Approche non paramétrique en théorie de la fiabilité : revue bibliographique

R EVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉE

S ^ALIMA H ^ASSANI P ^ASCAL S ^ARDA P ^HILIPPE V ^IEU

Approche non paramétrique en théorie de la fiabilité : revue bibliographique

Revue de statistique appliquée, tome 34, n

^o

4 (1986), p. 27-41

<http://www.numdam.org/item?id=RSA_1986__34_4_27_0>

© Société française de statistique, 1986, tous droits réservés.

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27

APPROCHE NON PARAMÉTRIQUE

EN THÉORIE DE LA FIABILITÉ :

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE

Salima

HASSANI,

^Pascal SARDA,

Philippe

^VIEU

Université Paul Sabatier, Toulouse

A la mémoire de Gérard COLLOMB

qui

fut à l’initiative de ce travail RÉSUMÉ

Nous passons ^{en revue} les estimateurs non paramétriques ^{de la} fonction de hasard

proposés ^{à ce} jour. Nous donnons quelques exemples pratiques d’utilisation de ces estimateurs, puis ^les principaux ^{résultats les} concernant selon que le problème ^{est à données non censurées}

ou à données censurées. Dans chacun de ces deux cas nous étudions séparément les estimateurs utilisant l’échantillon ordonné des observations et ceux construits directement à partir ^d’esti-

mateurs de la densité. Les résultats concernent le biais, ^la déviation maximale et la convergence de ces estimateurs _pour des observations indépendantes. ^Un résultat de convergence pour des observations dépendantes ^établi parallèlement ^{à cette étude est} donné dans la dernière partie.

ABSTRACT

We survey non-parametric estimators of the hazard function proposed ^{at this} day. ^We give

some practical examples ^of application ^{of these} estimators, ^then principal results for them, ^with uncensored data or censored data. In each case we study estimators built with a orderly sample of observations and those built from density estimators. The results are about the bias, maximum deviation and convergence of these estimators from independant observations. A result of convergence from dependant observations established parallely ^{with this} study ^is given ^{in the}

last part. ^-

Mots clés : Fonction de

hasard,

^{Taux de}

défaillance,

Estimation

non-paramétri-

que, Fiabilité.

1. INTRODUCTION

On s’intéresse _par

exemple

à la durée de vie de

lampes d’éclairage.

^En

prenant l’origine

^des

temps

^{au moment de la mise en} service de la

lampe

^on

cherche à évaluer la

probabilité qu’une lampe

^{tombe en} panne ^entre les instants

t et t + At sachant

qu’elle

fonctionne encore au

temps

^t

(At

&#x3E; 0 est

pris

^{au sens}

physique

^du

terme).

^{On note X} la variable aléatoire réelle

positive

^{« durée de}

vie d’une

lampe

^{». On}

désigne

par f

(resp. F)

la densité

(resp.

la fonction de

répartition)

^{de X.}

Pour t fixé tel que F

(t)

^{1 on a}

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, ^vol XXXV, n° 4

28

et dès _que la densité f est continue on a,

Pour une variable aléatoire réelle X

positive

^de

répartition

^{F et de densité}

f on

appelle

^{fonction de}

hasard,

^ou

parfois

^{taux de}

^hasard,

^{hasard ou bien taux}

de

défaillance,

^{la fonction h définie} par

L’interprétation

que l’on

peut

^{en faire dans le cas d’une densité f continue}

(voir exemple ci-dessus)

^révèle

l’importance

^{de l’étude de la fonction de hasard}

dans de nombreux

problèmes pratiques,

^notamment dans les études de fiabilité

ou de survie.

On

appelle

^fonction de hasard cumulée la fonction H définie _par

Dans les revues de

langue anglaise

^H

porte

^{le nom de «}

Log-survival

function »

puisque,

Le

problème

^de l’estimation de la fonction h ^a donné lieu à de nombreuses études dans le cadre de la

statistique paramétrique. Cependant,

dans la

pratique,

^{il est}

parfois

difficile de trouver le modèle

paramétrique

convenable. Les méthodes non

paramétriques

^{lèvent cette} difficulté

puis- qu’aucune hypothèse

restrictive n’est faite sur la loi de X. Cette loi n’est _pas

supposée appartenir

^{à une} classe de lois indexées _par un nombre fini de

paramètres réels,

mais seulement vérifier des

hypothèses

^très

générales

^de

régularité.

