D E B O R D
1 Echantillonnage
1.1 Principe
Définition.
Soit une expérience aléatoire donnée . On appelle échantillon de taille n , la liste de n résultats de cette expérience répétée dans les mêmes conditions , ces répétitions étant indépendantes . Exemple.
On lance un dé équilibré à six faces et on note la face du dessus . Si les premiers résultats sont 2 ; 4 ; 1 ; 2 ; 6 ; 5 , on peut parler d’un échantillon de taille 6 .
1.2 Loi des grands nombres
Propriété.
Lorsqu’un échantillon a une taille n suffisamment grande , on peut considérer que la proba- bilité de l’issue d’une expérience est très proche de sa fréquence d’apparition .
On a :|f −p| < 1
√n
Exemple.
On lance un dé équilibré à six faces . La probabilité d’obtenir 5 est égale à 1
6 . Lorsqu’on lance le dé un grand nombre de fois , la fréquence d’apparition de la face 5 sera proche de 1 6 .
Remarque.
Pour éviter de réaliser réellement certaines expériences , on peut faire appel à des logiciels ou des programmes .
D E B O R D
2 Vocabulaire des probabilités
2.1 Evénements
Définition.
• L’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble de toutes ses issues .
• Un événement est un ensemble d’issues
• On appelle événement impossible un événement qui ne se réalise jamais .
• On appelle événement certain un événement qui se réalise toujours . C’est l’univers qui le constitue .
Exemple.
On lance un dé à six faces . Décrire les événements suivants : 1. A "la face est un chiffre supérieur à 8"
2. B "la face est paire"
3. C "la face est un chiffre inférieur ou égal à 6"
4. D " la face est un multiple de 3"
Logique
A∩B est l’intersection des événements A et B , c’est à dire A et B A∪B est la réunion des événements A et B , c’est à dire A ou B . A est l’événement contraire de l’événement A
Définition.
A et B sont deux événements incompatibles si et seulement si A∩B est vide . Exemple.
On lance un dé équilibré à six faces . On note A l’événement " la face est paire" et B l’événement "la face est un multiple de 3" .
Enoncer A∩B :
D E B O R D
Enoncer A∪B : A∪B =
Enoncer A : A=
2.2 Calculs de probabilités
Propriété.
• p(A) = nombreissuesdeA nombretotalissues
• p(A) = 1−p(A)
• p(Ω) = 1
• p(∅) = 0
• p(A∪B) +p(A∩B) =p(A) +p(B)
Exemple.
En reprenant l’exemple précédent , calculer : p(A) =
p(B) = p(A∩B) = p(A∪B) =
2.3 Lois de probabilités
Définition.
Définir une loi de probabilité , c’est associer à chaque issue sa probabilité . Exemple.
On lance un dé à six faces . Le jeu consiste à obtenir la face 6 . On peut alors définir la loi de probabilité associée à ce jeu .
Gagne Perd probabilités 1
6
5 6
D E B O R D
Propriété.
• La somme des probabilités des issues d’un univers est égale à 1
• Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1
• Lorsque toutes les issues ont la même probabilité , on parle d’équiprobabilité .
3 Dénombrement
3.1 Arbres pondérés
On donne un arbre pondéré :
x A
A 1-x
y B
t B
B 1-y
B 1-t
Propriété.
• On appelle probabilité de B sachant A et on note pA(B) la probabilité conditionnelle entre A et B (ici c’est y)
• p(A∩B) =p(A)×pA(B)
• p(B) =p(A∩B) +p(A∩B)
Exemple.
Une usine fabrique un composant électronique. Deux chaînes de fabrication sont utilisées.
La chaîne A produit 40 % des composants et la chaîne B produit le reste. Une partie des composants fabriqués présentent un défaut qui les empêche de fonctionner à la vitesse prévue
D E B O R D
qu’en sortie de chaîne B, ils ne sont que 5 %. On choisit au hasard un composant fabriqué dans cette usine. On note : Al’évènement "le composant provient de la chaîne A " ;B l’évènement
" le composant provient de la chaîne B " ; S l’évènement " le composant est sans défaut" ; 1. Faire un arbre de probabilités
2. Donner p(A) = 3. Donner pA(S) = 4. Calculer p(A∩S) = 5. Calculer p(S) =
3.2 Diagramme de Venn
On donne le diagramme de Venn suivant : 7 élèves font de la danse et du latin ; 10 élèves font de la danse mais pas du latin ; il y a donc 17 élèves qui dansent . La classe contient au total 36 élèves .
classe
danse latin 7
10 5
14
Exemple.
Un élevage comprend 102 animaux . Parmi ceux-ci , il y a 22 lapins dont 12 sont gris . En tout 42 animaux sont gris . Compléter le diagramme de Venn suivant puis calculer la probabilité , si on choisit un animal de l’élevage au hasard , que ce ne soit ni un lapin ni un animal gris .
