Page 32 : N°29, 30, 33, 35 Page 42 : N°103

Corrigés d’exercices

Version du 05/10/2013

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 23 : N°11 Page 41 : N°98

Page 32 : N°29, 30, 33, 35 Page 42 : N°103

Page 33 : N°38 Page 43 : N°104, 109

Page 34 : N°47, 48, 54, 57, 58, 64 Page 44 : N°110

Page 36 : N°74, 77 Page 45 : N°115, 117

Page 37 : N°82, 84 Page 49 : N°134

Page 40 : N°95

N°11 page 23

a. Pour tout entier naturel n, on a : ^{− ≤ 1 sin} ( ) ^{n ≤ 1 .}

On en tire alors, pour tout entier naturel n non nul : ^{1 sin} ( ) ^{n 1}

n n

− ≤ ≤ .

Les suites

*

1 n n _∈

⎛ ⎞ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

`

et

*

1 n n _∈

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

`

sont toutes deux convergentes de limite nulle.

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure :

La suite ( ) u n est convergente de limite nulle.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on a : ^cos ( ) ^cos ( )

n 1

n n n

v n n

= + = + .

Comme précédemment, on montre facilement que l’on a : ^cos ( )

lim 0

n

n

→+∞ n = .

On en déduit alors : ^cos ( )

lim _n lim 1 1 0 1

n n

v n

→+∞ →+∞ n

⎡ ⎤

= ⎢ + ⎥ = + =

⎣ ⎦ ^.

La suite ( ) v n est convergente de limite égale à 1.

N°29 page 32

1. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la propriété P _n suivante :

P n ^{: « ( )}

2 2

3 3 3 1

1 2 ...

4 n n

n +

+ + + = »

Initialisation

Pour n = 1 , on a : 1 ³ + 2 ³ + + ... n ³ = = 1 ³ 1 , d’une part, et ² ( ¹ ) ^{2 1 1 1 2} ( ) ² 2 ²

4 4 4 1

n n + +

= = = ,

d’autre part. Les deux expressions fournissent le même résultat. On en déduit que la propriété P ₁ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose P _n vraie. On a donc : 3 3 3 ² ( 1 ) ²

1 2 ...

4 n n

n +

+ + + = .

Intéressons-nous alors à la somme ^{1 3 + 2 3 + + ... n 3 +} ( ^{n + 1} ) ^{3 .}

On a :

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

2 2

2 2

2

3 3

3 3 3 2

1 d'après l'hypothèse 4

de récurrence

2 2

2 2

2 2

1 1

1 2 ... 1 1 4 1

4 4

1 1

4 4 2

4 4

1 1 1

4

n n

n n n

n n n n n

n n

n n n

n n

= +

+ +

⎡ ⎤

+ + + + + = + + = × ⎣ + + ⎦

+ +

= × + + = × +

+ ⎡ ⎣ + + ⎤ ⎦

=

Ainsi, la propriété P _{n+ 1} est vraie.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n non nul.

( ) ²

2

3 3 3 1

*, 1 2 ...

4 n n

n n +

∀ ∈ ` + + + =

Remarque : en notant que l’on a ² ( ¹ ) ² ( ¹ ) ² ( ^{1 2 ...} ) ²

4 2

n n n n

+ ⎛ + ⎞ n

= ⎜ ⎟ = + + +

⎝ ⎠ , on peut aussi

écrire :

( )

*, 1 2 ... 1 2 ...

n n n

∀ ∈ ` + + + = + + +

2. Pour tout entier naturel n non nul, on considère la propriété P _n suivante :

P n ^{: « 1 1 ...} ₍ ¹ _{) ( ) (} ⁽ ₎₍ ^{3 )} ₎

1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2

n n

n n n n n

+ + + = +

× × × × × + × + + + »

Initialisation Pour n = 1 , on a :

( ) ( )

1 1 1 1 1

1 2 3 + 2 3 4 + + ... n n 1 n 2 = 1 2 3 = 6

× × × × × + × + × × , d’une part, et

( )

( )( ) ( )

( )( )

3 1 1 3 1 4

4 1 2 4 1 1 1 2

n n

n n

+ = × + = ×

+ + + + 4

1 6 2 3 =

× × , d’autre part. Les deux expressions fournissent le même résultat. On en déduit que la propriété P ₁ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose P _n vraie. On a donc :

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 1 3

1 2 3 2 3 4 ... 1 2 4 1 2

n n

n n n n n

+ + + = +

× × × × × + × + + +

Intéressons-nous alors à la somme :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 2 3 + 2 3 4 + + ... n n 1 n 2 + n 1 n 2 n 3

× × × × × + × + + × + × + ^.

On a :

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

( )( )( )

( )

( )( )( )

3

4 1 2

d'après l'hypothèse de récurrence

2

2

2

3 2

1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 ... 1 2 1 2 3

3 1

4 1 2 1 2 3

1 3 4

4 1 2 3

3 4

4 1 2 3

6 9 4

4 1 2 3

6

n n

n n

n n n n n n

n n

n n n n n

n n n n n n n

n n n

n n n

n n n

n n

= + + +

+ + + +

× × × × × + × + + × + × +

= + +

+ + + × + × +

⎡ ⎤

= + + + × ⎣ + + ⎦

+ +

= + + +

+ + +

= + + +

+ +

=

( )( ⁹ )( ⁴ )

4 1 2 3

n

n n n

+

+ + +

En remplaçant « n » par « n + 1 » dans l’expression ( )

( )( )

3

4 1 2

n n

n n

+

+ + , on obtient :

( ) ( ( ) )

( )

( ) ( ^{( )} ) ^{( ( )( )( ) ) ( ( )( ) ( )( ) )}

1 1 3 1 4 1 2 4

4 2 3 4 1 2 3

4 1 1 1 2

n n n n n n

n n n n n

n n

+ + + + + + +

= =

+ + + + +

+ + + +

Or : ( ^{n + 1} ) ( ^{2 n + 4} ) ⁼ ( ^{n 2 + 2 n + 1} ) ^{( n + 4 ) = n 3 + 6 n 2 + 9 n + 4 .}

On en déduit ainsi :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

( ¹ ) ( ( ^{1 3} ) )

1 1 1 1

1 2 3 2 3 4 ... 1 2 1 2 3 4 1 1 1 2

n n

n n n n n n n n

+ + +

+ + + + =

× × × × × + × + + × + × + + + + +

Ainsi, la propriété P _{n+ 1} est vraie.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n non nul.

