Options américaines et processus de Lévy

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Aych Bouselmi

To cite this version:

Aych Bouselmi. Options américaines et processus de Lévy. Probabilités [math.PR]. Université Paris- Est, 2013. Français. �tel-00944239�

(2)

DE l’UNIVERSIT´ E PARIS EST

soutenue le 11 D´ecembre 2013 par

Aych Isma¨ıl BOUSELMI

pour obtenir le grade de

DOCTEUR EN MATH´ EMATIQUES

Options Am´ericaines

&

Processus de L´evy

Jury

Rapporteur Bruno BOUCHARD

Rapporteur Peter TANKOV

Examinateur Romuald ELIE

Examinateur Monique JEANBLANC

Directeur de th`ese Damien LAMBERTON

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A Lhamdlelah, `a qui je dois tout et plus encore...

A la m´emoire de Yomma Kafia

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Remerciements

Durant ces dernières années, j’ai eu la chance de faire la connaissance d’un bon nombre de personnes qui ont rendu possible l’aboutissement de cette thèse de doc- torat et que je tiens à remercier.

Je tiens tout d’abord à remercier les rapporteurs de mon manuscrit : Peter TANKOV et Bruno BOUCHARD pour avoir accepté de rapporter ce travail et pour leurs remarques et questions pertinentes. Merci à Monique JEANBLANC et à Romuald ELIE d’avoir accepté de faire partie du jury.

Je tiens à remercier Damien LAMBERTON, mon directeur de thèse pour sa dis- ponibilité, sa patience et ses précieux conseils. Merci pour les nombreuses heures passées dans ton bureau, durant lesquelles, j’ai fais la connaissance de ce que fait un mathématicien, à savoir la rigueur, la patience et la persévérance. Merci pour la fa¸con dont tu transmets ton savoir, avec déférence et merci pour ta bienveillance.

Je remercie également toutes les personnes que j’ai côtoyées au LAMA, et qui font de ce laboratoire un lieu où il fait bon travailler. C’est d’ailleurs dans ce cadre que j’ai fait la connaissance de Lokman ABBAS-TURKI et Mohamed MIKOU, que je tiens à remercier et avec qui il m’a été très agréable de collaborer dans le cadre d’un travail qui fait l’objet de la deuxième partie de ce manuscrit.

Enfin, je souhaiterai remercier ma grande famille pour leur soutien pendant ma th`ese.

Merci `a mes parents et `a ma femme qui m’a en plus offert les plus beaux cadeaux de ma vie, mes enfants.

On garde toujours le meilleur pour la fin alors : Merci à Wassila et Nog’nog, que j’aime de tout mon cœur et pour qui ce manuscrit représente l’aboutissement de plusieurs années d’investissement.

3

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Introduction

Les marchés financiers ont connu, grâce aux études réalisées durant les trois dernières décennies, une expansion considérable et ont vu l’apparition de produits dérivés di- vers et variés. Les plus utilisés parmi ces produits dérivés sont les options américaines.

Une option américaine est par définition une option qu’on a le droit d’exercer avant l’échéance convenue T. Les plus basiques sont le put ou le call américain (respectivement option de vente (K −x)⁺ ou d’achat (x− K)⁺). Une question découle naturellement de la définition de l’option américaine ;

A quel moment est-il optimal d’exercer son option ?`

La réponse à cette question a été clarifiée grâce à différents travaux. Dans la plupart de ces travaux, on se place sous l’hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage.

Dans le cadre de la théorie des martingales (voir [8, 9, 13]), l’absence d’opportunité d’arbitrage se traduit par l’existence d’une probabilité équivalente dite probabilité risque neutre, sous laquelle, les processus modélisant les prix actualisés des actifs risqués sont des martingales. On note St le processus décrivant le prix d’un actif risqué (risky asset). On supposera donnée une probabilité risque neutre, sous laquelle St =S0e^X^t =e^x⁰^+X^t avec x0 = ln(S0) et Xt un processus de Lévy. Sans perte de généralité, on peut considérer, modulo un changement de variable logarithmique, la fonction pay-off comme une fonction de (X_t^x⁰) avec X_t^x⁰ = x0 +Xt. La théorie moderne des options américaines due à Bensoussan [2] et à Karatzas [16] relie la valeur d’une option américaine à la théorie de l’arrêt optimal. Le prix d’une option américaine d’échéance T et de pay-off f (fonction de X_t^x⁰), à une date t ≤ T, est donné par l’enveloppe de Snell du processus e⁻^rsf(X_s^x⁰) (la plus petite surmartingale majorant ce dernier), qui dans le cadre Markovien (voir [10]), est donnée par

