DS final Durée :2h PES Il sera tenu compte de la présentation, la rédaction et l’orthographe. La calculatrice est autorisée. Aucun
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Dans tous les exercices, les parties A , B sont indépendantes. Sauf indication contraire, les résultats seront donnés sous forme décimale , arrondis au millième.
Exercice n° 1 :(5pts) Partie A :
Pour une soirée casino organisée dans le cadre d’une récolte de fond pour une association, on propose le jeu suivant : On lance 2 dés cubiques non truqués. Si l’on obtient un double, on gagne la somme affichée sur les 2 dés ( exemple si on fait un double 6, on gagne 12€ ; si on fait un double 2, on gagne 4€) . Dans tous les autres cas, on perd. Pour jouer, on doit miser 2€. On appelle G la variable aléatoire qui est associée au gain algébrique du joueur.
1. Quelles sont les valeurs prises par G ?
2. Déterminer la loi de probabilité de G. (on pourra s’aider d’un arbre ou d’un tableau).
3. Déterminer l’espérance mathématique de G. Si il y a 200 joueurs combien, l’association peut-elle espérer gagner avec ce jeu ?
Partie B :
Dans un autre jeu, on lance toujours 2 dés . Si l’on fait un double on double sa mise, sinon on perd sa mise. La mise est de 2€.
Pendant la soirée, il y aura 1800 parties. La variable aléatoire X est associée aux nombre de parties perdues par les joueurs.
1. Expliquer pourquoi, un joueur possède une probabilité de de perdre.
2. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?
3. Quelle est la probabilité que les joueur perdent exactement 1500 parties ? 4. Quelle est la probabilité que les joueur perdent entre 1500 et 1800 parties ? 5. Vérifier que l’espérance mathématique de cette variable aléatoire X est 1500.
6. Le tableau suivant donne quelques probabilités P(X , ou X suit la loi binomiale de paramètres n=1800 et p= .
k P(X 1467 0,02097 1468 0,02428 1469 0,02801
… …
1529 0,97023 1530 0,97436 1531 0,97801
a. Déterminer le plus petit entier a tel que P(X a) > 0,025.
b. Déterminer le plus petit entier b tel que P(X b) > 0,975.
c. En déduire un intervalle de fluctuation à 95% de la proportion de partie perdue dans le jeu précédent, dans un échantillon de 1800 parties.
d. Lors de la soirée, les joueurs ont perdues 80% des parties. Peut on au seuil de risque de 5%, dire que l’association a été particulièrement malchanceuse ce soir là ?
Exercice 2(5points)
Année 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Prix du m² à Lyon 4 2270 2345 2410 2389 2391 2484 2499 2483 2540 2570 Prix du m² à Lyon 1 2570 2645 2725 2810 2900 3005 3012 2925 2865 2870 Partie A :
1. Calculer la moyenne, la variance et l’écart type de chacune des séries précédentes.
2. Donner, sur un même graphique, les diagrammes en boites des deux séries précédentes.
3. A l’aide des questions 1 et 2, comparer le prix du m² dans les 2 arrondissements de Lyon.
Partie B :
1. Quel est le taux d’évolution du prix du m² entre 2004 et 2013, à Lyon 1 ? à Lyon 4 ?
2. Quel est le taux d’évolution que l’on doit appliquer si l’on veut revenir au prix de 2004 en 2014, pour lyon1 ? pour Lyon 4 ?
3. Finalement de 2013 à 2014, le prix du m² va diminuer de 2%. Quelle est le prix du m² en 2014 à Lyon 1 ? A Lyon 4 ?
Exercice n° 3 : (5pts)
Luc et Manon décident au 1er janvier 2010 d’arrêter de fumer. Chacun dépensait 750€ par an en cigarette.
Partie A :
Chaque année à partir du 1er janvier 2010, Luc met 750€ dans un coffre.
1. Quelle somme y’a-t-il au 1er janvier 2010 ? 2011 ? 2012 ? 2. On note u0 la somme en 2010 et un la somme en 2010+n a)A quoi correspondent u1 et u2 ?
b)Exprimer un+1 en fonction de un. c) Quelle est la nature de (un) ? d) Exprimer un en fonction de n.
e) Combien Luc aura-t-il économisé en 2025 ?
f) En quelle année, aura-t-il économisé plus de 20 000€ ?
Partie B :
Chaque année à partir du 1er janvier 2010, Manon met 750€ sur un livret à 3% par ans en intérêt composé. On note v0 la somme en 2010 et vn la somme en 2010+n
1. Expliquer pourquoi vn+1=1,03vn+750
2. Quelle somme a-t-elle économisé au 1er janvier 2011 ? 2012 ? 3. On admet que vn=25750 -25000
Combien Manon aura-t-elle économisé en 2025 ?
