Esther FRITZ Hugo CHAN-TO-HING Clara MENETRIER

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Esther FRITZ Hugo CHAN-TO-HING

Clara MENETRIER

Professeur encadrant

M. Damien SCIMECA

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Résumé

Pouvons-nous (se) jouer d’un cristal ? En tout cas, les cristaux se joueront d’abord de nous. D’une manière plutôt dissonante, ils nous feront découvrir leurs caractéristiques cristallographiques et leurs propriétés Raman. Cependant, par l’écoute attentive de leur sonate, on pourra découvrir comment en jouer, et même s’en jouer. La piézoélectricité permettra, en effet, de révéler leur musicalité interne, et, avec quelques accords d’électronique et d’informatique, on pourra les ordonner en une véritable symphonie !

Introduction

Nous nous sommes déjà tous un jour amusés à rendre mélodieux le contact d’un verre rempli d’eau avec notre doigt humide glissant sur son bord. S’en échappe un son cristallin à la fois vibrant et aérien, sans en expliquer son origine… Comment le cristal libère-t-il des notes aussi limpides ?

C’est en visitant l’Institut de minéralogie de Paris que s’est confirmée notre envie de travailler sur le chant cristallin. Les mystères de la géologie nous ont intrigués, et poussés à nous plonger dans un univers à l’esthétisme rare.

Nous avons donc décidé de faire de la cristallographie le thème central de notre projet.

Ainsi, nous aimerions pouvoir utiliser les vibrations de cristaux afin de créer un instrument de musique, comme un piano.

Le projet consistera donc en la fabrication de cet instrument assez particulier. Pour cela, on prendra un clavier de piano classique, où chaque touche émettra la fréquence d’un cristal rendu audible à l’aide d’un logiciel informatique. On fera en sorte que les fréquences des vibrations se rapprochent le plus de celles de notes de musiques classiques, pour pouvoir, finalement, être en capacité de jouer un morceau.

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Sommaire

Résumé ... 2

Introduction ... 2

I) La cristallographie, la base de notre projet ... 4

a. Qu'est-ce qu'un cristal ? ... 4

i. Définition générale ... 4

ii. Formation d’un cristal ... 4

b. La cristallographie ... 6

i. Histoire ... 6

ii. Explications théoriques du modèle ... 6

II) La spectroscopie Raman, notre moyen d’analyse et notre outil pianistique ? ... 10

a. Histoire ... 10

b. L’effet Raman ... 10

c. Le spectromètre Raman ... 12

d. La spectroscopie Raman du diamant (C) ... 14

e. Spectroscopie IR ... 14

III) La piézoélectricité, notre technique finale ... 15

a. Les matériaux piézoélectriques ... 15

b. L’effet piézoélectrique ... 16

c. Etude d’un dispositif piézoélectrique linéaire simple ... 17

IV) Comment faire un piano avec des cristaux ? ... 18

a. En le faisant vibrer à l’aide d’un oscillateur Pierce ... 18

b. En modifiant les spectres obtenus informatiquement, et en les assignant à des touches de piano .. 19

Conclusion ... 19

Remerciements ... 20

Bibliographie ... 20

4

I) La cristallographie, la base de notre projet

a.

Qu'est-ce qu'un cristal ?

i. Définition générale

Un cristal est un minéral unique qui semble être taillé par un artisan tant ses diverses parties sont plates et précisément bien placées géométriquement.

Une grande partie de ce qui nous entoure est constituée, aussi petits soient-ils, de cristaux. En allant du coquillage carbonate de calcium, dont la structure interne est parfaitement ordonnée, à notre squelette constitué en partie d'une multitude de minéraux cristallisés, nous allons nous pencher, grâce aux avancées technologiques actuelles, sur la complexité "naturelle" de leur structure.

ii. Formation d’un cristal

Nous avons fait pousser un cristal de sulfate de cuivre par cristallogenèse. Il s’agit de prendre une masse m de sulfate de cuivre pentahydraté, que l’on verse dans un volume V d’eau distillée contenue dans un bocal en verre refermable, de telle sorte que la solution ainsi obtenue soit sursaturée (200% de la solubilité) à température ambiante T. A l’aide d’un agitateur magnétique, on agite le mélange. On chauffe ensuite cette solution jusqu’à complète disparition du substrat non dissout, c’est à dire à la température T’ pour laquelle la masse m sera égale à la solubilité.

Déterminons m et T’.

On estime que T = 20°C. On sait que, à une température de 20°C, la solubilité s du sulfate de cuivre dans l’eau est de 32g/100mL d’eau. Ainsi, on aura m = 32*2 = 64g. On doit donc chercher T’, tel que s = 64g. Une base de données nous donne la solubilité du CuSO4-5H20 dans l’eau, en fonction de la température de l’eau.

Température (°C) Solubilité (g/100mL)

0 23,1

10 27,5

20 32

30 37,8

40 44,6

60 61,8

80 83,8

100 114

Grains de sucre observés au microscope électronique à

balayage.

