Chamblandes 2016 — Problème 6
a) Il faut choisir, sans tenir compte de l’ordre puisque l’on ne tient pas compte des rôles, 11 joueurs parmi 22 :
C
2211= 705 432 b) On doit choisir
2 attaquants parmi 5 et 4 milieux parmi 9 et 4 défenseurs parmi 6 et 1 gardien parmi 2 :
C
52· C
94· C
64· C
21= 10 · 126 · 15 · 2 = 37 800 c) Représentons la situation par un arbre :
premier gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
4 10
rate
6 10
milieu
9 20
marque
2 10
rate
8 10
défenseur
6
20 101
marque
rate
9 10
second gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
9 10
rate
1 10
milieu
9 20
marque
3 10
rate
7 10
défenseur
6
20 102
marque
rate
8 10
La probabilité que le joueur choisi au hasard marque vaut :
1
2
·
205·
104+
12·
209·
102+
12·
206·
101+
12·
205·
109+
12·
209·
103+
12·
206·
102=
20
400
+
40018+
4006+
40045+
40027+
40012=
128400=
258= 32 %
d) Méthode 1
On considère qu’il s’agit d’une probabilité conditionnelle : on calcule le rapport des cas favorables (le joueur est un attaquant et marque) et des cas possibles (le joueur est un attaquant).
premier gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
4 10
20 400
6
rate
10
30 400
milieu
9 20
marque
2 10
rate
8 10
défenseur
6
20 101
marque
rate
9 10
second gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
9 10
45 400
1
rate
10
5 400
milieu
9 20
marque
3 10
rate
7 10
défenseur
6
20 102
marque
rate
8 10
La probabilité recherchée vaut :
20 400
+
4004520
400
+
40030+
40045+
4005=
65 400 100 400
=
10065=
1320= 65 %
Méthode 2
Il n’est pas nécessaire de passer par une probabilité conditionnelle. Il suffit de considérer un arbre partiel :
attaquant
premier gardien
1 2
marque
4 10
second gardien
1
2 9
marque
10
La probabilité recherchée est :
12·
104+
12·
109=
204+
209=
1320= 65 %
e) On a bien affaire ici à une probabilité conditionnelle :
premier gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
4 10
20 400
rate
6 10
milieu
9 20
marque
2 10
18 400
rate
8 10
défenseur
6
20 101
marque
4006rate
9 10
second gardien
1 2
attaquant
5 20
marque
9 10
45 400
rate
1 10
milieu
9 20
marque
3 10
27 400
rate
7 10
défenseur
6
20 102
marque
40012rate
8 10
La probabilité recherchée vaut :
45
400
+
40027+
4001220
400
+
40018+
4006+
40045+
40027+
40012=
84 128 128 400
=
12884=
2132= 65,625 %
f) Il s’agit d’une loi binomiale dont la probabilité de succès a été calculée à la question c) :
258On demande la probabilité que le joueur marque exactement 4 ou 5 fois : C
54825
4
1 −
2585−4
+ C
55825
5
1 −
2585−5
= 5 ·
8
25
4
·
1725+ 1 ·
8
25
5
