Théorie <span class="mathjax-formula">$L^p$</span> et dualité de Serre pour l’équation de Cauchy-Riemann

ANNALES

DE LA FACULTÉ DES SCIENCES

Mathématiques

CHRISTINELAURENT-THIÉBAUT

ThéorieL^pet dualité de Serre pour l’équation de Cauchy-Riemann

Tome XXIV, n^o2 (2015), p. 251-279.

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Article mis en ligne dans le cadre du

Annales de la Facult´e des Sciences de Toulouse Vol. XXIV, n 2, 2015 pp. 251–279

Th´ eorie

et dualit´ e de Serre pour l’´ equation de Cauchy-Riemann

Christine Laurent-Thi´ebaut⁽¹⁾

R^´ESUM´E.— Dans cet article nous proposons une ´etude syst´ematique de la th´eorieL^ppour l’op´erateur de Cauchy-Riemann dans les vari´et´es com- plexes. Dans une premi`ere partie nous ´etudions la th´eorieL<sup>p</sup>locale puis nous d´eveloppons la th´eorie d’Andreotti-Grauert dans le cadre L<sup>p</sup>. La seconde moiti´e de l’article est consacr´ee `a la dualit´e de Serre et `a ses applications `a la r´esolution avec support exact de l’´equation de Cauchy- Riemann dans les espacesL^p.

ABSTRACT.— In this paper we propose a systematic study of the Cauchy- Riemann operator in theL^p-setting in complex manifolds. We first con- siderL^p_loc-theory and then we develop anL^pAndreotti-Grauert theory. In the second half of the paper we consider Serre duality and its applications to the solvability of the Cauchy-Riemann equation with exact support in L^p-spaces.

Cet article propose une ´etude syst´ematique de l’op´erateur de Cauchy- Riemann relativement aux espaces L^p, 1 < p < +∞, dans les vari´et´es analytiques complexes. L’int´erˆet des espacesL^p, 1< p <+∞, est que leurs espaces duaux sont des espaces de mˆeme type, plus pr´ecis´ement le dual d’un espace L^p, 1< p < +∞, est un espace L^p, o`u p est d´etermin´e par

1

p+_p¹ = 1. Cette propri´et´e prend toute son importance dans l’´etude de la dualit´e de Serre.

(∗) Re¸cu le 13/08/2013, accept´e le 05/01/2015

(1) Univ. Grenoble Alpes, IF, F-38000 Grenoble, France CNRS, IF, UMR 5582, F-38000 Grenoble, France

Article propos´e par Gilles Carron.

Notons que sip= 2, alorsp = 2 et les espaces L² sont des espaces de Hilbert. Le cas particulierp= 2 a ´et´e tr`es largement ´etudi´e via la th´eorie L² de L. H¨ormander [15] et l’´etude de l’op´erateur de Neumann initi´ee par G.B. Folland et J.J. Kohn [10] (voir [9] et les r´ef´erences contenues dans sa bibliographie). Un travail r´ecent de D. Chakrabarti et Mei-Chi Shaw [7]

traite de la dualit´e de Serre dans ce cadre.

Une premi`ere partie s’int´eresse `a la cohomologie de Dolbeault L^p_loc `a valeurs dans un fibr´e vectoriel holomorphe sur une vari´et´e analytique com- plexe. Nous prouvons l’existence de l’isomorphisme de Dolbeault entre la cohomologie de DolbeaultL<sup>p</sup><sub>loc</sub>et la cohomologie de DolbeaultC<sup>∞</sup>ainsi que la cohomologie de Dolbeault pour les courants. Nous prouvons en particulier Th´eor`eme0.1.— SoientX une vari´et´e analytique complexe de dimen- sion complexen, E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X et p1. Si r est un entier tel que0rn,

(i) pour toute f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q 1, telle que ∂f = 0, et tout voisinageU du support def, il existe g∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E)`a support dans U telle que f−∂g∈ E^r,q(X, E);

(ii) si f ∈(L^p_loc)^r,q(X, E), q1, v´erifief =∂S pour un courant S ∈ D^r,q−1(X, E), alors pour tout voisinage U du support de S il existe g ∈ (W_loc^1,p)^r,q−1(X, E)`a support dansU telle que f =∂g surX.

On obtient alors que si f ∈ (L^p)^r,q(X, E), 0 r n, q 1, est une forme diff´erentielle `a support compact dans X, qui est exacte au sens des courants, il existe g ∈ (W<sup>1,p</sup>)<sup>r,q−1</sup>(X, E) `a support compact dans X telle quef =∂gsurX. Cela r´epond `a une question pos´ee par G. Tomassini (voir [5] et [4]).

Il en r´esulte ´egalement un th´eor`eme d’extension du type Hartogs-Bochner- Severi pour les fonctions CR de r´egularit´e SobolevW^1−1p,p.

Dans la seconde partie nous d´efinissons plusieurs complexes de Cauchy- Riemann pour L^p. Nous d´eveloppons tout d’abord la th´eorie d’Andreotti- Grauert dans le cadre L^p, une premi`ere avanc´ee dans ce domaine est due

`a N. Kerzman [16]. Pour ce faire, nous nous appuyons sur des r´esultats de compacit´e r´esultant des estimations Sobolev jusqu’au bord dues `a R. Beals, P. Greiner et N. Stanton [6].

Ensuite nous pr´ecisons les propri´et´es de dualit´e reliant les diff´erents com- plexesL^p et en appliquant des r´esultats abstraits nous d´eveloppons la dua- lit´e de Serre dans ce cadre. Cela nous permet d’´etudier la r´esolution du∂

`a support exact. Plus pr´ecis´ement nous consid´erons le probl`eme de Cauchy

Th´eorieL et dualit´e de Serre

faible suivant : SoitX une vari´et´e analytique complexe de dimension com- plexen2,E un fibr´e vectoriel holomorphe surX et Dun domaine rela- tivement compact dans X. Etant donn´ee une (r, q)-forme f `a coefficients dansL^p(X, E), avec 0rnet 1qn, telle que

suppf ⊂D et ∂f = 0 au sens des distributions dansX, existe-t-il une (r, q−1)-formeg `a coefficients dansL<sup>p</sup>(X) telle que suppg⊂D et ∂g=f au sens des distributions dansX ? Notons que lorsque q=n, la condition ∂f = 0 dans l’´enonc´e du probl`eme de Cauchy est vide et qu’une condition de moment est n´ecessaire pour avoir une solution. Des conditions cohomologiques puis g´eom´etriques surX etD sont donn´ees pour obtenir une r´eponse affirmative (voir les Th´eor`emes 2.19 et 2.20 et les corollaires qui suivent). La th´eorie d´evelopp´ee ici donne un bien meilleur contrˆole du support de la solution en fonction du support de la donn´ee par rapport aux r´esultats d´emontr´es dans la premi`ere partie.

