La nature de la logique

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cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum 20 mars 2019

Points à retenir de la dernière leçon

1. Mis à part la méthode sémantique des tables de vérité, il existe une méthode syntaxique, qui ne fait pas seulement abstraction des significations des phrases, mais aussi de leurs valeurs de vérité.

2. Il est possible de définir la syntaxe de la langueLde la logique propositionnelle de manière rigoureuse.

3. Tous les connecteurs de la logique propositionnelle sont définissables par un seul, la barre de Sheffer.

4. La logique moderne a prit sa source dans les travaux de Frege (Begriffsschrift/Idéographie, 1879) et les travaux de Russell et Whitehead (Principia Mathematica, 1910).

5. La révolution en logique a rendu possible d’importants progrès en mathématiques (axiomatisation de l’arithmétique et de la géométrie) et leur a ajouté deux nouvelles branches, les métamathématiques (étude des calculs formels, Hilbert) et la théorie des ensembles (Cantor, Zermelo).

6. Dans la première moitié du 20ème siècle, les trois grands courants en philosophie des ma- thématiques étaient le logicisme de Frege (les mathématiques comme partie de la logique), le formalisme de Hilbert (les mathématiques comme manipulation des symboles) et l’intui- tionnisme de Brouwer et Heyting (constructivisme, rejet du tiers exclu).

7. Un calcul consiste en des axiomes et des règles d’inférences qui permettent de déduire des théorèmes à partir des axiomes.

8. Il est possible de définir de manière purement syntaxique ce qu’est une preuve (dans un certain calcul).

9. La logique propositionnelle peut être axiomatisée de différentes manières.

10. Il faut distinguer les preuves dans le calcul (qui se font par les règles d’inférences et des substitutions dans des axiomes) et les preuves sur le calcul (qui parlent, par exemple, en général de l’existence de certaines preuves) qui se font par les méthodes mathématiques

‘ordinaires’.

La sémantique de la logique propositionnelle

Définition 1 (Valuation propositionnelle atomique). Une valuation propositionnelle atomique V^∗ est une fonction qui assigne à toute phrase atomique «pi »,i∈N, l’une des valeurs de vérité v ouf. En formules, V^∗:{ «p_i »|i∈N} → {v,f}.

Définition 2(Valuation propositionnelle). Étant donné une valuation propositionnelle atomique V^∗, nous définissons une valuation propositionnelle V (qui est une fonction associant à toute formule propositionnelle une et une seule valeur de vérité ; en symboles, V :Form(L)→ {v,f}) par des clauses récursives :

I1 Si ϕest une phrase atomique «p»,V(ϕ) :=V^∗(« p» )

(2)

I2 V(¬ϕ) :=

{ v siV(ϕ) =f f siV(ϕ) =v I3 V(ϕ∧ψ) :=

{ v siV(ϕ) =v et V(ψ) =v f siV(ϕ) =f ou V(ψ) =f I4 V(ϕ∨ψ) :=

{ v siV(ϕ) =v ou V(ψ) =v f siV(ϕ) =f et V(ψ) =f I5 V(ϕ→ψ) :=

{ v siV(ϕ) =f ou V(ψ) =v f siV(ϕ) =v et V(ψ) =f I6 V(ϕ↔ψ) :=

{ v siV(ϕ) =V(ψ) f siV(ϕ)̸=V(ψ)

Définition 3(Satisfaisabilité). Une formule propositionnelleϕestsatisfaisable si et seulement si elle est vraie sous au moins une valuation de ses constituants simples.

Définition 4 (Conséquence logique). Une formule propositionnelle ψ est une conséquence logique d’une formule propositionnelleϕ(écrit : « ϕ|=ψ ») si et seulement si toute valuation qui satisfait ϕsatisfait également ψ.

Définition 5(Tautologie). Une formule propositionnelle ϕest unetautologiesi et seulement si elle est vraie sous toutes les valuations. Une formule propositionnelle ϕest unecontradictionsi et seulement si elle n’est vraie sous aucune valuation.

Nous avons les correspondances suivantes :

ϕest satisfaisable :⇐⇒ ∃V (V(ϕ) =v) ϕest une tautologie :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =v) ϕest une contradiction :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =f)

ϕest une conséquence logique deψ :⇐⇒ ∀V (V(ϕ) =v⇒V(ψ) =v) Voici quelques tautologies :

T1 |= ⌜(ϕ↔ψ)↔((ϕ→ψ)∧(ψ→ϕ))⌝ analyse de «↔»

T2 |= ⌜(ϕ→ψ)↔(¬ϕ∨ψ)⌝ analyse de «→»

T3 |= ⌜(ϕ→ψ)↔ ¬(ϕ∧ ¬ψ)⌝ analyse de «→»

