Propagation de la r´ egularit´ e dans deux syst` emes mod´ elisant la
chimiotaxie et l’angiog´ en` ese
Hatem Zaag
CNRS ´Ecole Normale Sup´erieure Journ´ees Bordeaux-Pau-Toulouse
Anglet, 1er octobre 2004
En collaboration avec L. Corrias (Evry) et B. Perthame (ENS).
Un exemple : le chimiotactisme ou la chimiotaxie. Cas de l’amibe Dictyostellium discoideum
Chimiotaxie (d´efinition) : mouvement de bact´eries, amibes, cellules, sous l’influence d’une substance chimique, le chimioat- tracteur..
Film 1 (source : dictybase.org)
Agr´egation d’amibes D. discoideum vers un point source du chimioattracteur cAMP (cyclo Ad´enosine Monophosphate).
Temps en minutes et secondes.
D’apr`es G. Gerisch, Max Planck Institut f¨ur Biochemie, Mar- tinsried, Allemagne.
Film 2 (source : dictybase.org)
Chimiotaxie d’une seule cellule vers un point source de cAMP.
Temps en minutes et secondes.
D’apr`es G. Gerisch, Max Planck Institut f¨ur Biochemie, Mar- tinsried, Allemagne.
Film 3 (source : dictybase.org)
Agr´egation d’amibes.
Intervalle de temps entre ´etapes: 6 minutes.
D’apr`es P. Devreotes, Johns Hopkins Medical Institutions, Baltimore, ´Etats-Unis.
Explication (d’apr`es D. Horstmann)
1- D. Discoideum est un organisme unicellulaire qui se repro- duit par division cellulaire tant que les ressources du milieu en nourriture sont suffisantes.
2- Lorsque les ressources sont ´epuis´ees, les amibes occupent tout l’espace disponible.
3- Une amibe secr`ete cAMP qui attire les autres.
4- Les amibes bougent en direction de l’amibe fondatrice, et s´ecr`etent le cAMP (film 3).
Explication (d’apr`es D. Horstmann)
1- D. Discoideum est un organisme unicellulaire qui se repro- duit par division cellulaire tant que les ressources du milieu en nourriture sont suffisantes.
2- Lorsque les ressources sont ´epuis´ees, les amibes occupent tout l’espace disponible.
3- Une amibe secr`ete cAMP qui attire les autres.
4- Les amibes bougent en direction de l’amibe fondatrice, et s´ecr`etent le cAMP (film 3).
Explication (d’apr`es D. Horstmann)
1- D. Discoideum est un organisme unicellulaire qui se repro- duit par division cellulaire tant que les ressources du milieu en nourriture sont suffisantes.
2- Lorsque les ressources sont ´epuis´ees, les amibes occupent tout l’espace disponible.
3- Une amibe secr`ete cAMP qui attire les autres.
4- Les amibes bougent en direction de l’amibe fondatrice, et s´ecr`etent le cAMP (film 3).
Explication (d’apr`es D. Horstmann)
1- D. Discoideum est un organisme unicellulaire qui se repro- duit par division cellulaire tant que les ressources du milieu en nourriture sont suffisantes.
2- Lorsque les ressources sont ´epuis´ees, les amibes occupent tout l’espace disponible.
3- Une amibe secr`ete cAMP qui attire les autres.
4- Les amibes bougent en direction de l’amibe fondatrice, et s´ecr`etent le cAMP (film 3).
5- Agr´egation et d´ebut de diff´erentiation.
6- Formation d’un pseudoplasmo¨ıd (multicellulaire).
7- Le pseudoplasmo¨ıd bouge en direction des sources de lumi`ere.
8- Formation d’un corps fructifiant et ´emission de spores
et le cycle recommence (naissance d’amibes....)
5- Agr´egation et d´ebut de diff´erentiation.
6- Formation d’un pseudoplasmo¨ıd (multicellulaire).