( ) ( ) ( )

( )( )

1 1 1 3

*, ...

1 2 3 2 3 4 1 2 4 1 2

n n n

n n n n n

∀ ∈ + + + = +

× × × × × + × + + +

`

N°30 page 32

Pour tout entier naturel n, on considère la propriété P _n suivante :

P n : « la fonction f _n définie sur \ par x 6 x ⁿ est dérivable sur \ et sa dérivée vérifie : pour tout réel x, on a f n ^' ( ) x = n x ^{n − 1} . »

Initialisation

La fonction f ₀ est définie sur \ par f ₀ : x 6 x ⁰ = 1 . Elle est dérivable sur \ en tant que fonction constante et pour tout x réel, on a : f 0 ' ( ) x = 0 .

Par ailleurs, pour n = 0 , la fonction x 6 n x ^{n − 1} correspond, formellement, à la fonction nulle du fait du coefficient « n ».

On déduit de ce qui précède que la propriété P ₀ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose P _n vraie. On suppose donc que, pour cette valeur de n, la fonction f _n : x 6 x ⁿ

est dérivable sur \ de dérivée f _n ' : x 6 n x ^{n − 1} .

On s’intéresse maintenant à la fonction f _{n + 1} : x 6 x ^{n + 1} .

Pour tout x réel, on a immédiatement : 1 ( ) ¹ ( )

n

n n

f ₊ x = x ⁺ = x f x .

Ainsi, la fonction f _{n + 1} peut-elle être considérée comme le produit, défini sur \ , de la fonction identité et de la fonction f _n , toutes deux dérivables sur \ . Il en résulte que la fonction f _{n + 1} est également dérivable sur \ . Pour tout x réel, on a alors :

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ^{( )}

1

1 1 1 1

d'après l'hypothèse de récurrence

' 1 ' 1 1

n

n n n n

n n n

n x

f x f x x f x x x n x n x n x

−

− + − +

=

= × + × = + × = + = +

Ainsi, la propriété P _{n+ 1} est vraie.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, la fonction f _n définie sur \ par x 6 x ⁿ est dérivable sur \ et sa dérivée vérifie :

pour tout réel x, on a f n ^' ( ) x = n x ^{n − 1} .

N°33 page 32

Pour tout entier naturel n ≥ 2 , on considère la propriété P _n suivante :

P n ^{: «} 1! 2! 3! ... + + + + − ( n 1 ! ) ≤ n ! » Initialisation

Pour n = 2 , on a 1! 2! 3! ... + + + + − ( n 1 ! 1! 1 ) = = , d’une part, et n ! 2! 2 = = , d’autre part.

Comme 1 ≤ 2 , on en conclut immédiatement que la propriété P ₂ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 quelconque fixé.

On suppose P _n vraie. On suppose donc que, pour cette valeur de n, on a :

( )

1! 2! 3! ... + + + + − n 1 ! ≤ n !

On s’intéresse maintenant à la somme 1! 2! 3! ... + + + + − ( n 1 ! ) + n ! .

On a :

( ) ( d'après l'hypothèse ^! )

de récurrence

1! 2! 3! ... 1 ! ! ! ! 2 !

n

n n n n n

≤

+ + + + − + ≤ + = ×

On a, par ailleurs : ( ^{n + 1 ! 2 !} ) ^{− n =} ( ^{n + × − 1} ) ^{n ! 2 ! n = × n ! ⎡} _⎣ ( ^{n + − 1} ) ^{2 ⎤} _⎦ ⁼ ( ^{n − × 1} ) ^{n ! .}

Comme n ≥ 2 , il vient n − ≥ > 1 1 0 et donc ( ^{n − × > 1} ) ^{n ! 0 .}

Ainsi : ( ^{n + 1 ! 2 ! 0} ) ^{− n >} et, finalement : 1! 2! 3! ... + + + + − ( n 1 ! ) + < n ! ( n + 1 ! ) . Ainsi, la propriété P _{n+ 1} est vraie.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n ≥ 2 .

Pour tout entier naturel n ≥ 2 , on a :

( )

1! 2! 3! ... + + + + − n 1 ! ≤ n !

N°35 page 32

1. On a facilement :

0 0

v = (dans l’énoncé)

1 0 2 0 1 0 1 1

v = + × + = + = v

2 1 2 1 1 1 3 4

v = + × + = + = v

3 2 2 2 1 4 5 9

v = + × + = + = v

4 3 2 3 1 9 7 16

v = + × + = + = v

0, 1, 4, 9 et 16 sont les carrés des cinq premiers entiers naturels … On peut conjecturer : , _n 2

n v n

∀ ∈ ` = .

2. Pour tout entier naturel n, on considère, d’après la question précédente, la propriété P _n

suivante :

P n ^{: «} v n = n ² » Initialisation

D’après la question précédente, P ₀ (ce qui suffit pour initialiser le raisonnement), P ₁ ^, P 2 ^, P 3 ^et P 4 sont vraies.