Fig. 1

5

On peut donc tracer le graphique de la solubilité en fonction de la température :

Rechercher T’ revient donc à déterminer x tel que :

64 = 23,362𝑒^(,()*+

Ainsi :

𝑒0,016𝑥 = 64/23,362 (𝑎𝑣𝑒𝑐 64/23,362 > 0) En appliquant la fonction logarithme sur l’égalité, on obtient :

𝑥 = 𝑙𝑛(64/23,362)

0,016 = 63 (2𝑐𝑠) Donc T’= 63°C

On laisse refroidir la solution : pendant le refroidissement, on observera le dépôt de petits cristaux au fond du bocal, que l’on pourra récolter.

y = 23,362e^0,016x

0 20 40 60 80 100 120 140

0 20 40 60 80 100 120

Solubilité (g/100mL)

Température (°C)

Solubilité de CuSO4·5H2O en fonction de la température

Fig. 2

Fig. 3

6

On en récolte un de petite taille qu’on accroche au bout d’un fil de pêche, puis l’on réitère le processus. Des cristaux vont donc s’agglomérer sur le petit monocristal initial, pour former un gros cristal de CuSO4.

b.

La cristallographie

i. Histoire

Le terme cristallographie a été inventé par le savant Maurice-Antoine Capeller en 1723. Mais c’est Auguste Bravais, au milieu du 19^ème siècle, en établissant la périodicité spatiale de la structure d’un cristal, avec ses réseaux de Bravais, qui en a vraiment fait une science. Cette science prend une dimension nouvelle avec Max von Laue et sa découverte de la diffraction par rayons X des cristaux, pour laquelle il reçut un prix Nobel en 1914. De là partent toutes les avancées qui nous permettent aujourd’hui de comprendre la strucutre cristalline de façon très précise.

ii. Explications théoriques du modèle

L'ordre ou désordre Le réseau

Un réseau est un ensemble de points, ou "nœuds", qui présente la propriété suivante : lorsque l'on se translate dans l'espace selon certains vecteurs (pour un réseau tridimensionnel, sur le schéma ci- contre :𝑎, 𝑏, et 𝑐) on retrouve exactement le même environnement. Il y a donc une périodicité spatiale.

La structure cristalline

Une structure cristalline est une structure ordonnée de la matière (par opposition aux structures amorphes, désordonnées, cf annexe 1), formée de l'addition de mailles à chaque nœud d’un réseau tridimensionnel. La maille est donc le plus petit édifice d’atomes permettant de reconstituer le cristal par sa répétition périodique dans les trois directions de l’espace. L'arrangement des atomes, molécules, ou ions dans une maille s'appelle le motif.

En cristallographie, 14 types de réseaux peuvent définir une structure cristalline. Il s’agit des réseaux de Bravais (cf annexe 2). De plus, on peut étudier les mailles d’un cristal de deux façons :soit en prenant la maille primitive d’un cristal, c’est-à-dire une maille contenant un seul nœud et motif (exemple : mailles de Wigner-Seitz en annexe 3), soit en prenant la maille élémentaire (ou conventionnelle), qui peut contenir plusieurs nœuds du réseau. Il s’agit de la méthode la plus répandue, dans le sens où elle prend des formes facilement reconnaissables. Elles se regroupent en sept types conventionnels : cubique, hexagonal, tétragonal, trigonal, orthorhombique, monoclinique et triclinique(cf annexe 2).

Fig. 4

Fig. 5

7 Etude du système cubique

Dans le système cubique, on distingue quatre types de mailles élémentaires cubiques (cf annexe):

•

La maille cubique simple(c): un motif par maille, avec un nœud à chaque extrémité du cube, soit 8*1/8 = 1 nœud au total.

•

La maille cubique contrée centrée (cc) : on a rajouté un motif et un nœud au centre de la maille soit 2 nœuds et 2 motifs au total.

•

La maille cubique à faces centrées (cfc) : un nœud à chaque sommet et au centre de chaque face du cube, soit 4 nœuds et motifs, au total.

De plus, la maille est définie par les trois vecteurs du réseau tétragonal, générant ainsi neuf paramètres de mailles : les trois normes des vecteurs a, b, c, toutes égales ; trois angles α, β, γ, tous égaux à 90°, et trois axes x, y, et z. Ainsi, on se repère, dans le système cubique, avec des coordonnées, qui sont des fractions des normes des vecteurs. Par exemple, les coordonnées du centre de la maille sont ⁾₌⁾₌⁾₌et les centres des faces sont ¹

2 1 20; 0 ¹

2 1 2; ¹

20 ¹

2

On peut aussi se repérer aux moyens d’indices de Miller. Voici

comment ils se présentent. Soit repère tétragonal défini par une origine O et trois vecteurs de base𝑎, 𝑏, et 𝑐 :

• Les faces se notent entre parenthèses : (010) où le premier chiffre est relatif à l'axe a, le deuxième, à l'axe b, le troisième, à l'axe c. (a, b, c peuvent être surmontés d'une petite flèche…).

