TP 4. CHAINES DE MARKOV
Exercice I.
(Modélisation de l’évolution d’une action)Dans un modèle simple d’évolution d’une action, on considère que le titre peut se trouver dans 3 états : il peut monter, rester stable ou baisser.
On suppose que :
— le premier jour le titre est stable.
— si un journle titre monte, le journ+ 1, soit il monte, avec probabilité0.4, soit il reste stable ou baisse, et ceci avec une même probabilité.
— si un journle titre est stable, le journ+ 1, soit il reste stable, avec probabilité0.4, soit il monte ou baisse, et ceci avec une même probabilité.
— si un journle titre baisse, le journ+ 1, soit il baisse, avec probabilité0.4, soit il reste stable ou monte, et ceci avec une même probabilité.
On noteMn(resp.Sn, resp.Bn) l’événement {le titre monte (resp. reste stable, resp. baisse) le journ}.
1. Représenter le modèle à l’aide d’un graphe probabiliste, qui fait apparaitre les probabilités de transition entre les 3 états.
2. On pose mn=P(Mn), sn=P(Sn) et bn=P(Bn).
Explicitermn+1(resp.sn+1, resp.bn+1) en fonction demn,sn,bn.
3. On pose Xn =
mn
sn
bn
.
Donner la matriceA, appelée matrice de transition, telle queXn+1=AXn. 4. Donner l’état initialX0.
5. Montrer que ∀n∈N, Xn=AnX0.
6. Créer un programme Scilab simulant les premiers états de la chaine, de l’indice0à l’indicen, entré par l’utilisateur.
(On utilisera l’instructiongrand(n,’markov’,A’,X0), oùA0désigne la transposée etX0est l’état initial, prenant les valeurs 1 pour M, 2 pour S et 3 pour B.)
7. Exécuter plusieurs fois le programme.
8. On appelle distribution stationnaire le vecteur de probabilités
x y z
tel queA
x y z
=
x y z
.
En simulant un plus grand nombre d’états (sans nécessairement les faire afficher) dire quel semble être la distribu- tion stationnaire de cette chaine.
(On calculera la proportion des états i (pouri∈[[1; 3]]) de la chaine à l’aide de la commandesum(X==i)/n.) 9. Avec Scilab, calculer et afficher les vecteursXk, pourkallant de0à30. Commenter.
10. Représenter sur un même graphique les 30 premiers termes des suites(mn)n∈N,(sn)n∈Net(bn)n∈N.
Exercice II.
(Evaluation du risque de défaut d’une entreprise)L’agence de notation Standard & Poor’s (S&P) évalue le risque de défaut des entreprises au moyen de notations s’éten- dant de AAA (très solide) à D (défaut, faillite).
D’une année sur l’autre, la notation d’une entreprise est réévaluée. On donne la matrice de transition suivante :
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Pour gagner du temps, nous allons utiliser une matrice de taille un peu plus raisonnable :
M =
0.95 0.05 0 0 0.03 0.90 0.05 0.02 0.01 0.09 0.80 0.10
0 0 0 1
= 1 100
95 5 0 0
3 90 5 2
1 9 80 10
0 0 0 100
.
1. Créer la matriceM.
2. En utilisant l’instruction grand(n,’markov’,M,x0), simuler un vecteur (X0, X1, ..., Xn)donnant l’évolution de la notation d’une entreprise en fonction de l’état initialX0.
(état 1 : solide, jusqu’à état 4 : défaut, qui est un état absorbant, puisqu’on ne peut plus le quitter une fois atteint.) 3. Tracer le graphe correspondant.
4. Lancer plusieurs fois le programme, en modifiant les valeurs denetX0. 5. Quelle hypothèse peut-on faire sur le risque de défaut à long terme ?
Exercice III.
(Ruine du joueur)Un joueur joue contre un casino.
Le capital de départ du joueur est deAe, avecA∈N, et celui du casino deBe).
A chaque partie, le joueur gagne1e avec probabilitép∈]0; 1[, et perd1e avec probabilitéq= 1−p. On peut modéliser la situation par une chaine de Markov, de matrice de transition :
M =
1 0 0 0 . . . 0 0 0 q 0 p 0 . . . 0 0 0 0 q 0 p . . . 0 0 0 0 0 q 0 . . . 0 0 0 ... ... ... ... . .. ... ... ...
0 0 0 0 . . . 0 p 0 0 0 0 0 . . . q 0 p 0 0 0 0 . . . 0 0 1
1. Représenter le modèle par un diagramme de transition.
2. Quelle est la taille de cette matrice ?
3. Ecrire une fonction qui crée la matrice en fonction depetq, sans entrer les coefficients un par un !
4. En utilisant l’instructiongrand(n,’markov’,M,x0), simuler un vecteur(X0, X1, ..., Xn)donnant l’évolution du capi- tal du joueur en fonction de l’état initialX0, et trace le graphe associé.
5. Lancer plusieurs fois le programme pour de grandes valeurs den. Le jeu semble-t-il se terminer ? 6. On peut montrer que siBest très grand, etp≤ 1
2, alors le joueur finit presque surement ruiné, tandis que sip > 1 2, c’est le casino qui peut parfois finir ruiné, et ce même siBest grand.
7. Le cours de mathématiques a pu montrer que la probabilité de ruine du joueur est q
p A
− q
p A+B
1− q
p
A+B .