^{Le cas le}

plus général

^{est celui où cette loi admet une} densité nulle

sur R - et continue sur

R + ;

pour certains résultats nous aurons toutefois besoin

d’hypothèses plus

^{fortes. Il est à noter}

cependant

^{que ces méthodes}

nécessitent un nombre

important

d’observations

(disons

^{1 000 et}

plus).

^Les

résultats que ^nous exposons dans la suite trouveront des

applications

immédiates dans des domaines où ce nombre

important

de données

existe,

le

plus

^souvent dans le domaine médical

(la

^{fonction de hasard}

correspond

au

risque

instantané de

décès)

^ou

géophysique (cf. exemple

¹

ci-dessous).

^Le

problème

de défaillance des

logiciels

^{est un}

exemple

^d’étude

où,

^{au moins} à ce

jour,

^{les modèles}

paramétriques

^seront

préférables

^{à cause du peu}

d’observations

disponibles.

^D’autre

part,

l’estimation non

paramétrique

^{de la}

fonction de hasard

peut permettre

^{de choisir un modèle}

paramétrique

convenable et donc de déboucher sur une étude

classique.

Nous nous proposons dans ^cet article _{de passer} en revue les différents travaux effectués à ce

jour

^en estimation non

paramétrique

^{de la fonction de}

hasard. Ce travail

complète

^{la revue}

bibliographique

^de SINGPURWALLA

et WONG

(1983a).

Nous donnons dans le

paragraphe

²

quelques applications

^{de l’esti-}

mation de h selon que les données sont censurées ou non

(définitions au § 2).

Dans le

paragraphe

^{3 nous} donnons des

généralités

^{sur les} noyaux

puisque

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, vol XXXV, n° 4

29 ceux-ci interviennent dans la

plupart

des estimateurs non

paramétriques

introduits.

Ces estimateurs sont donnés dans le

paragraphe

⁴

(resp. 5)

ainsi que les résultats les concernant à

partir

de données non censurées

(resp.

^censu-

rées)

^et

indépendantes.

^{Dans chacun de ces}

paragraphes

les estimateurs sont classés selon

qu’ils

^sont construits à

partir

de l’échantillon ordonné ou bien directement à

partir

d’estimateurs de f et F. Cette classification relativement arbitraire trouve son

origine

dans l’état actuel du

développement

^{de l’esti-}

mation non

paramétrique

^{du taux de} défaillance. Nous donnons dans le

paragraphe

⁶

quelques

^{nouveaux résultats}

qui

^ont été établis

parallèlement

à cette étude et

qui

concernent le cas d’observations

dépendantes.

^Nous

donnons enfin dans le

paragraphe

⁷

quelques

références ^sur des études _par simulation.

2. EXEMPLES D’UTILISATION

Nous donnons brièvement deux

exemples

d’utilisation de l’estimation de h. Nous _renvoyons aux auteurs pour

plus

de détails. Les estimateurs utilisés dans ces

exemples

^{sont définis aux}

paragraphes

^{4 et 5.}

2.1. Problème à données non censurées

On dit que le

problème

^{est à données non censurées}

lorsque

^l’on

peut

observer toutes les variables.

RICE et ROSENBLATT

(1976)

^{traitent un}

problème

^{relevant de la}

géophysique (secousses sismiques).

La fonction de hasard h

(t) représente

^le

risque

^{d’avoir une nouvelle} secousse au

temps

t, l’instant ^{0 étant}

pris

^au

moment de la dernière secousse

enregistrée.

^Ils

disposent

des données des 4 764 dernières secousses

enregistrées

^en Californie. Le résultat de leur étude montre que ^ce

risque

^est très élevé dans les dix

premières

^minutes

puis

^décroît

pour ^se stabiliser au bout de 25 h environ.

2.2. Problème à données censurées

Dans

beaucoup

^de

problèmes pratiques

^{on ne}

dispose

pas de ^toutes les données

Xi ,...,Xn

^mais

uniquement

^des

couples (Zi, Ji),

^{i = 1} ,..., n, où

et

les

Ci

étant des variables aléatoires réelles

positives.

^{On dit}

qu’on

^{a alors un}

problème

à données censurées à droite _{par les} variables

CI Cn.

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, vol XXXV, nc) 4

30

YANDELL

(1983)

^traite des données

provenant

^d’une

expérience

^de

survie,

pour rechercher l’effet d’une dose de 300 rad. d’une irradiation _par les _rayons gamma ^{sur 2} 534 souris. Les animaux sont

répartis

^{en deux}

groupes, ^« traitement » et « contrôle ». Ils meurent naturellement ou sont

sacrifiés.

