T ST GD DM 6 : Etude de fonction. Correction.
DM6 : Etude de fonctions. Correction.
Exercice 1
Soitf la fonction définie surIRparf(x) =x3−3x2−9x+ 15.
1. fest dérivable surIRet f0(x) = 3x2−6x−9
2. Développons 3(x+ 1)(x−3):
3(x+1)(x−3) = 3×(x2−3x+x−3) = 3(x2−2x−3) = 3x2−6x−9 ce qui est égal àf0(x), effectivement.
3. on fait un tableau de signe :
x −∞ -1 3 +∞
signe dex−3
- -
0+
signe dex+ 1
-
0+ +
signe def0(x) =
+
0-
0+
3(x+ 1)(x−3)
On dresse ensuite le tableau de variation def :
4.
x −∞ −1 3 +∞
f0(x)
+
0-
0+
f(x)
Pour compléter le tableau de variation, il faut calculer les images de -1 et 3 par f. On af(−1) = (−1)3−3×(−1)2−9×(−1) + 15 doncf(−1) = 20. De même, on trouvef(3) =−12.
Exercice 2 (BAC)
Partie A
1. On lit graphiquement (faire le tracé en pointillé) que f(15) = 100euros (une graduation sur les ordonnées correspond à 25 eu- ros). 15 objets coûtent 100 euros à produire. L’autre antécédent de 100 est 25 :f(25) = 100. 25 objets coûtent également 100 euros à produire.
2. L’unique antécédent de 525 par f est 42 :f(42) = 525. 42 objets coûtent 525 euros à construire.
3. Il faut produire entre 5 et 35 objets pour ne pas payer plus de 305 euros de coût de production.
L’entreprise est bénéficiaire là où la droiteCg des recettes est au-dessus de la courbeCf des dépenses. L’entreprise est donc bénéficiaire pour une production de 12 à 40 objets.
Partie B
1. g(x) = 12x, f(x) = x2 −40x+ 480, donc g(x)−f(x) = 12x−(x2 −40x+ 480) = −x2 + 40x+ 12x−480 et donc g(x)−f(x) =−x2+ 52x−480. Il s’agit de la différence entre ce que l’entreprise gagne et ce qu’elle paye : le bénéfice.
2. (a) B est dérivable sur [0 ; 50] et B0(x) =−2x+ 52.
(b) B0(x) change de signe en x = 522 = 26 (solution de
−2x+ 52 = 0). Avant, sur[0; 26],B0(x)≥0et après, sur [26; 50],B0(x)≤0(on peut résumer cela dans un tableau de signe).
3. Il faut dresser le tableau de variation deBdans cette question :
x 0 26 50
B0(x)
+
0-
B(x)
C’est donc bien pour une production de 26 objets que le bénéfice B(x)est maximal. On a B(26) = 196autrement dit on fait un bénéfice de 126 euros pour une vente de 26 objets. On retrouve graphiquement ce résultat en regardant l’écart entreCf etCg
enx = 26: c’est bien là que cet écart est le plus grand, et il vaut un peu moins de 200 euros.
T ST GD DM 6 : Etude de fonction. Correction.
Annexe
à rendre avec la copie
0 10 20 30 40 50
0 200 400 600 800 1000
x f(x)