Finalement nous pouvons d´eduire de l’´etude du probl`eme de Cauchy des r´esultats d’extensions pour les formes diff´erentielles CR, de r´esolution de l’´equation de Cauchy-Riemann dans des anneaux et des th´eoremes de s´eparation pour certains groupes de cohomologie.

Je voudrais remercier ici Eric Amar pour les nombreux ´echanges que nous avons eus lors de la pr´eparation de cet article.

1. Cohomologie L^p_loc dans les vari´et´es complexes

SoientX une vari´et´e analytique complexe de dimension complexe n et E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X, on note E^r,q(X, E), 0 r, q n, l’espace de Fr´echet des (r, q)-formes diff´erentielles `a valeurs dansEde classe C<sup>∞</sup> surX muni de la topologie de la convergence uniforme des formes et de toutes leurs d´eriv´ees sur tout compact de X et D<sup>r,q</sup>(X, E), 0 r, q n, le sous-espace de E<sup>r,q</sup>(X, E) des formes `a support compact muni de sa topologie usuelle de limite inductive de Fr´echet. On d´esigne par∂l’op´erateur de Cauchy-Riemann associ´e `a la structure complexe de X, et pour tout 0rn, on consid`ere les groupes de cohomologieH^r,q(X, E), 0qn, du complexe (E^r,•(X, E), ∂) et les groupes de cohomologieH_c^r,q(X, E), 0 qn, du complexe (D^r,•(X, E), ∂). Il s’agit des groupes de cohomologie de Dolbeault et des groupes de cohomologie de Dolbeault `a support compact deX `a valeurs dansE, ils sont d´efinis par

H^r,q(X, E) =E^r,q(X, E)∩ker∂

∂E^r,q−1(X, E) et H_c^r,q(X, E) =D^r,q(X, E)∩ker∂

∂D^r,q−1(X, E) et munis de la topologie quotient correspondante.

Si D^r,q(X, E), 0 r, q n, d´esigne l’espace des courants de bidegr´e (r, q) `a valeurs dans E sur X, on peut ´etendre l’op´erateur ∂ `a cet espace en posant pour T ∈ D^r,q(X, E),< ∂T, ϕ >= (−1)^r+q+1 < T, ∂ϕ > pour toute formeϕ∈ D^{n−r,n−q−1}(X, E^∗). On obtient ainsi un nouveau complexe (D^r,•(X, E), ∂) dont les groupes de cohomologie sont not´esH_cour^r,q (X, E).

Pour 0rn, notons Ω^r_E le faisceau des (r,0)-formes holomorphes sur X `a valeurs dansE. Il r´esulte du lemme de Dolbeault et de l’isomorphisme de de Rham-Weil (voir par exemple le Th´eor`eme 2.14 dans [14]) que les groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E et les groupes de cohomologie de Dolbeault sont isomorphes, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H^r,q(X, E).

Le lemme de Dolbeault ´etant ´egalement valide pour les courants (voir par exemple le Th´eor`eme 2.13 dans [14]), les groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E et les groupes de cohomologie au sens des courants sont aussi isomorphes, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H_cour^r,q (X, E).

Dans cette section, nous allons g´en´eraliser ces r´esultats `a la cohomologie L<sup>p</sup><sub>loc</sub>, p 1. Pour faciliter la lecture de ce travail nous donnons en d´etail la plupart des d´emonstrations mˆeme lorsqu’elles sont similaires `a celles de [14].

Consid´erons pourp1, le sous espace (L^p_loc)^r,q(X, E), 0r, qn, de D^r,q(X, E) des (r, q)-formes diff´erentielles `a valeurs dans E `a coefficients dans L^p_loc muni de la topologie de la convergence L^p sur tout compact de X. On d´efinit l’op´erateur ∂ de (L^p_loc)^r,q(X, E) dans (L^p_loc)^r,q+1(X, E) de la mani`ere suivante : si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E) et g ∈ (L^p_loc)^r,q+1(X, E), on a ∂f = g si ∂f et g co¨ıncident au sens des courants et son domaine de d´efinition Dom(∂) est l’ensemble des f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E) telles que

∂f ∈ (L^p_loc)^r,q+1(X, E). Notons que puisque ∂◦∂ = 0, si f ∈ Dom(∂) alors∂f ∈Dom(∂). On obtient ainsi un complexe d’op´erateurs non born´es ((L^p_loc)^r,•(X, E), ∂).

Le lemme de Dolbeault est encore valable pour les formes `a coefficients dans L<sup>p</sup><sub>loc</sub>. En effet, pour tout x ∈ X, si U ⊂⊂ V sont deux voisinages de xcontenus dans un ouvert de carte de X qui est aussi un domaine de trivialisation deE,χune fonction `a valeurs positives, de classeC^∞surX,

`a support compact contenu dans V et identiquement ´egale `a 1 sur U et si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q 1, apr`es avoir identifi´e U et V avec des ouverts de Cⁿ par un choix de coordonn´ees, on obtient, pour tout z ∈ V, par la

Th´eorieL et dualit´e de Serre

formule de Bochner-Martinelli-Koppelman (−1)^r+q(χf)(z) =∂

ζ∈V

(χf)(ζ)∧B(z, ζ)−

ζ∈V

∂(χf)(ζ)∧B(z, ζ), o`uB(z, ζ) d´esigne le noyau de Bochner-Martinelli. Lorsque la forme diff´eren- tiellef est∂-ferm´ee alors

(−1)^r+q(χf)(z) =∂

ζ∈V

(χf)(ζ)∧B(z, ζ)−

ζ∈V

∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ).

Rappelons que le noyau de Bochner-Martinelli v´erifie B = τ^∗kBM, o`u kBM est une forme diff´erentielle singuli`ere `a l’origine, `a coefficients lo- calement int´egrables sur Cⁿ et τ l’application qui `a (z, ζ) associe ζ−z (cf. [18], chapitre III). Par cons´equent, grˆace aux propri´et´es de la convo- lution, la forme diff´erentielle B(χf)(z) =

ζ∈V(χf)(ζ)∧B(z, ζ) est dans (L^p_loc)^r,q−1(X, E).

La forme diff´erentielle

ζ∈V ∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ) est∂-ferm´ee et de classe C^∞ surU, car les singularit´es deB sont concentr´ees sur la diagonale et le support de ∂χcontenu dansV \U. Il r´esulte du lemme de Dolbeault pour les formes de classe C^∞ qu’il existe un voisinageU ⊂U dexet une forme diff´erentiellegde classeC^∞surUtelle que

ζ∈V ∂χ(ζ)∧f(ζ)∧B(z, ζ) =∂g surU. Par cons´equent on a pour toutz∈U

(−1)^r+qf(z) =∂ B(χf)(z)−g

et la forme diff´erentielleB(χf)(z) −g est `a coefficients dansL^p_loc.

