et ~ ~,, ;1
étant de nouvelles constantes arbi-traires.Io
augmente
indéfiniment avec r, tandis que lepotentiel
I~’ doit resterfini;
donc Cl.2P+l est nul. De même e mêmeHi (e(2P+I)1Cr’) t.
0indéfini-J
a / augmene ln e
lnl-ment
quand
r tend verszéro;
donc2p
est nul.Les conditions de continuité à la surface du faisceau
s’expriment
par(continuité
de la composante radiale duchamp).
D’où les relations
L’équation précédente
s’écrit doncEn éliminant
¡52P+1
entre(8)
et(~~,
on obtientL’expression
dupotentiel
à l’intérieur du faisceau est doncPour le calcul de la
trajectoire
d’un électronpériphérique,
nous aurons besoin de lacomposante
radiale duchamp
au bord du faisceaules coefficients
C2P+l
étant donnés par30 Calcul des coefficients
A2p+l
dudéve-loppement
de la densité decharge.
;~, - Ladistribution de p est définie par les formules
(3)
et
(4)
:
Posons
CO’" ,,
Fig. 3.
Le
développement
(5)
s’écrit alorsSes coefficients sont définis par la formule
clas-sique
Posons
Nous obtenons enfin
La courbe
représentative
de la fonctionsin 2u
auu
l’aspect indiqué figure
3.Pour calculer
A2p+1,
nous calculeronssuccessi-vement
Nous avons obtenu par calcul
graphique
lesvaleurs
numériques
des troispremières
de cesinté-grales
Les
intégrales
suivantespeuvent
être obtenuesavec une
précision
suffisant par un calculapproché.
_J2La variation de u --:1 devenant de
plus
enplus
lente à mesure que u
augmente
davantage,
nous utilisons, pour calculer ym, ledéveloppement
en_2
série de
Taylor
de u;3 auvoisinage
de u = 2 m7!.157
et obtenons ainsi
D’où,
enmultipliant
par sin u = sin x et enintégrant
terme à terme,Les termes de rang r
pair
dansl’expression
précé-dente sont nuls. Nous pouvons donc écrire celle-ci
en
posant
r = 2 k + 1, k étant un entierquelconque
positif
ou nulavec
Cette dernière
expression
est aisémentintégrable.
On
peut
partir
deet utiliser la formule de récurrence
obtenue en
intégrant
parparties.
On obtient ainsi
Le
développement (15)
permet
alors le calcul de ym. Or l’intérêt de cedéveloppement
réside danssa très
rapide
convergence, d’autantplus
rapide
que m est
plus
élevé.-’2
En
effet,
limitons ledéveloppement
de u " auterme d’indice 2 k --~- i inclus. En utilisant le reste
correspondant,
on obtient pour ledéveloppement
limité de Ym un reste
ayant
pour module0
étant
unefonction de x
comprise
entre -- ~ et+1
L’intégrale précédente peut
s’écrireLa
première
de cesintégrales
estnégative;
la seconde estpositive.
Leur somme est donc en valeur absolueplus petite
que laplus
grande
des deux.Or,
onmajore
les valeurs absolues enprenant
0 == -1.On obtient donc
ou encore
L’expression
étant inférieure à i, l’erreur commise en s’arrêtant
au terme i inclus dans le calcul
de Ym par le
développement (15)
est donc inférieure àDans le calcul de y,,,
(m
=3),
on obtient une erreur inf érieure à 0,2.10~, soit une erreur relativeinférieure à
1
en s’arrêtant à k = 2. Dans le100
calcul de Ys
(m
=8),
on ne commetqu’une
erreurrelative inférieure
à I en
s’arrêtant à k = i. 1000Nous avons ainsi obtenu
De ces valeurs
de y,
nous avons déduit les coeffi-cientsA ;
ceux-ci,
d’après
la formule(13),
peuvent
être calculées par
l’expression
158
1 0
Calcul des coefficients C,, de lacompo-sante radiale Er du
champ
électrique
à la limite du faisceau. - Lacomposante
duchamp
électrique
à la surface dufaisceau,
dont l’actionsur les électrons provoque l’effet de
divergence
étudié,
est définie par la formule(10)
les coefficients étant donnés par la formule
(11)
que nous récrivons :
Ils
dépendent
des dimensionsgéométriques
dufaisceau par l’intermédiaire du facteur
a
ii
(20 )
et la formule
(19)
permet
de les calculer pourchaque
valeur de a.
T ABLEA U I. -- Valeurs de
Ce calcul
peut
d’ailleurs être notablementallégé
par utilisation desdéveloppements asymptotiques
des fonctions
utilisées,
valableslorsque
l’argu-ment
{ 2p’ + I ) "R --
2013-e-201320132013
est assezgrand,
a ÇX
Ces
développements
sont :I’s conduisent à la formule
simplifiée
Les valeurs trouvées sont rassemblées dans le
tableau I.
