Calcul de l’écart-type Série de valeurs :
Valeurs (𝑥𝑖) 𝑥1 𝑥2 𝑥3 … 𝑥𝑝 Effectifs (𝑛𝑖) 𝑛1 𝑛2 𝑛3 … 𝑛𝑝 Attention : On a 𝑝 valeurs distinctes
Mais l’effectif total est 𝑁 = 𝑛1+ 𝑛2+ 𝑛3+ ⋯ + 𝑛𝑝, ce type de somme peut également s’écrire :
𝑁 = ∑ 𝑛𝑖
𝑖=𝑝
𝑖=1
Suivant ce modèle, la moyenne dite « arithmétique » 𝑥̅ se calcule et s’abrège en :
𝑥̅ =𝑛1𝑥1+ 𝑛2𝑥2+ 𝑛3𝑥3+ ⋯ + 𝑛𝑝𝑥𝑝
𝑁 = 1
𝑁∑ 𝑛𝑖
𝑖=𝑝
𝑖=1
𝑥𝑖
L’écart-type 𝜎𝑥 est ce que l’on appelle une moyenne quadratique (du mot « carré ») Il s’agit de la moyenne quadratique des écarts des valeurs (𝑥𝑖) à la moyenne 𝑥̅
La moyenne quadratique d’une série de nombres est la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés de ces nombres.
𝝈𝒙 = √𝒏𝟏(𝒙𝟏− 𝒙̅)² + 𝒏𝟐(𝒙𝟐− 𝒙̅)² + 𝒏𝟑(𝒙𝟑− 𝒙̅)² + ⋯ + 𝒏𝒑(𝒙𝒑− 𝒙̅)²
𝑵 = √∑𝒊=𝒑𝒊=𝟏𝒏𝒊(𝒙𝒊− 𝒙̅)² 𝑵
Allons plus loin :
𝜎𝑥= √𝑛1(𝑥1− 𝑥̅)2+𝑛2(𝑥2 − 𝑥̅)2+𝑛3(𝑥3− 𝑥̅)2+⋯+𝑛𝑝(𝑥𝑝− 𝑥̅)2 𝑁
= √𝑛1(𝑥12 − 2𝑥1𝑥̅ + 𝑥̅2)+𝑛2(𝑥22− 2𝑥2𝑥̅ + 𝑥̅2)+⋯+𝑛𝑝(𝑥𝑝2− 2𝑥𝑝𝑥̅ + 𝑥̅2) 𝑁
= √𝑛1𝑥12− 2𝑛1𝑥1𝑥̅ + 𝑛1𝑥̅2+𝑛2𝑥22− 2𝑛2𝑥2𝑥̅ + 𝑛2𝑥̅2+⋯+𝑛𝑝𝑥𝑝2− 2𝑛𝑝𝑥𝑝𝑥̅ + 𝑛𝑝𝑥̅2 𝑁
= √𝑛1𝑥12+ 𝑛2𝑥22+ ⋯ + 𝑛𝑝𝑥𝑝2− 2𝑥̅(𝑛1𝑥1+ 𝑛2𝑥2+ ⋯ + 𝑛𝑝𝑥𝑝) + (𝑛1+ 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑝)𝑥̅2 𝑁
= √𝑛1𝑥12+ 𝑛2𝑥22+ ⋯ + 𝑛𝑝𝑥𝑝2− 2𝑥̅. 𝑁𝑥̅ + 𝑁𝑥̅2 𝑁
= √𝑛1𝑥12+ 𝑛2𝑥22+ ⋯ + 𝑛𝑝𝑥𝑝2− 𝑁𝑥̅2 𝑁
𝝈𝒙 = √∑𝒊=𝒑𝒊=𝟏𝒏𝒊𝒙𝒊² 𝑵 − 𝒙̅𝟐