• Les formes se notent entre accolades {100}.

• Les directions et arêtes se notent entre crochets [001]

Exemples... entre perfection et imperfection

Exemple illustré : Cristal de chlorure de sodium (NaCl) Les ions Na+ et Cl- sont placés alternativement sur les nœuds d'un réseau cubique simple. Dans ce cristal chaque ion est entouré de six ions de signe opposé. Le réseau est cubique à face centrée et le motif comprend un ion Cl- en 000 et un ion Na+ en )

= )

= )

=. La figure montre une maille cubique conventionnelle qui contient quatre nœuds.

Fig. 6

Fig. 7

Fig. 8

8 Exemple comparatif

Le diamant et le graphite sont deux formes cristallines du carbone. Ces deux cristaux ont certes la même composition chimique mais leur structure cristalline est totalement différente. Les conditions, notamment de température et de pression, ont modifié leur structure.

Le diamant est constitué d'atomes très serrés, reliés de manière tétraédrique à quatre autres atomes de carbone. On obtient alors une structure tridimensionnelle, suivant un réseau de Bravais tétragonal de type tF.

La maille du diamant est cubique à faces centrées, c'est-à-dire que le motif se trouve aux sommets du cube et au centre de chaque face. Ce motif est constitué de deux atomes de carbone, reliés par une liaison covalente. Les coordonnées de ces atomes dans le réseau de la maille de diamant sont :

-un atome en (0 ; 0 ; 0)

-le deuxième atome par rapport à ce premier en ⁾_>⁾_>⁾_>

Cette maille forme un cube, elle a donc pour paramètres a=b=c=3,567 Å. Les trois angles sont également égaux à 90°. En empilant ces mailles à l'infini dans ce réseau on retrouvera la

structure entière du diamant dans le cas d'un cristal parfait, car un diamant dans la réalité possède des impuretés.

Concernant la structure cristalline du graphite, celle-ci est composée de quatre mailles. Chacune forme un prisme droit à base losange, il s'agit du système hexagonal donc d'un réseau de Bravais, de type P.

La maille est primitive et les motifs sont seulement au sommet de la maille. Donc les paramètres de cette maille sont : a=b= 2,456 Å et c= 6,696 Å.

La base est un losange à 120° donc α =120°

La maille est un prisme droit donc α et β sont égaux à 90°

Le motif lui est plus complexe que le diamant, car constitué de quatre atomes de carbone dans le réseau de la maille dont les coordonnées sont :

-un atome de coordonnées (0; 0; 0), -un atome de coordonnées ⁾

?

=

? 0 sur le même plan que le premier.

-un troisième atome de carbone de coordonnées 0 0 ⁾₌ -un quatrième atome de coordonnées ⁼_?⁾_?⁾₌

Le motif, en se superposant aux nœuds du réseau, permet d'obtenir la structure cristalline du graphite. Donc le motif va se répéter sur chacun des sommets de la maille, caractérisant la structure en feuillets du graphique, sous la forme d'une plaque d'hexagones.

a c

Fig. 9

Fig. 10

9 Exemple du quartz, notre cristal « conducteur »

La silice SiO2 se présente, selon la température, sous diverses formes cristallines dont le quartz, la tridymite et la cristobalite, forme stable à haute température.

Le cristal de quartz est basé sur un motif tétraédrique de 4 atomes d’oxygène et d’un atome de silice, comme décrit sur la figure ci-contre, avec la distance O-O = 1,62 Å et O-Si = 1,62.

Ceux-ci s’assemblent en hélice autour de l’axe c d’un réseau de bravais hexagonal (quartz a) ou rhomboédrique (quartz b) (cf annexe 4).Sa structure cristalline est donc une structure trigonale.

La maille élementaire se compose donc de 2 tétraèdres entiers et de 2 demis-tétraèdres comme sur la figure 12, avec a = 4,903 Å et b = 5,394 Å. Il y a donc 3 atomes de Si et 6 atomes de O. Les tétraèdres s’assemblent par leurs atomes d’oxygène. Toutes ces chaînes s’entremêlent entre elles jusqu’à former un enchevêtrement (cf annexe 4). Ainsi, elles formeront le cristal de quartz tel qu’on le connaît.

En possession de ces connaissances théoriques sur la cristallographie, nous avons acheté quelques cristaux au Musée de la Minéralogie, dans le but de les étudier.

a b

Maille élémentaire du quartz

Fig. 11

Fig. 12

Fig. 13

10

II) La spectroscopie Raman, notre moyen d’analyse et notre outil pianistique ?

