5 2 Problème des moments de Hausdorff 6 2.1 Notations de calcul des différences finies

Felix Hausdorff (allemand, 1868-1942)

Travail Encadré de Recherche

PROBLÈME DES MOMENTS

Mathieu Delamare (M1)

Responsable : M. Christophe Leuridan

mai 2011

Hans Ludwig Hamburger Thomas Joannes Stieltjes (allemand, 1889-1956) (néerlandais, 1856-1894)

Table des matières

Introduction 3

Notations et définitions préalables 3

1 Premiers résultats 4

1.1 De la non-trivialité du problème des moments . . . . 4

1.2 Moments et variables aléatoires bornées . . . . 5

2 Problème des moments de Hausdorff 6 2.1 Notations de calcul des différences finies . . . . 6

2.2 Généralisation aux fonctions . . . . 7

2.3 Approximation de Bernstein . . . . 9

2.4 Suites complètement monotones . . . . 10

2.5 Théorème de Hausdorff . . . . 13

3 Problèmes des moments de Hamburger et de Stieltjes 16 3.1 Résultats d’existence pour les problèmes de Hamburger et de Stieltjes . . . . 16

3.2 Une condition suffisante simple d’unicité . . . . 17

3.3 Suites convexes . . . . 19

3.4 Quasi-analyticité et théorème de Denjoy-Carleman . . . . 23

Références 35

Figures 35

TABLE DES MATIÈRES Problème des moments

Introduction

SoitIun intervalle fermé deR^{. Soit}(cn)∈R^{Ntelle quec}0 =1.

Résoudre le problème des moments sur I consiste à trouver des conditions d’existence et d’unicité d’une mesure borélienne positiveµportée parItelle que :

∀n∈N^{, c}n=

Z R

xⁿdµ(x)

La normalisationc₀ = 1 impose alors ൠd’être une mesure de probabilité sur I. Ainsi, cela revient à chercher des conditions d’existence, et d’unicité en loi, d’une variable aléatoire presque sûrement à valeurs dansI, telle que pour toutndansN,cn=E(Zⁿ).

Dans la littérature, on rencontre principalement trois cas dans lesquels ce problème est résolu :

• le cas oùI = [0, 1]: problème des moments deHausdorff,

• le cas oùI =R: problème des moments deHamburger,

• le cas oùI =R⁺: problème des moments deStieltjes.

L’objectif de ce TER est de donner un critère d’existence et d’unicité pour le problème de Hausdorff, et d’établir des conditions suffisantes d’unicité pour les problèmes de Hamburger et de Stieltjes. La démarche proposée pour le problème de Hausdorff est celle employée par William Feller (1906-1970) dans [1]. Concernant les problèmes de Hamburger et de Stieltjes, on citera sans démonstration les résultats d’existence. Le principal critère d’unicité sera obtenu via le théorème deDenjoy-Carleman sur les classes quasi-analytiques.

Notations et définitions préalables

Notations

Commençons par des notations et conventions qui seront utilisées tout au long de ce mémoire.

On se donne pour tout le mémoire un espace probabilisé(Ω,A,P).

L’expression « variable aléatoire » désigne une application mesurable de(Ω,A_,P)_dans(R,B(R))_. SiUest une variable aléatoire, on noteφ_U sa fonction caractéristique et f_U sa densité si elle existe.

On confond les polynômes deR[X]avec leurs fonctions polynomiales associées.

Définitions

Introduisons maintenant quelques notions commodes qui serviront à éviter un recours systématique à des variables aléatoires en se contentant de travailler sur leurs lois. Cela permettra parfois d’allé- ger la présentation de certains résultats, ou de mieux formuler certaines démonstrations. Il arrivera toutefois que le langage des variables soit plus adapté. C’est pourquoi le lien entre ces deux points de vue est explicité à la fin du paragraphe qui suit.

Soitµune mesure positive sur(R,B(R)),I un intervalle deRetk∈N^∗.

(i) Etant donnée une fonction f ∈ _L¹(R^,B(R),µ), on notera hµ, fi l’intégrale de f sur R ^par rapport à la mesureµ.

(ii) On dit queµadmet un moment d’ordreklorsque Z

R

|x|^kdµ(x)< _∞.

Dans ce cas, on appellemoment d’ordrekdeµla quantité : m_k(µ):=

Z R

x^kdµ(x) =hµ,X^ki. (iii) On dit queµestportée parI lorsqueµ(R\I) =0.

