Théorie du chaos

Théorie du chaos

Description mathématique de systèmes physiques :

- à petit nombre de degrés de liberté, - mais dont la dynamique présente une forte complexité,

- du fait de la grande sensibilité aux conditions initiales.

Origines Henri Poincaré -

Le problème à N corps en mécanique céleste

Edward Lorenz 1917 – 2008

Météorologie ; l’attracteur étrange et

« l’effet papillon ».

Ilya Prigogine 1917 – 2003

Travaux sur les structures dissipatives et l'auto-organisation

des systèmes complexes

Henri Poincaré 1854 - 1912

L’un des fondateurs de la théorie du chaos.

Alan Turing 1912 – 1954

Morphogenèse Fondateur de la science

informatique.

Comment modéliser les dynamiques

complexes, par exemple la convection

dans un fluide ?

Edward Lorenz - Météorologie

L’attracteur étrange et « l’effet papillon »

Modélisation de la convection atmosphérique

Sensibilité aux conditions initiales

http://experiences.math.cnrs.fr/Modele-de-Lorenz.html

Titre : Lorentz сhaos as black hole.ogv – Auteur : German A. Chernykh & Irina A. Chernykh

Date : 24 December 2015 https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz

Absorption de 25 000 points par un attracteur

de Lorenz.

Les bifurcations de Feigenbaum

Transition entre un comportement

périodique et un attracteur chaotique

Diagramme de Feigenbaum Fonction logistique (P. F. Verhulst

-1830) destinée à la base à

modéliser des évolutions de

populations animales :

http://experiences.math.cnrs.fr/Iterations-de-l-application.html

Théorie des catastrophes

La théorie des catastrophes, fondée par René Thom, est une branche de la théorie des bifurcations qui a pour but de construire le modèle dynamique continu le plus simple pouvant engendrer une morphologie […].

Le terme de « catastrophe » désigne le lieu où une fonction change brusquement de forme.

L'avantage de cette théorie par rapport au traitement habituel des équations différentielles est de tenir compte des fonctions comportant des singularités, c'est-à-dire des variations soudaines.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_des_catastrophes

Sept formes de « catastrophes » : le pli V = x³ + ax

la fronce V = x⁴ + ax² + bx

la queue d'aronde V = x⁵ + ax³ + bx² + cx la vague V = x³ + y³ + axy + bx + cy

le poil V = x³/3 – xy² +a(x² + y²) + bx + cy le papillon : V = x⁶ + ax⁴ + bx³ +cx² + dx

le champignon : V = x²y +y⁴ + ax² + by² + cx + dy La théorie des catastrophes étudie les systèmes dynamiques qui décrivent l'évolution d'une variable d'état au cours du temps :

Dans l'équation ci-dessus, V est une fonction potentielle, et u est un scalaire ou un vecteur qui paramètre la fonction potentielle.

Explosion en temps fini

dx/dt = −x + x

= = x(x − 1)

Deux points d’équilibre : x = 0 et x = 1

Cours

L’attracteur de Hénon

x(n+1) = y(n) + 1 – a x(n)² y(n+1) = b x(n)

« Attracteur étrange » pour certaines valeurs des paramètres a et b

http://experiences.math.cnrs.fr/L-attracteur-de-Henon.html

Diagramme de bifurcation de la fonction de Hénon

x = f(a) pour b = 0,3 Pour a > ≈ 1,1

comportement chaotique :

attracteur étrange

Agrandissements successifs de l'attracteur :

structure complexe, feuilletée, qui semble se répéter indéfiniment.

Structure

fractale ?

Fractales

Objet mathématique qui présente une

structure similaire à toutes les échelles.

Exemple de la courbe de Koch

Dimension fractale

Exemple : courbe de Koch

constituée de quatre copies d'elle-même, trois fois plus petites ; la longueur est multipliée par 4 lorsque sa taille triple

D ≈ 1,26 (= log4/log3) car 4 ≈ 3^1,26

Ensemble de Mandelbrot

En complexe :

Donc dans le plan (x, y) : x

= y

= 0

x

= x

– y

+ a

y

= 2x

y

 + b

Mandelbrot persiste dans sa lancée en rapprochant le système de Lorenz de ses considérations, avec un argument supplémentaire : la dimension de l’attracteur serait d’environ 2,06, faisant de l’attracteur un objet fractal.

http://theses.univ-lyon2.fr/documents/getpart.php?id=lyon2.2004.petitgirard_l&part=194246

Voir [these-petitgirard.pdf] p. 228