Pour étudier ces cristaux, plusieurs méthodes d’analyse s’offraient à nous :

• La première était la diffraction par rayons X : il s’agit de la méthode la plus répandue pour l’analyse de minéraux. Les rayons X, de longueur d’onde comprise entre 10^@)=et10^@Am, sont, en effet, idoines pour étudier des structures à l’échelle atomique, la dimension de l’atome étant de l’ordre de l’Angström (10^@)( m). Il s’agit d’émettre un faisceau de rayons X sur un cristal en poudre à l’aide d’un diffractomètre X, puis d’étudier les angles de diffraction et l’intensité des rayons qui seront diffractés, pour, finalement, obtenir l’image tridimensionnelle de la maille. Cependant, cette méthode ne nous paraissait pas judicieuse, étant donné que nos cristaux, très communs, ont déjà tous étés étudiés de cette façon en profondeur.

• La seconde était l’analyse spectroscopique : il s’agit d’une méthode très utilisée pour l’étude de composés organiques, mais plus rare pour l’analyse de matériaux inorganiques. Elle consiste en l’étude expérimentale du spectre d’une substance, lorsqu’elle est soumise à un phénomène physique. Ce spectre est souvent présenté sous la forme d’un graphique de l’intensité d’un rayonnement émis, absorbé ou diffusé par la substance, en fonction d’une grandeur se ramenant à une énergie (fréquence, nombre d’onde…)Cette méthode nous paraissait beaucoup plus intéressante pour nos travaux, puisqu’elle permettait de déterminer les modes de vibration d’un cristal. Nous pensions alors qu’il serait pertinent d’opter pour cette méthode, notre but final étant de faire vibrer un cristal afin d’émettre une fréquence analysable.

Nous avons utilisé deux techniques de spectroscopie, qui se complètent l’une et l’autre : la spectroscopie infrarouge (IR) et la spectroscopie Raman (RMN), que nous allons dès à présent décrire.

a. Histoire

Cette technique de spectroscopie est basée sur l’effet Raman, qui a été découvert dans les années 20, grâce à des travaux théoriques de Léon Brillouin et d’Adolf Smekal sur la diffusion inélastique de la lumière par la matière. Leurs théories ont été confirmées expérimentalement par Sir Chandrashekhara Venkata Râman en 1928, donnant ainsi son nom à l’effet Raman et recevant le prix Nobel en 1930 par la même occasion.

b. L’effet Raman

L’effet Raman consiste en la diffusion inélastique d’un photon par un milieu (molécule ou cristal) qu’il rencontre, à l’inverse d’une diffusion Rayleigh, totalement élastique. Cette inélasticité témoigne d’un échange d’énergie entre le rayon lumineux et le milieu.

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Décrivons l’effet Raman grâce à un modèle de transfert d’énergie :

Ce modèle nous montre, d’une part, que l’énergie du photon incident est échangée sous forme d’une vibration du milieu, puisqu’il concerne les niveaux d’énergie vibrationnels. Cet échange s’effectue entre le champ électrique 𝐸 de l’onde et le nuage électronique de l’atome rencontré. On en déduit l’émission d’un phonon (quantum d’énergie de vibration dans un solide cristallin).

Considérons un cristal soumis à une onde monochromatique de fréquence n0. Le champ électrique 𝐸 de cette onde électromagnétique va produire une faible distorsion du nuage électronique, induisant un moment dipolaire 𝜇 tel que :

𝜇 = 𝛼. 𝐸 = 𝛼. 𝐸₍cos (2𝜋𝑣₍ 𝑡) (1)

où a est la polarisabilité du milieu (en C.m².V^-1), et 𝐸₍ l’amplitude de vibration du champ électrique (on considère la phase à l’origine f nulle).

De cette distorsion du nuage électronique résulte une polarisation impliquant un déplacement nucléaire r, qui est égal, à tout instant t, à :

𝑟 = 𝑟_L cos (2𝜋𝑣_MNO 𝑡)

avec r0 la distance internucléaire d’équilibre et 𝑣_MNO la fréquence du phonon résultant de ce déplacement dans la structure cristalline.

Soit, de plus, rmax la séparation nucléaire maximale par rapport à la position d’équilibre r0. On a :

𝑟 − 𝑟₍= 𝑟_QR+ cos (2𝜋𝑣_MNO 𝑡)

On sait aussi que, pour que l’échantillon donne un effet Raman sur un de ses modes de vibrations, sa polarisabilité doit être de la forme suivante :

𝛼 = 𝛼₍+ 𝑟_QR+cos (2𝜋𝑣_MNO 𝑡) 𝜕𝛼

𝜕𝑟

Fig. 14

12

Avec ^UV_UW la dérivée partielle de la polarisabilité 𝛼 en fonction du temps 𝑟.