Problème des moments

Remarquons que siµest une probabilité portée par I, etZune variable aléatoire de loiµ:

• Zest presque sûrement à valeurs dansI;

• µadmet un moment d’ordreksi et seulement siE(|Z|^k)<_∞et on a alorsm_k(µ) =E(Z^k)_;

• pour f ∈_L¹(R^,B(R),µ),hµ, fi=E(f(Z)).

1 Premiers résultats

Nous allons, dans cette section, énoncer des résultats préliminaires sur le problème des moments.

1.1 De la non-trivialité du problème des moments

Il est tout d’abord nécessaire de justifier que la loi d’une variable aléatoire n’est pas toujours complè- tement caractérisée par la suite de ses moments. A cet effet, établissons un petit lemme de calcul, qui généralise légèrement celui de la fonction caractéristique d’une gaussienne centrée réduite.

Lemme 1 (Transformée de Fourier de x7→exp(−x²/2)) Quel que soitz ∈C,

√1 2π

Z R

e^−x22e^izxdx=e^−z22.

Démonstration : •Soitϕl’application deC^dansCdéfinie par : ϕ(z) =

Z

R

e^−x

2 2 e^izxdx.

Montrons queϕest entière. Soitr>0.

Nous allons établir l’holomorphie deϕsurBr :={z∈C/|Imz|<r}. On pose pour tout(z,x)∈C×R,F(z,x):=e^−x

2 2 e^izx.

~Il est clair que pour toutx∈R^,F(·,x)est une fonction holomorphe surBr.

~Soitz∈Br. Pour toutx∈R,

|F(z,x)|=e^−x

2

2 e^Re(izx)=e^−x

2

2 e^−xImz6e^−x

2

2 e^rx=e^r

2 2 e^−(x−r)

2

2 .

De plus,

Z

R

e^−(x−r)

2

2 dx=

Z

R

e^−y

2

2 dy<_∞.

Le théorème d’holomorphie des intégrales dépendant d’un paramètre montre queϕest holomorphe surBr. Commerétait arbitraire,ϕest entière.

•Comme z 7→ e^−z22 est elle aussi entière, on peut se contenter d’établir l’identité souhaitée pour z imaginaire pur, par prolongement analytique.

Pourz=it,t∈R, on a : ϕ(z) =

Z

R

e^−x22e^−txdx= Z

R

e^−(x+t)

2

2 e^t22 dx=e^t22 Z

R

e^−y

2

2 dy=√

2πe^−(it)

2

2 =√

2πe^−z22. Le résultat s’en déduit aussitôt.

A présent, nous allons exhiber un contre-exemple, qui justifiera l’existence de variables aléatoires dont la loi n’est pas complètement déterminée par la seule donnée des moments de tous ordres.

1.2 Moments et variables aléatoires bornées Problème des moments Fait 1

Soit Y := e^U, oùU est une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Soit f la fonction définie surR^{par f}(x):= ^√1

2πe^−x22 (1+sin(πx)). Alors : (i) f est une densité de probabilité ;

(ii) siVdésigne une variable aléatoire de densité f, la variable aléatoireZ:= e^Va la même suite des moments queY, mais n’a pas la même loi queY.

Démonstration : (i) f est clairement positive, et puisquex7→e^−x22 sin(πx)est impaire intégrable surR, Z

R

e^−x22 (1+sin(πx)) dx= Z

R

e^−x22 dx+ Z

R

e^−x22 sin(πx)dx=√ 2π.

(ii)SoitVdésigne une variable aléatoire de densité f etZ:=e^V. Quel que soitk∈N, E

Z^k

=E

e^kV

= √¹ 2π

Z

R

e^kxe^−x

2

2 (1+sin(πx))dx= √¹ 2π

Z R

e^kxe^−x

2

2 dx+

Z

R

e^kxe^−x

2

2 sin(πx)dx

. Par ailleurs,

2i Z

R

e^kxe^−x22 sin(πx)dx = Z

R

e^kxe^−x22e^iπxdx− Z

R

e^kxe^−x22e^−iπx

= Z

R

e^−x

2

2 e^i(π−ik)x− Z

R

e^−x

2

2 e^{i(−π−ik)x}

= √

2π

e^−(π−ik)

2

2 −e^−(π+ik)

2 2

par le lemme précédent

= √

2π

e^−π22+k2e^iπk−e^−π22+k2e^−iπk

= 2i√

2πe^−π22+k2 sin(πk) =0.