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

On suppose que la propriété P _n est vraie. C'est-à-dire : v _n = n ² .

Par définition de la suite ( ) v n , on a : v _{n + 1} = + v _n 2 n + 1 d’où, en tenant compte de l’hypothèse de récurrence : v _{n +} 1 = v _n + 2 n + = 1 n ² + 2 n + = 1 ( n + 1 ) ² .

Ainsi, la propriété P _{n+ 1} ^.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n.

Finalement :

, _n 2

n v n

∀ ∈ ` =

N°38 page 33

Pour tout entier naturel n, on considère la propriété P _n suivante :

P n ^{: «} u n = × − ^{4 3 n 1} » Initialisation

Pour n = 0 , on a u _n = u ₀ = 3 , d’une part, et 4 3 × − = × − = − = ⁿ 1 4 3 ⁰ 1 4 1 3 , d’autre part. De l’égalité on conclut immédiatement que la propriété P ₀ est vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

On suppose P _n vraie. On suppose donc que, pour cette valeur de n, on a : u _n = × − 4 3 ⁿ 1 . On s’intéresse maintenant à u _{n + 1} .

Par définition de la suite ( ) u n , on a : u _{n + 1} = 3 u _n + 2 . D’où, en tenant compte de l’hypothèse de récurrence :

( ) ¹

1 3 2 3 4 3 ⁿ 1 2 3 4 3 ⁿ 3 2 4 3 ⁿ 1

n n

u ₊ = u + = × − + = × × − + = × ⁺ − Ainsi, la propriété P _{n+ 1} est vraie.

Conclusion

La propriété P _n est vraie pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on a : u _n = × − 4 3 ⁿ 1 .

N°47 page 34

a. Comme x ∈ \ ₊ , on a 2 x + ∈ 1 \ ^* ₊ et donc, en tenant compte également de e > 0 :

( )

3 3

3 2 1 3 2 3 2

2 1 2

e e x ex e e ex e x

x e

< ⇔ < + ↔ < + ⇔ − < ⇔ − <

+

• Si 3 − < e 0 , c'est-à-dire e > 3 alors l’ensemble des solutions de l’inéquation 3

2 1 e

x <

+ est \ ₊ .

• Si 3 − ≥ e 0 , c'est-à-dire ^{e ∈} ] ] ^{0 ; 3} (n’oublions pas que le réel e est strictement positif) alors l’ensemble des solutions de l’inéquation 3

2 1 e

x <

+ est l’intervalle

3 ;

2 e e

⎤ − + ∞ ⎡

⎥ ⎢

⎦ ⎣ .

b. a. On a : 3

2 1

u n e e

< ⇔ n <

+ .

D’après la question précédente, il vient (on résout en fait l’inéquation dans ` cette fois-ci) :

• Si 3 − < e 0 , c'est-à-dire e > 3 alors l’ensemble des solutions de l’inéquation 3

2 1 e

n <

+ est ` .

• Si 3 − ≥ e 0 , c'est-à-dire ^{e ∈} ] ] ^{0 ; 3} alors l’ensemble des solutions de l’inéquation 3

2 1 e

n <

+ est l’ensemble des nombres entiers naturels appartenant à l’intervalle

E 3 1 ;

2 e e

⎡ ⎛ ⎜ − ⎞ + +∞ ⎟ ⎡

⎢ ⎝ ⎠ ⎢

⎣ ⎣ où 3

E 2

e e

⎛ − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ désigne la partie entière du réel 3 2

e e

−

( 3

E 1

2 e e

⎛ − ⎞ +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ est donc le plus petit entier naturel solution de l’inéquation 3

2 1 e

n <

+ ).

Ainsi, pour toute valeur de e dans \ ^* ₊ , il existe un rang N tel que n ≥ N ⇒ u _n < e ( N = 0 si e > 3 et 3

E 1

2 N e

e

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ + si ^{e ∈} ] ] ^{0 ; 3 ).}

b. Pour tout entier naturel n, on a u _n > 0 . D’après la question précédente, pour tout réel

strictement positif e, il existe un rang N tel que : n ≥ N ⇒ u _n < e , d’où u n ∈ − ] e e ^; [ .

Par définition, on en conclut alors que la suite ( ) u n converge vers 0.

N°48 page 34

2 u n

= n ( n > 0 )

a. On a, u n = f n ( ) où f est la fonction définie sur \ ^* ₊ par : ^{x f x} ( ) ²

= x 6 .

La fonction inverse étant strictement décroissante sur l’intervalle \ ^* ₊ , il en va de même pour la suite ( ) u n .

b. On conjecture, par exemple à l’aide de la calculatrice ou en utilisant 1

lim 0

n ^→+∞ n = , que l’on a : lim _n 0

n u

→+∞ = .

c. On cherche un rang p tel que : n ≥ ⇒ p u _n ∈ − ⎤ ⎦ 10 ^{− 4} ; 10 ^{− 4} ⎡ ⎣ .

Les termes de la suite étant strictement positifs, on a : u _n ∈ − ⎤ ⎦ 10 ^{− 4} ; 10 ^{− 4} ⎡ ⎣ ⇔ u _n < 10 ^{− 4} . Il vient alors :

4 4 4 4

4

2 1

10 10 10 2 10 20 000

2 10 2

n

n n

u n

n

− −

< ⇔ < ⇔ > − ⇔ > ⇔ > × = On peut donc choisir p = 20 001

d. On généralise la démarche de la question précédente en remplaçant 10 ^{− 4} par un réel e strictement positif :

2 1 2 2

E 1

n 2

u e e n n n

n e e e

< ⇔ < ⇔ > ⇔ > ⇔ ≥ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ +

Pour tout réel strictement positif e, on pose 2

N E 1

e

= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + et on a : n ≥ ⇒ N u _n < e . On en déduit que la suite ( ) u n est convergente de limite nulle.

