Exercice 1

(1)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 EXAMEN BLANC N° 16 2éme Bac PC

Exercice 1

Soit la suite numérique définie par : 1/ a- Montrer que :



^{ }ⁿ ^IN



^;⁰Un  ³

b- Montrer que

 

Un est une suite croissante.

c- Déduire que

 

Un est convergente.

2/ Soit

  v

n la suite numérique définie par :

a- Montrer que

  v

n est une suite géométrique sa raison est et de premier

terme .

b- Calculer

v

_n en fonction de n et déduire que :



^{ }ⁿ ^IN



;

 

2 1

1 2 3

3

1 2 3

n

n n

U



  

  c- Déterminer la limite de

 

^U_n ^.

Exercice 2

Une Caisse contient 3 boules blanches ; 1boule rouge et 2 boules noires ; indiscernables au toucher. On tire de façon aléatoire successivement et sans remise 3 boules de la caisse.

1/ Calculer la probabilité des évènements suivants :

A : « Parmi les boules tirées il y a une et une seule boule blanche. »

B : « Parmi les boules tirées il y a exactement deux boules de même couleur. »

2/ Soit la variable aléatoire lié au nombre de boules noires restantes dans la caisse après tirage.

a- Vérifier que 0,1 et 2 sont les valeurs prises par X.

b- Déterminer la loi de probabilité de X.

3/ Calculer la probabilité de tirer exactement deux boules de même couleur sachant qu’il reste une seule boule noire dans la caisse après le tirage.

Exercice 3

1/ a- Résoudre dans l’équation :

b- On pose Z1 et Z2 les solutions de (E) tel que . Ecrire Zet Z2 sous la forme trigonométrique.

 

0

1

2 3

2

n n

n

U

n IN U U

 U

 

   

 

 



 

3 3

n n

n

v U n IN

U

   





⁷^^{4 3}





³^²



C

 

^{E :}^z² ^²^z^{ }⁴ ⁰

Im(Z1) 0

(2)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 2/ On considère le plan complexe muni d’un repère orthonormé et les points A, B

et C d’affixes respectifs et .

a- Montrer que :

b- Déduire que le triangle ABC est rectangle.

c- Déterminer le centre et le rayon du cercle qui circonscrit le triangle ABC.

Exercice 4

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé, on considère l’ensemble

 

^S des points ^{M x y z}



^{; ;}



tels que :x²y²z²2x4y4z 8 0.

Soit m un réel et

 

Pm le plan d'équation :2x y 2z m 0.

1) Montrer que

 

^S est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.

2) Etudier suivant les valeurs de m, la position de

 

^S ^et

 

Pm .

3) Montrer que

   

S  P4 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4) Soit D la droite passant par le point ^A



^2;1;1



et de vecteur directeur ^u



^{0;1; 1}^



a) Montrer qu’une équation cartésienne du plan Q contenant la droite D et perpendiculaire à

 

Pm est : x2y2z 2 0.

b) Montrer que Q est tan gent à la sphère

 

^S en un point H dont on déterminera les coordonnées.

Problème

I.

On considère la fonction g définie sur par :

1/ Calculer et .

2/ Calculer ^{g x}^

 

pour tout x de ; puis dresser le tableau de variation de g.

3/ Montrer que :

II.

On considère la fonction f définie sur par :

et soit

 

Cf la courbe de f dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ;}



tel que :

1/ a- Montrer que la droite (D) d’équation est une asymptote oblique à

 

^C^f au voisinage de +∞.

b- Etudier la position relative de

 

Cf par rapport à (D).

2/ a- Calculer et pour tout x de



^{ }^1;



^.

b- Calculer et .

c- Dresser le tableau de variation de .



^{o u v}^{, ,}



3 3 ; 1 3

a i b i c 1 i 3 3

3

a b i

c b

 





^{ }^1;



^{g x}^{( )}^^e^x^x^¹

1

lim ( )

x _g x

 lim ( )

x g x





^{ }^1;





^1;



⁰ ^{( )}

x g x e

     



^{ }^1;



^{f x}^{( )}^{  }^x ¹ ^e^x^x^¹

5 i  j  cm 1

y  x e

( )

f x _f_{( )}_x

 

⁴ ¹

2 1

: ( )

1

x

x x

vérifier que f x e x

 

 

 

 

  

 

1

lim '( )

x

f x

 lim ( )

x f x

 

f

(3)

www.guessmaths.co E-mail : [email protected] whatsapp : 0604488896 3/ a- Montrer que l’équation admet deux solutions dans



^{ }^1;



^{l’une des}

solutions est 0 et l’autre on la notera α.

En utilisant la dichotomie donner un encadrement de α d’amplitude10^¹.

4/ a- Calculer et .

b- Etudier les variations de f.

c- Donner le tableau de variations de f sur



^{ }^1;



III.

On considère la fonction h définie sur l’intervalle



^{ }^1;



^{par :}

Et soit

 

Ch la courbe de h dans le même repère



^{O i j}^{; ;}



^.

1/ a- Etudier la continuité de h à droite de (-1) b- Montrer que :

c- Calculer puis .

d- Déduire que la fonction h est dérivable à droite de (-1) et Calculerh d

 

¹ _.

2/ Construire

 

Ch et la droite (D) ; en précisant les tangentes à

 

Ch aux points d’abscisses respectifs 0 ; α et -1.

( ) 0 f x 

1

lim ( )

x _ f x

 lim ( )

x f x



( 1) 0

( ) ( ) pour 1 h

h x f x x

  

   



( ) ( 1) 1 1

1 1 1

x

h x h x x

x x x e

  

      

1

lim 1

x

 x



 

  

 

1 1

lim 1

x x x

x e

 x





 

  

 