Le complexe ((L^p_loc)^r,•(X, E), ∂) est donc une r´esolution du faisceau Ω^r_E et les groupes de cohomologieH_L^r,qP

loc(X, E) de ce complexe sont isomorphes aux groupes de cohomologie du faisceau Ω^p_E, i.e.

H^q(X,Ω^r_E)∼H_L^r,qP

loc(X, E).

On en d´eduit ais´ement la proposition suivante :

Proposition 1.1.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexe n et E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X. Pour tout p1et 0r, qn, les applications naturelles

Φ : H^r,q(X, E)→H_L^r,qP loc

(X, E) et Ψ : H_L^r,qP loc

(X, E)→H_cour^r,q (X, E) sont des isomorphismes, appel´es isomorphismes de Dolbeault. En particulier

(i) Pour toute f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q 1, telle que ∂f = 0, il existe g∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E) telle quef−∂g∈ E^r,q(X, E).

(ii) Si f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q 1, v´erifie f = ∂S pour un courant S∈ D^r,q−1(X, E), il existe g∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E)telle que f =∂gsur X.

Notons que si la vari´et´e X est compacte l’espace des formes `a coeffi- cients dansL<sup>p</sup><sub>loc</sub>(X, E) co¨ıncide avec l’espace des formes `a coefficients dans L^p(X, E) et par cons´equent il r´esulte de la Proposition 1.1 que

H^q(X,Ω^r_E)∼H^r,q(X, E)∼H_L^r,qP(X, E)∼H_cour^r,q (X, E).

Le point (i) de la Proposition 1.1 peut ˆetre pr´ecis´e de la mani`ere sui- vante :

Proposition 1.2.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexen,E un fibr´e vectoriel holomorphe surX etp1. Pour toute f ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E), q 1, telle que ∂f = 0, et tout voisinage U du support de f, il existeg ∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E) `a support dans U telle que f−∂g∈ E^r,q(X, E).

D´emonstration.— Choisissons un voisinageV du support def tel queV ⊂ U et soientχ0et χ1 des fonctions de classeC^∞ surX telles queχ0= 1 sur un voisinage de X\V etχ0= 0 au voisinage du support de f, χ1 = 1 au voisinage deX\U etχ1= 0 sur un voisinage deV.

Puisquef est∂-ferm´ee, il r´esulte du (i) de la Proposition 1.1 qu’il existe une forme g0∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E) telle quef−∂g0=u∈ E^r,q(X, E). Alors u=−∂g0surX\suppf et comme le morphisme Φ de la Proposition 1.1 est injectif, il existe une formev de classe C^∞ sur X\suppf telle queu=∂v surX\suppf. SurX\V on a alors∂(g0+χ0v) = 0 et l’assertion (i) de la Proposition 1.1 appliqu´ee `a la vari´et´eX\V implique alors l’existence d’une formeg1∈(L^p_loc)^r,q−1(X\V , E) telle queg0+χ0v−∂g1=w∈ E^r,q(X\V , E).

La formeg=g0+χ0v−χ1w−∂(χ1g1) est `a coefficients dansL<sup>p</sup><sub>loc</sub>et `a support dansU, de plus

f−∂g=f−∂(g0+χ0v−χ1w) =u−∂(χ0v−χ1w) est de classeC^∞surX.

Consid´erons les sous espaces (L^p_c)^r,q(X, E) de (L^p_loc)^r,q(X, E), 0r, q n, des (r, q)-formes `a coefficients dans L<sup>p</sup> et `a support compact, on peut leur associer le complexe ((L^p_c)^r,•(X, E), ∂). Les groupes de cohomologie de

Th´eorieL et dualit´e de Serre

ce complexe sont d´efinis par

H_c,L^r,qp(X, E) = (L^p_c)^r,q(X, E)∩ker∂

∂(L^pc)^r,q−1(X, E)∩(L^pc)^r,q(X, E).

Corollaire 1.3.— Soient X une vari´et´e analytique complexe, con- nexe, non compacte, de dimension complexen etE un fibr´e vectoriel holo- morphe sur X. Pour toutp1 et0r, qn, l’application naturelle

Φc : H_c^r,q(X, E)→H_c,L^r,qP(X, E) est surjective.

D´emonstration.— Si q = 0, H_c^r,0(X, E) = H_c,L^r,0P(X, E) = 0, car X est connexe, et le corollaire est vrai, il reste alors `a prouver que pour toute f ∈(L<sup>p</sup><sub>c</sub>)<sup>r,q</sup>(X, E),q1, telle que∂f = 0, il existeg∈(L<sup>p</sup><sub>c</sub>)<sup>r,q−1</sup>(X, E) telle quef−∂g∈ D<sup>r,q</sup>(X, E). Soientf ∈(L<sup>p</sup><sub>c</sub>)<sup>r,q</sup>(X, E),q1, telle que∂f = 0, etU ⊂⊂Xun voisinage relativement compact du support def. Appliquons la Proposition 1.2 `a f et U, il existe doncg∈(L^p_loc)^r,q−1(X, E) `a support dans U telle que f −∂g ∈ E^r,q(X, E). Mais puisque U est relativement compact dans X, le support de g est compact etg ∈ (L^p_c)^r,q−1(X, E), de plus le support def −∂g est ´egalement contenu dansU, donc compact et f−∂g∈ D^r,q(X, E).

Le Corollaire 1.3 permet de r´epondre `a la question naturelle suivante : si la vari´et´e X satisfait H<sub>c</sub><sup>r,q</sup>(X, E) = 0, q 1, et si f ∈ (L<sup>p</sup>)<sup>r,q</sup>(X, E) est une forme ∂-ferm´ee `a support compact dans X, existe-t-il une forme g ∈ (L^p)^r,q(X, E) `a support compact dans X telle que ∂f = g sur X ? En effet, si H_c^r,q(X, E) = 0, la surjectivit´e de l’application Φc implique que H_c,L^r,qP(X, E) = 0 et la r´eponse est donc positive par d´efinition des groupes de cohomologieH_c,L^r,qP(X, E).

Cette question, originellement pos´ee par G. Tomassini, a ´et´e ´etudi´ee par E. Amar et S. Mongodi [5] lorsque X =Cⁿ et par E. Amar [4] lorsque X est une vari´et´e de Stein.

Nous pouvons ´egalement pr´eciser l’assertion (ii) de la Proposition 1.1 en termes de r´egularit´e et de support.

Proposition 1.4.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexen,Eun fibr´e vectoriel holomorphe surX etp1. Sif ∈ (L^p_loc)^r,q(X, E),q 1, v´erifie f =∂S pour un courant S ∈ D^r,q−1(X, E), alors pour tout voisinageU du support deS il existeg∈(W_loc^1,p)^r,q−1(X, E)

`

a support dansU telle que f =∂g surX.