1

n 1

u = n

+

a. On a, u n = f n ( ) où f est la fonction définie sur \ ₊ par : ( ) ¹

x f x 1

= x

6 + .

La fonction racine carrée est strictement croissante sur \ ₊ . Il en va donc de même de la

fonction x 6 1 + x . La fonction inverse est strictement décroissante sur \ ^* ₊ . La fonction

f, composée de ces deux fonctions, est donc elle-même strictement décroissante.

Il en va de même pour la suite ( ) u n .

b. On conjecture, par exemple à l’aide de la calculatrice ou en utilisant _n ^{lim 1} _→+∞ ( ^{+ n} ) ^{= +∞ ,}

que l’on a : lim _n 0

n u

→+∞ = .

c. On cherche un rang p tel que : n ≥ ⇒ p u _n ∈ − ⎤ ⎦ 10 ^{− 4} ; 10 ^{− 4} ⎡ ⎣ .

Les termes de la suite étant strictement positifs, on a : u _n ∈ − ⎤ ⎦ 10 ^{− 4} ; 10 ^{− 4} ⎡ ⎣ ⇔ u _n < 10 ^{− 4} . Il vient alors :

4 4 4

4

1 1

10 10 1 10 1

1 10

u n n n

n

− −

< ⇔ < ⇔ − < + ⇔ − <

+

Les deux membres de la dernière inégalité étant positifs, on a :

( ) ²

4 4

10 − < 1 n ⇔ 10 − 1 < n On peut donc choisir ^{p =} ( ^{10 4 − 1} ) ^{2 + = 1 99 980 002 .}

d. Ici encore, on généralise la démarche de la question précédente en remplaçant 10 ^{− 4} par un réel e strictement positif :

1 1 1

1 1

n 1

u e e n n

e e

< ⇔ n < ⇔ < + ⇔ − <

+

En toute rigueur, on doit distinguer deux cas :

• Si e > 1 alors 1

e − < 1 0 et l’inégalité 1

1 n

e − < est vérifiée pour toute valeur de n.

• Si e ≤ 1 alors 1

e − ≥ 1 0 et on a :

1 1 2

1 n 1 n

e e

⎛ ⎞

− < ⇔ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ < . On peut alors

considérer

1 2

N E 1 1

e

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ + .

Dans tous les cas, on peut trouver une valeur N telle que : n ≥ ⇒ N u _n < e . On en déduit que la suite ( ) u n est convergente de limite nulle.

N°54 page 34

Nous allons établir le résultat en utilisant la définition. Il convient donc de montrer que pour tout réel A, il existe un rang N à partir duquel on a u _n < A .

Soit donc A un réel.

On a : ^{2 2 2} 3 A

2 3 A 2 3 A

n n n − 2

− + < ⇔ > − ⇔ > .

On distingue donc deux situations :

• Si A > 3 alors 3 A 2 0

− < et l’inégalité ² 3 A

n > − 2 est vérifiée pour tout entier naturel n. Il suffit alors de choisir N = 0 par exemple.

• Si A ≤ 3 alors 3 A 2 0

− ≥ et on a : ² 3 A 3 A

2 2

n > − ⇔ > n − . Il suffit alors de considérer : 3 A

N E 1

2

⎛ − ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ ⎟ ⎟ ⎠ + .

Dans tous les cas, pour un A réel quelconque fixé, on peut trouver une valeur N telle que :

N _n A

n ≥ ⇒ u < .

On en déduit que la suite ( ) u n tend vers −∞ .

N°57 page 34

a. On a :

produit

lim

lim lim

n

n n

n

n n n

→+∞

→+∞

→+∞

= +∞⎫⎪ ⎬ ⇒ = +∞

= +∞⎪⎭

lim _n

n u

→+∞ = +∞

b. Comme lim ³ lim ²

n n n n

→+∞ = →+∞ = +∞ , nous avons affaire à une forme indéterminée du type

« ∞ − ∞ ».

Pour tout entier naturel n, on a : ^{n 3 − n 2 = n 2} ( ^{n − 1} ) ^.

On a alors :

( ) ( )

( )

somme

produit 2

2

lim

lim 1

lim 1 1 lim 1

lim

n

n

n n

n

n

n

n n n

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

= +∞⎫⎪ ⎬ ⇒ − = +∞ ⎫ ⎪ ⎪

− = − ⎪ ⎭ ⎬ ⇒ − = +∞

= +∞⎪⎭ ⎪ lim _n

n v

→+∞ = +∞

N°58 page 34

a. On a :

( )

rapport produit

somme

lim 3 3

lim 3

lim 0

lim 2

lim 2 2 lim 2 1 2 1

lim 1 1

n

n

n n

n n

n

n

n n n

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

= ⎫

⎪ ⎪

= +∞⎫ ⎪ ⎬ ⇒ = +∞ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⇒ =

= ⎪⎭ ⎬ ⇒ + = +∞ ⎪ +

⎪ ⎪

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎭

lim _n 0

n u

→+∞ =

b. On a, en procédant de façon similaire :

( )

( )

somme rapport

somme

lim 5 5

lim 2 2 2

lim 5 5

2 1

lim lim 0

lim 1 1 lim 1 1

n

n

n

n n

n n

n n

n n

→+∞

→+∞

→+∞

→+∞ →+∞

→+∞

→+∞

= ⎫ ⎪

⎪

− = − ⎫ ⎪ ⎪ − ⎪ ⎬ ⇒ ⎛ ⎜ + − + ⎞ ⎟ =

= +∞⎫ ⎪ ⎬ ⇒ + = +∞⎪ ⎬ ⇒ + = ⎪ ⎪ ⎝ ⎠

= ⎪ ⎭ ⎪ ⎭ ⎪ ⎭

lim _n 5

n v

→+∞ =

N°64 page 34

a. Pour tout entier naturel n non nul :