7- Le pseudoplasmo¨ıd bouge en direction des sources de lumi`ere.
8- Formation d’un corps fructifiant et ´emission de spores
et le cycle recommence (naissance d’amibes....)
5- Agr´egation et d´ebut de diff´erentiation.
6- Formation d’un pseudoplasmo¨ıd (multicellulaire).
7- Le pseudoplasmo¨ıd bouge en direction des sources de lumi`ere.
8- Formation d’un corps fructifiant et ´emission de spores
et le cycle recommence (naissance d’amibes....)
5- Agr´egation et d´ebut de diff´erentiation.
6- Formation d’un pseudoplasmo¨ıd (multicellulaire).
7- Le pseudoplasmo¨ıd bouge en direction des sources de lumi`ere.
8- Formation d’un corps fructifiant et ´emission de spores
et le cycle recommence (naissance d’amibes....)
5- Agr´egation et d´ebut de diff´erentiation.
6- Formation d’un pseudoplasmo¨ıd (multicellulaire).
7- Le pseudoplasmo¨ıd bouge en direction des sources de lumi`ere.
8- Formation d’un corps fructifiant et ´emission de spores
et le cycle recommence (naissance d’amibes....)
En r´esum´e
Int´erˆet du D. Discoideum pour la recherche m´edicale
C’est un mod`ele simple pour l’´etude du chimiotactisme, qui intervient chez des organismes sup´erieurs aussi (diff´erentiation, cancer, etc...)
L’angiog´en`ese autour d’une tumeur canc´ereuse
Au d´ebut, la tumeur puise ses ressources dans le milieu am- biant.
A un certain point, elle envoie un signal chimique dans le`
milieu ext´erieur pour attirer les cellules endoth´eliales (cellules qui tapissent l’int´erieur des vaisseaux sanguins), et ainsi for- mer des vaisseaux sanguins capillaires qui la fournissent en nutriments.
L’angiog´en`ese autour d’une tumeur canc´ereuse
Au d´ebut, la tumeur puise ses ressources dans le milieu am- biant.
A un certain point, elle envoie un signal chimique dans le` milieu ext´erieur pour attirer les cellules endoth´eliales (cellules qui tapissent l’int´erieur des vaisseaux sanguins), et ainsi for- mer des vaisseaux sanguins capillaires qui la fournissent en nutriments.
Mod´elisation (simplifi´ee) de la chimiotaxie
x est la variable d’espace.
t est le temps.
n(x, t) densit´e des amibes.
c(x, t) densit´e du signal chimique.
Accroissement de n(x, t) :
∂n
∂t est la somme de trois termes : 1- diffusion : div(K∇n).
2- division cellulaire αn.
3- chimiotactisme div(−nχ(c)∇c) o`u χ(c) est la sensibilit´e.
Bilan (avec K = 1 et α = 0) :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c)
Accroissement de n(x, t) :
∂n
∂t est la somme de trois termes : 1- diffusion : div(K∇n).
2- division cellulaire αn.
3- chimiotactisme div(−nχ(c)∇c) o`u χ(c) est la sensibilit´e.
Bilan (avec K = 1 et α = 0) :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c)
Accroissement de n(x, t) :
∂n
∂t est la somme de trois termes : 1- diffusion : div(K∇n).
2- division cellulaire αn.
3- chimiotactisme div(−nχ(c)∇c) o`u χ(c) est la sensibilit´e.
Bilan (avec K = 1 et α = 0) :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c)
Accroissement de n(x, t) :
∂n
∂t est la somme de trois termes : 1- diffusion : div(K∇n).
2- division cellulaire αn.
3- chimiotactisme div(−nχ(c)∇c) o`u χ(c) est la sensibilit´e.
Bilan (avec K = 1 et α = 0) :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c)
Accroissement de n(x, t) :
∂n
∂t est la somme de trois termes : 1- diffusion : div(K∇n).
2- division cellulaire αn.
