ALGEBRE 2

FICHES METHODES

ALGEBRE 2 ^nde

SOMMAIRE :

1. Réduire une expression 2. Développer un produit

3. Utiliser les identités remarquables 4. Résoudre une équation du 1

degré 5. Résoudre une équation produit nulle 6. Résoudre une inéquation du 1

degré 7. Prouver une égalité

8. Factoriser une somme

9. Utiliser des tableaux de signes

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Fiche méthode : REDUIRE UNE EXPRESSION

RAPPEL :

L’algèbre, c’est la grammaire, le solfège des mathématiques. Un minimum de maîtrise est requis.

Ce qui fait que tout reste homogène, c’est les priorités opératoires, le code de la route de l’algèbre :

LA REDUCTION, C’EST QUOI ?

Réduire, c’est rendre plus simple, clarifier l’expression. On peut :

§ Supprimer le signe × lorsqu’il est entre 2 lettres différentes ou entre une quantité et une parenthèse.

§ Supprimer des parenthèses inutiles qui ne dictent pas une priorité.

§ Rassembler des « familles » de lettres identiques (en fait, on factorise).

Exemple : réduire les dix expressions suivantes.

𝐴 = 3 × 𝑐 + 1 × 𝑑 = 𝐹 = 4𝑎 + 5𝑎 =

𝐵 = 𝑏 + 𝑏 × 𝑏 × 𝑏 + 7 × (𝑎 × 𝑐) = 𝐺 = 4𝑎 × 5𝑎 = 𝐶 = 𝑓 × 𝑔 − 1 × 𝑔 − 0 × 𝑠 = 𝐻 = 4𝑎 × 5 =

𝐷 = 32 − 7 × 𝑎 = 𝐼 = 7𝑥 − 𝑥^>− 𝑥 =

𝐸 = 𝑦^>× 3𝑥 − 𝑥 − 𝑥 × 𝑥 × 𝑦^> = 𝐽 = 1𝑥^> − 2 × 𝑥𝑦 + 𝑦^>+ 2𝑦 × 𝑥 − 2𝑦 − 𝑥^> =

EXERCICES :

Exercice 1 : réduire les expressions (si c’est possible).

𝐴 = 2 × (𝑥 + 𝑥) × 3 𝐸 = (−𝑡)^>

𝐵 = 𝑥 + 𝑥 × 𝑥 + 2 × (𝑥 × 𝑥) 𝐹 = −𝑡^>

𝐶 = 4𝑡 + 3𝑡 𝐺 = 𝑎^>− 5 × 𝑎𝑏 + 1𝑏^>+ 5𝑏 × 𝑎 − 2𝑏 − 𝑎^>

𝐷 = 4𝑡 × 3𝑡 𝐻 = −𝑥^>+ 2 − 3𝑥 − 4 + 7𝑥 + 2𝑥^>

Exercice 2 : réduire les expressions suivantes : 𝐴 = 2𝑥 + 3𝑥^>− 𝑥 − 4 + 𝑥^>+ 6 𝑓(𝑡) = 3 × 𝑡 × 𝑡 × 𝑡 − 3 × 𝑡 𝐵 = 4𝑢 × 2𝑢 − 4𝑢 + 2𝑢 + 4 × 2𝑢 𝐶 = (3𝑥)^> − 9𝑥^>

Corrigé

Fiche méthode : DEVELOPPER UN PRODUIT

LA NATURE D’UNE EXPRESSION

C’est la dernière opération à effectuer dans une expression, la plus centrale, celle qui définit l’expression.

Ca peut être une somme (+), une différence (−), un produit (×) ou un quotient (÷).

Exemples : 3 × 𝑥 + 1 est une somme (car la multiplication est prioritaire).

(4𝑥 + 1)(2 − 6𝑥) est un produit.

𝑡 −^G_H est une différence

IJG

H est un quotient.

ET LE DEVELOPPEMENT ALORS ?