( )( )

2

2

2 2

1 3 1 3

1 1 1 1

1 3

1 1

2 1 2 2

n

n n

n n n n n n

u n

n n n

⎛ + ⎞ × ⎛ − ⎞ ⎛ + ⎞⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

+ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

= = =

+ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ +

Comme 1 1 ₂

lim lim 0

n ^→+∞ n = n ^→+∞ n = , il vient (somme) :

lim 1 1 1

n ^→+∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ , 3

lim 1 1

n ^→+∞ n

⎛ − = − ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 1 ₂

lim 2 2

n ^→+∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Et enfin : ( )

2

1 3

1 1

1 1 1

lim 2 1 2 2

n

n n n

→+∞

⎛ + ⎞⎛ − ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ × −

⎝ ⎠⎝ ⎠ = = −

+

.

lim 1

n 2

n u

→+∞ = −

b. On procède de façon similaire. Pour tout entier naturel n non nul :

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

2 2 2

n

v n n n n

n n n n n n n

⎛ ⎞⎛ + ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ − ⎟⎜ ⎠⎝ ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ × × ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ − ⎟⎜ ⎠⎝ + ⎟ ⎠

Comme 1 1 ₂

lim lim 0

n ^→+∞ n = n ^→+∞ n = , il vient (somme) :

2

1 1

lim 1 lim 1 1

n ^→+∞ n n ^→+∞ n

⎛ − ⎞ = ⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Et enfin (produit) : 1 1 ₂ 1 1

lim 1 1

2 2

n ^→+∞ n n

⎛ − ⎞⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ .

lim 1

n 2

n v

→+∞ =

N°74 page 36

1. Comme, pour tout entier naturel n, on a : ^{− ≤ − 1} ( ) ^{1 n ≤ 1} , il vient : 1 1

1 u ⁿ 1

n n

− ≤ ≤

+ + .

Comme ^lim ( ¹ )

n n

→+∞ + = +∞ , on a : 1 1

lim lim 0

1 1

n ^→+∞ n n ^→+∞ n

− = =

+ + .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure que la suite ( ) u n est convergente et que l’on a : lim _n 0

n u

→+∞ = .

( ) u n est convergente et lim _n 0

n u

→+∞ = .

2. On procède de façon similaire à ce qui vient d’être fait.

Comme, pour tout entier naturel n, on a : ^{− ≤ 1 cos} ( ) ^{n ≤ 1} , il vient : 1 ₂ 1 ₂ v n

n n

− ≤ ≤ .

Comme lim ²

n n

→+∞ = +∞ , on a : 1 ₂

lim 0

n ^→+∞ n = .

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure que la suite ( ) v n est convergente et que l’on a : lim _n 0

n v

→+∞ = .

( ) v n est convergente et lim _n 0

n v

→+∞ = .

N°77 page 36

1. A la calculatrice, on obtient :

10 100

1, 996 357 1, 999 952 u

u

Il semble que la suite ( ) u n converge vers 2.

2. Pour tout n entier naturel, on a : − ≤ 1 sin n ≤ 1 .

On en déduit : − ≤ − 3 3sin n ≤ 3 puis : 2 n ² − ≤ 3 2 n ² − 3sin n ≤ 2 n ² + 3 et, enfin :

2 2 2

2 2 2

2 3 2 3sin 2 3

1 1 1

n n n n

n n n

− ≤ − ≤ +

+ + +

C'est-à-dire :

2 2

2 2

2 3 2 3

1 ⁿ 1

n n

n u n

− ≤ ≤ +

+ + .

Le résultat est ainsi établi.

2 2

2 2

2 3 2 3

, 1 ⁿ 1

n n

n u

n n

− +

∀ ∈ ≤ ≤

+ +

`

Pour tout entier naturel n non nul, on a :

2

2 2 2

2

2 2 2

3 3

2 2

2 3

1 1

1 1 1

n n n n

n n

n n

⎛ − ⎞ −

⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠ =

+ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ + et

2

2 2 2

2

2 2 2

3 3

2 2

2 3

1 1

1 1 1

n n n n

n n

n n

⎛ + ⎞ +

⎜ ⎟

+ = ⎝ ⎠ =

+ ⎛ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎠ +

Comme 1 ₂ 2 ₂

lim lim 0

n ^→+∞ n = n ^→+∞ n = , il vient (somme) :

2 2

3 3

lim 2 lim 2 2

n ^→+∞ n n ^→+∞ n

⎛ − ⎞ = ⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ et 1 ₂

lim 1 1

n ^→+∞ n

⎛ + ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

On en déduit finalement (rapport) :

2 2

2

2

2 3

2 3 2

lim lim 2

1 1 1 1

n n

n n

n

n

→+∞ →+∞

− = − = =

+ +

et

2 2

2

2

2 3

2 3 2

lim lim 2

1 1 1 1

n n

n n

n

n

→+∞ →+∞

+ = + = =

+ +

Le théorème des gendarmes nous permet alors de conclure que la suite ( ) u n est convergente de limite égale à 2.

lim _n 2

n u

→+∞ =

3. a. A la question 2, nous avons obtenu, pour tout entier naturel n :

2 2

2 2

2 3 2 3

1 ⁿ 1

n n

n u n

− ≤ ≤ +

+ +

On en déduit immédiatement :

2 2

2 2

2 3 2 3

2 2 2

1 ⁿ 1

n n

n u n

− − ≤ − ≤ + −

+ + .

Soit : ² ( ² ) ² ( ² )

2 2

2 3 2 1 2 3 2 1

1 ⁿ 2 1

n n n n

n u n

− − + + − +

≤ − ≤

+ + .