3- chimiotactisme div(−nχ(c)∇c) o`u χ(c) est la sensibilit´e.
Bilan (avec K = 1 et α = 0) :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c)
Comme c est produit par l’amibe elle-mˆeme, il v´erifie une
´equation du genre
∂c
∂t = ∆c + f(n).
avec f(n) ≥ 0. Le signe positif de f(n) traduit le fait que la substance chimique est cr´e´ee par les amibes.
Bilan
On obtient un syst`eme de type Patlak / Keller-Segel :
∂n
∂t = ∆n − div(−nχ(c)∇c),
∂c
∂t = ∆c + f(n).
Le mod`ele “classique” de Patlak / Keller-Segel
∂tn = div[κ(n, c)∇n − χ(n, c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂tc = η∆c + β(n, c)n − γ(n, c)c, t > 0, x ∈ Ω, n(0, t) = n0(x), c(0, x) = c0(x),
o`u Ω est un ouvert born´e de IRN, avec conditions de bord (flux nul par exemple).
Rq. Si la sensibilit´e χ > 0 : attraction (chimiotaxie positive), si χ < 0 : r´epulsion (chimiotaxie n´egative).
Le mod`ele “classique” de Patlak / Keller-Segel
∂tn = div[κ(n, c)∇n − χ(n, c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂tc = η∆c + β(n, c)n − γ(n, c)c, t > 0, x ∈ Ω, n(0, t) = n0(x), c(0, x) = c0(x),
o`u Ω est un ouvert born´e de IRN, avec conditions de bord (flux nul par exemple).
Rq. Si la sensibilit´e χ > 0 : attraction (chimiotaxie positive), si χ < 0 : r´epulsion (chimiotaxie n´egative).
Autres mod`eles
- mod`eles hyperboliques (Preziosi et al., initiation de l’angiog´en`ese).
- mod`eles cin´etiques (Filbet, Lauren¸cot, Perthame).
Questions int´eressantes
- Existence et l’unicit´e de solutions (avec la r´egularit´e bien entendu).
- Comportement asymptotique. Peut on pr´edire qu’il y aura agr´egation en temps fini ? Peut on d´ecrire la fa¸con dont l’agr´egation se fait ? (vitesse ?)
Pour l’instant, un seul r´esultat, dˆu `a Herrero, Medina et Vel´azquez, dans le cas o`u le probl`eme a une sym´etrie radiale.
Questions int´eressantes
- Existence et l’unicit´e de solutions (avec la r´egularit´e bien entendu).
- Comportement asymptotique. Peut on pr´edire qu’il y aura agr´egation en temps fini ? Peut on d´ecrire la fa¸con dont l’agr´egation se fait ? (vitesse ?)
Pour l’instant, un seul r´esultat, dˆu `a Herrero, Medina et Vel´azquez, dans le cas o`u le probl`eme a une sym´etrie radiale.
Questions int´eressantes
- Existence et l’unicit´e de solutions (avec la r´egularit´e bien entendu).
- Comportement asymptotique. Peut on pr´edire qu’il y aura agr´egation en temps fini ? Peut on d´ecrire la fa¸con dont l’agr´egation se fait ? (vitesse ?)
Pour l’instant, un seul r´esultat, dˆu `a Herrero, Medina et Vel´azquez, dans le cas o`u le probl`eme a une sym´etrie radiale.
R´esolution num´erique
Elle pose des probl`emes en cas d’agr´egation, car la densit´e des amibes n(x, t) tendra vers l’infini, prenant des valeurs tr`es grandes, dont la gestion num´erique est d´elicate.
Un premier mod`ele : Syst`eme (parabolique-elliptique) de la chimiotaxie :
χ(n, c) = χn o`u la “sensibilit´e” χ est constante.
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω.
Conservation de la masse : Z
Ω n(x, t)dx ≡ Z
Ω n0(x)dx.