Développer, c’est transformer ………

Du coup, on ne peut pas toujours développer une expression ! Contre-exemple : 𝐴 = 4 + 6𝑥 ou 𝐵 = 5𝑥 + (3𝑥 − 5)

Exemples 1 : développement de niveau 1 [simple et double distributivité]

Développer et réduire :

𝐴 = 3 × (2𝑥 + 6) 𝐵 = −5(−𝑥 + 7)

𝐶 = (3 + 𝑥)(2𝑥 + 4) 𝐷 = (−3𝑥 + 1)(−5 − 6𝑥)

Exemples 2 : développements de niveau 2 [sommes et différences de produits]

Développer et réduire :

𝐸 = −4(2𝑥 − 1) + (𝑥 + 6)(3𝑥 − 5) 𝐹 = −4(2𝑥 − 1) − (𝑥 + 6)(3𝑥 − 5)

EXERCICES :

Exercice 1 : développer les expressions suivantes.

𝐴 = (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 1) 𝐵 = 4𝑥(7 − 2𝑥) 𝐶 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝐷 = (3𝑥 + 1)(4𝑥 − 1) + 7𝑥(2𝑥 − 6) 𝐸 = 2𝑥(5 − 3𝑥) − (𝑥 − 4)(2𝑥 + 1) Exercice 2 : développer et réduire les expressions :

𝐴 = 4(3𝑥 − 1) 𝐵 = −6(5 − 3𝑥) 𝐶 = 3𝑥(2𝑥 + 1) + 4 𝐷 = (2𝑥 + 1)(4𝑥 − 7) 𝐸 = (5𝑥 − 1) × (−2𝑥 − 4)

Exercice 3 : Vrai ou faux ? Entourer les éventuelles erreurs et corriger ce développement.

A = 5x + (3x – 1) (2x + 1) A = 5x + 6x + 3x – 2x + 2 A = 12x + 2

A= 14x

Corrigé Corrigé

Fiche méthode : Utiliser les identités remarquables

C’EST QUOI ?

Une identité remarquable est un raccourci intéressant qui permet de gagner en temps et en efficacité.

(𝑎 + 𝑏)^> = (𝑎 − 𝑏)^> = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = Démonstration :

(𝑎 + 𝑏)^> = (𝑎 + 𝑏) × (𝑎 + 𝑏) = ⋯

= ⋯

Exemple : développer et réduire grâce aux identités remarquables : 𝐴 = (𝑥 + 1)^> 𝐵 = (3𝑥 + 2)^>

𝐶 = (2𝑥 − 1)^> 𝐷 = (5 − 7𝑥)^>

𝐸 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝐹 = (3𝑥 + 5)(3𝑥 − 5)

EXERCICES :

Exercice 1 : compléter :

𝐴 = (4𝑥 + ⋯ )^> = ⋯ 𝑥^>+ ⋯ + 25 𝐵 = (… . −2)^> = 36𝑥^>− ⋯ + ⋯ 𝐶 = (… + 1)^> = ⋯ + 8𝑥 + ⋯

𝐷 = (… − 3)(2𝑥 + ⋯ ) = …^>− ⋯ = ⋯ − ⋯ Exercice 2 : développer les expressions suivantes.

𝐴 = (4𝑥 − 5)^> 𝐵 = (𝑡 + 1)(𝑡 − 1)

𝐶 = (5 + 2𝑥)^> 𝐷 = (2𝑥 + 3)^>+ (6𝑥 − 2)(6𝑥 + 2) 𝐸 = (2𝑥 + 1)^> − (2𝑥 − 1)^> 𝐹 = (−2𝑥 − 4)^>

𝐺 = (4 − 5𝑡)(4 + 5𝑡) 𝐻 = 3(𝑥 + 2)^>

Corrigé

Fiche méthode : résoudre une équation du 1

degré

VOCABULAIRE :

• Une équation est une écriture mathématique comportant ………..

• Résoudre une équation, c’est ………..

• On finit toujours une résolution d’équation par l’ensemble-solution qu’on note ………

• On appelle ……… le(s) nombre(s) qui rend(ent) l’équation ……

• Chaque partie à gauche ou à droite du signe = est appelée ………

• Certaines équations ont ……….