Soit encore : ₂ 5 ₂ 1

1 u ⁿ 2 1

n n

− ≤ − ≤

+ + .

On a bien :

2 2

5 1

, 2

1 ⁿ 1

n u

n n

∀ ∈ − ≤ − ≤

+ +

`

b. Comme : ₂ 1 ₂ 5

, 1 1

n n n

∀ ∈ ≤

+ +

` , l’inégalité obtenue à la question précédente entraîne :

2 2

5 5

, 2

1 ⁿ 1

n u

n n

∀ ∈ − ≤ − ≤

+ +

`

Soit : ₂ 5

, 2

n 1

n u

∀ ∈ − ≤ n

` + .

Ainsi, si, à partir d’un certain rang N, on a l’inégalité : ₂ 5 ³ 1 10 n

< −

+ alors, on aura

également l’inégalité u _n − < 2 10 ^{− 3} . En d’autres termes, la distance entre u _n et 2 sera

inférieure à 10 ^{− 3} .

On a :

2

3 3 2 2

2

5 1

10 10 1 5 000 4 999 4 999

1 5

n n n n

n

− +

< ⇔ > ⇔ + > ⇔ > ⇔ >

+

Or : 4 999 70, 7 . Ainsi, pour n ≥ 71 , on aura ₂ 5 ³ 1 10 n

< −

+ et donc u _n − < 2 10 ^{− 3} . A partir du rang N = 71 , on est certain que la distance entre u _n et 2 est inférieure à 10 ^{− 3} .

c. On a ² ( ² )

2 2 2

2 1 2 3sin

2 3sin 2 3sin

1 1 2 1

n

n n

n n n

u n n n

+ − −

− +

= = = −

+ + + .

Si 2 3sin + n < 0 , c'est-à-dire 2

sin n < − 3 alors on aura u _n > 2 .

En l’occurrence 2

sin 74 0, 985

− < − 3

et u ₇₄ 2, 000 174 .

Pour tout entier n ≥ 71 , on n’a pas nécessairement u _n ≤ 2 .

N°82 page 37

1. L’objectif de cette question est d’établir la croissance de la suite u.

On a immédiatement :

( )

2 1

2 1

2 1

2 1

, 3 1

, 3 1

, 2 1

, 1

n n n

n n n n n

n n n n

n n n

n u u u

n u u u u u

n u u u u

n u u u

+ +

+

+

∀ ∈ = + +

⇔ ∀ ∈ − = + + −

⇔ ∀ ∈ − = + +

⇔ ∀ ∈ − = +

`

`

`

`

Comme on a : ∀ ∈ n ` ^, ( u n + ¹ ) ² ≥ ⁰ , la relation de récurrence définissant la suite u entraîne donc sa croissance et ce, quelle que soit la valeur de u ₀ . Il n’est donc pas utile de montrer que l’on a u _n ≥ 0 pour tout entier naturel n (une récurrence simple permet d’établir ce résultat) qui s’avère une conséquence immédiate de cette croissance et du fait que u ₀ est égal à 0.

La suite u est croissante.

2. On suppose que la suite u est majorée.

Dès lors, étant croissante et majorée, la suite u est convergente. Notons L sa limite.

A la question précédente, on a montré que l’on avait : ∀ ∈ n ` , u _{n +} 1 − u _n = ( u _n + 1 ) .

Or : lim _n lim ( _n 1 _n ) 0

n u L n u ₊ u L L

→+∞ = ⇒ →+∞ − = − = et ^lim ( n ¹ ) ( ^{2 1} ) ²

n u L

→+∞ + = + .

Comme , _n 1 _n ( _n 1 ) ² lim ( _n 1 _n ) lim ( _n 1 ) ²

n n

n u ₊ u u u ₊ u u

→+∞ →+∞

∀ ∈ ` − = + ⇒ − = + , il vient donc

( ) ²

0 = L + 1 soit, finalement : L = − 1 .

Si la suite u est majorée alors on a nécessairement : lim _n 1

n u

→+∞ = − .

3. Le résultat précédent est absurde puisque l’on a, d’après la question 1 : ∀ ∈ n ` , u _n ≥ 0 . Il en résulte alors que la limite L de la suite u est nécessairement positive. Ainsi, la limite L ne peut être égale à 1 − .

Aboutissant à une contradiction, on en tire que la suite u n’est pas majorée.

Etant croissante, elle tend donc vers +∞ . lim _n

n u

→+∞ = +∞

4. a. Nous proposons l’algorithme suivant, écrit en langage pseudo-naturel : Variable : N entier

U réel

A réel

Début :

N 0

U 0

Lire A

TantQue U < A

Faire N N 1 + U U ² + 3U 1 + FinTantQue

Afficher N

Fin

b. Pour A = 1 000 , on obtient : N = 4 . Pour vérifier : u ₃ = 41 et u ₄ = 1 805 Pour A = 10 ⁶ , on obtient : N = 5 .

Pour vérifier : u ₄ = 1 805 et u ₅ = 3 263 441

Sur ma CASIO, j’ai écrit le programme suivant :

N°84 page 37

1. Comme ² ] ^{1 ; 1} [

3 ∈ − + , on a immédiatement : 2

lim 0

3

n n→+∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Il vient alors (différence) : 2

lim 1 1 0 1

3

n n→+∞

⎡ − ⎛ ⎞ ⎤ = − =

⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ puis (rapport) :

2 2

lim 2

2 1

1 3

n→+∞ n = =

− ⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠

.