50 Détermination de la
trajectoire
d’un électronpériphérique.
-L’équation
dumou-vement radial d’un électron
périphérique
estDans nos
hypothèses,
le mouvementlongitudinal
d’un électron est le même que si la cathode était indéfinie:
l’équation
(5)
est donctoujours
vérifiéeIl en résulte que
l’expression (10)
de Erpeut
s’écrire
L’équation
du mouvement radial devientdonc,
compte
tenu de(4),
Utilisons des variables réduites .en
posant
On en déduit
1
péri-159
phérique
deviennent alorsTAHL$1U II. - Yalurs de 18
d2s
S .
T,&BLICAU il. - Valeurs de
181t. d828
Fig. 4.
Ces deux
équations
ne contenant pasexplici-tement
Uo,
l’élimination de 0 entreelles,
conduiraità une relation entre s et ~
indépendante
de~Iq;
l’équation
de latrajectoire
en coordonnées réduites set ~ ne
dépend
doncque du
paramètre géométrique x,
à l’exclusion de toute variabled’origine
électrique.
TABLEAU I II. - Valeurs de
I 8 , ds ,
doFlg. 5.
De
même,
l’équation
de cettetrajectoire
en cordonnéesnon réduites z et r, n’est
fonction
que desparamètres
géométriques
a et r.L’équation (24)
a étéintégrée
pour diverses160
On trouvera successivement
Les valeurs de
d 62 en
fonction de 0 etTableau
II).
TABLEAU IV.2013
_
Fig. M.
Les valeurs
de ds
en fonction de 0(fig.
5 eti-o Tableau
III).
-L’augmentation
As enfonction de
0(fin.
6et
Tableau
IV).
Cette dernière courbe définit le mouvement
radial d’un électron
prériphérique.
TABLKAU V. -
L’équation (23)
en définit le mouvement
longitudinal.
Par élimination du
paramètre
0,
on obtient donc latrajectoire.
161 III. Conclusion. - Les calculs
précédents
nousfournissent la forme du faisceau
électronique,
dans tous les cas où ladivergence
du faisceau estsuffi-samment
petite.
TABLAU VI. - ARpour
= t.TABLEAU
VI. - If i. Fig. 8. ’Pratiquement,
le facteur leplus
intéressant estl’augmentation
relative1
du rayon dufaisceau,
R
au niveau de l’anode. Nous savons que ce facteur
est
indépendant
de toute donnéeélectrique,
etpeut
êtreexprimé
uniquement
en fonction durapport
a.Nous avons utilisé les résultats de la
figure 7
et du Tableau V pour tracer la courbe de lafigure
8 et dresser le Tableau VI. Ceux-ciindiquent
la variation de en fonction au niveau deR
l’anode,
et achèvent de résoudre leproblème posé.
Appendice.
Il est
possible
degénéraliser
lapropriété
suivantlaquelle
la forme du faisceauélectronique
estindépendante
de la tensionappliquée :
Soient un ensemble d’électrodes et une
cathode,
source d’électrons dont nous
négligerons
l’agitation
thermique. Supposons
que l’émissionélectronique
soit limitée par la
charge
d’espace,
c’est-à-dire quele
champ
électrique
soit nul auvoisinage
de lacathode;
admettons deplus
que les tensionsappliquées
soient continues et bornons-nous à examiner le cas desrégimes permanents.
Dans ces
conditions,
lestrajectoires électroniques
sontconservées,
lorsque
l’onmultiplie
par un mêmenombre
positif
n, lesdifférences
depotentiels
entreles électrodes et la cathode.
En
effet,
prenons commepotentiel
zéro celui de lacathode,
et soientU1, U2,
..., Uk, ...,Up
lespotentiels
des diverses
électrodes;
gardons
les notations utilisées dans l’articleci-dessus,
etdésignons
par M unpoint
quelconque.
Les
équations
d’unrégime permanent
corres-pondant
aux données sont :+
+
dtI =- E
dM,
définition dupotentiel;
{1 )
divE
équation
de Poisson;(2)
1 _ - eE = m
d l
équation
de ladynamique;
(3)
, , définition de v ;(4)
= o, conservation de lacharge;
(5)
jointes
aux conditions aux limitesExaminons maintenant si la distribution des
champ
; a
, , ,
E= nE
(n
étant un nombrepositif quelconque) (7)
est
susceptible
d’être obtenue par un choixconve-nable des
potentiels
U~.D’après
l’équation (1),
cechamp
dérive dupotentiel
D’après l’équation (2),
ilcorrespond
à la distri-butionspatiale
decharges
L’équation (3)
garde
la même formesi,
ayant
-> 2013>remplacé
E’ par nE, on y faitapparaître
la1
variable au lieu de z’.
tra-jectoire
pour un électron issu sans vitesse initiale d’unpoint M~
donné de lacathode,
et il existeentre les durées de transit la
correspondance
L’équation (4)
devient pour le nouveaurégime
Enfin
l’équation (5)
se trouveidentiquement
vérifiée par les
expressions
(9)
et(11).