Xi

^est ici la durée de vie

(potentielle lorsque

^{l’animal est}

sacrifié)

et

Ci

la date à

laquelle

^le

^ième

^{animal est} sacrifié s’il est encore en vie. Les données sont constituées par le ^moment

(c’est-à-dire

^{Z; - min}

(Xi, Ci»

^{et la}

nature

(qui peut s’exprimer

^par

^Ji

⁼

1pqc,])

^{du décès. Parmi les 1 080 souris}

du _{groupe de}

contrôle,

^{361 ont été} sacrifiées ainsi _{que 343}

parmi

^{les 1 454}

du groupe ^« traitement ». L’étude a pour but

d’analyser

^{le taux} de mortalité dans le groupe de traitement ^{tout au}

long

^de

l’expérience

^et de le comparer à celui du groupe de contrôle. Les taux de mortalité obtenus montrent que l’irradiation

augmente

^{le taux de} mortalité dans les deux

premiers jours

^et

au-delà du

cinquième jour

^de

traitement,

^alors que, ^entre les 2e et 5e

jours,

les taux semblent

identiques.

Ce résultat est illustré par les deux

figures

ci-dessous

qui

^{sont extraites} de l’article de Yandell

(1983)

^et

qui représentent

pour chacun des deux _groupes, en

pointillés,

^{la fonction} de hasard estimée

en

chaque point

par

hn,9 (cf.

définition

(5.1»

^ainsi que, ^en trait

plein,

^des

intervalles de confiance simultanés de niveau

80 %,

intervalles obtenus à l’aide de la

propriété

^{de normalité}

asymptotique

^de

hn,9.

Groupe de Contrôle Groupe ^Traitement

3.

QUELQUES GÉNÉRALITÉS

La

plupart

^des estimateurs non

paramétriques

^{de la fonction de hasard}

font intervenir la notion de noyau. Nous donnons ^tout d’abord la définition d’un _noyau, ainsi _que d’une 8-suite de fonctions

qui peut

^être construite à

partir

d’un noyau.

Revue de Statistiques Appliquées. 1986, vol XXXV, n° 4

31 On

appelle

^{8-suite de fonctions}

(cf.

^{WATSON et LEADBETTER}

( 1964b))

^{une suite}

(8n)

^{de fonctions} réelles mesurables vérifiant les conditions suivantes

On

appelle

noyau de R ^une fonction K définie sur

R, intégrable

^et

bornée, qui

^vérifie

On _supposera dans la suite _que le _noyau est normé en ce sens que

1

A

partir

d’un noyau normé K ainsi défini on

peut

construire une 8-suite associée de fonctions

(Kn)

^en

posant

où

(bn)

^{est une suite dans R*+}

qui

^vérifie

...--r-

Une 8-suite de fonctions

(8n) (resp.

^un noyau

K)

^{est dite}

compatible

avec une fonction de

répartition y

^si pour ^tout M &#x3E;

0,

^{il existe}

b &#x3E; 0 tel que pour ^{tout x} fixé

est uniformément bornée sur

L’estimation de la fonction de hasard faisant intervenir des estimateurs de la densité

f, signalons

^d’abord

quelques

^revues

bibliographiques

^concernant

l’estimation non

paramétrique

de la densité : DEHEUVELS

(1977),

^ERYER

(1977),

^{TAPIA et THOMPSON}

(1978),

^WERTZ

(1978),

^{BEAN et TSAKAS}

(1980).

^{Notons enfin les travaux} de ROSENBLATT

(1956)

^{et PARZEN}

(1962) qui

^{ont introduit} l’estimateur à noyau de la densité.

4.

RÉSULTATS

CONCERNANT LE CAS DE

DONNÉES

NON CENSU-

RÉES

On suppose les variables aléatoires

Xl,..., Xn indépendantes,

^{définies sur}

le même espace

probabilisé

^et

ayant

même loi que X. On ^note

classiquement X(i),..., X(n)

^les

statistiques

^d’ordre.

Revue de Statistiques Appliquées, 1986. ^vol. XXXV, n° 4

32

4.1. Méthodes utilisant les

statistiques

^d’ordre

Estimateur de WATSON et LEADBETTER

WATSON et LEADBETTER

(1964

a, 1964

b)

^ont

proposé

l’estimateur suivant de h

(x)

n

avec

(8n)

^{définie en}

(3.1 ).