P_t=ess sup

τ∈Tt,T

E e⁻^r(τ⁻^t)f(X_τ^x⁰)|X_t

=u_f(t, X_t^x⁰),

où Tt,T est l’ensemble des F-temps d’arrêt à valeurs dans [t, T], avec F la filtration 5

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naturelle de (Xt)_t_≥₀ et la fonction uf est d´efinie pour tout (t, x) ∈ [0, T] × Rⁿ, par

u_f(t, x) = sup

τ∈Tt,T

E(e⁻^r(τ⁻^t)f(X_τ^x⁰)|X_t =x−x₀) = sup

τ∈T0,T−t

E(e⁻^rτf(X_τ^x)).

On a aussi une caract´erisation du plus petit temps d’arrˆet optimal τ^∗ (voir[11]), par

τ^∗ = inf{s ∈[0, T −t], uf(t+s, X_s^x) =f(X_s^x)}. On obtient donc,

uf(t, x) =E(e⁻^rτ^∗f(X_τ^x∗)).

Le prix d’une option américaine peut également être vu comme étant la solution d’une inéquation variationnelle faisant intervenir le générateur infinitésimal A^X du processus X (voir [3,15] et [29,21,22] dans le cas des modèles exponentiels de Lévy avec des pay-off continus bornés )





∂uf

∂t +AXuf −rf = 0 sur {uf > f}

∂uf

∂t +AXuf −rf ≤ 0 sur {uf =f}

uf(T, .) = f

Comme on peut le voir, les deux caract´erisations du prix de l’option am´ericaine font intervenir l’ensemble crucial

E ={(t, x)∈[0, T]×R^d, uf(t, x) = f(x)}.

Cet ensemble est appelé la région d’exercice et comme son nom l’indique, il représente exactement la réponse à la question posée plus haut. On noteE^t={x,(t, x)∈ E}ses t-sections. Etant donné l’importance du rôle que joue cette région aussi bien dans le pricing de l’option américaine que dans l’élaboration de stratégies optimisant les gains d’un détenteur d’une telle option, elle a été très tôt l’objet de nombreuses

´etudes, surtout dans le cadre du mod`ele de Black Scholes.

La frontière de la région d’exercice (frontière libre) n’étant pas explicite, même dans le cas du modèle de Black Scholes unidimensionnel, de nombreuses études se sont ainsi intéressées à sa caractérisation (voir [17, 14, 1, 26] et [5, 35, 6] pour le cas

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multidimensionnel). Pour mieux les comprendre, le comportement de la frontière près de l’échéance a aussi été largement étudié. Ainsi dans le cas unidimensionnel, les t-sections de la région d’exercice d’un put américain s’écrivent

x∈R⁺; x≤b(t) ,

où b(t) est une fonction continue strictement croissante sur [0, T[ (voir [12, 28, 21]) qu’on appelle le prix critique d’un put américain. La limite du prix critique b(t) quand t tend vers l’échéanceT est caractérisée dans ([28, 17]) par

b(T) = lim

t→Tb(t) = _δ

rK si r−δ ≤0 K si r−δ >0 ,

avecr >0 le taux d’intérêt sans risque,δ ≥0 le taux de dividende etK le Strike du Put. Dans le cas multidimensionnel, on a une caractérisation de la région d’exercice limiteET d’une option d’achat ou de vente sur un panier d’actifs (hx, αi −K)⁺ (voir [35]).

On ne s’est pas intéressé uniquement à l’identification de la limite du prix critique, mais il y a eu aussi plusieurs travaux dans lesquels on s’est également intéressé à la vitesse de convergence vers cette limite. En effet, Barles et al.[1] et Lamberton[19] se sont penchés sur l’étude de cette problématique. Dans le modèle de Black Scholes, dans le cas oùr > 0 etδ = 0. Le résultat qu’ils ont obtenu s’étend au cas oùδ >0 et r−δ >0 (voir [36]). Les cas oùr−δ <0 etr−δ= 0 ont été étudiés par Lamberton et Villeneuve dans [35]. Ainsi, grâce à ces travaux, on a

b(T)−b(t) σb(T) ∼^t→T





p(T −t)|ln(T −t)| si r−δ >0 (b(T) = K),

√2p

(T −t)|ln(T −t)| si r−δ= 0 (b(T) = K), y0

p(T −t) si r−δ <0 (b(T)< K),

o`u 0< y0 <1.

