e de Maison N°2

Lycée Marsa Erriadh 4ème année

2013/2014

1h30mn.

Devoir de Maison N°2

Section : Maths M.Messaoudia M.Zribi

Exercice 1 :

Soit n un entier nature.

1) Démontrer que le chiffre des unités de n est donné par le reste modulo 10 de n.

2) a) Déterminer tous les entiers naturels n tels que ^{3n 1 10}

 

b) Quel est le chiffre des unités de N1=3²⁰¹⁴ ?

c) Quel est le chiffre des unités de N2= 173²¹³¹ .2551¹⁹⁷⁰ ? 3) Soit n un entier naturel , n≥2 .

a) Démontrer par récurrence que le reste modulo 6 de 6ⁿ est 6.

b) Quel est le chiffre des unités de 9ⁿ ?

c) En déduire le chiffre des unités de N3= 356²⁰¹⁴.1549²⁰¹³ ? 4) Quel est le chiffre des unités de 6ⁿ.9ⁿ ?

Exercice 2:

le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,

⃗ u ,⃗ v )

]0, π

2 [, l’équation (E) : z²-2ie^iz-4(1-i)e^2i =0.

1) Résoudre dans C l’équation (E).

2) on considère les points M’ et M’’ d’affixes respectives 2e^i et –2(1-i)e^i et le point N tel que OM’N est un triangle rectangle isocèle direct.

a) Montrer que pour tout ]0, π

2 [, M’ appartient à un cercle  que l’on précisera.

b) Déterminer l’affixe n du point N.

c) Montrer que OM’NM’’ est un parallélogramme.

3)

a) Déterminer en fonction de  le module et un argument de –2(1-i)e^i.

b) Déterminer l’ensemble des points M’’ lorsque  varie dans ]0, π 2 [.

Exercice 3:

Soit (E’)

: (

z-1)

=(-2+2i)e

z

1) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe (-2+2i)e^i. 2) Soit x]0,2[\{} ; montrer l’équivalence :

√2z−1

z =√²

e

. 3) En déduire les solutions de l’équation (E’).