Devoir surveillé
Exercice 1 : La fonction représentée ci-contre correspond au pourcentage d'une population atteinte par une épidémie de gastro-entérite en fonction du temps.
Pour chaque question indique en pointillés sur le graphique des traits correspondant à ta lecture.
a) Pendant de combien de jours y a-t-il plus de 6 % de population atteinte ?
Du 10ième au 17ème jours, il y a plus de 6 % de la population atteinte par la
maladie, donc pendant 7 jours. (voir sur le graphique en rouge)
b) Détermine au bout de combien de jours la maladie a disparu : C'est au moment où le pourcentage tombe à zéro, soit au bout de 20 jours.
c) Détermine la ou les images de 5 par cette fonction ? Traduis par une phrase ce résultat dans la situation concrète. L'image de 5 est 2, c'est à dire qu'au 5ème jour, 2 % de la population est atteint par la maladie. (voir sur le graphique en bleu)
d) Détermine le ou les antécédents de 7 par cette fonction ? Traduis par une phrase ce résultat dans la situation concrète. Les antécédents de 7 sont 11 et 16, c'est à dire qu'au 11ème jour et au 16ème jour, 7 % de la population est malade. et (voir sur le graphique en vert)
Exercice 2 : Une entreprise de charpente réalise un toit sur une maison. En fin de semaine, le responsable passe jeter un œil au chantier en cours… Il est inquiet…
Il a l'impression que la traverse de la charpente n'est pas parallèle à la base du toit. D'un autre côté, il est vrai que les pentes de chaque coté du toit n'ont pas la même pente, alors peut-être est-ce une illusion d'optique…
Il aimerait bien être sûr que la traverse soit parallèle avant de poser les lattes et les tuiles, car sinon, il faudra tout redéfaire ! Avec les mesures qu'il a prises, peux-tu répondre à sa question ?
(toute trace de recherche sera prise en compte dans la
correction, même si ce n'est pas aboutie)
Dans cet exercice, on reconnaît une configuration de Thalès et on veut savoir si les droits sont bien parallèles.
On va donc écrire deux rapports de Thalès pour lesquels on connaît toutes les longueurs, pour savoir si les rapports sont égaux. La réciproque de Thalès nous permet d'affirmer que si les rapports sont égaux, les droites seront parallèles.
Il faut déjà écrire cela… on calculera ensuite !
J'ai donc reproduit la figure ci-contre, en nommant les points (modélisation). Dans cette figure A, D, B et A, E C sont alignés dans cet ordre.
D'une part
D'autre part
A partir de là, on a une difficulté car les rapports ne sont pas égaux… mais presque. Du moins, on ne peut pas dire qu'ils soit très différent !
Alors il faut revenir à la situation que l'on a modélisé : une charpente dont on se demande sur une traverse et parallèle au sol. Quelle précision attendons-nous dans cet exercice ?
Première chose : Une différence au cinquième chiffre après la virgule alors que les mesures sont effectués au centimètre près (soit deux chiffres derrières la virgule) peut être considéré comme négligeable. En fait, c’est au niveau des mesures qu'il y a sûrement une approximation.
Deuxième chose : du coté du point E, on prend en compte l'épaisseur de la traverse alors que du coté de D, on ne l'a prend pas en compte. C'est une source d'imprécision.
Dernière chose : qu'est-ce que veut dire, en charpente, qu'une traverse est parallèle à la base du toit ? Est- ce tout à fait le parallélisme en mathématiques et en physique appliqué est tout à fait identique. En charpente, on se contentera d'un parallélisme suffisant pour une bonne tenue de la structure, soit à quelques centimètre près…
Et donc, on peut accepter les deux conclusion, à condition qu'elle soit justifiées :
les rapports sont égaux (ou presque et la différence est négligeable dans la situation) et d'après la réciproque de Thalès, les droites sont parallèles ou alors les rapports ne sont pas égaux, et par conséquent, les droites ne sont pas parallèles.(Dans cette deuxième rédaction, pour être tout à fait précis, il faudrait dire que si les droites étaient parallèles, les rapports seraient égaux, ce qui n'est pas le cas, donc il n'étaient pas possible que les droites soient parallèles)
Exercice 3 : On a créé deux scripts sous Scratch permettant de réaliser les deux figures ci-contre, pour lesquels on demande à l'utilisateur de donner la valeur de .
a) Dans ces deux scripts, les lettres A, B, C, et D représentent des nombres. Quels sont ces nombres ?
On peut déjà constater que le script 1 trace deux longueurs différentes avec un angle droit (éventuellement répétés), ce qui nous fait penser que le script 1 correspond au rectangle. Le script 2 correspond donc au triangle.
Dans le script 1, le A correspond à la répétition du tracé de la longueur et de la largeur. Il faut donc le répéter 2 fois. Le B correspond à la mesure de l'angle entre la largeur et la longueur, donc 90°
Dans le script 2, le C correspond au nombre de fois qu'il faut répéter le tracé d’un coté… donc à 3 pour le triangle. Le D correspond à l'angle à faire pour
former le triangle équilatéral. Attention, pour faire un angle de 60°, il faut tourner de 120° (car 180-120=60).
Résumons : A=2 ; B=90 ; C=3 ; D=120
b) On voudrait maintenant que le programme réalise d'un seul coup les deux figures ci-dessus, en laissant comme dans la figure un espace de entre les deux.
Réorganiser le programme pour réaliser ce qui est demandé.
Entre le tracé du triangle et celui du rectangle, il faut faire une séparation de , soit 3 fois la réponse. Mais pour faire la séparation de , il faut déjà avancer de la longeur du coté du triangle, et ensuite de , ce que j'ai mis en deux blocs dans le programme (c'est comme dans ce que nous avons fait en classe, pour tracer les 10 carrés espacé de 5 et qu'il fallait avancer de 35)
Exercice 4 : On cherche à résoudre l'équation suivante
Les deux questions ci-dessous sont indépendantes. Vous pouvez résoudre la deuxième sans avoir fait la première.
a) Montrer que
On peut partir de et distribuer :
b) Résoudre l'équation suivante Soit ou bien
ou ou
Il y a deux solutions : et
c) A partir des deux résultats ci-dessus, répondre à la question de départ : résoudre l'équation suivante L'équation proposée ici correspond à l'expression de la question a). On a montrer que
. Or correspond à l'identité remarquable .
Dit autrement . Et donc correspond à
, soit l'équation de la question b) que nous avons déjà résolue.
Et donc l'équation proposée admet deux solutions : et