Ainsi :

E Z^k

= √¹ 2π

Z

R

e^kxe^−x22 dx=E e^kU

=E Y^k

.

De plus, puisquex7→sin(πx)est continue, positive et non identiquement nulle sur[0, 1], P(Z∈[1,e])−P(Y∈[1,e]) =P(V∈[0, 1])−P(U∈[0, 1]) = √¹

2π Z ₁

0 sin(πx)dx>0.

Donc,YetZn’ont pas même loi.

Cela étant dit, une condition simple mais plutôt restrictive nous assure qu’une variable aléatoire est complètement déterminée par ses moments :

1.2 Moments et variables aléatoires bornées

La bornitude est en effet un critère suffisant, et il est relativement simple de le démontrer.

Proposition 1

Deux variables aléatoires bornées qui ont les mêmes moments ont la même loi.

Démonstration : SoientYetZdeux variables aléatoires bornées. Il est clair queYetZadmettent alors des moments de tous ordres. On choisitA>0 tel que|Y|6Aet|Z|6A.

Supposons que pour toutn∈N^,E(Yⁿ) =E(Zⁿ).

Alors, par linéarité, quel que soitP∈C[X],E(P(Y)) =E(P(Z)). Fixonst∈R, et soitε>0.

L’applicationx 7→e^itx est continue sur[−A,A], donc par le théorème d’approximation de Weierstrass (voir la proposition 3 dans la suite du mémoire pour une démonstration), il existePε∈C[X]_{tel que}

∀x∈[−A,A],

e^itx−Pε(x)6^ε 2.

Problème des moments

Etant donné queYetZsont à valeurs dans[−A,A], on obtient :

E

e^itY

−E

e^itZ

= E

e^itY−Pε(Y)+E(Pε(Y))−E(Pε(Z))−E

e^itZ−Pε(Z)

= E

e^itY−Pε(Y)−E

e^itZ−Pε(Z)

6 E

e^itY−Pε(Y)+E

e^itZ−Pε(Z)6 ^ε 2+^ε

2 =ε. Commeε>0 était arbitraire, on en déduit queE e^itY

=E e^itZ

, et ce, quel que soitt∈R. DoncYetZont même fonction caractéristique, donc même loi.

Intéressons-nous à présent au problème de Hausdorff, pour lequel nous allons établir une condition nécessaire et suffisante d’existence et d’unicité de la solution.

2 Problème des moments de Hausdorff

La démarche proposée par W. Feller utilise abondamment des propriétés algébriques liées à unopé- rateur aux différences finies. Nous allons donc commencer par établir quelques notations et lemmes de calcul, apparemment sans rapport avec le problème de Hausdorff, mais qui s’avéreront tant utiles qu’agréables lorsque l’on voudra énoncer et établir les résultats qui le résoudront.

2.1 Notations de calcul des différences finies Etant donnée une suitea= (a_n)_n∈R^N, on pose :

∆⁰(a):=a ∆(a):= (a_n+1−a_n)_n puis pour toutk∈N^{, ∆k+1}(a):=∆ ∆^k(a). Afin d’alléger l’écriture, on notera, pourk,n∈N,∆^ka_nle terme de rangnde la suite∆^k(a)_. Lemme 2

Soit(a_n)_n∈R^{N. On a :}

∀r∈N^, ∀i∈ N^{, ∆ra}i =

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−ja_i+j.

Démonstration : Soitr∈N. On définit l’opérateur de translationTsurR^NparT((xn)_n) = (xn+1)_n. On ob- tient alors la relation∆=T−Id_RN. CommeTet Id_RNcommutent dans l’anneau des endomorphismes R-linéaires deR^N, on peut leur appliquer la formule du binôme de Newton :

∆^r = (T−Id_RN)^r =

r

∑

j=0

r j

T^j◦(−Id_RN)^r−j=

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−jT^j.

Il est clair par récurrence immédiate que, pour toutk∈ N,T^k((an)_n) = (a_n+k)_n. On applique alors la relation ci-dessus à la suite(an)_n, ce qui donne, avec les abus de notations adoptés, l’identité souhaitée.

Lemme 3 (Formule de réciprocité et formule d’inversion) Soient(a_n)_n,(c_n)_n∈R^N. Alors, pour touts∈N^:

(i) ∀i∈N^,

s r∑=0

c_r s

r

∆^ra_i =

s

∑

j=0

a_i+j

s j

(−1)^s−j∆^s−jc_j; (ii) ∀k∈N^,ck =

s

∑

j=0

s j

(−1)^s−j∆^s−jc_k+j.