Ils établissent _que le biais de

hn,o

^{tend vers 0}

quand

n tend vers l’infini _{dès que}

(8n)

^est

compatible

^{avec F.}

Si de

plus

alors

Cas

particulier

de l’estimateur

hn,o

Un cas

particulier

^de

hn,o

^est celui de l’estimateur noté

hn,1

défini par

avec

Kn

définie à

partir

^d’un noyau K par

(3.3).

^{Le biais de cet estimateur}

proposé

par RAMLAU-HANSEN

(1983)

converge donc ^vers 0.

L’auteur obtient la convergence ^en moyenne

quadratique simple (resp.

uniforme sur un

compact)

^dès que l’on ^a

SINGPURWALLA et WONG

(1983b)

^donnent des résultats

complémentaires

sur le biais et la limite de l’erreur

quadratique

^dès que le noyau K ^est

symétrique (K (x)

^{= K}

( - x), Vx)

^{et h est} continuement différentiable à l’ordre

m + 1

(m

&#x3E;

0)

^{sur le}

compact [

^{- c, +}

c].

^{Ils montrent alors}

Estimateur de RICE et ROSENBLATT

(1976)

Cet estimateur est défini par

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, ^vol XXXV, n° 4

33 RICE et ROSENBLATT

(1976)

^montrent

qu’il

^est

asymptotiquement

^{sans biais}

et

qu’on

^a

SETHURAMAN et SINGPURWALLA

(1981)

donnent la

propriété

^de

convergence ^en loi dite de déviation maximale suivante

sous

l’hypothèse

avec

Les suites réelles

(an), (Pn)

^{et les} constantes A et C sont

explicitées

^dans

SETHURAMAN et SINGPURWALLA

(1981).

Ce résultat

(4.1) permet

de définir directement des

régions

de sécurité

asymptotique

^donnée pour la courbe de

hn,2.

Estimateurs de SETHURAMAN et SINGPURWALLA

(1981)

L’estimateur

ci-dessous, appelé

estimateur trivial ou « naïf » a été

proposé

par SETHURAMAN ^et SINGPURWALLA

(1981)

Ces auteurs ont montré la ^non convergence de ^cet estimateur et en

introduisant un noyau

symétrique particulier

^{tel que}

définissent un nouvel estimateur

Ils obtiennent ainsi sur

hn,4

le même résultat de déviation maximale _{que celui} établi sur

hn,2 (4.1),

^{en donnant un théorème}

général permettant

^d’établir facilement les résultats de

type asymptotique

pour

hn,4 à partir

^{de ceux de}

hn,2.

4.2. Méthodes utilisant les estimateurs de densité Il est naturel d’estimer la fonction de hasard _par

où

fn

et

Fn

^sont

respectivement

des estimateurs de la densité f et de la fonction de

répartition

^F.

Quand Fn

^{sera la fonction de}

répartition empirique

^on

adoptera

la notation

Fn.

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, ^vol XXXV, n° 4

34

Estimateur de WATSON et LEADBETTER

(1964a

^et

b)

Cet

estimateur,

^noté

hn,5,

^{est défini} par

(4.2)

^avec

et

WATSON et LEADBETTER

(1964,

^{a et}

b)

montrent que le biais de

hn,5

^tend

vers 0 et obtiennent les deux résultats suivants

où N est la fonction de

répartition

^{de la loi normale}

^réduite, (an)

^et

(cn)

^sont

les suites

supposées

^{finies définies pour un E} &#x3E; 0 _par

et

avec

l’hypothèse

En

remplaçant ⁸ⁿ

par Kn défini en

(3.3)

^dans

hn,5,

^MURTHY

(1965)

^{établit la}

convergence presque sûre

ponctuelle

^de

hn,5

^sous

l’hypothèse

et AHMAD

(1976)

établit la convergence presque sûre uniforme sur un

compact (sur lequel

^F

(.) 1)

^{de cet} estimateur sous

l’hypothèse

^{assez restric-}

tive

Notons que AHMAD

(1976)

^a

proposé

^un estimateur de la fonction de hasard

généralisée

^définie par

où g

(resp. G)

^{est la densité}

(resp.

^{la fonction de}

répartition)

^{d’une loi connue.}

Estimateurs à _noyau

RICE et ROSENBLATT

(1976)

^{ont défini un} estimateur

hn6

^à

partir

^de

(4.2)

^où

et

Fn

^{est la} fonction de

répartition empirique classique multipliée

par le terme

n/(n

⁺

1 ).