T4 |= ⌜¬(ϕ∧ψ)↔(¬ϕ∨ ¬ψ)⌝ loi de Morgan T5 |= ⌜¬(ϕ∨ψ)↔(¬ϕ∧ ¬ψ)⌝ loi de Morgan T6 |= ⌜(ϕ∧(ψ∨χ))↔((ϕ∧ψ)∨(ϕ∧χ))⌝ distributivité T7 |= ⌜(ϕ∨(ψ∧χ))↔((ϕ∨ψ)∧(ϕ∨χ))⌝ distributivité

T8 |= ⌜(ϕ→ψ)↔(¬ψ→ ¬ϕ)⌝ conversion

T9 |= ⌜((ϕ→ψ)∧(ϕ→ ¬ψ))↔ ¬ϕ⌝ réduction à l’absurde

T10 |= ⌜(ϕ→ ¬ϕ)↔ ¬ϕ⌝ réduction à l’absurde

T11 |= ⌜(¬ϕ→ϕ)↔ϕ⌝ ‘conséquence miraculeuse’

T12 |= ⌜ψ→(ϕ→ψ)⌝ verum sequitur ad quodlibet

T13 |= ⌜¬ϕ→(ϕ→ψ)⌝ ex falso sequitur quodlibet

T14 |= ⌜((ϕ→ψ)∧ϕ)→ψ⌝ modus ponendo ponens

T15 |= ⌜((ϕ→ψ)∧ ¬ψ)→ ¬ϕ⌝ modus tollendo tollens T16 |= ⌜(¬(ϕ∧ψ)∧ϕ)→ ¬ψ⌝ modus ponendo tollens

T17 |= ⌜((ϕ∨ψ)∧ ¬ϕ)→ψ⌝ modus tollendo ponens

T18 |= ⌜((ϕ→ψ)∧(ψ→χ))→(ϕ→χ)⌝ transitivité de l’implication

T19 |= ⌜ϕ→ϕ⌝ ‘identité’

T20 |= ⌜ϕ∨ ¬ϕ⌝ tiers exclu

T21 |= ⌜¬(ϕ∧ ¬ϕ)⌝ non-contradiction

(3)

Les relations entre conséquence logique et déductibilité

Nous pouvons prouver queHCprouve toutes et seulement de tautologies : théorème de correction HCest correct – tout théorème est une tautologie.

théorème de complétude HCest complet – toute tautologie est un théorème.

Pris ensemble, nous prouvons queHCest adéquat : HC⊢ϕ ⇐⇒ |=ϕ

Théorème 6 (Correction deHC). SoientThune théorie et ϕune formule propositionnelle : (5.1) HC∪Th⊢ϕ =⇒ Th|=ϕ

Démonstration. Elle se fait par induction sur tous les nombres naturelsn, nous prouvons que (HI) HC∪Th⊢ⁿ ϕ =⇒ Th|=ϕ

par induction mathématique :

Base de l’induction : Sin = 0, alors soit ϕ est un axiome de HC, soit un élément de Th.¹ Par les tables de vérité, nous prouvons que tous les axiomesH1àH16sont des tautologies.

Dans le cas oùϕest un élément deTh(ϕ∈Th), il est évident queTh|=ϕ.

Hypothèse d’induction : Supposons que HC∪Th ⊢ⁿ ϕ et que (HI) est vrai pour tous les nombres naturelsn^′ < n. Siϕest un axiome ou un théorème, il est vrai queTh|=ϕ(selon la base de l’induction). La seule autre possibilité est que l’on ait obtenuϕpar l’application deMPà deux autres théorèmes. Dans ce cas, il y a une formuleψet des nombres naturels n^′ et n^′′(les deux< n) tels que :

(1) HC∪Th⊢ⁿ^′ ψ→ϕ (2) HC∪Th⊢ⁿ^′′ ψ (3) HC∪Th⊢ⁿ ϕ

Par l’hypothèse d’induction, nous savons que l’affirmation (HI) est vraie pour les lignes (1) et (2). Nous avons :

Th|=ψ→ϕ Th|=ψ

Puisque nous savons queMPest une règle d’inférence valide, nous pouvons inférer à partir de (3) :

Th|=ϕ

Définition 7(Clôture déductive). Laclôture déductived’une formule propositionnelleϕou d’un ensemble de formules propositionnelles Σ par rapport au calcul HC est l’ensemble des formules qui en peuvent être déduites :clo(Σ) :={ψ | ∃Φ⊂Σ :HC∪Φ⊢ψ}.

1. Ceci s’ensuit de la notion même de preuve dansHC.

(4)

Définition 8 (Consistance). Une formule propositionnelle ϕ et un ensemble de formules pro- positionnellesΣ sontconsistants si et seulement si leurs clôtures déductives ne contiennent pas deux phrases des formes ψet⌜¬ψ⌝ respectivement.