Effectuer un grand nombre de simulation, et comparer la fréquence de faillites du joueur à la probabilité théorique.
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Exercice IV.
(Assurance automobile)Une compagnie d’assurance modélise les sinistres de ses clients grâce à la loi de Poisson.
Plus précisément, on suppose qu’un client donné n’a pas plus de3sinistres dans l’année, et, en notantX le nombre de sinistres, etpk = P(X = k), alors, pourk ∈ [[0; 2]], on a pk = λk
k!e−λ, et p3 = 1−p0−p1−p2, oùλ > 0 est un paramètre fixé par l’assureur.
Les clients sont classés dans4catégories, de1(clients ayant le moins de sinistres) à4(clients ayant beaucoup de sinistres).
A la fin de chaque année, le client est "reclassé" : tout nouveau client est initialement dans la catégorie1, puis, chaque nouveau sinistre le fait monter d’une catégorie. Au contraire, un client passant une année sans sinistre peut descendre d’une catégorie.
1. Créer un tableau à double entrée nous donnant la nouvelle catégorie du client, en fonction de son ancienne catéogie et du nombres de sinistres de l’année écoulée.
On modélise la situation par une chaine de Markov homogène(Xn)n∈N∗à 4 états,Xnétant la catégorie du client au début de l’annéen.
2. Ecrire la matrice de transitionM de la chaine.
3. Dans un programme, créer une fonction qui construitM en fonction deλ.
4. Compléter avec une fonction deλet densimulant le vecteur(X1, ...Xn).
5. Compléter avec une fonction simulantmfois l’expérience.
6. Enfin, faire en sorte que le programme renvoie les fréquences des différentes catégories au bout denannées. (Ceci permet d’approcher la loi stationnaire.)
7. Tester le programme avecn= 10,m= 1000etλ= 0.3, et représenter graphiquement la loi deX10. (On pourra utiliser les commandestabuletbar.)
8. Faire de même avecn= 1000,m= 1000etλ= 0.3. Y a-t-il une grande différence ? Commenter.
Exercice V.
(Indice de popularité d’une page Web (PageRank))A l’issue de sa requête, un internaute est susceptible d’aller sur trois sites A, B, C.
— Le site A contient un lien vers lui-même et deux liens vers B.
— Le site B comporte 5 liens vers lui-même, un vers A et un vers C.
— Le site C comporte un lien vers A, 7 liens vers B et 4 vers C.
Au départ l’internaute choisit au hasard l’un des trois sites. Par la suite la probabilité de passer d’un site (à l’instantn) vers un autre (à l’instantn+ 1) est proportionnelle au nombre de liens au premier site vers le deuxième. Pourn∈N, on désigne paran,bnetcnles probabilités pour que, à l’instantn, l’internaute soit respectivement sur A, B et C.
1. Représenter le modèle par un diagramme de transition.
2. Exprimeran+1(respectivementbn+1etcn+1), en fonction des trois réelsan,bnetcn. 3. Ecrire la matrice de transitionM.
4. Simuler les déplacements d’un internaute avec la fonctiongrand(n,’markov’,M’,X0).
5. Donner une matrice diagonaleDet une matrice inversiblePtelles queM =P DP−1en utilisant[P D]=spec(M).
6. Calculer lim
n→+∞Dn, et en déduire lim
n→+∞Mn.
7. En déduire la distribution stationnaire de la chaine de Markov (limites des suites(an)n∈N,(bn)n∈Net(cn)n∈N).
8. Le Google PageRank du site A (indice de notoriété) est a= lim
n→+∞an. Dans quel ordre classer les sites ?
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Exercice VI.
(Modélisation d’une société fictive)On considère une société comportant 4 classes : les esclaves, les hommes libres, les citoyens, les hauts fonctionnaires.
Chaque étape représente 1 an, on étudie les lignées plutôt que les individus (les classes sont héréditaires), pour éviter de parler d’individus bicentenaires.
— Les esclaves peuvent rester esclaves ou devenir des hommes libres en rachetant leur liberté ou en étant affranchis (1 sur 98 chaque année).
— Les hommes libres peuvent rester libres, vendre leur liberté pour payer leurs dettes (2 sur 73) ou devenir citoyen soit par mérite, soit en achetant le titre (6 sur 73).
— Les citoyens sont citoyens à vie et peuvent se porter candidats aux élections annuelles pour devenir hauts fonc- tionnaires (1 sur 13) pour un mandat de 1 an ; au terme de leur mandat, ils peuvent être réélus (3 sur 20), esclaves s’ils étaient corrompus (1 sur 20) ou redevenir simples citoyens.
1. Représenter le modèle à l’aide d’un graphe probabiliste.
2. Ecrire la matrice de transitionM.
3. Représenter graphiquement le devenir d’une lignée (i.e. "trajectoire") issue d’un esclave, une issue d’un homme libre et une issue d’un citoyen (sur 200 ans).
4. A l’année 0, il y a40%d’esclaves,30%d’hommes libres,25%de citoyens et5%de hauts fonctionnaires. Compléter le programme suivant afin de tracer l’évolution de la loi de la chaine de Markov pour chacun des états sur 200 ans.
M=...
X=...
E(0, :)=...
for k=2 :200 X=M*X E(k, :)=...
end
plot2d([1 :200],[E( :,1) E( :,2) E( :,3) E( :,4)])
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