D´emonstration.— Soientf ∈(L^p_loc)^r,q(X, E),q1, v´erifiantf =∂S pour un courant S ∈ D^r,q−1(X, E) et U un voisinage du support de S. Grˆace

`

a r´egularit´e int´erieure de la solution canonique de l’´equation de Cauchy- Riemann (cf. Th´eor`eme 4 (b) dans [6], car `a l’int´erieur du domaine tous les champs de vecteurs sont admissibles), il existe g0 ∈(W_loc^1,p)^r,q−1(X, E) telle que f = ∂g0 sur X. Si q = 1, S −g0 est holomorphe sur X, donc S∈(W_loc^1,p)^r,0(X, E). Siq >1, le courantS−g0´etant∂-ferm´e, la surjectivit´e de l’application naturelle

H^r,q−1(X, E)→H_cour^r,q−1(X, E)

implique qu’il existe un courantT surX et une formeu ∂-ferm´ee, de classe C^∞ sur X telle que S−g0+∂T = u. On a alors ∂T = u+g0 sur X \ supp S. Une fois encore la r´egularit´e int´erieure implique qu’il existe g1 ∈ (W_loc^1,p)^r,q−1(X\suppS, E) telle queu+g0=∂g1surX\suppS. Choisissons une fonctionχde classeC^∞ surX telle queχ= 0 au voisinage du support deS etχ= 1 sur un voisinage deX\U. Alors la formeg=g0+u−∂(χg1) est dans (W_loc^1,p)^r,q−1(X, E), elle v´erifie ∂g =∂(g0+u) = ∂S =f et son support est contenu dansU.

La Proposition 1.4 permet d’affirmer que dans une vari´et´e analytique complexe non compacte quelconque, si on sait qu’une formef ∈(L^p_c)^r,q(X, E), q 1, est exacte au sens des courants `a support compact, alors il existe g ∈(W<sub>c</sub><sup>1,p</sup>)<sup>r,q−1</sup>(X, E) telle que f =∂g sur X. De plus on peut choisir g avec un support arbitrairement proche de celui de la solution au sens des courants. Notons qu’une condition n´ecessaire surf pour ˆetre exacte au sens des courants `a support compact est d’ˆetre orthogonale aux formes∂-ferm´ees de classe C^∞ sur X, plus pr´ecis´ement f doit satisfaire

Xf ∧ϕ= 0 pour toute formeϕ∈ E^n−r,n−q(X, E^∗) v´erifiant∂ϕ= 0.

Corollaire 1.5.— Soient X une vari´et´e analytique complexe, con- nexe, non compacte, de dimension complexen etE un fibr´e vectoriel holo- morphe sur X. Pour toutp1 et0r, qn, l’application naturelle

Ψc : H_c,L^r,qP(X, E)→H_c,cour^r,q (X, E) est injective.

D´emonstration.— Si q = 0, H_c,cour^r,0 (X, E) = H_c,L^r,0P(X, E) = 0, carX est connexe, et le corollaire est vrai, il reste alors `a prouver que pour toutef ∈ (L<sup>p</sup><sub>c</sub>)<sup>r,q</sup>(X, E),q1, telle quef =∂Spour un courantS∈ D<sup>r,q−1</sup>(X, E) `a support compact, il existeg∈(L^p_c)^r,q−1(X, E) telle quef =∂gsurX. C’est une cons´equence directe de la Proposition 1.4 en prenant U un voisinage relativement compact du support deS.

Th´eorieL et dualit´e de Serre

Notons que les arguments des Propositions 1.2 et 1.4 permettent ´egale- ment de prouver que

H_c^r,q(X, E)∼H_c,cour^r,q (X, E)

et par cons´equent les applications Φc et Ψc sont en fait des isomorphismes.

Nous allons pr´eciser la r´eponse que l’on peut apporter `a la question de G.

Tomassini par un contrˆole du support de la solution en fonction du support de la donn´ee lorsque certaines conditions g´eom´etriques sont r´ealis´ees.

Il r´esulte du Corollaire 1.5 et de la Proposition 1.4 que si D est un voisinage du support de la forme diff´erentielle∂-ferm´eef ∈(L^p_c)^r,q(X, E), qui v´erifie H_c,cour^r,q (D, E) = 0, il existeg ∈(W_c^1,p)^r,q−1(X, E) telle quef =

∂g surX et suppg⊂D.

Th´eor`eme1.6.— SoientX une vari´et´e analytique complexe, non com- pacte, de dimension complexen etE un fibr´e vectoriel holomorphe surX. Si f ∈(L^p_c)^r,q(X, E), 0rn, q1, v´erifie ∂f = 0, si 1qn−1, et

Xf ∧ϕ= 0pour toute ϕ∈ E^n−r,0(X, E)telle que ∂ϕ= 0, si q=n, et s’il existe un ouvert de Stein D tel que supp f ⊂D ⊂⊂X, alors il existe g∈(W_c^1,p)^r,q−1(X, E)telle que suppg⊂D et∂g=f.

D´emonstration.— PuisqueD est un ouvert de SteinH^r,q(D, E^∗) = 0 pour tout 0 r n et 1 q n, il r´esulte de la dualit´e de Serre que H_c,cour^r,q (D, E) = 0 pour tout 0 r n et 1 q n−1, et que si un (r, n)-courantT `a support compact dansD v´erifie < T, ϕ >= 0 pour toute ϕ ∈ E^n−r,0(X, E) telle que∂ϕ= 0, alors il existe un (r, n−1)-courantS

`a support compact dans D tel que ∂S = T. Il suffit alors d’appliquer la Proposition 1.4 au domaineD.

Plus g´en´eralement si D est seulement s-complet au sens d’Andreotti- Grauert (i.e. D poss`ede une fonction d’exhaustion de classe C<sup>∞</sup>, dont la forme de Levi poss`ede au moinsn−s+ 1 valeurs propres strictement posi- tives), alors H^r,q(D, E^∗) = 0 pour tout 0 r n et s q n et par cons´equent H_c,cour^r,q (D, E) = 0 pour tout 0 rn et 1q n−s. On pourra donc r´esoudre l’´equation de Cauchy-Riemann dansL^p avec support dansDpour une donn´ee de bidegr´e (r, q) `a support dansD`a condition que 1qn−s. Ou encore siD= Ω\Ω^∗, o`u Ω ests-complet et Ω<sup>∗</sup>poss`ede une base de voisinagess^∗-complets, mais alors seulement pours^∗+1qn−s.