Enfin (différence) : 2

lim lim 1 1 2 1

1 2 3

n n

n u n

→+∞ →+∞

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ ⎜ ⎝ − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ = − = − .

lim _n 1

n u

→+∞ = −

2. Comme 6 et 7 sont deux réels strictement supérieurs à 1, on a immédiatement : lim 6 ⁿ lim 7 ⁿ

n →+∞ = n →+∞ = +∞

Pour ( ) v n , nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « ∞ − ∞ ».

Comme 7 > 6 , on a : ∀ ∈ n ` , 7 ⁿ > 6 ⁿ . On va donc factoriser par 7 ⁿ :

6 6

, 6 7 7 1 7 1

7 7

n n

n n n n

n n

n v ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞

∀ ∈ ` = − = ⎜ ⎝ − = ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ⎟ ⎟ ⎠

Comme 0 < < 6 7 , il vient ⁶ ] ^{1 ; 1} [

7 ∈ − + et donc 6

lim 0

7

n n→+∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . On en déduit (somme) : 6

lim 1 1

7

n n→+∞

⎛ ⎛ ⎞ − = − ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠ puis (produit) : 6

lim 7 1

7

n n n→+∞

⎛ ⎛ ⎞ − = −∞ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠ .

lim _n

n v

→+∞ = −∞

N°95 page 40

Partie A – Question de cours Soit A un réel.

Comme la suite ( ) u n tend vers +∞ , il existe un rang N tel que : n ≥ N ⇒ u _n > A . Mais comme, pour tout entier naturel n, v _n ≥ u _n , il vient : n ≥ N ⇒ v _n > A . On en déduit ainsi : lim _n

n v

→+∞ = +∞ . Le résultat est établi.

Partie B

1. On a :

1 0

2 1

3 2

1 1 5

0 2 1 2

3 3 3

1 1 5 5 14

1 2 1 1

3 3 3 9 9

1 1 14 14

3 2 2 3 9 27

u u

u u

u u

= + − = × − = −

⎛ ⎞

= + − = × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ − = − − = −

⎛ ⎞

= + − = × − ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ = −

2. a. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 4, on considère la propriété P _n suivante :

P n ^{: «} u n ≥ ⁰ » Initialisation

Pour n = 4 , on a : ₄ 1 ₃ 1 14 14 67

3 2 1 1 0

3 3 27 81 81

u = u + − = × − ⎛ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎠ + = − + = > . La propriété P ₄ est donc vraie.

Hérédité

Soit n un entier naturel quelconque fixé supérieur ou égal à 4.

On suppose P _n vraie c'est-à-dire u _n ≥ 0 Comme n ≥ 4 alors on a : n − ≥ > 2 2 0 . Comme 0 u _n ≥ alors on a : 1

3 u ⁿ ≥ 0 . On en déduit alors 1

2 0

3 u ⁿ + − > n c'est-à-dire u _{n + 1} > 0 . La propriété P _{n+ 1} est donc vraie.

Conclusion

Pour tout entier n supérieur ou égal à 4, u _n ≥ 0 .

, 4 _n 0

n n u

∀ ∈ ` ≥ ⇒ ≥

b. Pour tout entier n ≥ 5 , on a : 1 ( ) 1

1 1

1 2 3

3 3

n n n

u = u ₋ + n − − = u ₋ + − n .

Mais n ≥ ⇔ − ≥ 5 n 1 4 . D’après le résultat de la question précédente, on a donc : u _{n − 1} ≥ 0 . D’où 1 ₁

3 u ⁿ ₋ ≥ 0 puis 1 ₁

3 3

3 u ⁿ ₋ + − ≥ − n n c'est-à-dire u _n ≥ − n 3 . Finalement :

, 5 _n 3

n n u n

∀ ∈ ` ≥ ⇒ ≥ −

c. On a ∀ ∈ n ` , n ≥ ⇒ 5 u _n ≥ − n 3 . Comme ^lim ( ³ )

n n

→+∞ − = +∞ , le théorème de comparaison nous permet alors de conclure immédiatement :

lim _n

n u

→+∞ = +∞

3. a. Pour tout entier naturel n, on a :

( ) ( )

1 1

21 1 21

2 3 1 2 2 3 1

2 3 2

2 21 2 7 1 21

2 4 3 3 2 3

3 2 3 2 3 2

1 3

n n n

n n n

n

v u n u n n

u n n u n u n

v

+ = − + + + − = − ⎛ ⎜ ⎝ + − ⎞ ⎟ ⎠ + + −

⎛ ⎞

= − − + + + − = − + − = ⎜ ⎝ − + − ⎟ ⎠

=

La suite ( ) v n est donc une suite géométrique de raison 1 3 .

Par ailleurs : _{0 0} 21 21 25

2 3 0 2

2 2 2

v = − u + × − = − − = − .

La suite ( ) v n est la suite géométrique de premier terme ₀ 25

v = − 2 et de raison 1 3 .

b. D’après le résultat précédent, on a : 25 1

, 2 3

n

n v n ⎛ ⎞

∀ ∈ ` = − ×⎜ ⎟ ⎝ ⎠ .

Comme : 21

, 2 3

n n 2

n v u n

∀ ∈ ` = − + − , on a : 21

, 2 3

n n 2

n u v n

∀ ∈ ` = − + − , soit

1 21

, 3

2 2

n n

n u ⎛ v n ⎞

∀ ∈ ` = ⎜ ⎝ − + − ⎟ ⎠ . Il vient alors :

1 21 1 25 1 21 25 1 3 21

, 3 3

2 2 2 2 3 2 4 3 2 4

n n

n n

n u ⎛ v n ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ n ⎞ ⎛ ⎞ n

∀ ∈ = ⎜ ⎝ − + − ⎟ ⎠ = ⎜ ⎜ ⎝ − − ⎜ ⎜ ⎝ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ ⎠ + − ⎟ ⎟ ⎠ = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + −

`

25 1 3 21

, 4 3 2 4

n

n u n ⎛ ⎞ n

∀ ∈ ` = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + −

c. On a : lim

n n

→+∞ = +∞ d’où 3 lim 2

n n

→+∞ = +∞ et 3 21

lim 2 4

n n

→+∞

⎛ − ⎞ = +∞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Par ailleurs, comme ¹ ] ^{1 ; 1} [

3 ∈ − + , on a : 1

lim 0

3

n

n→+∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ et donc : 25 1

lim 0

4 3

n n→+∞

× ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = .