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, vol XXXV, n° 4

35 RICE et ROSENBLATT

(1976)

obtiennent sur

hn,6 le

^{résultat de déviation}

maximale

suivant,

avec

Pour le détail des suites

(cn), (an), (dn)

^et

(vn)

^{on se}

reportera

^{à RICE et} ROSEMBLATT

(1976,

p.

69-71).

MURTHY

(1965)

avait introduit un estimateur très voisin.

Cet

estimateur,

^noté

hn,7,

^est défini par

(4.2)

^où

^fn

^{est donné} par

(4.3)

^et

Fn

^{est la fonction de}

répartition empirique classique.

La convergence

ponctuelle

presque sûre est établie _par MURTHY

(1965)

sous

l’hypothèse

et ce même auteur prouve la normalité

asymptotique

^de

hn,7.

La convergence uniforme _presque

complète

^{sur un}

compact (sur lequel F(.) 1)

^{est établie}

par COLLOMB et al.

(1986)

^sous

l’hypothèse

Estimation _par la méthode des

k-points

^les

plus proches

Cet

estimateur,

^noté

hn,8,

^utilise

Fn

^comme estimateur de la fonction de

répartition

^et l’estimateur de f _par la méthode des

k-points

^les

plus proches (LOFTSGAARDEN

^et

QUESENBERRY (1965»

défini par

où

(kn)

^{est une} suite entière

positive

^vérifiant

et

R (kn , x) représente

^la distance euclidienne entre x et la

knème

observation la

plus proche

^{de x.} Dans COLLOMB et al.

(1986)

^{on obtient encore la conver-}

gence uniforme _presque

complète

^{sur un}

compact lorsque

5.

RÉSULTAT

CONCERNANT LE CAS DE

DONNÉES CENSURÉES

Pour tout ce

qui

^{concerne les variables}

^X, X1,¡:.",

^{Xn on}

^adopte

^{les mêmes}

notations

qu’au paragraphe 4,

^{et on note}

F _{(resp. f)}

la fonction de

répartition (resp.

^la

densité)

^commune des variables

Zi,...,Zn,

ainsi que G

(resp. g)

^la

fonction de

répartition (resp.

^la

densité)

^{commune des variables}

CI Cn.

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, ^vol XXXV, n° 4

36

On se

place

dans le cadre d’un modèle où les variables

XI 1... Xn

^sont

indépendantes puisque

^cette

hypothèse

^{a été} faite par ^tous les auteurs dont

nous allons donner les résultats.

5.1. Méthode utilisant les

statistiques

^d’ordre

TANNER et WONG

(1983)

^{ont introduit un} estimateur basé sur les

statistiques

^d’ordre

Z(i),..., Z(n)

^et

qui généralise hn,i

^tel

qu’il

était défini pour des

problèmes

^{à données non censurées.}

Cet estimateur est donné à

partir

d’une 8-suite de la forme

(3.3)

par

où l’on convient que

Les auteurs établissent leurs résultats _pour une suite

(bn)

^vérifiant

Ils montrent que

hn,9 (x)

^{est un} estimateur de h dont le biais tend vers 0 dès que le noyau K ^est

compatible

^{avec F. Si le} noyau K ^est aussi

compatible

^avec

G,

ils montrent que

hn,9 (x)

^{a une} distribution

asymptotique

^{normale et que}

hn,9

^est

convergent

^en moyenne

quadratique.

Ils donnent une évaluation

asymptotique

de la variance de

hn,9,

Toujours

pour ^une suite

(bn)

^vérifiant

(5.2),

^YANDELL

(1983)

^{donne une}

évaluation exacte de la variance de

hn,9

ainsi que de la covariance ^entre

hn,9 (x)

et

hn,9 (y).

^{Ainsi sous certaines autres}

hypothèses supplémentaires

^{il montre} que

Utilisant l’estimateur défini _par

(5.1),

^YANDELL

(1983)

propose ^{un test non}

paramétrique

^de

l’hypothèse

^{Ho =- «}

^{hi = h2 »}

^où

^hi

^et

^h2

^{sont les fonctions de}

hasard relatives à deux échantillons

indépendants.