Un 2e mod`ele : Syst`eme (parabolique-d´eg´en´er´e) de l’angiog´en`ese. Mod`ele de croissance de vaisseaux sanguins autour d’une tumeur canc´ereuse.
∂t∂ n = κ∆n − ∇ · [nχ(c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂t∂ c = −cm n, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), c(0, x) = c0(x), x ∈ Ω.
o`u m > 0 et (par exemple) χ(c) = c−α.
Un premier mod`ele : Syst`eme (parabolique-elliptique) de la chimiotaxie :
χ(n, c) = χn o`u la “sensibilit´e” χ est constante.
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω.
Conservation de la masse : Z
Ω n(x, t)dx ≡ Z
Ω n0(x)dx.
Un premier mod`ele : Syst`eme (parabolique-elliptique) de la chimiotaxie :
χ(n, c) = χn o`u la “sensibilit´e” χ est constante.
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω.
Conservation de la masse : Z
Ω n(x, t)dx ≡ Z
Ω n0(x)dx.
Comment obtenir des solutions faibles globales?
Id´ee classique : (par exemple), contrˆoler la norme Lp de n pour tout t. Le calcul donne :
d dt
Z
Ω np + 4κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 = χp(p − 1) Z
Ω np−1∇n · ∇c .
Si le courant ∇c(x, t) est uniform´ement born´e en x et en t, alors c’est gagn´e (technique de Nagai et Hortsmann). En effet,
Comment obtenir des solutions faibles globales?
Id´ee classique : (par exemple), contrˆoler la norme Lp de n pour tout t. Le calcul donne :
d dt
Z
Ω np + 4κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 = χp(p − 1) Z
Ω np−1∇n · ∇c .
Si le courant ∇c(x, t) est uniform´ement born´e en x et en t, alors c’est gagn´e (technique de Nagai et Hortsmann). En effet,
on estime simplement le membre de gauche par : χp(p − 1) Z
Ω np−1∇n · ∇c = 2χ(p − 1) Z
Ω np/2∇np/2 · ∇c
≤ 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 + χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np,
ce qui donne
d dt
Z
Ω np + 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 ≤ χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np ,
=⇒ contrˆole de toutes les normes Lp de n, 1 ≤ p ≤ +∞.
on estime simplement le membre de gauche par : χp(p − 1) Z
Ω np−1∇n · ∇c = 2χ(p − 1) Z
Ω np/2∇np/2 · ∇c
≤ 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 + χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np,
ce qui donne
d dt
Z
Ω np + 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 ≤ χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np ,
=⇒ contrˆole de toutes les normes Lp de n, 1 ≤ p ≤ +∞.
on estime simplement le membre de gauche par : χp(p − 1) Z
Ω np−1∇n · ∇c = 2χ(p − 1) Z
Ω np/2∇np/2 · ∇c
≤ 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 + χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np,
ce qui donne
d dt
Z
Ω np + 2κp − 1 p
Z
Ω |∇np/2|2 ≤ χ2p(p − 1)
2κ k∇ck2L∞
t,x Z
Ω np ,
=⇒ contrˆole de toutes les normes Lp de n, 1 ≤ p ≤ +∞.
- La machine a tourn´e uniquement en dimension 1, ou dans le cas radial en dimension 2, pour Nagai (qui a obtenu la borne L∞ sur ∇c).
- G´en´eralisation `a d’autres fonctions sensibilit´es (non cou- vertes dans notre syst`eme) par Biler.
- La machine a tourn´e uniquement en dimension 1, ou dans le cas radial en dimension 2, pour Nagai (qui a obtenu la borne L∞ sur ∇c).
- G´en´eralisation `a d’autres fonctions sensibilit´es (non cou- vertes dans notre syst`eme) par Biler.
Nouvelle id´ee. Ω = IRd, dimension d ≥ 2. Je rappelle le syst`eme...
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω.