2.2 Généralisation aux fonctions Problème des moments

Démonstration : Soits∈N. (i)Soiti∈N.

s

∑

r=0

cr

s r

∆^ra_i =

s

∑

r=0

cr

s r

_r

∑

j=0

r j

(−1)^r−ja_i+j par le lemme 2

=

s

∑

j=0

a_i+j

s

∑

r=j

s r

r j

(−1)^r−jcr

! . Or, pour 06r6 j6s:

s r

r j

= ^s!

(s−r)!j!(r−j)! = ^s!(s−j)!

j!(s−j)!(s−r)!(r−j)! = s

j

s−j r−j

. Donc, pourj∈[[0,s]],

s r=∑j

s r

r j

(−1)^r−jcr =

s−j

∑

k=0

s j

s−j k

(−1)^kcj+k changement d’indicek=r−j

= (−1)^s−j s

j s−j

∑

k=0

s−j k

(−1)^s−j−kcj+k

= (−1)^s−j s

j

∆^s−jc_j (lemme 2) . D’où l’égalité souhaitée.

(ii)Soitk∈N. On pose pour toutn∈N^,dn :=c_n+k. Il s’agit d’appliquer (i) pour(an)valant constam- ment 1 et en remplaçant(cn)par(dn). On a alors, par le lemme 2 et la formule du binôme de Newton,

∀i∈N^,∆0ai=1 et∆^ka_i =0 dès quek>1.

La formule « de réciprocité » (i) permet d’obtenir qued0=

s j=0∑

s j

(−1)^s−j∆^s−jdj. Le résultat vient aussitôt en utilisant la définition de(dn).

Exemple. Soitθ∈R. On pose pour toutr ∈N^,cr :=θ^r.

Alors par le lemme 2 et la formule du binôme, pour tousk,r∈N^,

∆^rc_k = (−1)^rθ^k(₁−θ)^r_{. (1)} La formule de réciprocité donne alors, pour(a_n)_n∈R^Nets,i∈N^:

s r∑=₀

θ^r s

r

∆^ra_i =

s

∑

j=0

a_i+j

s j

θ^j(1−θ)^s−j.

2.2 Généralisation aux fonctions

Etant donnés u : R −→ R une application, x ∈ R ^{et h} ∈ R^{∗, on pose ∆}

hu(x) := ^u(x+h)−u(x) h

(∆

hu(x)est le taux d’accroissement deuentrexetx+h).

On remarque que, posant pour toutk∈N^,ak(u,x,h):=u(x+kh), on a la relation :

∆

hu(x) = ¹

h∆a₀(u,x,h). On définit alors, pourr∈N,

∆

h

ru(x):= ¹

h^r∆^ra0(u,x,h) =

lemme 2

1 h^r

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−ju(x+jh). (2)

A présent cherchons à établir un petit lemme de calcul, qui servira à démontrer le fait (intuitif) que, sous conditions (en fait par la seule dérivabilitérfois enx),∆

h

ru(x)−−→

h→0 u^(r)(x).

2.2 Généralisation aux fonctions Problème des moments

Lemme 4

(i) ∀r ∈N^∗,∀P∈Rr−1[X],

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−jP(j) =0 ; (ii) ∀r ∈N^∗,

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−j_j^r=_r!.

Démonstration : On définit la suite(Ps)_s∈Nd’éléments deR[X]par : Ps:=X(X−1)· · ·(X−s+1) =

s−1

∏

i=0

(X−i)sis>1 etP0:=X⁰.

(i)Soitr∈N^∗. Alors,(Ps)_06s6r−1est une base deRr−1[X](polynômes « de degrés échelonnés »).

Montrons que, pour touts∈[[0,r−1]], ∑^r

j=0

(^r_j)(−1)^r−jPs(j) =0.

Soits∈[[0,r−1]]. Remarquons que, par (2),

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−jPs(j) =∆

1 rPs(0).

Par ailleurs, sis>1 :

∆1Ps(X) =Ps(X+1)−Ps(X) = (X+1)

s−2 i=0∏

(X−i)−(X−s+1)

s−2 i=0∏

(X−i) =s

s−2

∏i=0

(X−i) =sPs−1(X). Et, sis=0, on a clairement∆

1

rPs(X) =0. Donc, par récurrence immédiate, pourk∈N^∗:

∆1

kPs(X) =

s(s−1)· · ·(s−k+1)Ps−k(X) sik6s

0 sik>s.