5.2. Méthode utilisant ^un estimateur de densité

BLUM et SUSARLA

(1980)

^ont

proposé

^un estimateur de

hn,6 tel qu’il

était défini _{pour des}

problèmes

^{à données non} censurées. En notant Fn ^la

répartition empirique

^des

Zi,

^cet estimateur est défini _par

Sous certaines

hypothèses

^de continuité et de dérivabilité de

f, F,

g ^et

G,

pour

un noyau ^K défini par

(3.2)

absolument continu tel

que f ^K(x)

^{dx 00 et}

f ^{(K’ (X»2}

^{dx 00, et}

^lorsque

^{la suite}

^(bn)

^vérifie

Revue de Statistiques Appliquees, 1986, vol XXXV, n° 4

37 il est montré _que

avec

et

Nous renvoyons ^{aux auteurs} pour les détails sur les constantes A et

B, qui

ne

dépendent

que du noyau K.

Méthode utilisant l’estimateur de K,4PLAN-MEIER

Soient

1 Xi , X2j ,..., Xf } je: 1 ,

^{k suites}

indépendantes

^{de variables aléatoires}

indépendantes

^et

identiquement

distribuées

(k

^{est un nombre}

fixé).

On suppose que

XJ

^{a une densité}

^f’

^{continue et une} fonction de

répartition

^{F’. BURKE et}

HORVATH

(1984)

^estiment

On pose

L’estimateur

hin,11

^de

^h’ qui

utilise la fonction

empirique

^de hasard cumulée

est défini _par

où A et B sont des nombres réels convenablement

choisis,

pouvant

dépendre

de

i,

^et

1 y’n

¹ des suites de fonctions mesurables sur

(A, B)2 .

^{BURKE et}

HORVATH

(1984)

définissent trois estimateurs différents en

prenant

^{des suites}

(03C8in)

différentes. Nous

prendrons

^{pour toute la suite}

où

(bn)

^{est une} suite réelle telle que

et

Ki ,

^un noyau dont la dérivée ^est de carré

intégrable

^{sur le}

support

^de

K’

_pour

i=l,...,k.

On pose

où

est

supposée

^bornée

sur 1

Les auteurs

précités

donnent le résultat suivant

Revue de Statistiques Appliquees, 1986, vol XXXV, n° 4

38

avec

Lorsque

^{k =}

1,

^{on a un}

problème

^{à données non censurées et on retrouve}

l’estimateur

hn,4.

Estimation _par la méthode des

k-points

^les

plus proches

Avec les notations introduites _pour l’estimateur

hn,8

^{on définit un estima-}

teur des

k-points

^les

plus proches

pour des données censurées _par

La convergence

ponctuelle

presque sûre de ^cet estimateur a été établie par TANNER

(1983) lorsque

^{la suite}

(kn)

^est de la forme

kn = [na] ]

pour 1/2 a

1,

^{h est continue et K est à}

support compact.

^Nous

signalons

^aussi

la note de

SCHÂFER (1985) qui apporte

^une preuve

simplifiée

^{de ce même}

résultat.

Estimation _{par la} méthode de

l’histrogramme

Après

^avoir

remarqué

que h

peut

^{s’écrire sous la forme} où

LIU and Van RYSIN

(1985) proposent

d’estimer h _par

où

Fn

^est la fonction de

répartition empirique

^des

^Z,

^et

^f?

^{est un} estimateur de f*

qui

^{constitue une}

généralisation

^de

l’histogramme.

^Nous renvoyons à Van RYSIN

(1973)

pour la définition exacte de

f?.

^{Dans LIU et Van RYSIN}

(1985)

est établie la convergence presque sûre

ponctuelle

^et la normalité

asymptotique

de

hn,13.

6.

QUELQUES

COMMENTAIRES ET DERNIERS

RÉSULTATS

Outre les nombreux résultats ^sur l’évaluation

asymptotique

^{du biais et}

de la variance des estimateurs

introduits,

^{il a été}

prouvé

que la

plupart

^de

ces estimateurs sont

asymptotiquement

^{non biaisés. Par contre} il semble

qu’il

n’existe _pas d’estimateur sans biais de h sous la seule

hypothèse

que f est

continue. Ce résultat de non existence n’a pas ^encore été établi à notre

connaissance mais il devrait être une

conséquence

du corollaire du théorème de BICKEL et LEHMAN

(1969,

p.

1525).

Par ailleurs pour ^tous les estimateurs introduits

(exceptés hn,o

^et

hn,l)

^des

résultats de déviation maximale ou de normalité

asymptotique

^ont été établis.

Revue de Statistiques Appliquees, 1986, vol XXXV, n° 4

39 Ces résultats sont intéressants

puisqu’ils permettent

^de déterminer des intervalles de

confiance, point

par

point

^et simultanés.