• On peut tester une solution : c’est une ………

PRESENTATION & REDACTION :

Principe : Il faut imaginer une équation comme une balance en équilibre, dont les objets sont liés par les règles des priorités opératoires. L’idée est d’isoler l’inconnue (à gauche ou à droite du =).

Exemple : résoudre dans ℝ l’équation 4𝑥 − 5 = 1 + 2𝑥.

4𝑥 − 5 = 1 + 2𝑥 4𝑥 − 5 = 1 + 2𝑥

Donc 𝑆 = {… } Donc 𝑆 = {… }

EXERCICES :

Exercice : résoudre dans ℝ les équations suivantes.

a) 3𝑥 − 1 = 4𝑥 + 6 b) 4,5𝑥 + 2 = 1,5𝑥 + 3

c) 2(4𝑥 + 1) − 3𝑥 = 0 d) (𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 2𝑥^>+ 4𝑥 − 5 e) (𝑡 + 1)(4𝑡 − 1) = 2𝑡(2𝑡 + 6)

En effectuant les mêmes opérations dans chaque membre :

En « passant » des éléments de l’autre côté du

= en changeant d’opérations :

Corrigé

Fiche méthode : résoudre une équation PRODUIT NULLE

C’EST QUOI ?

Une équation produit nulle est une équation du type (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑) = 0 Elle est donc constituée de deux facteurs du 1^er degré et son produit vaut

En développant ce type d’équation, on trouve une équation du 2^nd degré, avec des 𝑥^>. Pour pouvoir la résoudre simplement, il ne faut donc pas la développer !

Exemple : (2𝑥 − 1)(𝑥 + 5) = 2𝑥 × 𝑥 + 2𝑥 × 5 + (−1) × 𝑥 + (−1) × 5 = 2𝑥^>+ 10𝑥 − 𝑥 − 5

= 2𝑥^>+ 9𝑥 − 5

ON LE RESOUT COMMENT ?

Tout est basé sur l’équivalence : « un produit est nul si et seulement si un de ces facteurs est nul ».

Exemple :

a) Expliquer en quoi (2𝑥 + 4)(𝑥 − 9) = 0 est une équation produit nulle.

b) Résoudre dans ℝ l’équation (2𝑥 + 4)(𝑥 − 9) = 0

DEUX REMARQUES :

§ S’il n’y a pas de 0, il est toujours possible de le faire apparaître en basculant tout d’un côté du =.

§ S’il n’y a pas de produit, on peut tenter de factoriser (facteur commun ou identité remarquable).

EXERCICES :

Exercice 1 : résoudre dans l’ensemble ℝ des réels : (3𝑥 + 1) × (2𝑥 − 1) = 0

𝑥(5𝑥 − 10) = 0 (8𝑥 + 7)(3𝑥 + 1) = 0

Exercice 2 : résoudre dans ℝ les équations suivantes.

a) (𝑥 − 3)(2𝑥 + 5) = 0 b) (2𝑥 − 1)(−5 − 3𝑥) = 0

c) (𝑥 + 4)(2𝑥 + 7) + (𝑥 + 4)(𝑥 + 3) = 0 d) (4𝑥 − 1)^> = 0 e) 16𝑥^>− 9 = 0

Corrigé

Fiche méthode : résoudre une Inéquation DU 1 Degré

PRINCIPE

Pour résoudre une inéquation, on procède comme pour les équations à ceci près qu’on change l’ordre (le symbole <, ≤, > ou ≥) lorsqu’on multiplie ou qu’on divise par un nombre négatif.

ENSEMBLE SOLUTION

Il n’y a cette fois-ci plus une seule solution mais une infinité : l’ensemble solution est donc un intervalle.

REPRESENTATION :

On peut visualiser les solutions grâce à une droite graduée.