En effet si s^∗+ 1q n−s et si Ω^∗ poss`ede une base de voisinagess<sup>∗</sup>- complets, nous allons pouvoir corriger toute solutiong `a support compact dans Ω et L^p dans X de l’´equation ∂g =f, lorsque f ∈ L^p_r,q(X, E) est `a support compact dansD = Ω\Ω<sup>∗</sup> pour obtenir une solutionh `a support

compact dans D et L^p dans X. Puisque f est `a support compact dansD, la forme diff´erentielle g est ∂-ferm´ee au voisinage de Ω<sup>∗</sup> et par cons´equent il existe un (r, q−1)-forme u d´efinie et L<sup>p</sup><sub>loc</sub> au voisinage de Ω<sup>∗</sup> telle que g =∂u (Ω<sup>∗</sup> poss`ede une base de voisinages s^∗-complets). Il suffit alors de poserh=g−∂(χu), o`u χ est une fonction de classeC<sup>∞</sup> sur X `a support compact dans le domaine de d´efinition deuet ´egale `a 1 au voisinage de Ω^∗.

En degr´e 1 nous avons le r´esultat plus pr´ecis suivant :

Proposition 1.7.— Soient X une vari´et´e analytique complexe, con- nexe, non compacte, de dimension complexen,D un domaine relativement compact de X et E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X. On suppose que, pour 0 r n, H_c^r,1(X, E) = 0 (ce qui est satisfait par exemple si X est (n−1)-compl`ete au sens d’Andreotti-Grauert et en particulier pour les vari´et´es de Stein de dimensionn2) et queX\D est connexe, alors pour toute(r,1)-forme∂-ferm´eef `a coefficients dansL^p(X, E)et `a support dans D, il existe une unique (r,0)-forme g `a coefficients dans W^1,p(X, E) et `a support dansD telle que ∂g=f.

D´emonstration.— Il r´esulte du Corollaire 1.3, qu’il existe une (r,0)-formeg

`

a coefficients dansL^p(X) et `a support compact dansXtelle que∂g=f. La formegs’annule donc sur un ouvert deX\D. De plusgest une (r,0)-forme holomorphe sur l’ouvertX\suppf qui contientX\D et par prolongement analytique, puisqueX\Dest connexe, elle s’annule identiquement surX\D.

Le support deg est donc contenu dansD. Soit hune autre solution, alors g−hest une fonction holomorphe `a support compact dansX qui est donc nulle par prolongement analytique puisqueX est connexe. Par cons´equent g=het de plusg∈W^1,p(X, E) par la Proposition 1.4.

Nous retrouvons ainsi le contrˆole du support propos´e par E. Amar [4]

en degr´e 1, lorsqueX est une vari´et´e de Stein.

Nous pouvons d´eduire de la Proposition 1.7 une versionL^pdu ph´enom`ene de Hartogs-Bochner-Severi (voir les chapitre IV et V de [18] et les r´ef´erences associ´ees pour l’´etude de ce ph´enom`ene). Un versionL²est donn´ee dans le dernier paragraphe de [9].

Th´eor`eme1.8.— SoientX une vari´et´e analytique complexe, connexe, non compacte, de dimension complexe n,D un domaine relativement com- pact de X `a bord Lipschitz et E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X. On suppose que, pour0rn,H_c^r,1(X, E) = 0(ce qui est satisfait par exem- ple si X est(n−1)-compl`ete au sens d’Andreotti-Grauert et en particulier par les vari´et´es de Stein de dimension n 2) et que X\D est connexe.

Th´eorieL et dualit´e de Serre

Soitf ∈W¹⁻

1 p

r,0 (∂D, E)telle que

∂D

f∧∂ϕ= 0 pour toute ϕ∈ E^n−r,n−1(X, E^∗).

Alors il existe une (r,0)-forme F `a valeurs dans E, holomorphe sur D et W^1,p sur X telle que la trace de F sur∂D co¨ıncide avecf.

D´emonstration.— Notonsfune extension def contenue dansW_r,0^1,p(X, E) (une telle extension existe lorsque le bord de D est Lipschitz d’apr`es le Th´eor`eme 1.5.1.3 de [12]) et (∂f)0le prolongement de∂f_|D par 0 `aX. Nous allons montrer que la (r,1)-forme (∂f)0 est ∂-ferm´ee au sens des courants.

Consid´erons une suite (fν)ν∈Nde (r,1)-formes de classeC^∞ surX qui con- verge versfsurX dansW^1,p, alors, pour touteϕ∈ E^n−r,n−1(X, E^∗),

D

∂f∧∂ϕ= lim

ν→+∞

D

∂fν∧∂ϕ= lim

ν→+∞

∂D

fν∧∂ϕ=

∂D

f∧∂ϕ= 0.

D’apr`es la Proposition 1.7, il existe une sectiong ∈W<sub>r,0</sub><sup>1,p</sup>(X, E) `a support dansD telle que∂g= (∂f)0. Puisqueg∈W_r,0^1,p(X, E) la trace deg sur∂D existe et est nulle et F=f−g convient.

2. Complexes de Cauchy-Riemann L^p et dualit´e

Dans cette sectionX d´esigne une vari´et´e analytique complexe de dimen- sion complexe n, D un domaine relativement compact `a bord rectifiable contenu dans X et E un fibr´e vectoriel holomorphe de rang l sur X. On munitXd’une m´etrique hermitienne lisse telle que le complexifi´e de l’espace tangent `aX v´erifieCT(X) =T^1,0(X)⊕T^0,1(X) et queT^1,0(X)⊥T^0,1(X).

On notedV la forme volume associ´ee `a cette m´etrique.

Pour tout r´eel p 1, on d´efinit l’espace L^p(D) comme l’espace des fonctionsf sur D `a valeurs complexes telles que |f|^p est int´egrable surD.

Puisque D⊂⊂X, on a

D(D)⊂ E(X)_|D ⊂L^p(D),

o`uE(X)<sub>|D</sub> est l’espace des restrictions `aDdes fonctions de classeC^∞surX et D(D) le sous-espace des fonctions de classeC^∞ `a support compact dans D. L’espaceL^p(D) est un espace de Banach, c’est le compl´et´e deD(D) pour la norme.^pd´efinie par

f^p= (

D|f|^pdV)^p1.