Pour ce

qui

^{concerne les}

problèmes

de convergence

d’estimateurs,

^les

seuls résultats contenus dans les

paragraphes

^{4 et 5 sont} la convergence

- en moyenne

quadratique, ponctuelle

^{et uniforme} pour

hn,l,

- en moyenne

quadratique, ponctuelle

pour

hn,lO,

- presque

sûre, ponctuelle

pour

hn,s, hn,7, hn,12

^et

hn,13,

- presque

sûre,

^uniforme pour

hn,s.

Il faut donc constater que très peu de résultats de convergence forte ont été établis.

De

même,

^{mis à} part ^{RICE et} ROSENBLATT

(1976, p. 66)

^{dans une}

remarque, ^{aucun auteur ne} s’est intéressé au

problème

de l’estimation du taux de hasard à

partir

d’observations

dépendantes,

^{si ce} n’est COLLOMB et al.

(1986).

Dans ce dernier article on démontre la convergence presque

complète

uniforme sur un

compact

^{C de}

hn,7

^et

hn,8

^{vers h}

lorsque (Xn)

^{est un} processus uniformément fortement

mélangeant. (Nous

renvoyons à BILLINGSLEY

(1968)

pour la

définition).

Ces deux résultats de convergence uniforme ^{sur un}

compact permettent

d’estimer le mode 8 de la fonction h

(lorsque

^{celui-ci est}

unique).

^Dans

l’exemple

introductif du

paragraphe 1,

⁸

représente

^l’instant

auquel

^la

lampe d’éclairage

^{a le}

plus

de chance de tomber en panne, sachant

qu’elle

^{ne l’a}

pas fait

auparavant.

Remarquons

que le modèle de

dépendance

^{introduit pour ces résultats}

englobe

entre autres les processus markoviens

qui

^vérifient la condition de Doeblin

(voir

^DOOB

(1953) p. 209).

7.

QUELQUES RÉFÉRENCES

POUR DES

ÉTUDES

PAR SIMULATION

RICE et ROSENBLATT

(1976)

^{donnent des} courbes estimées de la fonction de hasard h _par

hn,2

^en simulant 200 nombres aléatoires suivant la loi

exponentielle

^{et la} loi de RAYLEIGH

(Loi

de WEIBULL avec

a = 1, 2).

YANDELL

(1983)

^à

partir

^de

simulations,

traite les cas non censuré et censuré à

50 %,

^et obtient des courbes estimées de

h,

^{le nombre} d’observations s’élevant à 200.

Nous

signalons

^aussi les études de RACINE-POON et HOEL

(1984).

Ils utilisent dans leurs simulations une

généralisation

^{au cas} censuré de l’estimateur de KAPLAN-MEYER. Ils mettent en évidence le

risque

^que

représente

^le choix d’un modèle non censuré en montrant que celui-ci

peut

aboutir à une

augmentation importante

^{du biais}

lorsque

^les observations sont

effectivement censurées.

Revue de Statistiques Appliquees, 1986, vol XXXV, n° 4

40

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

I.A. AHMAD

(1976). 2014

^Uniform

strong

convergence of the

generalized

failure rate estimated. Bull. Math.

Stat, 17,

p. 77-84.

S.J. BEAN et C.P. TSAKAS

(1980).

^-

Developments

ⁱⁿ

non-parametric density

estimation. Inter. Stat. Review, 48, p. 267-287.

P.J. BICKEL et E.L. LEHMAN

(1969). -

^{Unbiased estimate in convexe} families. Annals

of

Mathematical

Statistics,

vol.

40,

p. 1523-1525.

P. BILLINGSLEY

(1968).

^-

Convergence

^of

Probability

^Measures.

Wiley.

S.R. BLUM et V. SUSARLA

(1980). -

^{Maximal deviation}

theory

^of

density

and failure rate function estimates based on censored data. Multivariate

Analysis, V,

p. 213-222.

M.D. BURKE et L. HORVATH

(1984).

²⁰¹⁴

Density

^{and failure rate estimation}

in a

Competing

^{risks model.}

Sankya,

^vol.

^46,

^Série

^A,

p. 135-154.

G.

COLLOMB,

^S.

HASSANI,

^{P. SARDA et P. VIEU}

(1986).

^{- Estimation}

non

paramétrique

^{de la} fonction de hasard _pour des observations

dépendantes. Statistique

^et

Analyse

^des

^données,

^vol.

^10,

^n°

^3,

pp. 42-49.

P. DEHEUVELS

(1977). 2014

Estimation non

paramétrique

de la densité par

histogrammes généralisés.