... et l’´equation sur la norme Lp : d
dt
Z
np + 4κp − 1 p
Z
|∇np/2|2 = χ(p − 1) Z ∇np · ∇c
= −χ(p − 1) Z np · ∆c.
Nouvelle id´ee. Ω = IRd, dimension d ≥ 2. Je rappelle le syst`eme...
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω, n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω. ... et l’´equation sur la norme Lp :
d dt
Z
np + 4κp − 1 p
Z
|∇np/2|2 = χ(p − 1) Z ∇np · ∇c
= −χ(p − 1) Z np · ∆c.
Or, −∆c = n − αc, donc
d dt
Z
np + 4κp − 1 p
Z
|∇np/2|2 ≤ χ(p − 1) Z np+1.
Gagliardo-Nirenberg (condition : p ≥ max
1, 2d − 1
) :
Z
np+1 ≤ C(d, p) ≤ C(d)k∇np/2k2L2 knk
L2d, et
d dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ p
.
Or, −∆c = n − αc, donc
d dt
Z
np + 4κp − 1 p
Z
|∇np/2|2 ≤ χ(p − 1) Z np+1.
Gagliardo-Nirenberg (condition : p ≥ max
1, 2d − 1
) :
Z
np+1 ≤ C(d, p) ≤ C(d)k∇np/2k2L2 knk
L2d, et
d dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ p
.
Or, −∆c = n − αc, donc
d dt
Z
np + 4κp − 1 p
Z
|∇np/2|2 ≤ χ(p − 1) Z np+1.
Gagliardo-Nirenberg (condition : p ≥ max
1, 2d − 1
) :
Z
np+1 ≤ C(d, p) ≤ C(d)k∇np/2k2L2 knk
L2d, et
d dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ p
.
Dimension d = 2 : knk
L2d = knkL1 ≡ kn0kL1, donc d
dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)kn0kL1 − 4κ p
.
Ainsi, si
χC˜(d)kn0kL1 − 4κ
p∗ ≤ 0 ,
alors pour tout p ≤ p∗, Z np d´ecroˆıt et reste donc born´ee.
Dimension d = 2 : knk
L2d = knkL1 ≡ kn0kL1, donc d
dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)kn0kL1 − 4κ p
.
Ainsi, si
χC˜(d)kn0kL1 − 4κ
p∗ ≤ 0 ,
alors pour tout p ≤ p∗, Z np d´ecroˆıt et reste donc born´ee.
Dimension d = 3 : knk
L2d
n’est pas conserv´ee, mais avec p = 2d, on ´ecrit
d dt
Z
n2d ≤ (d
2 − 1)k∇nd4−12k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ
2d
. Ainsi, si
χC˜(d)kn0k
L2d − 4κ
2d
≤ 0,
alors knk
L2d d´ecroˆıt, et on ´ecrit
Dimension d = 3 : knk
L2d n’est pas conserv´ee, mais avec p = 2d, on ´ecrit
d dt
Z
n2d ≤ (d
2 − 1)k∇nd4−12k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ
2d
. Ainsi, si
χC˜(d)kn0k
L2d − 4κ
2d
≤ 0,
alors knk
L2d d´ecroˆıt, et on ´ecrit
d dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)kn0k
L2d − 4κ p
.
Ainsi, (comme en dimension 2, mais avec la norme L2d au lieu de la masse), si
χC˜(d)kn0k
L2d ≤ min
4κ
2d
, 4κ p∗
alors, pour tout p ≤ p∗, Z np d´ecroˆıt et reste donc born´ee.
d dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)kn0k
L2d − 4κ p
.
Ainsi, (comme en dimension 2, mais avec la norme L2d au lieu de la masse), si
χC˜(d)kn0k
L2d ≤ min
4κ
2d
, 4κ p∗
alors, pour tout p ≤ p∗, Z np d´ecroˆıt et reste donc born´ee.