On en déduit alors (somme) : 25 1 3 21

lim 4 3 2 4

n

n n

→+∞

⎛ × ⎛ ⎞ + − ⎞ = +∞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠ soit :

lim _n

n u

→+∞ = +∞

On a ainsi retrouvé la limite de la suite ( ) u n obtenue à la question 2.c.

4. Rappelons que l’on a (question 3.b.) : 25 1 3 21

, 4 3 2 4

n

n u n ⎛ ⎞ n

∀ ∈ ` = × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − . On en tire, pour tout entier naturel n :

0 1 2

0

0 0 0

...

25 1 3 21

4 3 2 4

25 1 3 21

4 3 2 4 1

n n

n k

k

n k n n

k k k

S u u u u

k

k

=

= = =

= + + + +

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⎜ ⎜ ⎝ × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + − ⎟ ⎟ ⎠

= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + −

∑

∑ ∑ ∑

On a immédiatement :

1 1

1

0

1 1

1 1

1 3 3 3 1

1 2 1

3 1 2 3

3 3

n n

k n

n

k

+ +

+

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎡ ⎤

⎛ ⎞ = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ = ⎢ − ⎛ ⎞ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ − ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎥ ⎦

∑

( )

0

1 2

n

k

k n n

=

= +

∑ ^et

0

1 1

n

k

n

=

∑ = + Ainsi :

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

0 0 0

1

1

1

25 1 3 21

4 3 2 4 1

25 3 1 3 1 21

1 1

4 2 3 2 2 4

3 1 21 1

75 1

8 1 3 4 4

75 1 3

1 7 1

8 3 4

n k n n

n

k k k

n

n

n

S k

n n n

n n n

n n

= = =

+

+

+

= ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ +

= × ⎢ ⎢ ⎣ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ + × − +

⎡ ⎛ ⎞ ⎤ + +

= ⎢ ⎢ ⎣ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ + −

⎡ ⎛ ⎞ ⎤

= ⎢ ⎢ ⎣ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎥ ⎦ + − +

∑ ∑ ∑

Comme ¹ ] ^{1 ; 1} [

3 ∈ − + , on a : 1 1

lim 0

3

n n

+

→+∞

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . D’où ^{lim 75 1 1 1 75} ( ^{1 0} ) ⁷⁵

8 3 8 8

n n

+

→+∞

⎡ − ⎛ ⎞ ⎤ = × − =

⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

.

Par ailleurs : ^lim ( ¹ ) ^lim ( ⁷ )

n n n n

→+∞ + = →+∞ − = +∞ d’où ^{lim 3} ( ⁷ )( ¹ )

4

n n n

→+∞ − + = +∞ . Ainsi, on a finalement (somme) : ^{lim 75 1 1 1 3} ( ⁷ )( ¹ )

8 3 4

n

n n n

+

→+∞

⎧ ⎡ ⎤ ⎫

⎪ ⎢ − ⎛ ⎞ ⎥ + − + ⎪ = +∞

⎨ ⎢ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎥ ⎬

⎪ ⎣ ⎦ ⎪

⎩ ⎭

.

lim _n

n S

→+∞ = +∞

N°98 page 41

Partie A

1. P ₁ est fausse car pour n = 1 , on a : 4 ⁿ = 4 ¹ = 4 mais 4 n + = × + = > 1 4 1 1 5 4 . P 2 est fausse car pour n = 2 , on a 4 ⁿ = 4 ² = 16 mais 4 n + = × + = < 1 4 2 1 9 16 . P 3 est vraie car l’inégalité 4 ⁿ ≤ 4 n + 1 est vérifiée pour n = 1 .

P 4 est fausse car l’inégalité 4 ⁿ ≤ 4 n + 1 est vérifiée pour n = 0 (1 1 ≤ ) et n = 1 . 2. La négation de « Pour tout entier n, 4 ⁿ > 4 n + 1 » est « il existe un entier n tel que

4 ⁿ ≤ 4 n + 1 ». Il s’agit donc de la proposition P ₃ .

Partie B

1. a. ⁴ ( ^{p + + − 1} ) ^{1 4 4} ( ^{p + = 1} ) ^{4 p + 4 + − 1 16 p − 4 = − 12 p + 1}

b. Pour tout entier p ≥ 1 , on a : 12 − p ≤ − 12 d’où 12 − p + ≤ − < 1 11 0 . En reprenant le résultat de la question a. on a donc :

( ) ( )

4 p + + − 1 1 4 4 p + = − 1 12 p + < 1 0

D’où : ⁴ ( ^{p + + < 1} ) ^{1 4 4} ( ^{p + 1} ) . Le résultat est ainsi établi.

2. En testant quelques valeurs faibles de n (ou en réfléchissant à la croissance de 4 ⁿ et à celle de 4 n + 1 … ☺), on peut conjecturer que l’inégalité est vérifiée pour n ≥ 2 . Démontrons cette conjecture par récurrence.

On considère donc, pour tout n entier supérieur ou égal à 2, la propriété :

P n ^{: « 4 n > 4 n + 1 »}

Initialisation

Pour n = 2 , on a : 4 ⁿ = 4 ² = 16 et 4 n + = × + = 1 4 2 1 9 . On a 16 > 9 .

La propriété P ₂ est donc vraie.