Universit´e d’Aix-Marseille II - Luminy
Examen Master 2 M.D.F.I.
Alg`ebre, Arithm´etique et Codage Mars 2007
Dur´ee : 3 heures
1. Borne de Carlitz-Uchiyama
1. Soit q =pm (m ≥1) une puissance d’un nombre premier p. Si α est un ´el´ement du corps finiFq, on d´efinit sa trace surFp, not´eeT rFq/Fp(α), ou plus simplement T r(α), par :
T rFq/Fp(α) =α+αp+· · ·+αpm−1. 1.1. Montrer que pour toutα etβ dansFq, on a :
(i) T r(α)∈Fp.
(ii) T r(α+β) =T r(α) +T r(β).
(iii) T r(αp) =T r(α).
1.2. Montrer que pour α ∈ Fq, on a T rFq/Fp(α) = 0 si et seulement s’il existeβ ∈Fq tel queα=βp−β (Th´eor`eme 90 de Hilbert).
(On pourra consid´erer une racineβ du polynˆome xp−x−α dans une extension de Fq.)
2. On consid`ere un polynˆomef(x) deFq[x] de degr´e 3 avecq une puissance de 2 et on s’int´eresse `a la somme suivante :
S(f) = X
x∈Fq
(−1)T rFq /F2(f(x)). On consid`ere la courbe alg´ebrique affine C d’´equation :
y2−y=f(x)
et l’on noteN le nombre de points rationnels surFq de la clˆoture projective C de C.
2.1. Montrer queC n’admet qu’un seul point `a l’infini et que N−1 = 2. ]{x∈Fq |T rFq/F2(f(x)) = 0}.
En d´eduire que :
S(f) =N −q−1.
2.2. Montrer que la courbe C est non singuli`ere.
En d´eduire que l’on a (borne de Carlitz-Uchiyama) :
|S(f)|≤2√ q.
1
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2. Calculs explicites
Soit µ le caract`ere additif canonique d’un corps fini L d’ordre 2m. On consid`ereQ la fonction bool´eenne d´efinie surL parQ(x) = TrL(x3) o`u TrL
d´esigne la trace deLsur F2. Le coefficient de Fourier deQ ena∈L est : Q(a) =b X
x∈L
µ(x3+ax)
(1) Soient σ1, σ2, . . . , σn des automorphismes distincts de L. Soient a1,a2,. . . ,am des ´el´ements de L, montrer que P
i=1aiσi = 0 si et seulement sia1 =a2=. . .=am = 0.
(2) Montrer que la forme bilin´eaire (x, y) 7→ φ(x, y) = TrL(xy) est non d´eg´en´er´ee.
(3) Pr´eciser la nature de l’applicationψd´efinie par
∀x, y∈L, Q(x+y) =Q(x) +Q(y) +ψ(x, y)
En d´eduire que Q est une forme quadratique sur F2, puis calculer la dimension du radical ( ou noyau ) de Q i.e. l’ensemble {x ∈L |
∀y∈L, ψ(x, y) = 0}.
(4) D´eduire de la question pr´ec´edente le spectre de Fourier deQ, en fonc- tion de la parit´e dem. (indication : calculer le carr´e des coefficients de Fourier).
A partir de maintenant, on suppose` m impair.
(5) Montrer que x 7→ x2 et x 7→ x3 sont deux permutations de L. On noterax7→√
x etx7→ √3
xles permutations r´eciproques correspon- dantes.
(6) Soitf(x) =Ax3+Bx2+Cx+D o`u 0 6=A, B,C etD d´esignent des ´el´ements du corps L. Montrer que
S(f) =µ(D)Qb
√B+C
√3
A
o`u S(f) est la somme exponentielle d´efinie dans la premi`ere partie.
(7) CalculerQ(1) quandb m= 1.
(8) On supposem premier impair. Montrer que Q(1)b ≡2 mod m en d´eduire que
Q(1) =b 2
m
2m+12 o`u m2
d´esigne le caract`ere quadratique modulom. On rappelle que
2 m
≡2m−12 (modm)