2.1. Complexes de Cauchy-Riemann L^p

Pour 0r, qn, E^r,q(X, E) d´esigne l’espace des (r, q)-formes diff´eren- tielles de classeC^∞ surX `a valeurs dansE etD<sup>r,q</sup>(D, E) le sous-espace de E<sup>r,q</sup>(X, E) des formes `a support compact dansD. Soit (Ui)i∈I un recouvre- ment fini deDpar des ouverts de cartes deXqui sont ´egalement des ouverts de trivialisation deEet (χi)_i∈I une partition de l’unit´e surDrelative au re- couvrement (Ui)_i∈I. On d´efinitL^p_r,q(D, E) comme l’espace des (r, q)-formes diff´erentielles f sur D `a valeurs dans E telles que pour tout i ∈ I, dans des coordonn´ees locales, la forme χif soit une forme `a coefficients dans L^p(D∩Ui,C^l). Pour chaque choix de trivialisation et de coordonn´ees surUi

on peut d´efinirχif^p comme la somme des normes.^pde ses coefficients et on pose alors f^p =

i∈Iχif^p. Un changement de coordonn´ees ou de trivialisation d´efinit une norme ´equivalente. L’espaceL^p_r,q(D, E) poss`ede donc une structure d’espace de Banach et c’est le compl´et´e de D^r,q(D, E) pour la norme.^p.

Pour r fix´e, 0 r n, nous allons associer aux espaces L^p_r,q(D, E), 0qn, des complexes d’op´erateurs non born´es dont la restriction aux es- pacesD^r,q(D, E), 0qn, est le complexe de Cauchy-Riemann classique (D^r,•(D, E), ∂). Pour cela nous devons d´efinir des op´erateurs deL^p_r,q(D, E) dansL^p_r,q+1(D, E) dont la restriction `aD<sup>r,q</sup>(D, E) co¨ıncide avec l’op´erateur de Cauchy-Riemann∂ associ´e `a la structure complexe deX.

D´efinissons∂c : L^p_r,q(D, E)→L^p_r,q+1(D, E) comme l’extension ferm´ee minimale de ∂_|D = ∂_|Dr,q(D,E), c’est par d´efinition un op´erateur ferm´e et f ∈ Dom(∂c) si et seulement si il existe une suite (fν)ν∈N d’´el´ements de D^r,q(D, E) et g ∈ D^r,q+1(D, E) tels que (fν)ν∈N converge vers f dans L^p_r,q(D, E) et (∂fν)ν∈N converge versg dansL^p_r,q+1(D, E), on a alors g =

∂cf.

On peut aussi consid´erer∂s : L^p_r,q(D, E)→L^p_r,q+1(D, E), l’extension ferm´ee minimale de∂_|E =∂_|Er,q(X,E)|D, c’est ´egalement un op´erateur ferm´e et f ∈ Dom(∂s) si et seulement si il existe une suite (fν)ν∈N d’´el´ements de E^r,q(X, E) et g ∈ E^r,q+1(X, E) tels que (fν)ν∈N converge vers f dans L^p_r,q(D, E) et (∂fν)_ν∈N converge versg dansL^p_r,q+1(D, E), on a alors g =

∂sf.

L’op´erateur∂ s’´etend `a L^p_r,q(D, E) au sens des courants, on peut alors consid´erer les op´erateurs∂c : L^p_r,q(D, E)→L^p_r,q+1(D, E) et∂ : L^p_r,q(D, E)

→ L^p_r,q+1(D, E) qui co¨ıncident avec l’op´erateur∂ au sens des courants et dont les domaines de d´efinitions sont respectivement

Th´eorieL et dualit´e de Serre

Dom(∂c) ={f ∈L^p_r,q(X, E)|suppf ⊂D, ∂f∈L^p_r,q(X, E)} et

Dom(∂) ={f ∈L^p_r,q(D, E)|∂f ∈L^p_r,q(D, E)}.

D´efinition 2.1.— Un complexe cohomologique d’espaces de Banach est un couple (E^•, d), o`u E^•= (E^q)q∈Z est une suite d’espaces de Banach etd= (d^q)q∈Zune suite d’op´erateurs lin´eaires d^q ferm´es deE^q dansE^q+1, qui v´erifient d^q+1◦d^q = 0.

Uncomplexe homologique d’espaces de Banachest un couple(E_•, d), o`u E_• = (Eq)q∈Z est une suite d’espaces de Banach et d = (dq)q∈Z une suite d’op´erateurs lin´eairesdq ferm´es deEqdansEq+1, qui v´erifientdq◦dq+1= 0.

A tout complexe cohomologique on associe lesgroupes de cohomologie (H^q(E^•))q∈Z d´efinis par

H^q(E^•) = kerd^q/Imd^q−1

et on les munit de la topologie quotient. De mˆeme `a tout complexe ho- mologique on associe lesgroupes d’homologie (Hq(E_•))q∈Z d´efinis par

Hq(E_•) = kerdq−1/Imdq

et on les munit ´egalement de la topologie quotient.

En remarquant que les op´erateurs∂et∂ssatisfont∂◦∂= 0 et∂s◦∂s= 0, on peut consid´erer, pour tout 0 r n, les complexes (L^pr,•(D, E), ∂) et (L^pr,•(D, E), ∂s). On note H_L^r,qp(D, E) et H_L^r,qp,s(D, E) leurs groupes de cohomologie respectifs.

Observons que lorsque le bord de D est assez r´egulier, Lipschitz par exemple, il r´esulte du lemme de Friedrich (cf. lemme 4.3.2 dans [9] et lemme 2.4 dans [19]) que les op´erateurs∂ et∂sco¨ıncident ainsi que les op´erateurs

∂c et∂c.

Proposition 2.2.— Supposons que D ⊂⊂ X est un domaine `a bord Lipschitz alors

(i) Une forme diff´erentielle f ∈ L^p_r,q(D, E) appartient au domaine de d´efinition de l’op´erateur ∂ si et seulement si il existe une suite (fν)ν∈N

d’´el´ements deE^r,q(D, E)telle que les suites(fν)_ν∈Net(∂fν)_ν∈N convergent respectivement versf et ∂f en norme.^p.

(ii) Une forme diff´erentielle f ∈L^p_r,q(D, E) appartient au domaine de d´efinition de l’op´erateur ∂c si et seulement si les formes f0 et ∂f0 sont toutes deux dans L^p_∗(X, E), si f0 d´esigne la forme obtenue en prolongeant f par 0sur X\D.

On d´eduit alors imm´ediatement du (i) de la Proposition 2.2 que, lorsque le bord de D est Lipschitz, les groupes de cohomologie H_L^r,qp(D, E) et H_L^r,qp,s(D, E), 0r, qn, sont ´egaux.

2.2. Th´eorie d’Andreotti-Grauert L^p

L’objet de cette section est d’´etendre aux groupes de cohomologie L^p la th´eorie classique d’Andreotti-Grauert. Pour cela nous allons associer des r´esultats classiques sur la r´esolution de l’´equation de Cauchy-Riemann avec estimationsL^p et la m´ethode des bosses de Grauert.

