Multizˆ etas vs. multitangentes.
S´ eminaire, Universit´ e de Clermont-Ferrand
Olivier Bouillot
20 janvier 2012
D´ efinitions des multizˆ etas.
On note : S
d?= {s ∈ seq( N
∗) ; s
1≥ 2} .
S
df?= {s ∈ seq( N
∗) ; s
1≥ 2 et s
r≥ 2} .
D´ efinition des multizˆ etas.
Soit s ∈ S
d?.
On pose : Ze
s= Z e
s1,···,sr= X
1≤nr<···<n1<+∞
1 n
1s1· · · n
rsr.
Aujourd’hui, les multizˆ etas interviennent dans des branches des math´ ematiques aussi vari´ ees que :
1
La th´ eorie des nombres.
2
Les groupes quantiques, la th´ eorie des noeuds ou la physique math´ ematique.
3
La th´ eorie de la r´ esurgence et des invariants holomorphes.
4
L’´ etude des diagrammes de Feynman.
5
L’´ etude de P
1− {0; 1; ∞} (` a travers le programme de Grothendieck-Ihara) .
6
L’´ etude du “groupe de Galois absolu”.
Les deux tables de multiplications des multizˆ etas.
Il existe deux mani` eres de repr´ esenter un multizˆ etas :
Par une somme : Par une int´ egrale it´ er´ ee : Ze
s1,···,sr= Wa
1,0[sr−1],···,1,0[s1−1],
o` u Wa
α1,···,αr= Z
0<t1<···<tr<1
ω
α1· · · ω
αrω
0= dz
z ω
1= dz
1 − z
Z e
2Ze
3= Ze
2,3+ Ze
3,2+ Ze
5Ze
2Ze
3= Ze
2,3+ 3Ze
3,2+ 6Ze
4,1Sym´ etr´ elit´ e Sym´ etralit´ e
DIMORPHIE.
Conjecture arithm´ etiques.
Conjecture :
Les nombres π, Ze
3, Ze
5, Ze
7, · · · sont alg´ ebriquement ind´ ependants.
Deux principes ` a respecter.
Soit P un polynˆ ome ` a r variables convenable.
Cas simple o` u l’on sait faire des calculs de “monozˆ etas” :
X
1≤nr<···<n1
1 P(n
1, · · · , n
r)
X
(n1,···,n1)∈Zr
1 P(n e
1, · · · , n
r) + P. Cartier : Fonctions polylogarithmes, nombres polyzetas et groupes
pro-unipotents”, S´ eminaire Bourbaki t. 42, 53
i`emeann´ ee, 2000-2001, Expos´ e n ˚885, Mars 2001.
Suggestion de Zagier :
X
1≤nr<···<n1
1 P(n
1, · · · , n
r)
X
1≤nr<···<n1
e
im1x1+···+imrxrP(n
1, · · · , n
r) Faire x
1= · · · = x
r= 0.
+ D. Zagier : Value of zeta function and their applications, in “First
European Congress of math´ ematics”, Vol. 2, p 497 - 512, Birkha¨ user,
1994.
Un mod` ele fonctionnel pour les multizetas.
Ce que doit v´ erifier un mod` ele fonctionnel :
O introduire un mod` ele fonctionnel simple, reli´ e simplement aux multizˆ etas.
O d´ efinir des fonctions p´ eriodiques.
O tenir compte de la sym´ etrie de l’espace de sommation.
Suggestion la plus simple : les multizˆ etas de Hurwitz.
He
+s1,...,sr(z ) = X
1≤nr<···<n1
1
(n
1+ z)
s1· · · (n
r+ z)
srHe
s(0) = Ze
s.
Sommes non sym´ etriques... Fonctions non p´ eriodiques...
Un mod` ele fonctionnel pour les multizetas.
Ce que doit v´ erifier un mod` ele fonctionnel :
O introduire un mod` ele fonctionnel simple, reli´ e simplement aux multizˆ etas.
O d´ efinir des fonctions p´ eriodiques.
O tenir compte de la sym´ etrie de l’espace de sommation.
Seconde suggestion : les multitangentes.
T e
s1,...,sr(z) = X
−∞<nr<···<n1<+∞
1
(n
1+ z)
s1· · · (n
r+ z )
srSommes sym´ etriques + Fonctions 1−p´ eriodiques .