Ainsi, en substituant le nouvel a obtenu à l’équation (1), on obtient : 𝜇 = [𝛼₍+ 𝑟_QR+cos 2𝜋𝑣_MNO 𝑡 𝜕𝛼

𝜕𝑟 ]. 𝐸₍cos (2𝜋𝑣₍ 𝑡)

En appliquant la formule d’addition de deux cosinus convertis en produit (2cos(A)cos(B) = cos (A+B) + cos (A-B)), on obtient :

𝜇 = 𝛼₍𝐸₍cos 2𝜋𝑣₍ 𝑡 +𝐸₍

2 𝑟_QR+ 𝜕𝛼

𝜕𝑟 cos 2𝜋 𝑣₍+ 𝑣_MNO 𝑡 +𝐸₍

2 𝑟_QR+ 𝜕𝛼

𝜕𝑟 cos 2𝜋 𝑣₍− 𝑣_MNO 𝑡 Finalement, si on simplifie l’équation, on obtient :

𝜇 = 𝜇(𝑣₍) + 𝜇(𝑣₍+ 𝑣_MNO) + 𝜇(𝑣₍− 𝑣_MNO) Ce qui décompose le moment dipolaire induit en 3 parties :

• 𝜇(𝑣₍) : il s’agit de la diffusion Rayleigh du photon, où les photons incidents et diffusés ont la même énergie : il n’y a donc pas eu d’échange d’énergie.

• 𝜇(𝑣₍− 𝑣_MNO) : il s’agit de la diffusion Stokes, inélastique, du photon, qui correspond à une absorption de son énergie par le milieu, vibrationnellement excité. Le photon diffusé aura donc une énergie moins importante à celle du photon incident.

• 𝜇(𝑣₍+ 𝑣_MNO) : il s’agit de la diffusion Anti-Stokes, plus rare, qui correspond au retour à l’état fondamental d’un atome auparavant excité. Le photon diffusé aura donc une énergie supérieure à celle du photon incident.

c. Le spectromètre Raman

Le rôle du spectromètre Raman est donc de capter ces diffusions Stokes et Anti-Stokes, dans le but de nous renseigner sur les niveaux énergétiques de vibration et/ou de rotation du milieu étudié. Notons que l’effet Raman est très faible : on observe, en effet, une diffusion inélastique pour un millions de photons (0,0001%). On utilise donc des lasers très puissants dans les spectromètres pour augmenter le nombre de photons incidents.

Sur le schéma en annexe 5, on voit que l’instrumentation nécessaire à l’obtention d’un spectre Raman comprend un laser (source monochromatique), un montage optique de collection du signal et le spectromètre dispersif. Ce dernier se compose d’un premier étage qui permet le rejet de la diffusion Rayleigh, et d’un second étage composé d’un réseau qui disperse la lumière restante sur un détecteur (caméra CCD ou photomultiplicateur).

13

Les spectres Raman représentent la modification de l’énergie du photon incident à travers le décalage Raman, exprimé en nombre d’onde s (en cm^-1). La relation entre le décalage Dw, la longueur d’onde de l’onde incidente l0 (nm) et celle de l’onde reçue l1 (nm) est :

∆𝑤 =10^\ 𝜆₍ −10^\

𝜆₎

Le décalage Raman permet donc de calculer𝜆₎, puisque 𝜆₍ est connue (la valeur dépend su spectroscope utilité). On a donc :

𝜆₎ = 10^\

)(^{^} __` − ∆𝑤

Soit 𝜆_MNO la longueur d’onde du phonon. Or, le décalage Raman est le nombre d’onde k du phonon.

Or,

𝑘 = 2𝜋 𝜆_MNO Donc 𝜆_MNOsera égale à

2𝜋 𝑘 De plus, on sait que :

ω = 4𝐶

𝑚 sin 𝑘𝑎 2

Avec C la constante élastique du système, m la masse d’un atome, et a la distance entre deux plans. Toutes ces constantes seront spécifiques au cristal étudié.

On remplace k par ^=g

_hij :

ω = 4𝐶

𝑚 sin 2𝜋𝑎 2𝜆_MNO

Ainsi, on peut calculer son énergie, qui s’écrit sous la forme : 𝐸 = ℎ ω

Avec h étant la constante de Planck.

Notre idée était donc, de capter ces phonons, et de faire de leur fréquence angulaire la base de nos notes de piano. Cependant, nous n’avions pas accès au matériel nécessaire pour ce genre d’expérience. Nous nous sommes donc rabattus sur une autre idée : les propriétés piézoélectriques de certains cristaux.

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d. La spectroscopie Raman du diamant (C)

Le spectromètre que nous avons utilisé était celui de l’Université Pierre-et- Marie-Curie. La longueur d’onde 𝜆₍du laser utilisé était de 785 nm. Voici le spectre obtenu pour un petit fragment de diamant du Congo non raffiné (logiciel : SpectraGryph).

On observe une bande caractéristique à 1332 cm^-1. Selon le Handbook of Nanophysics: Nanoparticles and Quantum Dots de Klaus D. Sattler, cette dernière est révélatrice d’une vibration de type F2g, correspondant à une élongation le long de la direction [110] accompagnée d’une autre élongation déphasée sur [110].