Définition 9 (Conséquence logique d’une théorie). Une formule propositionnelle ϕ est une conséquence (logique) d’une théorie Th (écrit : « Th|=ϕ ») si et seulement si toute valuation qui rend vraies toutes les formules propositionnelles dans Thrend vraie la formuleϕ.

Nous avons les correspondances suivantes :

ϕs’ensuit deTh ⇐⇒ ϕest une conséquence syntaxique deTh ϕest satisfaisable ⇐⇒ ϕest consistant

ϕest une contradiction ⇐⇒ ϕ est inconsistant ϕest une tautologie ⇐⇒ ⌜¬ϕ⌝est inconsistant

⌜ϕdoncψ⌝ est un argument valide ⇐⇒ ⌜ϕ∧ ¬ψ⌝est inconsistant

La nature de la logique

Deux courants en philosophie de la logique :

• la logique comme étude (axiomatisation, systématisation) d’un certain type de vérités, les vérités logiques (vraies en vertu de la signification de quelques mots spéciaux / de la structure de la pensée / des traits les plus généraux de la réalité) : Frege, Quine, Tarski, Wittgenstein ;

• la logique comme étude (formalisation, défense) d’un certain type d’arguments, les arguments logiquement valides (convaincants en vertu de leur formes / de la nature de certains concepts / de la structure de la pensée, ou de la pensée humaine) : Bolzanom, Gentzen, Beth, Lemmon.

Selon les premiers, la normativité de la logique est fondée sur sa nécessité ; selon les deuxièmes, sa nécessité résulte de sa normativité.

La méthode des arbres

Neuf faits sémantiques :

F1 Si une négation⌜¬ϕ⌝ est fausse, alorsϕest vrai.

F2 Si une conjonction⌜ϕ∧ψ⌝est vraie, alors ϕet ψsont vrais.

F3 Si une conjonction⌜ϕ∧ψ⌝est fausse, alors soit ϕsoitψest faux.

F4 Si une disjonction⌜ϕ∨ψ⌝est vraie, alors soitϕ, soitψest vrai.

F5 Si une disjonction⌜ϕ∨ψ⌝est fausse, alorsϕet ψsont faux.

F6 Si une implication⌜ϕ→ψ⌝ est vraie, alors soitϕest faux soitψest vrai.

F7 Si une implication⌜ϕ→ψ⌝ est fausse, alorsϕest vrai etψest faux.

F8 Si une équivalence⌜ϕ↔ψ⌝ est vraie, alors soitϕet ψsont vrais, soitϕet ψsont faux.

F9 Si une équivalence⌜ϕ↔ψ⌝ est fausse, alors soitϕ est vrai etψ faux, soit ϕest faux et ψ vrai.

Notons la dualité entre la conjonction et la disjonction. ¨

(5)

Neuf règles de construction d’arbres :

⌜¬¬ϕ⌝

ϕ

⌜ϕ∧ψ⌝

ϕ ψ

⌜¬(ϕ∧ψ)⌝

⌜¬ϕ⌝ ⌜¬ψ⌝ AA

AA

⌜ϕ∨ψ⌝

ϕ ψ

AA AA

⌜¬(ϕ∨ψ)⌝

⌜¬ϕ⌝

⌜¬ψ⌝

⌜ϕ→ψ⌝

⌜¬ϕ⌝ ψ AA

AA

⌜¬(ϕ→ψ)⌝

⌜¬ϕψ⌝

⌜ϕ↔ψ⌝

ϕ

ψ ⌜¬ϕ⌝

⌜¬ψ⌝ AA

AA

⌜¬(ϕ↔ψ)⌝

⌜¬ϕψ⌝ ⌜¬ϕ⌝ ψ AA

AA

Nous appliquons ces règles de manière itérative, jusqu’à ce qu’aucune des règles ne soit applicable – cela n’est le cas que si les seules phrases non-traitées sont des phrases simples ou des négations de phrases simples. Nous pouvons ‘fermer’ une branche si et seulement si elle contient n’importe quelle formule propositionnelleetsa négation.

Le développement syntaxique de la méthode des arbres

La règle d’inférenceMP, par exemple, correspondra à l’arbre suivant : p→q

p

¬p

▽

q AA

AA

(6)

Un premier exemple d’un arbre :

✓ (p→q)∧(p∨r)∧(s∧ ¬q)

✓ p→q

✓ p∨r

✓ s∧ ¬q

p

¬sq

r

¬sq AA

AA

BB BB

¬p q

BB BB

¬p q

▽ ▽ ▽

Cet arbre nous montre un ‹ chemin de vérité › – une valuation de ses constituantes simples qui rend vraie la formule initiale. Elle correspond à la 13ème ligne de la table de vérité suivante :

p q r s p→q p∨r s∧ ¬q le tout

V V V V V V F F

V V V F V V F F

V V F V V V F F

V V F F V V F F

V F V V F V V F

V F V F F V F F

V F F V F V V F

V F F F F V F F

F V V V V V F F

F V V F V V F F

F V F V V F F F

F V F F V F F F

F F V V V V V V

F F V F V V F F

F F F V V F V F

F F F F V F F F

En tant que méthode syntaxique, la méthode des arbres nous permet deprouverdes phrases : on prouve une phrase en montrant qu’un arbre complet (entièrement développé) pour sa négation ne contient que des branches fermées.