D´efinition2.3.— SoientX une vari´et´e analytique complexe de dimen- sion complexen,Dun domaine relativement compact dansX etsun entier, 0 s n−1. On dira que D est un domaine compl`etement strictement s-convexe, s’il existe une fonction ρ de classe C<sup>2</sup> `a valeurs r´eelles d´efinie sur un voisinage U deD, dont la forme de Levi poss`ede au moinsn−s+ 1 valeurs propres strictement positives, telle quedρ(x)= 0 pour toutx∈∂D et

D={x∈U | ρ(x)<0}.

On dira que D est strictement s-convexe si la fonction ρ est seulement d´efinie au voisinage du bord deD.

Remarquons que grˆace au lemme de Morse, la fonctionρdans la D´efinition 2.3 peut, sans perte de g´en´eralit´e, ˆetre suppos´ee sans point critique d´eg´en´er´e.

Il r´esulte des travaux de L. Ma [21] et R. Beals, P. Greiner et N. Stanton [6] que l’on peut r´esoudre l’´equation de Cauchy-Riemann avec estimations SobolevL^pdans les domaines compl`etement strictements-convexes deC<sup>n</sup>. Th´eor`eme2.4.— SoientD⊂⊂Cⁿ un domaine compl`etement stricte- ment s-convexe de C<sup>n</sup> `a bord C^∞ et f une (r, q)-forme diff´erentielle `a coefficients dans W^s,p(D). Pour0rnet qs, il existe un op´erateur lin´eaire continuTq deW_r,q^s,p(D)dansW_r,q^s+1/2,p₋₁ (D)tel que

f =∂Tqf+Tq+1∂f.

Observons que, puisque l’injection deW^1/2,p(D) dans L^p(D) est com- pacte, en globalisant `a l’aide d’une partition de l’unit´e le Th´eor`eme 2.4 comme dans le chapitre 11 de [14] on obtient

Th´eorieL et dualit´e de Serre

Th´eor`eme 2.5.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexen,E un fibr´e vectoriel holomorphe surX etD⊂⊂X un domaine strictements-convexe `a bordC^∞ deX,r etq des entiers tels que 0rnetqs. Alors

(i) il existe des op´erateurs lin´eaires continusT_q^rdeL^p_r,q(D)dansL^p_r,q−1(D) et des op´erateursK_q^rcompacts deL^p_r,q(D)∩Dom(∂)dans lui-mˆeme tels que sif ∈L^p_r,q(D)v´erifie ∂f∈L^p_r,q+1(D)

f =∂T_q^rf+T_q+1^r ∂f+K_q^rf.

(ii) siqmax(1, s),H_L^r,qp(D, E)est de dimension finie et ∂(L^p_r,q−1(D)) est un sous espace ferm´e deL^p_r,q(D).

Nous pouvons maintenant mettre en œuvre la m´ethode des bosses de Grauert. Rappelons quelques d´efinitions et quelques r´esultats g´eom´etriques donn´es dans le chapitre 12 de [14].

D´efinition2.6.— On appelle´el´ement d’extension strictements-convexe un couple ordonn´e [θ1, θ2] d’ouverts de X `a bord C^∞ tel que θ1 ⊂ θ2

satisfaisant la condition suivante : il existe un ouvert pseudoconvexe V contenu dans un domaine de trivialisation de E contenant θ2\θ1 et des domaines strictements-convexesD1etD2tels que D1⊂D2,θ2=θ1∪D2, θ1∩D2=D1 et(θ1\D2)∩(θ2\θ1) =∅et une application biholomorphe h d´efinie sur un voisinage de V `a valeurs dans C<sup>n</sup> telle queh(Dj), j = 1,2, soit un domaine compl`etement strictementq-convexe `a bordC^∞ deCⁿ.

D´efinition2.7.— Soient D⊂⊂Ω⊂⊂X des ouverts deX `a bordC<sup>∞</sup>. On dira queΩest une extension strictements-convexedeD, s’il existe un voisinageU deΩ\D et une fonctionρde classeC<sup>2</sup> `a valeurs r´eelles surU avec un ensemble de points critiques discret et dont la forme de Levi poss`ede au moinsn−s+ 1 valeurs propres strictement positives, telle que

D∩U ={x∈U | ρ(x)<0} et dρ(x)= 0 si x∈∂D, Ω∩U ={x∈U | ρ(x)<1} et dρ(x)= 0 si x∈∂Ω.

Proposition 2.8.— Soient D ⊂⊂ Ω⊂⊂ X des ouverts de X `a bord C^∞ tels queΩsoit une extension strictements-convexe de D. Il existe une suite finie θ0, . . . , θN d’ouverts de X tels que

D=θ0⊂ · · · ⊂θN = Ω

et que [θ_j−1, θj], j = 1, . . . , N, soit un ´el´ement d’extension strictement s-convexe.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver l’invariance de la coho- mologieL^p par les extensions strictements-convexes.

Th´eor`eme2.9.— SoientX une vari´et´e analytique complexe de dimen- sion complexe n,E un fibr´e vectoriel holomorphe surX etD⊂⊂Ω⊂⊂X des ouverts de X `a bord C^∞ tels que Ω soit une extension strictement s-convexe deD. Alors l’application restriction

H_L^r,qp(Ω, E)→H_L^r,qp(D, E), 0rn, max(1, s)qn, est un isomorphisme.

D´emonstration.— La Proposition 2.8 nous permet de r´eduire la d´emonstra- tion au cas o`u le couple (D,Ω) est un ´el´ement d’extension strictement s-convexe [θ1, θ2], o`uθ1 etθ2 sont tous deux strictements-convexes.

Puisque par d´efinition des ´el´ements d’extension (θ1\D2)∩(θ2\θ1) =∅, on peut trouver des voisinagesVetVdeθ2\θ1tels queV⊂⊂V⊂⊂V etV∩(θ1\D2) =∅. Choisissons une fonctionχde classeC^∞dansX telle queχ= 1 sur V et suppχ⊂V.

Prouvons tout d’abord que l’application restriction H_L^r,qp(θ2, E)→H_L^r,qp(θ1, E)

est surjective, si sqn. Soitf1∈L^p_r,q(θ1) telle que∂f1= 0, on cherche des formes diff´erentiellesu1∈L^p_r,q−1(θ1) etf2∈L^p_r,q(θ2) telles que∂f2= 0 etf2=f1−∂u1 surθ1. CommeD1est l’image par une application biholo- morphe, d´efinie au voisinage D1, d’un domaine compl`etement strictement s-convexe born´e `a bordC^∞deCⁿ, il existeu∈L^p_r,q−1(D1) telle quef1=∂u surD1, lorsque qmax(1, s) (cf. Th´eor`eme 2.4). Posons

u1=

0 surθ1\D2

χu surD1 et f2=

f1−∂u1 surθ1

0 surθ2\θ1 . Les formes diff´erentiellesu1 etf2 satisfont les conditions demand´ees.

