Suites
Introduction :
Il arrive que l’on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement" une suite de nombres, comme par exemple :
1,2,4,8,16, . . . , . . . , . . . etc 1,4,9,16,25, . . . , . . . , . . . etc
−3,1,5,9, . . . , . . . , . . . etc 1,1,2,3,5,8,13, . . . , . . . , . . . etc
I) Définition et génération d’une suite
Notion de suite numérique :
En mathématiques, unesuiteuest une liste ordonnée de nombres réels: les éléments de cette liste sont appeléstermesde la suiteu, et sont tous repérés par leurrangdans la liste ; ainsi le premier terme de la suite uest souvent notéu0, on dit que c’est le terme de rang0; le second est u1, on dit que c’est le terme de rang 1; le suivantu2, et ainsi de suite. . . Le terme derangnest ainsi notéun, le terme précédent étantun−1et le suivantun+1.
Les suites sont souvent considérées comme illimitées : on noterau = (un)n∈N pour signifier que le rang d’un terme de la suiteuest un entier naturel (sans "fin" de liste).un représente un unique terme, celui de rangn.
On a donc pour une suite commençant à u0 :
nom de la suite
z}|{u = (
1erterme
z}|{u0
| {z }
terme de rang0
;
2ndterme
z}|{u1
| {z }
terme de rang1
; u2 ; . . . ; un−1 ;
(n+ 1)èmeterme
z}|{un
| {z }
terme de rangn
; un+1 ;. . .) Et pour une suite commençant àu1 :
nom de la suite
z}|{u = (
1erterme
z}|{u1
| {z }
terme de rang1
;
2ndterme
z}|{u2
| {z }
terme de rang2
; u3 ; . . . ; un−1 ;
nème terme
z}|{un
| {z }
terme de rangn
; un+1 ;. . .)
On utilise de telles suites, par exemple :
◮ pour étudier l’évolution d’un capital soumis à intérêt : le capital de départ est noté C0, puis C1 est le capital acquis au bout d’un an, puisC2 celui acquis après deux ans, . . .
La suite estC= (C0;C1;C2;C3;. . .;Cn−1;Cn;Cn+1;. . .)que l’on notera(Cn)n∈N.
◮ pour étudier l’évolution d’une population au cours des années ; on noteraP0 la population initiale,P1 la population au terme de la première année,. . .Pn la population au terme de la n-ième année. . .
La suite estP = (P0;P1;P2;. . .;Pn−1;Pn;Pn+1;. . .)notée(Pn)n∈N.
Pour être un peu plus rigoureux : Définition :
Une suiteuest une fonction dont l’ensemble de définition estN(ou une partie deN) : à chaque entier naturel non associe un nombre réel notéun, appelé terme de rangn(ou d’indice n) de la suite u= (un)n∈N.
Exemples :
• à chaque entier naturel non nul on associe son inverse u1= 1,u2=1
2, u3= 1
3, . . .,un= 1
n, . . .(remarquez qu’ici la suite commence à l’indice 1)
• u0= 3et, à chaque entier naturel non nul, on associe la n-ième décimale deπ: u1= 1,u2= 4,u3= 1,u4= 5, . . .,u100=?
Modes de génération d’une suite
Une suite peut être (essentiellement) engendrée de deux manières :
Définition explicitedu terme de rangn du typeun=f(n) oùf est une fonction définie sur un intervalle du type[a; +∞[(avecaréel).
Par exemple, on se donne un = −5 + 7n pour n > 0 (un =f(n)avecf définie surRparf(x) =−5 + 7x.) On a ainsiu0=. . ., u2=. . .,u3=. . .,u7=. . ., etc
Avec une calculatrice :
Entrez la suite comme une fonction dans le menu "Ta- bleau", par exemple Y1=-5+7X
Puis réglez les paramètres du tableau de valeurs : Start=0, End=20, Pitch=1 (sur Casio)
TblStart=0,∆Tbl=1 (sur TI)
Puis affichez ce tableau de valeurs : vous avez, dans l’ordre, les termes de cette suite à partir deu0.
Définition "par récurrence"
du type
u0=a∈R
un+1=f(un) oùf est une fonction défi- nie sur un intervalleI tel que f(I)⊂I.
Cette relation de récurrence permet calculer un terme de la suiteà partir du terme précédent. Par exemple, on se donne
u0= 1
un+1=−2un+ 1 On a ainsi
u1=−2u0+ 1 =−2× · · ·+ 1 =. . . , u2=−2u1+ 1 =−2× · · ·+ 1 =. . . , u3=−2u2+ 1 =−2× · · ·+ 1 =. . . ,etc
et permet ainsi d’avoir tous les termes de la suite "de proche en proche". L’inconvénient majeur est que des termes "éloignés" du début de la suite sont difficiles d’ac- cès : pour calculeru100il faut, a priori, calculer tous les termes précédents, jusqu’àu99! !