Il résulte de ce
qui précède
que lerégime
dont lesdivers éléments sont caractérisés par l’indice ’ satisfait aux 5
équations
fondamentales duproblème.
-De
plus,
dans cerégime,
E’ s’annule sur lacathode;
au
voisinage
decelle-ci,
son sens est comme celui->
de
E,
telqu’il
permette
l’extraction des électrons. Enfin U’ est constant sur les diverses électrodes.Sa valeur sur la est
Le
régime
décrit satisfait donc à toutes les conditionsimposées, lorsque
les électrodes sontportées
auxpotentiels
respectifs
définis par la relationprécé-dente.
Il est donc bien un des
régimes permanents
correspondant
à ces dernières données.Ce
qui
démontre laproposition
étudiée.Celle-ci a le même énoncé
qu’un
théorèmeclas-sique d’optique électronique
valable seulementquand
tout effet decharge
d’espace
estnégligé.
Manuscrit reçu le 28 juillet
PARCOURS DES RAYONS 03B1 DE L’IONIUM
Par IRÈNE CURIE et S. T. TSIEN.
Sommaire. 2014 On
détermine, au moyen d’un amplificateur proportionnel, le parcours des rayons 03B1
de l’ionium, par différence avec celui des rayons 03B1 du polonium. Admettant, pour le parcours moyen
des rayons 03B1, du polonium 3,843 ± 006 cm, on trouve, pour l’ionium 3,110 ± 0,010 cm, dans l’air à 15° et 760 mm de pression. On en déduit, pour l’énergie initiale des rayons 03B1 de l’ionium, une valeur de 4,62 MeV.
Les diverses déterminations
qui
ont été faites du parcours des rayons « de l’ionium sont ancienneset n’ont pas donné des résultats très concordants
[ 1 ] ;
la vitesse initiale de ces rayons
n’ayant
pu êtredéterminée par la déviation
magnétique,
à causede
la faible activité del’ionium,
il subsiste une assezgrande
incertitude sur la valeur à admettrepour
l’énergie
dedésintégration.
Nous avonsrepris
l’étude du parcours, en vue de déterminer cette
énergie
de manièreplus précise.
Le parcours est mesuré au moyen d’une chambre
montée sur un
amplificateur proportionnel.
Lefaisceau des rayons « canalisés émis par une couche
mince d’un
mélange
ionium-thoriumpénètre
dansune chambre différentielle
[2]
dont les deuxcompar-timents ont chacun une
épaisseur
de 2 mm. Lafeuille d’entrée du
premier
compartiment
et lafeuille
qui
sépare
les deuxparties
de la chambresont en aluminium mince absorbant environ o,8 mm
du parcours. La chambre est reliée à
l’àmplifi-cateur
proportionnel qui communique
sesimpul-sions à un
oscillographe
cathodique :
on observevisuellement seulement les
impulsions supérieures
à 60 pour Ioo del’élongation
maximum,
cequi
revient à diminuer
l’épaisseur
efficace de lachambre,
et, par
conséquent,
augmenter
lepouvoir séparateur.
La source a été
préparée
sur une feuille deplatine,
par
électrolyse
du nitrate de Io-Th en solution alcool-acétone[3], puis
chauffée au rouge pourtransformer le
dépôt
enoxyde.
Nous avons utilisésuccessivement deux
mélanges
deIo-Th,
l’un à10 pour oo
Io,
l’autre à 28 pour iooIo,
donnantrespectivement,
en couchemince,
des activitésde 2 U. E. S. et
5,7
U. E. S. par mgd’oxyde.
D’après
les activités
superficielles
(environ
o,4
U. E. S. sur1 cm2 et
0,1 U. E. S.
sur undisque
de 3 mm dediamètre),
on estime la massesuperficielle
des deux sources à o, 19 eto,25
mgjcm2;
on calcule quel’absorption
des rayons « dans la couche activedoit être de
o,5
mm et 0,7 mm d’airrespectivement.
On a donc
corrigé
les résultats obtenus pour leparcours moyen, de la moitié de cette valeur.
Comme il est difficile d’avoir une valeur absolue
du parcours en raison de la difficulté
qu’il
y a à déterminer lapartie
de la chambrequi
doit êtreprise
commeorigine
desdistances,
on a déterminéle parcours des rayons de l’ionium par différence
avec ceux du