Consid´erons maintenant l’injectivit´e. Soitf2∈L^p_r,q(θ2) telle que∂f2= 0 et u1 ∈ L^p_r,q−1(θ1) telle que f2 = ∂u1 sur θ1, on cherche une forme diff´erentielle u2 ∈ L^p_r,q−1(θ2) telle que f2 = ∂u2 sur θ2. Comme D2 est l’image par une application biholomorphe, d´efinie au voisinage D2, d’un domaine compl`etement strictement s-convexe born´e `a bord C^∞ de Cⁿ, il existeu∈L^p_r,q−1(D2) telle quef2=∂u surD2, lorsqueqmax(1, s), (cf.

Th´eor`eme 2.4) et par cons´equent∂(u−u1) = 0 surD1.

Th´eorieL et dualit´e de Serre

Siqmax(1, s) + 1, par le Th´eor`eme 2.4, il existev∈L^p_r,q−2(D1) telle que∂v=u−u1 surD1. Alorsu1−∂(χv) =usurV∩θ1. Posons

u2=

u1−∂(χv) surθ1

u surV∩θ2 , alorsu2∈L^p_r,q−1(θ2) etf2=∂u2 surθ2.

Supposons queq= max(1, s), il r´esulte du Th´eor`eme 2.5 que∂(L^p_r,q−1(θ2)) est un sous espace ferm´e de L^p_r,q(θ2). Il suffit donc de construire une suite (wν)ν∈Nde (r, q−1)-formes contenue dansDom(∂) telle que la suite (∂wν)ν∈N

converge vers f2 en norme.^p surθ2. La forme diff´erentielle u−u1 est `a coefficients dansL<sup>p</sup>(D1) et∂-ferm´ee surD1, doncu−u1∈Dom(∂). Puisque D1 est `a bord C^∞ il existe une suite (vν)ν∈N de formes `a coefficients C<sup>∞</sup> dansV telle limν→+∞vν =u−u1 et limν→+∞∂vν = 0 en norme .<sup>p</sup> sur D1. Comme D1 est l’image par une application biholomorphe, d´efinie au voisinage D1, d’un domaine compl`etement strictement s-convexe born´e `a bord C^∞ de Cⁿ, la solution canonique gν de l’´equation ∂g = ∂vν sur D1

est de classe C^∞ sur D1 et v´erifie gν^p C∂vν^p sur D1, la constante C ´etant ind´ependante de ν. En posantvν =vν −gν, on obtient une suite (vν)_ν∈N de formes ∂-ferm´ees sur D1 `a coefficients C^∞ surD1 qui converge versu−u1en norme.^p surD1. Il r´esulte du Corollaire 12.5 de [14], que, pour tout ν ∈N, il existe une (r, q−1)-forme continuewν ∂-ferm´ee surV telle que

wν−vν_∞, θ1∩V < 1 2ⁿ

et par cons´equent siV est un ouvert qui v´erifieD2⊂V et V ⊂⊂V⊂⊂

V ⊂⊂V

wν−vν^p<C 1

2ⁿ surθ1∩V .

On obtient ainsi une suite (wν)ν∈Nde formes∂-ferm´ee `a coefficientsL^pdans V qui converge versu−u1 en norme.^p surD1. On d´efinit alors la suite (wν)_ν∈Nen posantwν = (1−χ)u1+χ(u−wν). alors∂wν =f2+∂χ(u− u1−wν) et la suite (wν)_ν∈Nsatisfait bien les conditions demand´ees.

On en d´eduit le corollaire suivant en utilisant la mˆeme strat´egie que dans la preuve du Th´eor`eme 12.15 de [14] :

Corollaire 2.10.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexe n, E un fibr´e vectoriel holomorphe sur X et D ⊂⊂ X un domaine strictement s-convexe. Alors pour tout couple (r, q) tel que 0rnetmax(1, s)qn,

H_L^r,qp(D, E)∼H_L^r,qp

loc(D, E).

Pour conclure nous prouvons un th´eor`eme d’annulation pour la coho- mologieL^p :

Corollaire 2.11.— Soient X une vari´et´e analytique complexe de di- mension complexen,E un fibr´e vectoriel holomorphe surX etD⊂⊂X un domaine compl`etement strictement s-convexe. Alors pour tout couple(r, q) tel que0rn, etmax(1, s)qn,

H_L^r,qp(D, E) = 0.

Plus pr´ecis´ement il existe un op´erateur lin´eaire continu T de l’espace de BanachZ_L^r,qp(D, E)des (r, q)-formes ∂-ferm´ees `a valeurs dansE et `a coef- ficients dans L^p(D) dans l’espace de BanachW_r,q^1/2,p₋₁(D, E)tel que

∂T f =f sur D pour toutef ∈Z_L^r,qp(D, E).

D´emonstration.— Le Lemme 8.5 de [18] restant valable pour les fonctions C²dont la forme de Levi poss`ede au moinsn−s+ 1 valeurs propres stricte- ment positives, on peut supposer que l’ensemble des points critiques de la fonction d´efinissanteρdeD est discret. Notonsa= minx∈Dρ(x). Six∈D v´erifieρ(x) =a, c’est un point critique deρ. L’ensemble des points critiques de ρ´etant discret, il n’existe qu’un nombre fini de tels point dansD. Par cons´equent, pourε >0 assez petit, l’ensembleDa+ε={x∈U|ρ(x)< a+ε} est contenu dans un ouvert de trivialisation de E biholomorphe `a une r´eunion finie de domaines compl`etement strictements-convexes `a bord C^∞ deCⁿ. La nullit´e deH_L^r,qp(D, E) r´esulte alors des Th´eor`emes 2.4 et 2.9.

L’existence de l’op´erateurT est une cons´equence du Th´eor`eme 2.5 et de la Proposition 5 de l’annexe C de [18] (voir aussi l’appendice 2 de [13]).

Ce corollaire peut ˆetre compar´e aux r´esultats obtenus par O. Abdelkader et S. Khidr [2], [3] et [1], o`u le domaineDest seulement suppos´e strictement s-convexe, mais o`u des conditions de positivit´e sur le fibr´e sont exig´ees, ainsi qu’aux r´esultats de X.D. Li [20] dans les vari´et´es K¨ahleriennes compl`etes.

2.3. Dualit´e

Nous allons consid´erer dans cette section les complexes duaux associ´es aux complexes d´efinis dans la section 2.1.

D´efinition 2.12.— Le complexe dual d’un complexe cohomologique (E^•, d)d’espaces de Banach est le complexe homologique(E_•, d), avecE_• = (E_q)q∈Z, o`u E<sub>q</sub> est le dual fort deE<sup>q</sup> etd= (d<sub>q</sub>)q∈Z, o`ud_q est l’op´erateur transpos´e de l’op´erateur d^q. Si les espaces E^q sont r´eflexifs on parlera de paire de complexes duaux.