Exemples : 3𝑥 − 1 > 7𝑥 + 7 6𝑥 + 4 ≥ 2𝑥 − 3

ssi 3𝑥 − 7𝑥 > 7 + 1 ssi 6𝑥 − 2𝑥 ≥ −3 − 4

ssi −4𝑥 > 8 ssi 4𝑥 ≥ −7

ssi 𝑥 <_JG^X ssi 𝑥 ≥ −^Y_G

ssi 𝑥 < −2 ssi 𝑥 ≥ −1,75

𝑺 = ]−∞; −𝟐[ 𝑺 = [−𝟏, 𝟕𝟓; +∞[

EXERCICES :

Exercice : résoudre dans ℝ les inéquations suivantes On réalisera une représentation graphique des solutions.

a) 3𝑥 − 4 > 5𝑥 − 1 b) 2(𝑥 + 1) ≤ 3𝑥 − 4

c) (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) > 𝑥^>− 2𝑥 + 1 d) 10𝑥 − 12(𝑥 − 2) < −𝑥 + 9

Fiche méthode : PROUVER UNE EGALITE

MAIS C’EST QUOI UNE EGALITE ?

Contrairement à une expression, une égalité est composée de deux membres, de part et d’autre du signe = Prouver ou démontrer une égalité, c’est montrer qu’elle est ... vraie, c’est-à- dire vraie pour ………

Pour cela, hors de question de prendre un seul exemple, ou même plusieurs ! Cela ne suffirait pas.

On utilise les règles du calcul littéral.

Exemple :

Montrer les égalités suivantes :

a) 4(𝑥 + 4) − 20 = 4(𝑥 − 1) b) ^>HJc

H =^cdHJe

eH

EXERCICES :

Exercice 1 : prouver les égalités suivantes : a) 3(𝑥 + 1) − 7 = 3𝑥 − 4

b) 7𝑥^>− 5(𝑥 + 2) − 𝑥^>− 5𝑥 + 6 = (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 4) c) ^Hfc_d,eH=^gHfg_hH

Exercice 2 : on considère l’égalité (𝐸) : 𝑥^h− 3𝑥^>+ 2𝑥 = 0

a) (𝐸) est-elle vraie pour 𝑥 = 0 ? Pour 𝑥 = 1 ? Pour 𝑥 = 2 ?

b) Héloïse est persuadée que l’égalité (𝐸) n’est pas vraie pour toutes les valeurs de 𝑥.

Comment peut-elle le prouver ?

Corrigé

Fiche méthode : FACTORISER UNE SOMME

FACTORISER ?

Factoriser, c’est transformer ………

A QUOI CA SERT ?

A obtenir des produits ! Et en maths, on adore les produits (car on connaît par exemple leur signe – voir règles des signes vue au collège – ou on peut retomber sur une équation produit nulle. Entre autres.) Exemples : factoriser les expressions suivantes :

𝐹 = (𝑥 − 3)(2𝑥 + 8) − (𝑥 − 3)(𝑥 + 6) 𝐻 = (𝑥 + 4)(5𝑥 − 2) + (𝑥 + 4)

𝑀 = 𝑥^> + 14𝑥 + 49 𝑃 = 4𝑥^>− 64

ON NE PEUT PAS TOUJOURS FACTORISER !

Quelques exemples ? (2𝑥 + 1)(𝑥 + 5) + (2𝑥 + 3)(−7𝑥 − 1) ou encore 4𝑥^>+ 64 Ici, ni facteur commun, ni identité remarquable !

EXERCICES :

Exercice 1 : factoriser les expressions suivantes.

𝐴 = (2𝑥 − 1)(−𝑥 + 3) + (−𝑥 + 3)(6𝑥 + 10) 𝐵 = 49 − 36𝑥^>

𝐶 = 9𝑥^>− 6𝑥 + 1 𝐷 = 6𝑥(7𝑥 + 2) − (3𝑥 − 1)(7𝑥 + 2) Exercice 2 : la consigne est toujours la même : il faut mettre (𝑥 + 1) en facteur puis réduire le deuxième facteur. Mais la difficulté s’accroît avec le niveau !!