On voudrait une condition uniforme pour tout p ∈ [max
1, 2d − 1
,+∞) sans restriction p ≤ p∗. Pour cela, on travaille avec (n − K)+ au lieu de n, et on prend K suffisament large.
Ensuite, on r´egularise le syst`eme en introduisant
−∆ce = nε ? ρε − αcε
o`u ρε est un noyeau r´egularisant. On obtient le th´eor`eme suivant (je rappelle le syst`eme d’abord) :
On voudrait une condition uniforme pour tout p ∈ [max
1, 2d − 1
,+∞) sans restriction p ≤ p∗. Pour cela, on travaille avec (n − K)+ au lieu de n, et on prend K suffisament large.
Ensuite, on r´egularise le syst`eme en introduisant
−∆ce = nε ? ρε − αcε
o`u ρε est un noyeau r´egularisant. On obtient le th´eor`eme suivant (je rappelle le syst`eme d’abord) :
On voudrait une condition uniforme pour tout p ∈ [max
1, 2d − 1
,+∞) sans restriction p ≤ p∗. Pour cela, on travaille avec (n − K)+ au lieu de n, et on prend K suffisament large.
Ensuite, on r´egularise le syst`eme en introduisant
−∆ce = nε ? ρε − αcε
o`u ρε est un noyeau r´egularisant. On obtient le th´eor`eme suivant (je rappelle le syst`eme d’abord) :
On voudrait une condition uniforme pour tout p ∈ [max
1, 2d − 1
,+∞) sans restriction p ≤ p∗. Pour cela, on travaille avec (n − K)+ au lieu de n, et on prend K suffisament large.
Ensuite, on r´egularise le syst`eme en introduisant
−∆ce = nε ? ρε − αcε
o`u ρε est un noyeau r´egularisant. On obtient le th´eor`eme suivant (je rappelle le syst`eme d’abord) :
∂t∂ n = κ∆n − χ∇ · [n∇c], t > 0, x ∈ Ω,
−∆c = n − αc, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), x ∈ Ω.
Th`eor`eme (Existence pour le syst`eme du chimiotac- tisme) On suppose d ≥ 2 et on consid`ere n0 ∈ L1(IRd) tel que n0 ≥ 0. Alors, il existe une constante K0(κ, χ, d) telle que si kn0k
L2d(IRd) ≤ K0, alors le syst`eme a une solution faible (n, c) globale en temps telle que pour tout t > 0
kn(t)k
L1(IRd) = kn0k
L1(IRd), kn(t)k
Lp(IRd) ≤ kn0k
Lp(IRd) , max{1; d
2 − 1} ≤ p ≤ d 2, et
kn(t)k
Lp(IRd) ≤ C(t, K0, kn0k
Lp(IRd)) d
2 < p ≤ ∞.
Le syst`eme classique de la chimiotaxie
∂tn = ∇ · [κ(n, c)∇n − χ(n, c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂tc = η∆c + β(n, c)n − γ(n, c)c, t > 0, x ∈ Ω, n(0, x) = n0(x), c(0, x) = c0(x).
+ conditions au bord, Ω ⊂ IRd, n est la densit´e de la population,
c est la densit´e du chimio-attracteur,
χ est la sensibilit´e du chimio-attracteur.
Un 2e mod`ele : Syst`eme (parabolique-d´eg´en´er´e) de l’angiog´en`ese. Mod`ele de croissance de vaisseaux sanguins autour d’une tumeur canc´ereuse.
∂t∂ n = κ∆n − ∇ · [nχ(c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂t∂ c = −cm n, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), c(0, x) = c0(x), x ∈ Ω.
o`u m > 0 et (par exemple) χ(c) = c−α.
Conservation de la masse : Z n(x, t)dx = Z n0(x)dx .
Principe du maximum : n(x, t) ≥ 0 et 0 ≤ c(x, t) ≤ kc0kL∞ .
