Tables de r´ eductions des multitangentes en monotangentes, jusqu’au poids 10.
Version du 8 mai 2012.
Olivier Bouillot,
Universit´ e Paris-Sud.
1
Table des mati` eres
ii
Introduction.
Nous nous proposons de regrouper ici des tables de r´ eduction en monotangentes des multitangentes de poids inf´ erieur ` a 10 . Mais avant, rappelons ce que sont les multi- tangentes (cf. [?] pour plus de d´ etails) .
1 D´ efinition et premi` eres propri´ et´ es.
Si s 1 , · · · , s r sont r entiers strictement positifs v´ erifiant de plus s 1 ≥ 2 et s r ≥ 2 , la multitangente Te s
1,...,s
rest la fonction m´ eromorphe sur C d´ efinie pour z ∈ C − Z par :
Te s
1,...,s
r(z) = X
−∞<n
r<···<n
1<+∞
1
(z + n 1 ) s
1· · · (z + n r ) s
r.
Il n’est pas difficile de voir que les conditions impos´ ees aux entiers s 1 , · · · , s r sont exactement celles qu’il faut pour assurer la convergence de cette s´ erie.
Lorsque r = 1, ces fonctions ont ´ et´ e introduites par Eisenstein dans son c´ el` ebre article de 1847 pour les besoins de sa th´ eorie des fonctions trigonom´ etriques (cf. [?] , voir aussi [?] pour une discussion historique) . Le nom de multitangentes provient d’ailleurs de la valeur bien connue que l’on attribue ` a T e 1 : ∀z ∈ C − Z , Te 1 (z) = π
tan(πz) . En toute rigueur, ces fonctions devraient plutˆ ot s’appeler des multicotangentes...
Outre le fait que les multitangentes poss` edent une table de multiplications internes 1 , ces fonctions v´ erifient deux propri´ et´ es ´ el´ ementaires :
• ∂Te s
1,··· ,s
r∂z = −
r
X
k=1
s k T e s
1,··· ,s
k−1,s
k+1,s
k+1,···,s
r(Propri´ et´ e de d´ erivalilit´ e) .
• Te s
1,...,s
r(−z) = (−1) s
1+···+s
rTe s
r,...,s
1(z) (Propri´ et´ e de parit´ e) .
2 Multitangentes convergentes et multitangentes di- vergentes.
Notons seq(Ω) l’ensemble des mots 2 construits sur l’alphabet Ω . Lorsque nous aurons besoin de les nommer, le nom des mots sera not´ e en gras soulign´ e ; ainsi, nous noterons ω ω ω ∈ seq(Ω) pour dire que ω ω ω est un mot sur Ω. On notera aussi r la longueur des s´ equences,
1
Pr´ ecisemment, le moule T e
•des multitangentes est sym´ etrel (cf [?] , [?] , [?] pour plus de pr´ ecision
et [?] pour une autre table de multiplication) .
c’est-` a-dire leur nombre de lettres.
Les multitangentes sont d´ efinies pour s ∈ S ? = {s ∈ seq( N ∗ ) ; s 1 ≥ 2 et s r ≥ 2} . Pour de telles s´ equences, les multitangentes sont appel´ es des multitangentes convergentes.
Il est naturel de vouloir prolonger leur d´ efinition ` a seq( N ∗ ), c’est-` a-dire pour des s´ equences s commencant ou finissant par des 1, voir commencant et finissant simultan´ ement par des 1 . Nous verrons dans un instant que cela est possible. Pour les distinguer des multitangentes convergentes, nous appelerons ces multitangentes des multitangentes divergentes.
3 Un lien important entre multizˆ etas et multitan- gentes : la r´ eduction des multitangentes en mono- tangentes.
Rappelons rapidement un des liens fort entre les multitangentes et les multizˆ etas. Voici alors deux th´ eor` emes concernant les multitangentes :
Th´ eor` eme 1 : R´ eduction en monotangentes, version 1
Notons S ? = {s ∈ seq( N ∗ ) ; s 1 ≥ 2 et s r ≥ 2} .
Pour toutes s´ equences s ∈ S ? et k ∈ seq( N ∗ ) de mˆ eme longueur r ≥ 2, et pour tout i ∈ [[ 1 ; r ]], notons :
i E s k =
i−1
Y
l=1
(−1) k
l! r Y
l=i+1
(−1) s
l!
r
Y
l=1 l6=i
s l + k l − 1 s l − 1
.
Z i,k s = X
k1,···, ki−1,ki+1,···, kr≥0 Pj6=i kj=k
i E s k Ze s
r+k
r,···,s
i+1+k
i+1Ze s
1+k
1,···,s
i−1+k
i−1.
Alors, pour toute s´ equence s ∈ S ? , de longueur r ≥ 2, on a :
∀z ∈ C − Z , Te s (z) =
r
X
i=1 s
iX
k=2
Z i,s s
i
−k Te k (z) .
Ce sont ces expressions que nous nous proposons de tabuler dans la section suivante, en utilisant les tables de multizˆ etas r´ ealis´ ee par l’´ equipe lilloise (cf. [?]) .
2
Rappelons qu’un mot construit sur Ω est une s´ equence d’´ el´ ements de Ω, de longueur quelconque.
Ainsi, un mot construit sur Ω est un ´ el´ ement du mono¨ıde libre seq(Ω) (qui se note aussi parfois Ω
?) .
2
4 Renormalisation des multitangentes divergentes.
Le prolongement des multitangentes de S ? ` a seq( N ∗ ) est possible, d’apr` es le th´ eor` eme de renormalisation suivant :
Th´ eor` eme 2 : Il existe un prolongement sym´ etrel ` a seq( N ∗ ) du moule Te • , v´ erifiant :
∀z ∈ C − Z , Te 1 (z) = π tan(πz) .
Enfin, pour finir ces rappels sur les multitangentes, notons que ce prolongement v´ erifie automatiquement trois propri´ et´ es importantes :
Propri´ et´ e : 1. Le prolongement de Te • ` a seq( N ∗ ) v´ erifie naturellement les propri´ et´ es de diff´ erentiatibilit´ e et de parit´ e :
∀s ∈ seq( N ∗ ) , ∂T e s
1,··· ,s
r∂z = −
r
X
k=1
s k Te s
1,···,s
k−1,s
k+1,s
k+1,··· ,s
r.
∀s ∈ seq( N ∗ ) , Te s
1,...,s
r(−z) = (−1) s
1+···+s
rTe s
r,...,s
1(z) .
2. Le prolongement de T e • ` a seq( N ∗ ) poss` ede aussi une r´ eduction en mo- notangente (´ etendant celle des multitangentes convergentes ` a une petite correction δ s pr` es) :
∀s ∈ seq( N ∗ ) , T e s (z) = δ s +
r
X
i=1 s
iX
k=1
Z i,s s
i