D’autre part l’étude des processus de Lévy a aussi connu une grande effervescence ces dernières décennies. Leur grande flexibilité (asymétrie, épaisseur des queues de distribution, discontinuités des trajectoires ...) d’une part et leur nature Markovienne homogène en temps, font d’eux des processus idéaux pour la modélisation financière.

Ainsi les options américaines ont été étudiées dans le cadre de modèles exponentiels

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de Lévy plus larges que le modèle de Black Scholes et plusieurs des résultats établis dans le cadre Black Scholes leur ont été généralisés.

Pham [29] donne une caractérisation du prix d’un put américain, dans le cadre Jump- diffusion, à l’aide une inéquation variationnelle. Ce résultat a été démontré (voir [23]) dans un cadre plus large d’un processus de Lévy en s’affranchissant de la condition σ 6= 0.

En effet, si on noteξ la solution de l’´equationrK−δx−R

(xe^y−K)⁺ν(dy) = 0 avec ν la mesure de L´evy du processus X, alors

b(T) = lim

t→Tb(t) =

ξ si r−δ−R

(e^y−1)⁺ν(dy)≤0 K si r−δ−R

(e^y−1)⁺ν(dy)>0 .

Pham [29] s’est intéressé aussi à sa vitesse de convergence dans le cas où l’on considère un modèle à sauts, plus précisément un processus X Jump-diffusion, sous des hy- pothèsesr−R

(e^y−1)⁺ν(dy)>0 etδ = 0, il a montr´e que la vitesse restait inchang´ee par rapport au cas Black Scholes,

b(T)−b(t) σb(T) ∼^t→T

p(T −t)|ln(T −t)|,

Ce qui se traduit par le fait que les sauts n’ont aucune influence sur le comportement asymptotique du prix critique. Ces r´esultats restent vrais dans le cas o`u δ > 0 et r−δ−R

(e^y−1)⁺ν(dy)>0 (voir [23]). Toujours dans le casr−δ−R

(e^y−1)⁺ν(dy)>0, Lamberton et Mikou s’intéressent, dans [23], à des processus de Lévy sans terme de diffusion (σ = 0). Ils étudient, entre autres, un certain type de processus ayant un comportement α-stable pour des temps petits. Ils montrent que,

b(T)−b(t) b(T) ∼

t→T C(T −t)^α¹|ln(T −t)|¹⁻^α¹, avec C >0.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l’étude des options américaines dans le cadre des modèles exponentiels de Lévy. Notre contribution à ces travaux, à travers cette thèse, consiste en :

Premièrement, étendre, à des fonctions de gain non bornées définies sur R^d,une ca- ractérisation du prix de l’option américaine associée à l’aide d’une inéquation variationnelle. Ceci est une conséquence d’une caractérisation analytique de la propriété

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de surmartingale à l’aide du générateur infinitésimal du processus de Lévy établi antérieurement (chapitre 1).

Deuxièmement, nous donnons quelques propriétés des régions d’exercice ainsi qu’une condition nécessaire et suffisante pour que la région d’exercice soit non vide (résultat

établi dans le cadre Black Scholes dans [35]). Ensuite, on regarde de plus près le cas d’options d’achat américaines sur un panier d’actifs. Nous montrerons une pro- priété de continuité par rapport au temps des t-sections ainsi que certaines de leurs propriétés topologiques. Nous caractériserons aussi la région limite des t-sections (chapitre 2).

Troisi`emement, nous nous repla¸cons dans le cas d’un put unidimensionnel et nous

´etudions la vitesse de convergence du prix critique, dans un cadre Jump-diffusion, dans les cas o`u r − δ −R

(e^y −1)^ν(dy) ≤ 0. Nous montrerons, notamment, qu’`a l’encontre du cas o`u r−δ−R

(e^y −1)^ν(dy)>0 (voir [23, 29]), les sauts ne sont pas toujours sans cons´equences sur la vitesse de convergence du prix critique (chapitre 3).