Forme divergence : Soit v = φ(c)n , o`u φ est d´efinie par
φ0(c) = 1
κφ(c)χ(c) c > 0, φ(0) = 1.
Alors,
∂
∂t
n φ(c)
= κ 1
φ(c)∇ ·
φ(c)∇
n φ(c)
+ 1 κ
n φ(c)
2
φ(c)χ(c) cm.
Conservation de la masse : Z n(x, t)dx = Z n0(x)dx .
Principe du maximum : n(x, t) ≥ 0 et 0 ≤ c(x, t) ≤ kc0kL∞ .
Forme divergence : Soit v = φ(c)n , o`u φ est d´efinie par
φ0(c) = 1
κφ(c)χ(c) c > 0, φ(0) = 1.
Alors,
∂
∂t
n φ(c)
= κ 1
φ(c)∇ ·
φ(c)∇
n φ(c)
+ 1 κ
n φ(c)
2
φ(c)χ(c) cm.
Conservation de la masse : Z n(x, t)dx = Z n0(x)dx .
Principe du maximum : n(x, t) ≥ 0 et 0 ≤ c(x, t) ≤ kc0kL∞
Forme divergence : Soit v = φ(c)n , o`u φ est d´efinie par φ0(c) = 1
κφ(c)χ(c) c > 0, φ(0) = 1.
Alors,
∂
∂t
n φ(c)
= κ 1
φ(c)∇ ·
φ(c)∇
n φ(c)
+ 1 κ
n φ(c)
2
φ(c)χ(c) cm.
In´egalit´e diff´erentielle fondamentale (Ω = IRd) : Pour tout p ≥ max(1, 2d − 1),
dtd
Z
n φ(c)
p
φ(c)
≤ (p − 1)k∇(φ(c)n )p/2k2L2
"
1
κC˜(d)K1kφ2/d(c)
n φ(c)
kLd2 − 4κp
#
,
analogue `a l’in´egalit´e du syst`eme parabolique-elliptique : d
dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ p
.
In´egalit´e diff´erentielle fondamentale (Ω = IRd) : Pour tout p ≥ max(1, 2d − 1),
dtd
Z
n φ(c)
p
φ(c)
≤ (p − 1)k∇( n
φ(c))p/2k2L2
"
1
κC˜(d)K1kφ2/d(c)
n φ(c)
kLd2 − 4pκ
#
,
analogue `a l’in´egalit´e du syst`eme parabolique-elliptique : d
dt
Z
np ≤ (p − 1)k∇np/2k2L2
χC˜(d)knk
L2d − 4κ p
.
On fait donc de mˆeme, et on obtient le th´eor`eme suivant (je rappelle le syst`eme d’abord) :
∂t∂ n = κ∆n − ∇ · [nχ(c)∇c], t > 0, x ∈ Ω,
∂t∂ c = −cm n, t > 0, x ∈ Ω,
n(0, x) = n0(x), c(0, x) = c0(x), x ∈ Ω.
o`u m > 0.
Th´eor`eme (Existence pour le syst`eme de l’angiog´en`ese).
On suppose que d ≥ 2, m ≥ 1 et χ est une fonction positive d´efinie sur [0, ∞). On consid`ere n0 ∈ L1(IRd) et c0 ∈ L∞(IRd) tels que n0 ≥ 0 et c0 ≥ 0. Alors, il existe une constante K0(κ, χ, d, kc0k
L∞(IRd)) telle que si kn0k
L2d(IRd) ≤ K0, alors le syst`eme de l’angiog´en`ese a une solution faible (n, c) globale en temps telle que n ∈ L∞(IR+, L1∩L2d(IRd)), c ∈ L∞(IR+×IRd) et pour tout p∗ ≥ max{1; 2d − 1},
kn(t)k
Lp(IRd) ≤ C(t, K0, p∗, kn0k
Lp(IRd)),
∀ max{1; d
2 − 1} ≤ p ≤ p∗.
