CLASSE : 7 FB 5P

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CLASSE : 7 FB 5P

MATERIA : Matematica

Numero alunni : 12

Le candidat doit traiter les 3 problèmes proposés. Toutes les réponses doivent être justifiées. La clarté des explications et la qualité de la rédaction rentreront, pour une partie importante, dans l’évaluation.

La calculatrice est autorisée.

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Points B1 : Analyse

On considère la fonction f (x) = (x

²

+ 3x + 2) e

⁻^x

et soit F sa courbe représentative.

3 a) i) Déterminer les intersections de F avec les axes coordonnés et calculer les limites de f pour x → + ∞ et x → −∞ .

6 ii) Déterminer les extremums de f et les points d’inflexion de F.

3 iii) Esquisser F dans le repère de la Figure 1.

b) On donne une deuxième fonction g(x) = k e

⁻^x

, k < 0, et soit G sa courbe représentative.

3 i) A l’aide de l’application graphique, sachant que F et G ont un seul point d’intersection P, conjecturer la valeur de k.

3 ii) Calculer algébriquement la valeur de k ; 2 iii) Esquisser G dans le repère de la Figure 1.

3 iv) Calculer les coordonnées du point P et montrer que F et G ont une tangente commune en ce point.

5 c) i) Calculer l’aire A(p) de la région du plan délimitée par F , G et la droite d’équation x = p, p > 0.

2 ii) Calculer lim

p→+∞

A(p).

(3)

-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8

-3.2

-2.4

-1.6

-0.8

0.8

1.6

2.4

(4)

Points B2 : Géométrie

Dans un repère orthonormé on donne les points A(1; 8; 1), B(3; 0; 3) et C(9; 0; − 3), la droite g et le plan π

1

:

g :



 

 x y z



 



=



 

 4 4

− 4



 

 + t



 

 3 4

− 1



 



t ∈ R, π

1

: 2x + y + 2z = 0.

2 a) Écrire une équation cartésienne du plan π

2

passant par A, B et C.

4 b) Montrer que les deux plans π

1

et π

2

sont parallèles. Calculer la distance entre les deux plans.

5 c) La droite g et le plan π

1

sont sécants. Calculer les coordonnées de leur point d’intersection.

5 d) i) Calculer les coordonnées du point P, projection orthogonale du point A sur π

1

.

4 ii) Calculer les coordonnées du point A

⁰

, symétrique du point A par rapport au plan π

1

.

(5)

Points B3 : Probabilités

Pour la transmission d’un signal numérique sous forme binaire (chaque bit est représenté par 0 ou 1), on utilise un canal de transmission perturbé. La probabilité qu’il y ait une erreur pendant la transmission de chaque bit est de 10 %.

2 a) Ayant reçu un bit (par exemple un 1), calculer la probabilité que le signal soit correct.

b) On considère maintenant un signal représenté par une suite de 8 bits (octet). Calculer la probabilité que :

4 i) au moins 6 soient corrects ; 4 ii) au plus 1 soit faux ;

4 iii) 3 bits consécutifs soient faux

6 c) On note P la probabilité qu’un signal composé soit correct à l’arrivée. Déterminer le nombre

maximal de bits composant le signal, sachant que P est plus grand de 0,65.