Quatrièmement, on s’intéressera à la vitesse de convergence du prix critique d’un put américain dans un modèle où le processus de Lévy n’a pas de terme de diffusion (σ = 0) mais qui, près de l’origine, a un comportement proche de celui d’unα-stable (chapitre 4). Le cas oùb(T) = K a été étudié dans [23], nous nous intéresserons donc dans le chapitre 4 au cas oùd⁺ <0

La deuxième partie de cette thèse est indépendante de la première et est consacrée

`a la valorisation de la CAV (Credit Valuation Adjustement). En effet, apr`es la crise

économique de 2007, plusieurs lois ont été émises pour une meilleure régulation fi- nancière. Parmi les mesures les plus importantes sont celles prises à Bâle III qui considèrent le calcul de la CVA comme une partie importante des règles pruden- tielles. Dans une transaction financière entre une partie A qui doit payer à une autre partie B une certaine sommeV, la valeur de la CVA est le prix du contrat d’assurance qui couvre le défaut de paiement de la somme entière par la partie A. Formellement, la valeur de la CVA est donnée par (voir [13, 14])

CVAt,T = (1−R)Et V_τ⁺1t<τ≤T

= (1−R) Z T

t

Et V_u⁺|τ =u

Pτ(du), (1)

où R (supposée égale à zéro dans ce document) est le recouvrement à faire sur le portefeuille, s’il y a défaut de la contrepartie, Et désigne l’espérance conditionnelle sachant toute l’information disponible à la date t, le processus V_t modélise la valeur de l’exposition, τ est le temps de défaut de la contrepartie, T est la maturité de la protection et la fonction ”partie positive” est notée par (.)⁺ ou (.)+. Donc, dans un

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cadre où on suppose l’indépendance entre le temps de défautτ et l’exposition Vt, la CVA sera donnée par

CVA_t,T = Z T

t

E_t V_u⁺

P_τ(du).

La simulation de la CVA entraˆıne donc la simulation des trajectoires deVu et conduit

à un problème d’approximation de l’espérance conditionnelle.

Outre le fait que l’hypothèse d’indépendance entre le temps de défautτet l’exposition Vt n’est pas très réaliste, une difficulté supplémentaire subsiste dans le fait que le portefeuille d’exposition Vt peut contenir, non seulement des actifs, mais aussi des contrats européens et américains. Dans le cas où il n’y a pas d’échange de contrats américains, la méthode Monte Carlo ”carré” (MC2) est une méthode de référence car elle est parallélisable (d’un point de vue implémentation) et suffisamment précise pour un choix standard du nombre de trajectoires. Lorsque le portefeuille contient des contrats américains, on a recours aux algorithmes fondés sur la régression. L’avantage de ces méthodes provient de leur rapidité, néanmoins on ne dispose pas de fa¸con standard du choix de la base de régression pour les différents modèles et contrats.

De plus, ces méthodes ne sont pas efficaces pour des modèles à grande dimension et ne permettent pas le calcul de sensibilités.

Dans cette partie, on présentera un travail fait conjointement avec L. A. Abbas-Turki et M. A. Mikou dans lequel nous développons une méthode basée sur le calcul de Malliavin dans un cadre où les prix des actifs sont donnés par la dynamique :

dS_tⁱ

S_tⁱ =ridt+ Xi

j=1

σij(t)dW_t^j, S₀ⁱ =zi, i= 1, .., d, (2) où r_i sont des constantes et σ(t) = {σ_ij(t)}1≤i,j≤d est une matrice triangulaire déterministe ({σij(t)}î<j = 0), inversible, bornée et uniformément elliptique. Nous verrons que les résultats obtenus peuvent être étendus à d’autres modèles et qu’il est possible d’utiliser le calcul de Malliavin pour simuler la densité backward des processus.

Nous exposerons une étude détaillée de la complexité de notre méthode comparée aux MC2 et les méthodes fondées sur la régression.

(12)

Table des mati` eres

I Options Am´ ericaines 13

1 In´equation Variationnelle 15

1.1 Processus de L´evy. . . 15

1.1.1 Définitions et propriétés . . . 15

1.1.2 Générateur infinitésimal . . . 18

1.2 Caractérisation de la propriété de surmartingale . . . 22

1.3 Options am´ericaines et In´equation variationnelle . . . 27

1.3.1 In´equation variationnelle . . . 28

2 Région d’exercice multidimensionnelle 33 2.1 Propriétés générales des régions d’exercice . . . 36

2.2 R´egion d’exercice d’options Basket am´ericaines. . . 40

2.2.1 Propriétés et régularité des sections temporelles . . . 41

2.2.2 R´egion d’exercice limite . . . 48

3 Convergence rate in the Jump-diff model 57 3.1 Introduction . . . 57

3.2 Preliminary results . . . 60

3.2.1 American option in the exponential Levy model . . . 60

3.2.2 Regularity estimate for the value function in the jump diffusion model . . . 61

3.3 The regular case. . . 62

3.3.1 An expansion of the American Put price near maturity . . . . 62

3.3.2 An auxiliary optimal stopping problem . . . 76

3.3.3 Convergence rate of the critical price b(t). . . 77

3.4 The limit case . . . 79

4 Convergence rate α-stable temp´er´e 101

11

(13)