Soit une maille élémentaire de diamant. Il s’agit d’une maille cubique à faces centrées de paramètre de maille a = 3,567 Å. Le mode de vibration F2g correspond donc à l’élongation des liaisons C-C entourées en rouge, puis à l’élongation des liaisons C-C entourées en bleu, avec deux périodes déphasées.

(On a projeté de calculer la fréquence angulaire du phonon résultant de cette diffusion Stokes, mais, par manque de temps et d’informations, notamment pour le calcul de la contrainte de C, nous ne l’avons malheureusement pas fait)

e. Spectroscopie IR

La spectroscopie infrarouge fonctionne sur le même principe que le Raman, à ceci près qu’on envoie des ondes du domaine de l’infrarouge pour exciter directement les niveaux d’énergie rovibrationnels de la substance étudiée. Elle est complémentaire de la spectroscopie Raman, puisqu’elle permet d’activer d’autres modes de vibration. Cependant, le spectre ne se présente pas sous la même forme (cf annexe 6).

Il s’agit de la transmittance de la substance en fonction du nombre d’onde de l’onde incidente. Cela permet de déterminer à quelle longueur d’onde correspond le mode de vibration activé, et donc de connaître la nature de la liaison grâce à un tableau de correspondance.

Nous avons abandonné l’étude des spectres de nos cristaux, faute d’informations.

Nombre d’onde [cm^-1]

Intensité (u.a)

Fig. 15

Fig. 16

15

III) La piézoélectricité, notre technique finale

La piézoélectricité est la capacité de certains cristaux ou de céramiques de générer un champ ou un potentiel électrique sous l’action d’une contrainte mécanique ou de charges électriques (effet « direct »).

FORCE > DEFORMATION >TENSION

L’effet inverse est l’application d’une tension électrique sur ce même cristal ce qui entraine une modification de ses dimensions.

TENSION > DEFORMATION

Grâce à cette application et aux propriétés de résonances des corps utilisés, nous pouvons obtenir des vibrations électriques ou mécaniques de ces derniers.

a. Les matériaux piézoélectriques

Un matériau piézoélectrique est considéré comme un matériau intelligent. Il en existe deux catégories et les matériaux piézoélectrique regroupent les deux : d’une part on trouve les matériaux de structure utilisés pour leurs propriétés mécaniques à l’état fondamental, d’autre part il s’agit de matériaux fonctionnels qui ont une capacité à conduire le courant électrique, la fonction du matériau est exprimée dans la forme et dans la matière par des réactions physiques, qui peuvent générer de l’énergie.

De nombreux matériaux sont piézoélectriques mais cela est dû à la nature de la maille. En effet, l’effet piézoélectrique ne peut avoir lieu qu’avec des mailles non Centro symétriques.

La centrosymétrie est la propriété d'un groupe ponctuel qui comporte un centre d'inversion pour l'un de ses éléments de symétrie. Les cristaux qui possèdent un centre d'inversion ne peuvent présenter certaines propriétés, telles que l'effet piézoélectrique.

(Cependant, un matériau piézoélectrique peut être ferroélectrique (c’est la faculté d’un matériau d’avoir une polarisation spontanée d’origine) et/ou pyroélectrique (c’est la faculté qui entraîne, lors d’un changement de température, une variation de la polarisation du cristal)).

La propriété qui permet à ce cristal de titanate de calcium (CaTiO3) de produire un courant électrique est sa structure pérovskite (structure de symétrie cubique particulière). Cette dernière est composée d’une première cubique et d’un octaèdre au centre. De plus, les anions d’oxygène forment les sommets des octaèdres tandis que les cations de Pb2+ et Ti4+ occupe respectivement leur centre et les sites entre les octaèdres. La pression stimule un déplacement du cation central Ti4+ ce qui provoque une répartition irrégulière

des charges.

Fig. 18

16

Il existe différentes classes regroupant différents matériaux piézoélectriques en fonction de leur propriété (cf annexe 7)

De plus, il existe deux types de piézoélectricités : la piézoélectricité naturelle et artificielle.

En effet, des matériaux possèderont cette faculté de manière naturelle tel que des cristaux naturels comme la berlinite ou le topaze. Néanmoins d’autres l’auront suite à l’action de l’être humain comme pour les céramiques piézoélectriques ou les polymères.

La piézoélectricité est également plus facile à détecter si le matériau piézoélectrique est un poly cristal puisque l’orientation des atomes sont dans tous les sens et dans toutes les directions, ce qui les rendent sujet à une « agitation » plus facile et libre avec la chaleur.

Cependant, un mono cristal est un arrangement régulier et périodique d'atomes. C'est sous cette forme que se présentent les matériaux piézoélectriques naturels comme le quartz. L'optimisation des propriétés d'un monocristal piézoélectrique peut se faire en jouant sur :

•

La composition chimique

•

L’orientation cristallographique

•

La structure en domaines ferroélectriques

b. L’effet piézoélectrique

En effet, certains cristaux sont naturellement piézo-électriques : le plus connu est le quartz, qui est un mono cristal de formule SiO2.