Avec une calculatrice :
Tapez la valeur du premier terme, puis tapez sur EXE (ou ENTER)
On utilise la touche Ansde la calculatrice, qui est un rappel du résultat du calcul précédent :
Dans notre exemple−2× SHIFTAns+ 1, puis EXE (ou ENTER)
Vous voyez apparaître la valeur deu1; à chaque fois que vous appuyez sur EXE, le terme suivant de la suite apparaît...
II) Sens de variation d’une suite
Définition :
Dire qu’une suite(un)n∈N est :
• strictement croissanteà partir du rangpsignifie que, pour tout entier n,n>p, on a un+1> un
• strictement décroissante à partir du rangpsignifie que, pour tout entiern,n>p, on aun+1< un
• monotoneà partir du rangpsignifie que(un)est soit croissante soit décroissante à partir du rangp.
• stationnaire(ou constante) à partir du rangpsignifie que pour tout entiern,n>p, on aun+1=un
Remarque :
Toutes les suites ne sont pas monotones : par exemple, la suiteudéfinie pour toutn∈Nparun = (−1)nn2 ne l’est pas :u0=. . .,u1=. . .,u2=. . .,u3=. . .,u4=. . ., etc
Méthode :
•Pour étudier le sens de variation d’une suite, on étudie généralement le signe de la différence un+1−un en fonction den :
Par exemple, si la suite(un)n∈Nest définie par un =n2+ 2, alors on a
un+1= (. . . .)2+ 2 =. . . . Ainsi, pour toutn∈N, on aun+1−un=. . . . On voit queun+1−un. . .0, et donc queun+1. . . un pour toutn: la suite est donc . . . .
Méthode :
•Si jamais tous les termes de la suite usont strictement positifs, on peut comparer le quotient un+1
un
avec 1 :
Par exemple, pour(un)n∈Ndéfinie parun= 2×5n, on a un. . .0pour tout entier naturelnet un+1=. . . . Ainsi pour toutnon a un+1
un
= . . . . . . . =. . . On voit que un+1
un
. . .1, et donc queun+1. . . un pour toutn: la suite est donc . . . .
III) Suites arithmétiques
Définition :
Dire d’une suite (un)n∈N qu’elle estarithmétiquesignifie qu’il existe un certain réel r, appeléraisonde la suite, tel que, pour toutn>0,un+1=un+r. On note souvent une telle suite :
(u0∈R un+1=un+r Exemple : On passe d’un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombrer: prenons par exemple la suite(un)n∈Narithmétique, de premier termeu0= 5et de raisonr=−2.
La définition de(un)n∈Npar récurrence est
u0=. . .
un+1=. . . .
Les premiers termes de cette suite sontu1=. . . ;u2=. . . ;u3=. . .;u4=. . .;u5=. . . ;u6=. . .. Reconnaître une suite arithmétique :
Pour qu’une suite(un)n∈Nsoit arithmétique, il faut et il suffit que, pour toutn∈N, la différenceun+1−un
soit constante :un+1−un=r∈R. Le nombrerest alors la raison de la suiteu.
Par exemple, soit(un)n∈Ndéfinie parun= 5−3n.
On a, pour tout entier natureln,un+1−un =. . . . Donc la suite(un)n∈Nest arithmétique, et sa raison estr=. . ..
Relation entre deux termes d’une suite arithmétique :
Soit(un)n∈Nune suite arithmétique, de premier termeu0 et de raisonr.
• Relation entre un etu0 : Pour toutn∈N, on aun=u0+nr
• Relation entre un etup :
Pour tousn, p∈N, on aun=up+ (n−p)r
Par exemple, on peut obtenir la définition explicite d’une suite arithmétique à partir de sa définition par récur- rence :
Si(un)n∈N∗ est une suite arithmétique de premier termeu1= 5et de raison r=−2,
alors pour toutn∈N∗on a un=. . . .
Somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique :
• Un résultat préliminaire : somme desn premiers entiers Pour toutn∈Non aSn = 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1)
2
• Théorème :
La somme de N termes consécutifs d’une suite arithmétique, de premier termea et de dernier terme b est donnée parS =N×a+b
2 =Nombre de termes×premier terme+dernier terme 2
Preuves :
• En additionnant membre à membre les deux égalités, on obtient :
1 + 2 + 3 + . . . + n−2 + n−1 + n = Sn
n + n−1 + n−2 + . . . + 3 + 2 + 1 = Sn
(n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + . . . + (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) = 2Sn
Autrement dit,2Sn=n×(n+ 1)et doncSn=n(n+ 1)
• On poseu1=a,u2=a+r,u3=a+ 2r, . . .,uN2=a+ (N−1)r=b. Alors : S=u1+u2+u3+· · ·+uN
S=a+ (a+r) + (a+ 2r) +· · ·+ (a+ (N−1)r) on rassemble lesaet les termes enr: S=N a+r
1 + 2 +· · ·+ (N−1)
on se sert de la formule précédente : S=N a+r(N−1)N
2 puis on factorise par N : S=N×
a+(N−1)r 2
=N×2a+ (N−1)r 2 S=N×a+a+ (N−1)r
2 Et on a doncS =N×a+b
2 Sens de variation d’une suite arithmétique :
Soit(un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr.
