Solution de la question 141

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P. T ARDY

Solution de la question 141

Nouvelles annales de mathématiques 1

^re

série, tome 13

(1854), p. 23-25

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SOLUTION DE LA QUESTION 1 4 1

(YOlr t. VI, p. 184);

PAR M. P. TARDY.

Soient Ar, Ar + 1,..., Ar + Î trois termes consécutifs d'une série récurrente. Si l'on forme la série qui a pour terme général Ar Ar+S — A'+i, elle est aussi récurrente.

Fourier a énoncé ce théorème dans son Analyse des

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( M)

équations déterminées, page 72. Son objet était de trou- ver successivement toutes les racines d'une équation par l'emploi des séries récurrentes, en donnant ainsi une grande extension à la méthode découverte par D. Ber- noulli pour obtenir la plus grande racine réelle.

Il paraît que quelque erreur s'est glissée dans ce qu'a- vance à ce propos le célèbre géomètre \ mais nous nous bornerons, pour le moment, à démontrer la proposition spéciale rappelée dans ces Annales.

Il est aisé de voir que toute série dont le terme général est de la forme

Dj, D2,..., D„ désignant des constantes arbitraires, est une série récurrente où Ton a fait la variable pour laquelle la série lest ordonnée = 1 . Pour avoir la fraction génératrice 7——^ > il suffit de poser

f(x) = ( J T — « , ) ( * — Cl2) . . . ( # — « „ ) ,

F ( * ) = bo+btx -\- b2x2-\- . . . + bn-iX"-1,

et de déterminer les n quantités b0, ftl5 &2)-.»? &n-i p a r les /i équations

i n 4 2 n + 4 ^ , ^ „ ( B , ) ( B ï ) ( B

En effet, nous savons que le terme général de la série ré- currente qui provient de la fraction -~1 est

J \x)

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Maintenant, supposons que A^r soit le terme général d'une série récurrente, et que il 9 î8 v. . , Xn soient les racines de Téquation qu'on obtient en égalant à zéro le dé- nominateur de sa fraction génératrice j on aura

En changeant r e n / ' + i et en r - h A7, et en multipliant, il viendra

Et si l'on prend h -f- h'=. k •+- k\ on aura, en retranchant, un résultat de la forme

L=Ar_a.Ar_.A<

et Ton voit que L est le terme général d'une série récur- rente qui naît de la fraction

• (x) étant un polynôme d'un degré = — — i . I . 2

Prenant k — o, k'= 2, h = h' = 1, on aura le théorème particulier dont il était question.