Existe t-il un lien avec les multizˆ etas ?
Probl´ ematique.
Probl´ ematique :
Les multitangentes sont-elles une bonne g´ en´ eralisation fonctionnelle des multizˆ etas ?
Remarques : 1. Les multitangentes sont une g´ en´ eralisation des s´ eries d’Eisenstein (r = 1) .
2. Les multitangentes apparaissent naturellement dans un
probl` eme de dynamique holomorphe.
Premi` eres propri´ et´ es des multitangentes.
Propri´ et´ e :
1
Propri´ et´ e de diff´ erentiabilit´ e.
La fonction Te
sest holomorphe sur C − Z pour toute s´ equence s ∈ S
df?; elle converge uniform´ ement sur tout compact de C − Z et v´ erifie, pour tout s ∈ S
df?:
∂Te
s∂z = −
r
X
i=1
s
iTe
s1,···,si−1,si+1,si+1,···,sr.
2
Propri´ et´ e de parit´ e.
∀z ∈ C − Z , ∀s ∈ S
df?, Te
s(−z) = (−1)
||s||Te
←s(z ) .
3
Loi de multiplication.
∀(u ; v) ∈ (S
df?)
2, ∃E (u ; v) ⊂ S
df?fini , Te
uTe
v= X
w∈E(u;v)
Te
w.
Renormalisation des multitangentes.
Propri´ et´ e : Renormalisation des multizˆ etas.
Soit θ ∈ C .
Il existe une unique extension des multizˆ etas ` a seq( N
∗) telle que :
1. Ze
•satisfait toujours la mˆ eme loi de multiplication (issue des s´ eries) . 2. Ze
1= θ .
Propri´ et´ e : Renormalisation des multitangentes.
Il existe une extension des multitangentes ` a seq( N
∗) telle que :
1. Te
•satisfait toujours la mˆ eme loi de multiplication (issue des s´ eries) . 2. ∀z ∈ C − Z , Te
1(z) = π
tan(πz) .
L’extension v´ erifie automatiquement : la propri´ et´ e de diff´ erentiabilit´ e.
la propri´ et´ e de parit´ e.
R´ eduction en monotangentes, version 1.
Remarque : Une monotangente est une multitangente de longueur 1 . Notons : MZV = Vect
Q(Ze
s)
s∈S?d
.
m(s) = max(s
1; · · · ; s
r), pour tout s ∈ seq( N
∗) .
Propri´ et´ e : R´ eduction en monotangentes des multitangentes convergentes.
∀s ∈ S
df?, ∃(z
2; · · · ; z
m(s)) ∈ MZV
m(s)−1, Te
s=
m(s)
X
k=2
z
kTe
k. El´ ements de d´ emonstration :
1. D´ ecomposition en ´ el´ ements simples de 1
(n
1+ X )
s1· · · (n
r+ X )
sr.
2. Utilisation de la seconde table de multitplication des multizˆ etas.
Exemples de r´ eduction de multitangentes convergentes en monotangentes.
Te
2,4= 8
5 ζ(2)
2Te
2− 2ζ(3)Te
3+ ζ(2)Te
4. Te
2,2= 2ζ(2)Te
2. Te
3,3= − 12
5 ζ(2)
2Te
2. Te
4,2= 8
5 ζ(2)
2Te
2+ 2ζ(3)Te
3+ ζ(2)Te
4. Te
2,3= −3 ζ(3)Te
2+ ζ(2)Te
3. Te
2,2,2= 8
5 ζ(2)
2Te
2. Te
3,2= 3 ζ(3)Te
2+ ζ(2)Te
3. Te
2,1,3= − 2
5 ζ(2)
2Te
2+ ζ(3)Te
3.
Te
2,1,2= 0 . Te
3,1,2= − 2
5 ζ(2)
2Te
2− ζ(3)Te
3. Te
2,1,1,2= 4
5 ζ(2)
2Te
2.
R´ eduction en monotangentes, version 2.
Propri´ et´ e : R´ eduction en monotangentes.
∀s ∈ seq( N
∗) , ∃(z
1; · · · ; z
m(s)) ∈ MZV
m(s), Te
s= δ
s+
m(s)
X
k=1
z
kTe
k,
o` u
δ
s=
(iπ)
rr ! , si s = 1
[r]et si r est pair.