4.1 Hypoth`eses et processus de L´evy limite . . . 102

4.2 Propriété du modèle . . . 103

4.3 Un probl`eme d’arrˆet optimal auxiliaire . . . 106

4.4 Le d´eveloppement limit´e . . . 107

4.5 Vitesse de convergence de b(t) . . . 116

II Simulation de CVA 135

5 simulations de CVA 137 5.1 Introduction . . . 137

5.2 Model families . . . 140

5.2.1 CVA intensity models including WWR/RWR . . . 142

5.2.2 CVA structural models including WWR/RWR . . . 145

5.3 Computing the value exposure, its sensitivity ... . . 147

5.3.1 The conditional expectation value and its gradient . . . 147

5.3.2 Backward conditional density estimation . . . 152

5.4 Complexity comparison of different approaches . . . 158

5.4.1 Square Monte Carlo benchmark and regression method . . . . 158

5.4.2 MCM as an alternative . . . 161

5.5 Numerical tests using parallel implementation . . . 163

5.5.1 Benchmarking setup . . . 163

5.5.2 MCM accuracy for CVA and CVA sensitivities . . . 166

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Premi` ere partie Options Am´ ericaines

13

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Chapitre 1

In´ equation Variationnelle

Dans ce premier chapitre, nous commen¸cons par rappeler la définition d’un processus de Lévy ainsi que certaines de ces propriétés qui nous seront utiles tout le long de ce document. Ensuite, nous présenterons les hypothèses de notre cadre de travail et nous élargirons ainsi le champ d’action du générateur infinitésimal afin de l’appliquer à certaines fonctions qui ne sont ni bornées ni C². On caractérisera à l’aide du générateur infinitésimal une condition suffisante et nécessaire pour qu’un processus (f(Xt))_t_≥₀ soit une surmartingale. Enfin, comme application de cette caractérisation, nous montrerons que le prix d’une option américaine, dont le pay-off est continu et vérifie certaines hypothèses d’intégrabilité, est l’unique solution au sens des distributions d’une certaine inéquation variationnelle qu’on précisera.

1.1 Processus de L´ evy

1.1.1 D´ efinitions et propri´ et´ es

Un processus (X_t)_t_≥₀ défini sur un espace de probabilité (Ω,F,P), à valeurs dansR^d est appelé un processus de Lévy, si

a) ses accroissements (Xt−Xs) sont stationnaires (homogènes) et indépendants, b) il est P-presque sûrement issu de 0, P(X0 = 0) = 1,

c) il est continu stochastiquement, ∀ǫ >0,P(|Xt−Xs|> ǫ)−→_t

→s 0,

d) ses trajectoires sontP-presque sûrement càdlàg (continue à droite limite à gauche), 15

(17)

o`u |.| d´esigne la norme euclidienne sur R^d. Remarque:

La propriété d) n’est pas essentielle car un processus de Lévy en loi, c’est à dire vérifiant a), b) et c), admet une modification càdlàg (voir [33], chapitre 2) .

On désignera, dorénavant par F la filtration {F^t}^t≥0, où F^t = σ(Ft⁰,N), Ft⁰ = σ(Xs , s ≤ t) et N l’ensemble des parties P-négligeables. La filtration F est une filtration continue à droite, pour tout t ≥0,Ft=∩s>tFs.

Grâce à la décomposition de Lévy-Itô, un processus de Lévy X peut s’écrire comme somme de trois processus indépendants

X = X¹+X²+X³ X¹ repr´esente la partie diffuse du processus,

X_t¹ =γt+ ΣBt,

avec Bt un mouvement brownien d-dimensionnel, Σ = (σi,j)1≤i,j≤d et γ un vecteur de R^d, on notera A= Σ^tΣ.