Ainsi, commes<r,∆

1

rPs(0) =0 et on a le résultat.

(ii)Soitr ∈ N^∗. Alors le polynômeX^r−Pr appartient àRr−1[X]et on peut lui appliquer le point (i) pour obtenir :

r j=0∑

r j

(−1)^r−j(j^r−Pr(j)) =0, soit encore :

r j=0∑

r j

(−1)^r−jj^r =

r j=0∑

r j

(−1)^r−jPr(j). MaisPr(j)vaut 0 pour 06 j<r. D’où :

r

∑

j=0

r j

(−1)^r−jj^r =Pr(r) =r!.

Proposition 2 (lien entre différence d’ordre r et dérivée r^ème)

SoientIun intervalle deR^,x∈ I etu: I −→Rune applicationrfois dérivable enx. Alors :

∆

h

ru(x)−−→

h→0 u^(r)(x).

Démonstration : Par le théorème de Taylor-Young, on a, pour toutj∈[[0,r]]: u(x+jh) =

h→0 r

∑

k=0

u^(k)(x)

k! (jh)^k+o(h^r).

2.3 Approximation de Bernstein Problème des moments

Ainsi, par définition de∆

h

ru(x), il vient :

∆

h

ru(x) =

h→0

1 h^r

r j=0∑

r j

(−1)^r−j

r

∑

k=0

u^(k)(x) k! (jh)^k

! +o(1)

h→0= 1 h^r

r k=0∑

u^(k)(_x) k! h^k

r j=0∑

r j

(−1)^r−jj^k

! +o(1).

Or, pour toutk∈[[0,r]],

r j=0∑

r j

(−1)^r−jj^k=r!δ_krpar le lemme 4. Ainsi :

∆

h

ru(x) =

h→0

1

h^rh^ru^(r)(x)

r! r!+o(1) =

h→0u^(r)(x) +o(1).

2.3 Approximation de Bernstein

Etant donnés f :[0, 1]−→R^etn∈N^∗, on définit l’élément(¹) deR[X]suivant : Bnf :=

n

∑

k=0

f k

n n k

X^k(1−X)^n−k. (3)

On peut alors énoncer le célèbre résultat suivant : Proposition 3 (Théorème d’approximation de Bernstein)

Soit f ∈_C([0, 1],R). Alors(B_nf)_nconverge uniformément vers f sur[0, 1].

Démonstration : On choisit, pourθ ∈ [0, 1] et n ∈ N^∗,Yn,θ une variable aléatoire de loi binomiale de paramètresnetθ. On poseZ_n,θ := ^Yn,θ

n . La variable aléatoireZ_n,θest à valeurs dans[0, 1], et : E(f(Zn,θ)) =

n

∑

k=0

f k

n n k

θ^k(1−θ)^n−k=Bnf(θ). Donc, quels que soientn∈N^∗etθ∈[0, 1],

|Bnf(θ)−f(θ)|=|E(f(Zn,θ))− f(θ)|.

Soitε>0. Par uniforme continuité de f sur le compact[0, 1], il existeδ >0 tel que :

∀x∈[_{0, 1}]_, ∀θ∈[_{0, 1}]_, |x−θ|6^δ =⇒ |f(x)− f(θ)|6 ^ε 2. On écrit alors, pourn∈N^∗etθ∈[0, 1],

|Bnf(θ)− f(θ)| 6 Z

{|Z_n,θ−θ|6δ}|f(Z_n,θ)− f(θ)|dP+ Z

{|Z_n,θ−θ|>δ}|f(Z_n,θ)−f(θ)|dP

6 ^ε

2P(|Zn,θ−θ|6^δ) +2kfk_∞P(|Zn,θ−θ|>δ)

= ^ε

2+2kfk_∞P(|Zn,θ−E(Zn,θ)|>δ) en notant queE(Zn,θ) =θ

6 ^ε

2+2kfk_∞^Var(Zn,θ)

δ² par l’inégalité de Bienaymé-Tchébychev

= ^ε

2+2kfk_∞^θ(₁−θ) nδ²

6 ^ε

2+²kfk_∞ nδ² .

1. parfois appelé polynôme de Bernstein d’ordrenassocié àf