0 , sinon.
z
1= 0 ⇐⇒ δ
s= 0 .
Exemples de r´ eduction de multitangentes divergentes en monotangentes.
Te
1,1= −3 ζ (2) . Te
1,3= −ζ(2)Te
2. Te
3,1= −ζ(2)Te
2.
Te
1,2= 0 . Te
1,1,2= − 1
2 ζ(2)Te
2.
Te
2,1= 0 . Te
1,2,1= 0 .
Te
1,1,1= −ζ(2)Te
1. Te
2,1,1= − 1
2 ζ(2)Te
2. Te
1,1,1,1= 3
2 ζ(2)
2.
Exemple 1 : l’absence de composante T e 1 dans la r´ eduction en monotangente.
Deux approches possibles :
1
Toute multitangente convergente est exponentiellement plate.
⇓
La composante T e
1, dans la r´ eduction en monotangente, est nulle.
2
Les multizˆ etas v´ erifient les relations de sym´ etralit´ e.
⇓
On dispose d’une expression int´ egrale des multizˆ ets (sensiblement diff´ erente de celle de Gonchorav) .
⇓
La composante T e
1, dans la r´ eduction en monotangente, est nulle.
Exemple 1 : l’absence de composante T e 1 dans la r´ eduction en monotangente. (Suite)
Ces deux approches se mˆ elent en l’´ equivalence suivante :
R´ esultat analytique sur les MTGFs :
Caract` ere exponentiellement plat des MTGFs.
⇐⇒
Relations alg´ ebriques entre MZVs :
Quelques relations de sym´ etralit´ e.
Exemples de relations obtenues :
Ze
22= 4Ze
3,1+ 2Ze
2,2. Ze
3Ze
2= 6Ze
4,1+ 3Ze
3,2+ Ze
2,3. 3Ze
4Ze
2− 2 Ze
32= 2Ze
3,3+ 3Ze
2,4Exemple 2 : les calculs de T e 2[r](z ) et Ze 2[r].
.
Deux m´ ethodes, ind´ ependantes l’une de l’autre, donnent : T
2= X
r≥0
T e
2[r](z)X
r= 1 + sh
2(π √ X )
π
2Te
2(z) (1)
Z
2= X
r≥0
Ze
2[r]X
r= sh(π √ X ) π √
X (2)
La r´ eduction en monotangente donne : T
2= 1 + X Z
22T e
2(z) .
Donc : (1) ⇐⇒ (2)
La “multitangente attitude”.
Moralit´ e des deux exemples :
La r´ eduction en monotangentes est un lien entre les multizˆ etas et les multitangentes beaucoup plus fort que ce qu’elle laisse paraˆıtre
`
a premi` ere vue.
Chaque r´ esultat (alg` ebrique) sur les multizˆ etas semble se traduire
en un r´ esultat sur les multitangentes et r´ eciproquement.
Projection sur l’espace des multitangentes
Notons : MZV = Vect
Q(Ze
s)
s∈S?d
et MZV
2= Vect
Q(Ze
s)
s∈seq(N2). MTGF = Vect
Q(Te
s)
s∈Sdf?. et MTGF
2= Vect
Q(Te
s)
s∈seq(N2).
Conjecture : Projection sur l’espace des multitangentes.
∀(s
1; s
2) ∈ S
df?× S
d?, Ze
s1T e
s2∈ MTGF
2.
Remarque : Il suffit de montrer que : ∀s ∈ S
df?, Ze
sT e
2∈ MTGF
2.
Ceci a ´ et´ e v´ erifi´ e pour toute les s´ equences s ∈ S
d?de poids
inf´ erieur ` a 12.
Exemples de projections sur l’espace des multitangentes.
||s|| = 4 Z e
2Te
2= 1 2 Te
2,2.
||s|| = 5 Z e
3Te
2= 1
6 Te
3,2− 1
6 Te
2,3. Ze
2,1Te
2= 1
6 Te
3,2− 1 6 Te
2,3.
||s|| = 6
Z e
4Te
2= − 1
6 Te
3,3. Ze
3,1Te
2= − 1 24 Te
3,3. Z e
2,2Te
2= − 1
8 Te
3,3. Ze
2,1,1Te
2= − 1 6 Te
3,3.
||s|| = 7
Z e
5Te
2= − 1
30 Te
5,2− 1
15 Te
4,3+ 1
15 Te
3,4+ 1 30 Te
2,5. . .
