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ANNÉE UNIVERSITAIRE 2019/2020
PC DS 1
Date : 16/03/20 Heure : 13h30 Durée : 1h30 Documents non autorisés
Epreuve de M. Popoff
Question de cours
1. Démontrer que l’intégrale R1 0
dt
tα est convergente si et seulement si α <1.
2. Démontrer la convergence de R1
0 lntdt et donner sa valeur.
Exercice 1
A l’aide du changement de variable u=et, calculer Z 1
0
e2t 3 +etdt.
Exercice 2
Soit f :R→Rn une fonction continue.
1. DÃľterminez
x→0lim Rx
0 f(t)dt
x .
2. On suppose de plus que f(0) = 0 et que f est dÃľrivable en 0. Donner un Ãľquivalent de
Rx 0 f(t)dt
x lorsque x→0.
Exercice 3 Soit In défini par
In= Z +∞
0
xne−x2dx.
1. Montrer que, pour n∈N fixé, In définit bien une intégrale convergente.
2. Calculer I1. 3. Montrer que
In+2= n−1 2 In. 4. En déduire I2n+1.
5. Exprimer I2n en fonction deI0.
1
Exercice 4
Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ? 1. R+∞
−∞ tdt.
2. R+∞
0 sint t3/2dt.
3. R1 0
dt lnt.
2
