Chapitre 5 Statistiques
I variance et écart-type
I - 1) introduction
Deux séries statistiques peuvent avoir la même moyenne mais la répartition des valeurs autour de cette moyenne peut être diérente pour les deux séries.
exemple : considérons les deux séries statistiques suivantes :
S
1: (9 ; 9 ; 11 ; 11) et S
2= (1 ; 1 ; 19 ; 19) Les deux séries ont la même moyenne : 10.
Mais la dispersion des valeurs autour de cette moyenne est très diérente : dans la série S
1, les notes sont peu dispersées et dans la série S
2, elles sont très dispersées.
Pour traduire cela, on va utiliser un nouveau paramètre : la variance.
I - 2) dénitions
dénition 1 :
On considère la série statistique donnée par le tableau ci-dessous : Valeur du caractère x
1x
2... x
pTotal
Eectif n
1n
2... n
pN
Sa variance V est dénie par :
V = n
1(x
1− x) ¯
2+ n
2(x
2− x) ¯
2+ ... + n
p(x
p− x) ¯
2N
où x ¯ désigne la moyenne de cette série.
dénition 2 :
L'écart-type σ d'une série statistique est égale à la racine carrée de la variance :
σ = √
V
exemple : calculons la variance et l'écart-type des deux séries de l'exemple du paragraphe I.1 :
* Série S
1: variance : V
1= 2(9 − 10)
2+ 2(11 − 10)
24 = 1
écart-type : σ
1= √ 1 = 1
* Série S
2: variance : V
2= 2(1 − 10)
2+ 2(19 − 10)
24 = 81
écart-type : σ
1= √ 81 = 9 remarques :
* la variance d'une série statistique peut aussi être obtenue ainsi : on calcule les nombres (x
i− x) ¯
2.
La variance V est alors égale à la moyenne des valeurs (x
i− x) ¯
2.
* les calculatrices usuelles permettent d'obtenir directement l'écart-type d'une série statis- tique.
II diagramme en boîte
* la médiane et les quartiles d'une série statistique permettent d'obtenir d'autres types d'informations sur cette série.
* il est donc commode de faire gurer sur un même graphique la médiane et les quartiles d'une série statistique. Souvent, on représente aussi les valeurs extrêmes de la série.
* voici un exemple de graphique correspondant à une série statistique de médiane M = 4 , de quartiles Q
1= 3 et Q
3= 6 , et de valeurs extrêmes 2 et 9.
Un tel graphique est appelé diagramme en boîte.
Les quartiles Q
1et Q
3correspondent aux côtés délimitant la boîte . La médiane M correspond au trait vertical à l'intérieur de la boîte.
remarques :
* on appelle aussi ce diagramme boîte à moustaches ou boîte à pattes .
* on peut aussi construire ce diagramme verticalement.
* les calculatrices usuelles l'achent horizontalement.
lecture d'un diagramme en boîte :
Le diagramme en boîte ci-dessous est associé à la série des notes moyennes des élèves d'un lycée au baccalauréat :
Sur le diagramme, on lit :
* M = 11 , ce qui permet d'armer qu'au moins 50% des élèves ont une note supérieure ou égale à 11, et sont donc reçus sans passer les épreuves de rattrapage.
* Q
3= 13 , ce qui permet d'armer qu'environ 25%
1des élèves ont une note supérieure ou égale à 13, donc qu'environ 25% des élèves ont au moins la mention Assez bien (ou l'une des mentions Assez bien, Bien, Très bien).
* Q
1= 9, 5 , ce qui permet d'armer qu'un moins 25% des élèves ont une note inférieure ou égale à 9,5 et ne sont donc pas reçus directement. Mais on ne peut pas savoir, avec ce diagramme, combien, parmi ces élèves, ont une note supérieure ou égale à 8 et pourront donc passer les épreuves de rattrapage.
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