Devoir de Terminale S du 12/11/2009
Exercice 1 : (5 points) Soit f la fonction définie sur par 4
4
( ) 3
2
x x
f x e
e
= + 1/ Démontrer que
4
( ) 3
1 2 f x x
e−
=
2/ Etudier les limites de la fonction f en +∞ et en – ∞ .+ 3/ Etudier les variations de f.
4/ Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse x = 0.
5/ Représenter graphiquement la fonction f et sa tangente en 0 sur l’intervalle [– 20 ; 20].
Exercice 2 : (5 points)
Restitution organisée de connaissances pour les élèves n’ayant pas la spécialité.
Soit f une fonction dérivable sur pour laquelle il existe un réel k tel que f est solution de l’équation différentielle (E) : y’ = ky avec la condition initiale y(0) = 1.
Soit g la fonction définie sur par g(x) = f(x)e– kx.
1/ Démontrer que g est une fonction constante sur , égale à 1.
2/ En déduire qu’il existe une unique solution f de l’équation (E) sur et donner l’expression de f sur .
3/ Application : On a étudié en laboratoire l’évolution d’une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t exprimé en années, est notée f(t). La taille de la population à l’instant initial est prise comme unité (f(0)=1).
On définit ainsi une fonction f de [0 ;+∞[ dans , on admet que f est dérivable sur [0 ; +∞[ et qu’elle est solution de l’équation : f ’(x) = .
Par combien la taille de la population sera-t-elle multipliée en 12 ans ?
Exercice 2 : (5 points)
Pour les élèves qui suivent la spécialité mathématiques A faire sur une copie séparée.
1. Soit a et b deux entiers naturels non nuls de PGCD égal à d.
a) Démontrer qu’il existe deux entiers naturels a’ et b’ premiers entre eux tels que : a = da’ et b = db’.
b) a et b étant deux entiers naturels, résoudre : 1350 PGCD ( , ) 15 ab
a b
=
￬￬ =
￬ 2. Cette question est indépendante de la précédente.
a) n est un entier naturel non nul, A = , Montrer que le PGCD de 5n – 3 et de n + 1 est un diviseur de 8.
b) En déduire que si n est pair, alors A est irréductible.
Exercice 3 : (10 points)
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, ,), on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 1 – i , b = i et c = – 1, ainsi que l’application f qui à un point M(z) distinct de B, associe le point M’(z’) tel que '
z+i
z = i z . On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure. On prendra pour unité 2 cm.
1/ Précise le module et l’argument de a.
2/ a) Montre que l’affixe du point A’ image de A par f est a’ = + i.
b) Détermine la forme algébrique de . c) Déduis-en la nature du triangle A’BC.
3/ Détermine, puis construis l’ensemble ∆ des points M(z) tels que :
z – i=z + 1.
4/ a) Montre que z i' 1
− = z i
− .
b) Déduis-en l’ensemble des points M invariants par f (c’est-à-dire tels que M’ = M).
5/ a) Montre que arg(z – i) = arg (z’ – i).
b) Déduis-en que les points B, Met M’ sont alignés.
6/ On admet que ' 1 ( 1) '
z z i i
z i+ = + +
− .
Soit M(z) un point de ∆.
a) Montre que (1+i) est imaginaire pur.
b) Déduis-en que le point M’ appartient au cercle de diamètre [BC].