Grâce à la complétude et la correction de la méthode des arbres, le test de consistance qu’elle nous fournit est également un test de satisfaisabilité. Présupposant que la méthode des arbres est une méthode correcte et complète (ce que nous ne démontrons que dans deux semaines), nous pouvons donc résumer l’utilité de la méthode des arbres comme suit :

1. Une branche entièrement développée correspond à un chemin de vérité : elle montre sous quelle valuation de ses composantes simples la phrase à l’origine de l’arbre est vraie.

2. Nous pouvons également concevoir une branche comme une stratégie d’argumentation pour défendre la vérité de la phrase à l’origine.

(7)

3. Si toutes les branches d’un arbre se ferment, il est logiquement impossible que la formule à l’origine soit vraie : il s’agit d’une contradiction. Dans ce cas (et seulement dans ce cas), sa négation est une tautologie.

4. Si par contre une branche reste ouverte, elle nous indique une valuation qui attribue v à la formule initiale : elle nous indique un modèle, une possibilité logique selon laquelle la phrase initiale est vraie.

5. Par ce fait, la méthode des arbres est une méthode de réduction à l’absurde : en fermant toutes les branches de son arbre, nous montrons qu’une formule est logiquement fausse.

Soitϕune formule quelconque :

1. Si toutes les branches de l’arbre pour⌜¬ϕ⌝ se ferment, alorsϕest une tautologie.

2. Si une branche de l’arbre entièrement développé pour⌜¬ϕ⌝reste ouverte, nous avons trouvé ce que nous appelons un « modèle » pour⌜¬ϕ⌝, c’est-à-dire une valuation des composantes simples de ϕqui rend⌜¬ϕ⌝ vrai etϕfaux ;ϕn’est alors pas une tautologie.

Si l’arbre se ferme, la formule à l’origine est insatisfaisable ; s’il reste ouvert, elle est satisfaisable.

L’interprétation sémantique de la méthode des arbres

Examinons un deuxième exemple :

✓ ¬(p∨(q∧ ¬r))

¬p

✓ ¬(q∧ ¬r) AA

AA

¬q ✓ ¬¬r

r

L’application des règles nous permet d’interpréter cet arbre de la façon suivante : «¬(p∨(q∧¬r))» est vrai si et seulement si, soit «¬p» et « ¬q» sont vrais (la branche à gauche), soit « ¬p» et «r » sont vrais (la branche à droite). Il y a donc deux chemins de vérité complets dans cet arbre, deux manières pour la phrase complexe d’être vraie.

Une contradiction est caractérisée par le fait que chacun des chemins de son arbre contient une phrase et aussi sa négation. Autrement dit, toutes ses branches se ferment :

✓ ¬(¬(p∧q)∨(p∧q))

✓ ¬¬(p∧q)

✓ ¬(p∧q)

✓ p∧q

p q AA

AA

¬p ¬q

▽ ▽

(8)

Pour tester la validité de l’argument

(5.2)

p→q q→r p→r

nous construisons l’arbre suivant :

✓ p→q

✓ q→r

✓ ¬(p→r)

¬pr AA

AA

¬q r B ▽

BBB

¬p q

▽ ▽

Observant que toutes les branches se ferment, nous concluons qu’il n’y a pas de valuation qui rende vraies «p→ q », « q →r » et « ¬(p→ q) », c’est-à-dire que toute valuation qui rend vraies «p→q» et « q→r » rend également vraie la conclusion de l’argument, « (p→q) ».

L’argument en question est donc valide.

Encore un :

✓ ¬p∧ ¬q

✓ p∨q AA

AA

p q

¬p

¬q

▽

¬p

¬q

▽

La méthode des arbres met à notre disposition trois tests fort utiles :

• Comme test de consistance, elle nous permet d’établir si une phrase ou un ensemble de phrases sont ou non consistants et, dans le cas d’une réponse affirmative, elle nous permet de trouver une valuation pertinente.

• La méthode des arbres nous permet d’établir si une phrase donnée est ou non unetautologie: elle l’est si et seulement si les branches de l’arbre de sa négation sont toutes fermées.

• La méthode des arbres nous permet également de tester la validité d’un argument, en vérifiant si l’implication correspondante est ou non une tautologie.