- 1 -
D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
Eléments de Correction
Centres Etrangers, Juin 2003, Spécialité.
Soit T l’ensemble des points M(x ;y ;z) tels que 2 1 1
1 1
z x y avec x
y
− ≤ ≤
= − ≤ ≤ .
T est aussi la surface d’équation z= f x y( , )où f est la fonction de deux variables définies par f x y( , )=x y2 . Rem : La difficulté de cet exercice est de ne pas oublier la contrainte 2 1 1
1 1
z x y avec x
y
− ≤ ≤
= − ≤ ≤ .
1a. Remarquons que ∀ ∈ −x [ 1;1],− ∈ −x [ 1;1]. De plus, f(-x,y) = (-x)²y = x²y = f(x,y).
Par conséquent, M x y z( , , )∈ ⇔T M' , ,(−x y z)∈T.
Le plan (yOz) [il est d’équation x = 0] est donc plan de symétrie de la surface T : en effet, M et M’ sont symétriques par rapport à ce plan.
Démo (non demandée) : pour tout point M, MM' 2 ,0,0(− x )= −2xi . Ce vecteur est donc normal au plan d’équation x = 0 dont un vecteur normal est i .
De plus, d( M , (yOz) ) = |x| = |-x| = d( M’ , (yOz) ).
1b. Notons que ∀ ∈ −x [ 1;1],− ∈ −x [ 1;1] et ∀ ∈ −y [ 1;1],− ∈ −y [ 1;1]. Enfin, f(-x,-y) = (-x)²(-y) = ... = - f(x,y).
Par conséquent, M x y z( , , )∈ ⇔T M' ,(− − − ∈x y z, ) T : la surface est bien symétrique par rapport à l’origine.
2a. Un plan P parallèle à (xOz) a pour équation y = k.
→Notons que pour | k | > 1, P n’intercepte pas T (voir les contraintes liées à T) donc S T P= = ∅.
→Supposons désormais que | | 1k ≤ : la section de T par P est donc du type : : y k2 : y k2 S T P
z x y z kx
= =
= ⇔
= = . La
contrainte x∈ −
[ ]
1;1 assure donc que chaque section est un arc de parabole de sommet (0,k,0), et d’extrémités A(-1,k,k) et B(1, k, k), dans le plan d’équation y = k.2b. Un plan P parallèle à (yOz) a pour équation x = k.
→Notons que pour | k | > 1, P n’intercepte pas T (voir les contraintes liées à T) donc S T P= = ∅.
→Supposons désormais que | | 1k ≤ : la section de T par P est donc du type : : x k2 : x k2 S T P
z x y z k y
= =
= ⇔
= = . La
contrainte y∈ −
[ ]
1;1 assure donc que chaque section est donc un segment de droite d’extrémités A(k,-1,-k²) et B(k, 1, k²), dans le plan d’équation x = k.3a. Soit P d’équation z = 0.
La section de T par P est donc du type : : 02 2 0 0 0
0 0
0
z z z z
S T P ou
x y
z x y x y
= = = =
= ⇔ ⇔
= =
= = . Les contraintes
[ ]
1;1x∈ − et y∈ −
[ ]
1;1 assurent donc que chaque section est la réunion de deux segments de droites dans le plan d’équation z = 0.- 2 -
D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html Demo : par exemple 0
0 z x
=
= est l’équation d’une droite : c’est en effet l’intersection de deux plans non parallèles (de vecteurs normaux k et i non colinéaires). Une représentation paramétrique de cette droite est
0 , 0 x
y t t IR z
=
= ∈
=
.
3b. Soit P d’équation z = k.
→Pour k > 1, la section est l’ensemble vide car z est forcément compris entre -1 et 1.
→Pour k = 1 : contraintes 2
1 1 1
: 1 1, 1 1, 1
z z z
S T P ou
x y x y
x y
= = =
= ⇔
= = = − =
= : on obtient donc deux points pour cette
section.
→Soit 1 > k > 0 et K(0,0,k). Soit P d’équation z = k.
La section de T par P est donc du type : 2
2
: 0 0
z k z k
S T P k x y y k car k x
x
= =
= ⇔ ≠ ≠
= = : dans le repère
(
K i j, ,)
,chaque section est donc un arc de courbe d’équation 2
y k
= x , avec x∈ −
[ ]
1;1 et y∈ −[ ]
1;1, dans le plan d’équation z = k.Ses extrémités sont les points A(-1 ; k ; k ) et B(- k ; 1 ; k ) pour la partie des abscisses négatives puis les points A’(1 ; k ; k ) et B( k ; 1 ; k ) pour celle des abscisses positives.
Expliquons par exemple le calcul des coordonnées de A’ et B’ : Sur IR+, la fonction définie par g(x) = k/x² est décroissante : pour x∈]0;1] on a donc ( ) [ (1);lim ( )[ [ ;0 [
y g x g x g x k
= ∈ → = +∞ .
On obtient ainsi les coordonnées de A’ : x = 1 ; y = g(1) = k et z = k.
Mais l’ordonnée y doit rester entre -1 et 1, donc elle ne peut tendre vers l’infini, elle s’arrêtera à y = 1.
Or y= ⇔1 x2= ⇔ =k x k car x>0 et on obtient les coordonnées de B’ ! 3c. Traçons la section précédente pour différentes valeurs de k :
k = 0.15 k = 0.45
ps : ne considérer que les portions de courbes situées sous la droite d’équation y = 1.
- 3 -
D. PINEL, Site Mathemitec : http://perso.numericable.fr/~pinedavi/mathemitec/Index.html
4a. Soit D le domaine ( )
2
0 1
, , / 0 1
0 x
M x y z y
z x y
≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
.
On cherche l’aire de la surface définie par l’ensemble des points M du cube unité, de coordonnées (x, y, z) tels que z = k et y k2
≥ x .
D’après les calculs précédents, x positif varie de k à 1.
Or, comme on cherche l’aire du domaine ( ) 2
0 1
, , / 1
x M x y z k y
x z k
≤ ≤
≤ ≤
=
, cela correspond, sur le graphique précédent, à l’aire du domaine des points d’abscisse positive situés entre la droite d’équation y = 1 et la courbe
d’équation y = g(x).
Ainsi ( ) 1 1 2 1 1 2 1
k k
S k k dx x k k
x
= −x = + = − + unité d’aires.
4b. On trouve bien S(0) = 1.
( )
11 1 2 3 / 2
0 0 0
( ) 2 1 4 1
2 3 6
k k
V = S k dk= k− k+ dk= − +k = unité de volume.
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
z
-1-0,8-0,6-0,4-0,200,20,40,60,81
-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x
y