Dans le cas du quartz, sa maille est constituée d’atomes de silicium portant une charge électrique positive et d’atomes d’oxygène portant une charge électrique négative. De plus, lorsque la maille n’est soumise à aucune force, le barycentre des deux pôles électriques sont confondus.

Ainsi, lorsque l’on applique une compression sur la maille, celle-ci se déforme et les barycentres s’écartent pour former un dipôle électrique. Ainsi, l’effet direct est l’apparition de charges de signes opposés sur les deux électrodes suites à la réaction de ce dipôle.

A l’inverse, si la maille se déforme suite à l’apport de charges électriques sous l’effet de forces électrostatiques, on appelle cela l’effet inverse.

Fig. 19

17

c. Etude d’un dispositif piézoélectrique linéaire simple

Nous nous sommes alors demandés quelle a été la contrainte de déformation exercée par la tension électrique aux bornes du quartz.

La tension et la pression exercée sont liées par la relation de Becquerel suivante : U = S*P

Où U est la tension en Volts ; P la pression en Pascals et S la constante de sensibilité

Soit une pile de tension 5 Volts et S la relation entre la constante piézoélectrique et la largeur du cristal. S est alors égale à :

S= k*h avec k le coefficient piézoélectrique de valeur 𝑑_??=2,3

Posons h = 1cm = 1,0*10^@= m (valeur courante pour les capsules piézoélectriques).

Ainsi, on obtient : U = k*h*P

Or, nous cherchons la valeur de P P = ^m

n∗p

A:N :

P = 5

2,3 ∗ 1,0 ∗ 10^@=

= 5

2,3 ∗ 10^@=

= 217

Pour une tension incidente de 5V, un quartz subira une pression de 217 Pa

18

IV) Comment faire un piano avec des cristaux ?

a. En le faisant vibrer à l’aide d’un oscillateur Pierce

Pour optimiser les propriétés piézo-électriques du quartz l'état brut, ce dernier doit être travaillé de manière précise.

Le quartz, pour être utiliser, doit être découpé en lames d’où on fera ressortir des parallélépipèdes, des cylindres et des lentilles dont les dimensions définiront les propriétés vibratoires.

Pour fonctionner, chaque lame est orientée de manière précise en fonction des axes cristallographiques du cristal.

Trois axes se distinguent (cf annexe):

• L’axe Z (= axe optique) est l'axe de symétrie d'ordre 3. Il est parallèle à la longueur du quartz et aucune propriété piézo-électrique ne lui est associée.*

• L'axe X (= axe électrique)

• L’axe Y (= axe mécanique)

Ainsi, s'il l'on applique un choc sur l'axe mécanique, cela fera réagir l’axe électrique sur lequel on obtiendra une tension.

De même, l’application d’une tension sur l'axe électrique entrainera une vibration sur l'axe mécanique.

Ces différents axes permettent de définir les « coupes » utilisées pour les différentes applications piézoélectriques du quartz. (X, Y, NT, AT,...).

Cependant la coupe qui nous est utile pour les oscillateurs à quartz est la coupe AT.

• Qu’est-ce qu’une coupe AT ?

Ceci signifie que les pierres sont coupées à un angle de 35 ° 15’

par rapport à l’axe Z. La coupe AT est populaire grâce aux caractéristiques de température des cristaux qui en résultent.

Pour faire vibrer cette capsule de quartz, nous avons besoin d’un montage électronique spécial, appelée oscillateur Pierce. Il est constitué, en plus de la capsule HC49, d’un circuit RC et d’un double inverseur NAND (cf annexes 9, 10) :

Les deux condensateurs et les résistances servent à faire osciller la tension du montage au démarrage jusqu’à ce que le quartz entre en résonnance. Les deux inverseurs, en série, servent à amplifier le signal.

On analyse ensuite le signal émis avec un oscilloscope, et on obtient des courbes périodiques de cette forme, ici pour un cristal de fréquence de résonnance f = 4,096 MHz.

On trouve un signal périodique de période 240 ns, soit f = 1/240*10^-9 = 4,1 MHz. Avec une incertitude de ^{50 × 10−9}

3 = 3*10¹ ns. Cela correspond à la fréquence donnée par le fabriquant.

Sur le tableau en annexe 11, on peut voir les résultats pour différents quartz.

sont dans un plan perpendiculaire à Z.

Il existe 3 axes X et 3 axes Y déduits les uns des autres par rotation de 120° autour de Z (fig. 1).

Fig. 20

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b. En modifiant les spectres obtenus informatiquement, et en les assignant à des touches de piano

En sortie de l’oscilloscope, les spectres obtenus sont en format .wfm, une extension spécifique à la marque RIGOL. Cependant, à l’aide du logiciel Audacity, on peut importer ces données brutes pour les convertir en format .wav, un format audio plus répandu. Pour cela, le logiciel effectue un échantillonnage 44100 Hz, qui permet d’obtenir un son composé audible. Cet échantillonnage, standard dans l’industrie du son, permet, en effet, de couvrir toutes les fréquences audibles par l’Homme (de 20 Hz à 20kHz).

