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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

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Academic year: 2021

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(1)

ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020

PC DS 1 Corrigé

Date : 16/03/20 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés

Epreuve de M. Popo

Exercice 1

Notons I l'intégrale cherchée. On pose u=et, et en remarquant que dt= duu, on déduit I =

Z e

1

u2 3 +u

du u =

Z e

1

u 3 +udu

= Z e

1

1− 3

3 +udu=e−1−3[ln(3 +u)]e1

=e−1−3 ln(3 +e) + 6 ln 2.

Exercice 2

Soit f :R→Rn une fonction continue.

1. Posons F(x) = Rx

0 f(t)dt. Puisquef est continue sur R, F est dérivable sur R, avec F0 = f. On sait de plus queF(0) = 0. Ainsi, on reconnaît un taux d'accroissement :

Rx

0 f(t)dt

x = F(x)−F(0)

x ,

et donc

x→0lim Rx

0 f(t)dt

x =F0(0) =f(0).

2. Sif est dérivable en 0, alorsF est deux fois dérivable en 0. La formule de Taylor-Young donne alors

F(x) =F(0) +xF0(0) + x2

2 F00(0) +o(x2) = x2

2 f0(0) +o(x2).

On déduit que

F(x)

x ∼

0

f0(0) 2 x.

Exercice 3 Soit In déni par

In= Z +∞

0

tne−t2dx.

1

(2)

1. Posons fn(t) = tne−t2. On a fn ∈ C0([0,+∞[), et fn ≥ 0, on va donc comparer fn à une fonction de référence pour étudier la convergence de son intégrale au voisinage de+∞. On a

t2fn(t) =tn+2e−t2

t→+∞0 par croissance comparée. On déduit donc que

fn(t) =

t→+∞o(1 t2).

Puisque R+∞

1 1

t2dt converge en tant que fonction de référence de type Riemann, on déduit que R+∞

1 fn(t)dt converge par le théorème de compraison, et donc que R+∞

0 fn(t)dt converge puisque fn ∈C0([0,+∞[).

2. Pour x >0, on a

Z x

0

f1(t)dt= 1 2

Z x

0

2te−t2dt =−1

2[e−t2]x0 = 1−e−x2

2 ,

et donc en prenant la limite x→+∞ :

I1 = 1 2.

3. On remarque que fn(t) = 12tn−1×2te−t2, et pour n ≥2, on réalise une intégration par partie pour calculerRx

0 fn(t)dt : Z x

0

fn(t)dt= [−1

2tn−1e−t2]x0 + n−1 2

Z x

0

tn−2e−t2dt.

En prenant la limitex→+∞, on obtient Z +∞

0

fn(t)dt = n−1 2

Z +∞

0

fn−2(t)dt, ce qui est bien la relation souhaitée.

4. On a en utilisant la question précédente : I2n+1 = 2n

2 I2n−1 =nI2n−1 =n!I1, par une récurrence immédate. En conclusion,

I2n+1 = n!

2. 5. De manière similaire, on a pour n≥2 :

I2n= (2n−1)×. . .×3×1 2n I0. Il est possible d'obtenir une expression synthétique du facteur :

(2n−1)×. . .×3×1

2n = 2n×(2n−1)×. . .×3×2×1

2n×(2n−2)×2×2n = (2n)!

n!4n. En conclusion,

I2n = (2n)!

n!4nI0. 2

(3)

Exercice 4

Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ?

1. La fonction f(t) =t est bien continue sur R. On xe c∈R, on a alors

x→+∞lim Z x

c

tdt= +∞.

Cela prouve que R+∞

c tdt est divergente, et donc R+∞

−∞ tdt l'est aussi par dénition.

2. On pose φ(t) = sint

t32 . On sait que φ est continue sur ]0,+∞[. Nous allons étudier séparément R1

0 φ etR+∞

1 φ.

• Près de 0, on a sint∼

0 t, et donc

φ(t)∼

0

1 t12. On sait que R1

0 1

t12dt converge. De plus φ≥ 0 sur ]0,1]. Donc le théorème de comparaison s'applique : R1

0 φ(t)dt converge.

• On a pour toutt ≥1:

|φ(t)| ≤ 1 t32. On sait queR+∞

1 1

t32dtconverge. Donc le théorème de comparaison s'applique :R+∞

1 |φ(t)|dt converge, ce qui implique que R+∞

1 φ(t)dt converge.

En conclusion,R+∞

1 φ(t)dt converge.

3. Posons h(t) = ln1t. Alorsh est clairement continue sur]0,1[et de signe constant (négatif). On a de plus

limt→0h(t) = 0.

Ainsi, R 12

0 h(t)dt converge. Intéressons-nous à ce qu'il se passe près de 1. On a l'équivalent ln(t)∼

1 t−1, et donc

h(t)∼

1

1 t−1. Or, on sait d'après le cours que R1

1 2

1

t−1dt est divergente. Puisque h est de signe constant, on peut conclure par le théorème de compraisonR1

1 2

h(t)dt est divergente, et c'est donc le cas de R1

0 h(t)dt.

4. On introduit la fonction g(t) = e−|lnt|

3

2. Cette fonction est continue sur ]0,+∞[, strictement positive, de plus, on a limt→0|lnt|32 = +∞, et donc

limt→0g(t) = 0,

3

(4)

ce qui assure la convergence de R1

0 g(t)dt d'après le cours. Interessons-nous maintenant à R+∞

1 g(t)dt. On a

t2g(t) =e2 lnt−|lnt|

32

, orlimt→+∞(2 lnt− |lnt|32) = −∞, et donc

t→+∞lim t2g(t) = 0.

On déduit donc que

g(t) =

t→+∞=o(1 t2).

PuisqueR+∞

1 dt

t2 converge, il en est de même pourR+∞

1 g(t)dt, par le théorème de comparaison.

On déduit queR+∞

0 g(t)dt converge.

4

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