^{Revue de}

Statistique Appliquée,

^{vol. XXV, n° 3.}

J. DOOB

(1953).

^- Stochastic processes.

Wiley,

^New-York.

J. ERYER

(1977). 2014

^{Revue of some}

non-parametric

methods of

density

estimation. J. Inst. Math.

Applic. ^20,

p. 335-354.

R. LIU et J. VAN RYZIN

(1985). 2014

^A

histogram

estimator of the hazard rate with censored data. Ann. Stat.

13,

p. 592-605.

D.O. LOFTSGAARDEN et C.D.

QUESENBERRY (1965).

^{- A} non-parame- tric estimate of a multivariate

density

function. A.M.S. 36, p. 1049-1051.

V.K. MURTHY

(1965).

²⁰¹⁴ Estimation

of jumps, reliability

and hazard rate.

Ann. Stat.

36,

p. 1032-1040.

E. PARZEN

(1962). 2014

On estimation of

probability density

function and mode. Annals

of

Mathematical

Statistics, 33,

p. 1065-1076.

A.H. RACINE-POON et D.G. HOEL

(1984).

²⁰¹⁴

Non-parametric

^estimation

of the survival function when cause of death is uncertain. Biometrics

40, p. 1151-1158.

H. RAMLAU-HANSEN

(1983). - Smoothing counting

processes intensities

by

^{means of kernel} functions. Ann. Stat.

11,

p. 453-466.

J. RICE et M. ROSENBLATT

(1976). 2014

Estimation of the

log

^survivor

function and hazard function.

Sankhya,

³⁸

^A,

p. 60-78.

M. ROSENBLATT

(1956).

^{- Remarks on some}

non-parametric

^{estimates of}

a

density

function. Annals

of Mathematical Statistics,

Vol.

27,

p. 642-669.

H.

SCHÄFER (1985). -

^{A note on}

data-adaptive

^kernel estimation of the hazard and

density

^function in the random

censorship

situation. Annals

of Statistics,

Vol.

13,

^n°

2,

p. 818-820.

Revue de Statistiques Appliquées, 1986, vol XXXV, no ⁴

41 J. SETHURAMAN ^et N.D. SINGPURWALLA

(1981).

^-

Large sample

estimates and uniform confidence bounds for the failure rate function based on a naive estimator. Ann. Stat.

9,

p. 628-632.

N.D. SINGPURWALLA et M.Y. WONG

(1983 a).

^- Estimation of the failure rate : a survey of

non-parametric

^{methods. Part I : Non}

bayesian

Methods. Commun. Statist. Theor.

Math.,

¹²

(5),

p. 559-588.

N.D. SINGPURWALLA et M.Y. WONG

(1983 b).

^{- Kernel} estimators of the failure rate function and

density

estimation : an

analogy.

^J.A.S.A.

83,

Vol.

78, n°

382.

M.A. TANNER

(1983).

^{- A note on} the variable kernel estimator of the hazard function from

randomly

censored data. Ann.

Stat.,

Vol. 11, ^n°

3,

p. 994-998.

M. TANNER et W.H. WONG

(1983).

^- The estimation of the hasard function from

randomly

censored data

by

the kernel method. Ann. Stat.

11,

p. 989-993.

R.A. TAPIA et J.R. THOMPSON

(1978).

^-

Non-parametric probability density

estimation.

Baltimore,

^{London : Johns}

Hopkins University

^Press.

J. VAN RYSIN

(1973).

^{2014 A}

histogram

^{method of}

density

estimation. Comm.

Statist.

2, p. 493-506.

G.S. WATSON et M.R. LEADBETTER

(1964 a).

^{- Hazard}

analysis

^I.

Biometrika, 51,

p. 175-184.

G.S. WATSON et M.R. LEADBETTER

(1964 b).

^{- Hazard}

analysis

^II.

Sankhya,

²⁶

^A,

p. 110-116.

W. WERTZ

(1978).

^- Statistical

density

estimation a survey. Vandenboeck

et

Ruprecht, Göttingen.

B.S. YANDELL

(1983).

²⁰¹⁴

Non-parametric

inference for rates with censored survival data. Ann. Stat.

11, 4,

p. 1119-1135.

Nous remercions l’I.M.S. pour l’autorisation

qui

^{nous a été accordée}

de

reproduire

^les

figures

illustrant nos

exemples.

Revue de Statistiques Appliquées, ^{1986, vol XXXV,} n° 4