.
Des corollaires conjecturaux : Autour du nettoyage des 1 dans les multizˆ etas et les multitangentes.
Pour les multizˆ etas :
Th´ eor` eme : (conjectur´ e par J. Blumlein, d´ emontr´ e par J. Ecalle.)
Alors, pour toute s´ equence s ∈ S
+•, Ze
ss’´ ecrit (explicitement) dans MZV
2. Autrement dit :
MZV = MZV
2.
+ J. Ecalle : The Flexion Structure and Dimorphy : Flexion Units, Singulators, Generators, and the Enumeration of Multizeta Irreducibles, in
“Asymptotic in dynamics, geometry and PDEs ; generalized Borel summation”,
Eds. O. Costin, F. Fauvet, F. Menous, D. Sauzin, Publications of the Scuola
Normale Superiore, Pisa, 2011, Volume 12, p. 201-218.
Des corollaires conjecturaux : Autour du nettoyage des 1 dans les multizˆ etas et les multitangentes.
Pour les multitangentes :
Conjecture :
Alors, pour toute s´ equence s ∈ S
•, T e
ss’´ ecrit (explicitement) dans MTGF
2. Autrement dit :
MTGF = MTGF
2.
Des corollaires conjecturaux : Autour du nettoyage des 1 dans les multizˆ etas et les multitangentes - Exemples de nettoyage des 1.
p = 6
Te
3,1,2= 1
6 Te
3,3+ 1
4 Te
2,4− 1 4 Te
4,2. Te
2,1,3= 1
6 Te
3,3− 1
4 Te
2,4+ 1 4 Te
4,2. Te
2,1,1,2= − 1
3 Te
3,3.
p = 7
Te
4,1,2= 1
6 Te
2,2,3− 1
6 Te
3,2,2− 1
3 Te
5,2+ 7
48 Te
4,3+ 23
48 Te
3,4+ 1 3 Te
2,5Te
3,1,3= 1
5 Te
2,3,2. Te
2,1,4= 1
3 Te
3,2,2+ 1
3 Te
5,2+ 13
24 Te
4,3+ 5
24 Te
3,4− 1
3 Te
2,5.
Des corollaires conjecturaux : Absences de relations entre multizˆ etas et multitangentes de poids diff´ erents.
Pour les multizˆ etas :
Conjecture :
Il n’existe pas de relation entre multizˆ etas de poids diff´ erents :
X
k∈N∗
Z
k= M
k∈N∗
Z
k, o` u Z
k=
Q , si k = 0 . {0}, si k = 1 . Vect
Q(Ze
s)
s∈S•+||s||=k
, si k ≥ 2 .
Des corollaires conjecturaux : Absences de relations entre multizˆ etas et multitangentes de poids diff´ erents.
Pour les multitangentes :
Conjecture :
Il n’existe pas de relation entre multitangentes de poids diff´ erents :
X
k∈N∗
T
k= M
k∈N∗
T
k, o` u T
k=
Q , si k = 0 . {0}, si k = 1 . Vect
Q(Te
s)
s∈S•+||s||=k
, si k ≥ 2 .
Des corollaires conjecturaux : Quelles implications ?
Projection sur l’espace des multitangentes
⇐⇒
nettoyage des 1 pour les multitangentes
Si la projection sur l’espace des multitangentes est vraie, alors : le nettoyage des 1
des multizˆ etas
⇐⇒
le nettoyage des 1 pour les multitangentes
X
k∈N∗
Z
k= M
k∈N∗
Z
k= ⇒ X
k∈N∗
T
k= M
k∈N∗
T
k.
X
k∈N∗
T
k= M
k∈N∗
T
kprojection sur MTGF
= ⇒ X
k∈N∗
Z
k= M
k∈N∗
Z
k.
La sym´ etr´ elit´ e de Te • entraˆıne la sym´ etr´ elit´ e de Ze • .
MTGF × MTGF
multiplication sym´etr`ele
//
r´eduction⊗r´eduction
MTGF
r´eduction
MTGF × MTGF
multiplication sym´etr`ele