Niveau

1 3𝑥 + 3 ^Niveau ₁₁ 2(𝑥 + 8)(𝑥 + 1) + 𝑥 + 1

Niveau

2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 5) + 7(𝑥 + 1) ^Niveau ₁₂ (𝑥 + 1)^> + 𝑥 + 1

Niveau

3 (𝑥 + 1)(3𝑥 + 4) + (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) ^Niveau ₁₃ (𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + (2𝑥 − 6)(3𝑥 + 3)

Niveau

4 (𝑥 + 1)(4𝑥 + 9) − 5(𝑥 + 1) ^Niveau ₁₄ (𝑥 + 1)(5𝑥 + 9) + (4𝑥 − 7)(−3𝑥 − 3)

Niveau

5 (𝑥 + 1)(8𝑥 − 3) + 4𝑥 + 4 ^Niveau ₁₅ (𝑥 + 1)^>+ 𝑥² − 1

Niveau

6 (𝑥 + 1)(9𝑥 − 5) − 7𝑥 − 7 ^Niveau ₁₆ 𝑥² + 2𝑥 + 1 + 3(𝑥 + 1)

Niveau

7 (𝑥 + 1)(2𝑥 + 4) − (𝑥 − 7)(𝑥 + 1) ^Niveau ₁₇ (𝑥 + 1)(𝑥 + 9) − 𝑥 − 1

Niveau

8 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 4) + 3(𝑥 + 1)(𝑥 + 8) ^Niveau ₁₈ 3𝑥² − 3 + 𝑥 + 1

Niveau

9 7(𝑥 + 1)(2𝑥 + 1) − 2(𝑥 + 1)(3𝑥 − 4) ^Niveau ₁₉ (2𝑥 + 2)^> + 𝑥 + 1

Niveau

10 3(𝑥 + 5)(𝑥 + 1) + 4𝑥 + 4 ^Niveau ₂₀ 𝑥^G− 1

Corrigé Corrigé

Corrigé

Fiche méthode : UTILISER DES TABLEAUX DE SIGNES

C’EST QUOI UN TABLEAU DE SIGNES ?

Un tableau de signes (sous-entendu de produits ou de quotients) est un tableau qui récapitule les signes de deux expressions (du 1^er degré par exemple) qu’on cherche à multiplier ou diviser.

Pour s’intéresse-t-on particulièrement aux tableaux de produits et de quotients ? Parce qu’on connaît parfaitement leurs signes (règles des signes vues au collège), contrairement aux sommes et différences.

Exemple : résoudre (2𝑥 + 1)(−𝑥 + 3) < 0 2𝑥 + 1 ≥ 0 −𝑥 + 3 ≥ 0

ssi 2𝑥 ≥… ssi −𝑥 ≥…

ssi 𝑥 ≥ … ssi 𝑥 ≤…

𝑥 −∞ …. …. +∞

Signe de 2𝑥 + 1 0

Signe de −𝑥 + 3 0 Signe du produit 0 0 Conclusion : 𝑆 = ]… ; … [ ∪ ]… ; … [

ATTENTION AUX QUOTIENTS !

Le nombre qui annule le dénominateur devient une valeur interdite (double barre dans le tableau) !!!

COMMENT Y PARVENIR QUAND ON N’A PAS LA BONNE FORME ?

• Pour les produits : on s’arrange pour obtenir 𝑂 au membre de droite en basculant tout à droite du = et on factorise.

• Pour les quotients : on s’arrange pour obtenir 𝑂 au membre de droite en basculant tout à droite du = et on réduit au même dénominateur.

EXERCICES :

Exercice 1 : résoudre dans ℝ les inéquations suivantes.

a) (5𝑥 − 4)(−4𝑥 + 1) > 0 b) ^hHfc_Hfe ≤ 0

Exercice 2 : résoudre dans ℝ l’inéquation (4𝑥 − 3)(𝑥 + 1) ≤ (4𝑥 − 3)(−𝑥 + 6)

Corrigé