• Sir >0alors la suite(un)n∈Nest croissante.
• Sir <0, alors la suite(un)n∈Nest décroissante.
Ce résultat découle naturellement deun+1−un =r. En effet, le sens de variation de la suite (un)n∈N dépend du signe deun+1−un.
IV) Suites géométriques
Définition :
Dire d’une suite(un)n∈N qu’elle estgéométrique signifie qu’il existe un certain réel q, appeléraison de la suite, tel que, pour toutn>0,un+1=q×un. On note souvent une telle suite :
(u0∈R un+1=q×un
Exemple : On passe d’un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombreq: prenons par exemple la suite(un)n∈Ngéométrique, de premier termeu0= 5 et de raisonq=−2.
La définition de(un)n∈Npar récurrence est
u0=. . .
un+1=. . . .
Les premiers termes de cette suite sontu1=. . . ;u2=. . . ;u3=. . .;u4=. . .;u5=. . . ;u6=. . .. Remarque :
si(un)n∈Nest géométrique et siu0= 0alors quelle que soit la raisonq, on a un = 0pour toutn∈N. si(un)n∈Nest géométrique de raisonq= 0alors on aun= 0pour toutn≥1.
Reconnaître une suite géométrique :
Pour qu’une suite(un)n∈Ntelle que les termesunsoient non nuls soit une suite géométrique, il faut et il suffit que, pour toutn∈Nle quotient un+1
un
soit constant : un+1
un
=q∈R. Le nombreq est alors la raison de la suiteu.
Par exemple, soit(un)n∈Ndéfinie parun= 2×3n. On a, pour tout entier natureln, un+1
un
=. . . . Donc la suite(un)n∈Nest géométrique, et sa raison estq=. . ..
Relation entre deux termes d’une suite géométrique :
Soit(un)n∈Nune suite géométrique, de premier termeu0 et de raisonq.
• Relation entre un etu0 : Pour toutn∈N, on a un =u0×qn
• Relation entre un etup : Pour tousn, p∈N, on aun=up×qn−p
Par exemple, on peut obtenir la définition explicite d’une suite géométrique à partir de sa définition par récur- rence :
Si(un)n∈N est une suite géométrique de premier termeu0= 5et de raisonq=−2,
alors pour toutn∈Non aun =. . . .
Théorème : Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :
La somme de N+ 1 termes consécutifs d’une suite géométrique, de premier terme aet de raison q6= 1 est donnée parS =a×1−qN+1
1−q =premier terme×1−qnombre de termes
1−q Preuve :
En soustrayant membre à membre les deux égalités, on obtient :
a + qa + q2a + . . . + qN−1a + qNa = S
qa + q2a + q3a + . . . + qNa + qN+1a = qS
a − qN+1a = S−qS
Donca−qN+1a=S−qS; eta(1−qN+1) =S(1−q). D’où le résultat attendu :S =a1−qN+1 1−q . Une autre formulation de ce résultat est :
Théorème : Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique :
La somme de termes consécutifs d’une suite géométrique, de premier termea, de dernier termebet de raison q6= 1 est donnée parS= a−bq
1−q =premier terme−premier terme manquant 1−q
Remarque :
Siq= 1alors la suite(un)est constante doncS = (N+ 1)a.
Sens de variation d’une suite géométrique :
Soit(un)n∈Nune suite géométrique de premier termeu0>0 et de raisonq.
• Si0< q <1alors la suite (un)n∈N est décroissante.
• Siq= 1alors la suite(un)n∈Nest stationnaire.
• Siq >1alors la suite(un)n∈Nest croissante.
• Si q <0alors la suite(un)n∈Nn’est ni croissante, ni décroissante (ses termes sont alternativement positifs et négatifs).
Suites arithmétiques
1. Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont arithmétiques (en justifiant votre réponse) ; le cas échéant, vous préciserez le premier terme u0 et la raisonr:
un= 25−6npourn∈N un=n2−3pourn∈N un =2 +n
5 pourn∈N un=n2−(n+ 3)2 pourn∈N
u0=−7
un+1= 9 +un pourn>0
u1= 15
un+1= 3−un pourn>1 2. Soit(un)n∈Nune suite arithmétique de raisonr= 2et de premier termeu0=−7. Ecrire la définition par
récurrence de cette suite. Calculeru1,u2. Exprimerun en fonction den, puis calculeru10 etu99. 3. Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raison r = 2
5 et telle que u8 = 0. Calculer u0. Exprimer un en fonction den, puis calculeru12 etu999.