A l’aide du logiciel de séquençage MIDI Ableton, on convertit le fichier .wav obtenu en un VSTi, contrôlable via un clavier maître USB. Le logiciel va prendre comme référence la fréquence du .wav, puis va la multisampler pour produire une gamme de notes au tempérament égal, c’est-à-dire que le rapport en Hertz entre deux demi-tons (de do à do dièse par exemple) sera égal à :^vw 2. Il est judicieux de modifier la fréquence du fichier .wav en un la 3 (440 Hz) pour obtenir une gamme de do majeur, plus commode pour les musiciens.

Conclusion

Nous avons donc pu dompter le chant du cristal ! Nous avons dans un premier temps, étudié le cristal en lui-même afin de pouvoir cultiver le nôtre et ainsi définir les subtilités de sa formation. Nos recherches se poursuivant, la spectroscopie Raman est alors apparue comme un moyen d’analyse efficace pour comprendre les échanges énergétiques au sein du cristal. Les équations de l’effet Raman nous ont permis de justifier la diffusion inélastique du photon envoyé sur le cristal. Il en a résulté des vibrations moléculaires et cristallines, manifestées par des phonons que nous voulions capter afin de créer des notes. Cependant, le manque d’informations et de matériel nous ont contraint d’abandonner cette méthode.

Dans un second temps, nous avons alors rebondi sur une autre technique, la piézoélectricité. Cette dernière s’est avérée plus efficace et cohérente avec la finalité du projet. Dans la construction du piano et surtout par l’analyse poussée du quartz que nous avions entreprise en amont, la piézoélectricité était idéale. De ce fait, nous avons pu transformer un signal électrique en déformation mécanique et réciproquement, et donc faire vibrer le cristal, à l’aide d’un oscillateur Pierce de notre confection. Grâce à un oscilloscope numérique, nous avons pu capter ces vibrations, qu’on a ensuite transformées informatiquement pour obtenir des notes de musique !

Nous étions totalement novices dans le domaine de la cristallographie mais terriblement curieux.

Humblement, nous avons découvert, expérimenté et appris ce qu’est un cristal, quels mystères il renferme, quels secrets il peut nous livrer et surtout avec quelle poésie il peut nous émouvoir. Au travers de ce groupe- projet, nous avons formé un trio solide et soudé, où chacun a travaillé avec investissement et intérêt. C’est un enrichissement personnel et humain que nous garderons toujours en mémoire.

Fig. 22

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Remerciements

En remerciement particulier au terme de ces deux ans de recherches, de rencontres, d’expériences et de rédaction de ce mémoire des Olympiades 2018, nous tenons à mentionner les personnes qui nous ont accompagnés et soutenus :

-M.Scimeca, notre professeur de physique qui nous a éveillés à ce fabuleux projet et qui a été notre fil conducteur pendant ces deux années de préparation.

-M. Duchenoy, notre directeur de lycée qui, par son acceptation à ce projet, a mis à notre disposition les outils, l’espace et les conditions de travail pour réunir le groupe projet aussi fréquemment que nous les souhaitions et le pouvions. Nous tenons également à le remercier de la participation financière pour l’achat de nos fournitures.

-Pour sa guidance technique en spectroscopie Raman M. Krafft, chercheur à l’UPMC (laboratoire : LRS).

-Pour nous avoir gentiment prêté son spectroscope infrarouge, M. Piard, chercheur à l’ENS Cachan.

-M d’Humières, professeur de physique au sein de notre lycée, nous a guidé dans la schématisation de notre circuit électrique.

Enfin, nous voudrions vous remercier, vous qui avez pris le temps de lire ce livret. Si vous êtes professionnels dans la cristallographie, nous espérons que vous avez apprécié́ ces recherches et cette façon propre aux lycéens que nous sommes, de voir les choses et de vous les exposer. Nous espérons que vous avez pris du plaisir à nous suivre dans cet univers cristallin et musical.

Bibliographie

I) La cristallographie, la base de notre projet

Référence de base

KITTEL Charles. Physique de l’état solide. Paris. Dunod, 8^ème édition. 2014. 592 pages.

Croissance des cristaux

VERE A.W. Crystal growth : Principles and progress. New York. Plenum Press. 1987. 392 pages.

II) La spectroscopie Raman, notre moyen d’analyse et notre outil pianistique ?

L’effet Raman

BRÜESCH P. Phonons, theory and experiments. Berlin. Springer. 1986. 278 pages.

III) La piézoélectricité, notre technique finale

L’effet piézoélectrique

JAFFE B. COOK W.R. JAFFE H.Piezoelectricceramics. Londres. Academic. 1971 Site Internet

https://www.aurelienr.com