4. Soit (un)n∈N une suite arithmétique telle que u0 = −10 et u5 = 0. Calculer la raison de cette suite.
Exprimer un en fonction den, puis calculeru25 etu2005.
5. Soit(un)n∈Nune suite arithmétique telle queu8= 10etu14= 6. Calculer la raison de cette suite. Calculer u0. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer un en fonction de n. Enfin calculer u303 etu2005.
6. Soit (un)n∈N la suite arithmétique de premier terme u0 =−3 et de raisonr= 0,5. Calculer u10, u30 et u99, puis calculer les sommesS1=u0+u1+u2+· · ·+u99 etS2=u10+u11+u12+· · ·+u30.
Suites géométriques
1. Parmi les suites suivantes, déterminer lesquelles sont géométriques (en justifiant votre réponse) ; le cas échéant, vous préciserez le premier terme u0 et la raisonq:
un= 6npour n∈N un =−3×10n pourn∈N un= 3n
5n+1 pourn∈N un= 4×(1,03)n pourn∈N
u0=−7
un+1= 0,9un pour n>0
u1= 15 un+1= 3
un
pourn>1
2. Soit(un)n∈Nune suite géométrique de raisonq= 1,2et de premier termeu0= 3. Ecrire la définition par récurrence de cette suite. Calculeru1,u2. Exprimerun en fonction den, puis calculeru6 et u10.
3. Soit (un)n∈N une suite géométrique de raison q = 2et telle que u4 = 48. Calculer u0. Exprimer un en fonction den, puis calculeru6 etu12.
4. Soit (un)n∈N une suite géométrique telle que u0 = −10 et u3 = 1,25. Calculer la raison de cette suite.
Exprimer un en fonction den, puis calculeru1 etu7.
5. Soit (un)n∈N une suite géométrique telle que u20 = 45 et u23 = 5625. Calculer la raison de cette suite.
Calculer u0. Ecrire la définition par récurrence de cette suite, puis exprimer un en fonction de n. Enfin calculeru17et u27.
6. Soit(un)n∈Nla suite géométrique de premier termeu0= 2500et de raisonq= 1,04. Calculeru1,u2etu15
(arrondir au centième). Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit rangnpour lequelun>5000.
7. Soit(un)n∈N la suite géométrique de premier termeu0= 0,3 et de raisonq= 2. Calculer u3,u15 et u20, puis calculer les sommesS1=u0+u1+u2+· · ·+u15 etS2=u3+u4+u12+· · ·+u20.
SUITES arithmétiques et géométriques
Exercice 1 :La suite(un)est une suite arithmétique de raisonr.
a).u5= 7,r= 2. Calculeru1,u25, u100. b).u3= 12, u8= 0. Calculerr, u0,u18. c).u7= 72,u13=132. Calculeru0.
Exercice 2 :La suite(un)est une suite géométrique de raisonb.
a).u1= 3,b=−2. Calculeru4,u8,u12. b).u3= 2,u7= 18. Calculeru0,u15,u20. Exercice 3 :
Une suite arithmétiqueuest telle queu2+u3+u4= 15etu6= 20. Calculeru0et la raison r.
Exercice 4 :
Soit(un)une suite telle queu4=−4et u7= 12.
a). On suppose la suite arithmétique. Calculeru3,u5,u0.
Plus généralement, exprimerun en fonction deup et de la raisonr, pour netpentiers quelconques.
CalculerS5 etS10. Etudier la convergence de (un).
b). Mêmes questions si(un)est supposée géométrique.
Exercice 5 :
Une suite arithmétiqueude raison5est telle queu0= 2et,nétant un nombre entier, Xi=n
i=3
ui= 6456. Calculern.
Exercice 6 :
Calculer les sommesS et S′.
OùS= 2 + 6 + 18 +· · ·+ 118 098 etS′= 2 + 23+29 +· · ·+ 2 59049. Exercice 7 :
Une horloge sonne toutes les heures. Quel est le nombre de sons de cloche entendus en24heures ? Exercice 8 :
Cinq personnes se trouvent dans une pièce. L’une d’entre elles remarque que leurs âges sont en progression arithmétique. Sachant que la somme des carrés de leurs âges est égale à l’année où se passe cette histoire (à savoir 1980) et qu’à elles toutes, les personnes totalisent 90 années, quel est l’âge de chacune des personnes ? Exercice 9 :
La taille d’un nénuphar double chaque jour. Au bout de40jours, il a recouvert tout l’étang. Au bout de combien de jours avait-il recouvert la moitié de l’étang ?