X² Un processus de Poisson compos´e, X_t² =

Z t 0

Z

|y|≥1

yJ(ds, dy), X_t³ Une martingale de carr´e int´egrable ,

X_t³ = lim

ǫ→0

Z t 0

Z

ǫ<|y|<1

yJ(ds, dy),e

La mesureJ est la mesure rendant compte des sauts deX, c’est une mesure aléatoire de Poisson surR⁺×R^d\{0}d’intensitédsν(dy). La mesureJeest la mesure compensé de J, J(ds, dy) =e J(ds, dy)−dsν(dy), la mesure ν est appelée mesure de Lévy et vérifie R

R^d\{0}|y|²∧1ν(dy)<∞.

La loi du processus de Lévy X est caractérisée par le triplet (A, γ, ν) ou par son exposant caractéristique qui est donné par la formule de Lévy-Kintchine

Ψ(p) = 1

t lnE(eⁱ^h^p,X^tⁱ) = ihp, γi −1

2hp, Api − Z

R^d

eⁱ^h^p,yⁱ−1−ihp, yi1_|_y_|_<1ν(dy)

=

ihp, γi − 1

2hp, Api

− Z

|y|≥1

(eⁱ^h^p,yⁱ−1)ν(dy)

− Z

|y|<1

(eⁱ^h^p,yⁱ−1−ihp, yi)ν(dy)

.

(18)

La décomposition de la somme dans la deuxième égalité est pour faire le lien avec la décomposition de Lévy-Itô.

Exemples Mouvement Brownien ,Processus de Poisson compos´e ,Jump-diffusion...

On définit les g-moments d’un processus de Lévy par E(g(Xt)). Les propositions suivantes lient la finitude de ces moments à sa mesure de Lévy.

D´efinition 1.1.1 Une fonction g de R^d dans R⁺ est dite sous-multiplicative s’il existe une constante positive a telle que pour tout x, y ∈R^d, on a

0≤g(x+y)≤ag(x)g(y).

Proposition 1.1.1 Soient g une fonction mesurable sous-multiplicative localement bornée de R^d et (X_t)_t_≥₀ un processus de Lévy d-dimensionnel de mesure de Lévy ν.

Alors, E(g(Xt))<∞ pour tout t si et seulement si R

|y|>1g(y)ν(dy)<∞.

Proposition 1.1.2 Soient (Xt)t≥0 un processus de L´evy d-dimensionnel, et g une fonction positive continue sous-multiplicative de R₊ dans R⁺ qui croˆıt vers l’infini.

Alors, les propositions suivantes sont ´equivalentes – E(g(sup_s_∈_[0,t]|Xs|))<∞ pour un certain t >0.

– E(g(sup_s_∈_[0,t]|Xs|))<∞ pour tout t >0.

– E(g(|Xt|))<∞ pour un certain t >0.

– E(g(|Xt|))<∞ pour tout t >0.

Pour les preuves de ces r´esultats, on peut voir [33].

Etant donné qu’on s’intéressera, dans la suite, à la modélisation des prix des actifs´ risqués par des exponentielles de processus de Lévy, nous énon¸cons ici une proposition qui caractérise la propriété martingale de tels processus (voir [7] propositions 3.17 et 3.18 ou [33])

Proposition 1.1.3 Soit Xt un processus de L´evy unidimensionnel de triplet caract´eristique (σ², γ, ν). Alors, on a

1. Le processus (Xt) est une martingale si et seulement si R

|y|≥1|y|ν(dy)<∞ et γ+

Z

|y|≥1

yν(dy) = 0.

2. Le processus (e^X^t) est une martingale si et seulement si R

|y|≥1e^yν(dy)<∞ et γ+ σ²

2 + Z

(e^y−1−y1_|_y_|_<1)ν(dy) = 0.

(19)

3. Si pour un certain u∈R, on aE(e^uX^t)<∞, pour toutt≥0, alors le processus

e^uXt E(e^uXt)

est une martingale.

Les processus de Lévy sont quasi-continus à gauche , cette propriété est l’objet de la proposition suivante (voir [18]).

Proposition 1.1.4 Soient τ un F-temps d’arrêt et (τ_n)_n_≥₀ une suite croissante de F-temps d’arrêt telle que limn→∞τn = τ P-presque sûrement. Alors, on a presque sûrement limn→∞Xτn = Xτ sur {τ < ∞}. Donc, si pour tout n, τn < τ, alors le processus X est continu à gauche en τ sur l’ensemble {τ < ∞}.

On finit cette partie, par une formulation du lemme d’Itˆo pour les processus de L´evy (voir[7]).

Proposition 1.1.5 Soit Xt un processus de L´evy de triplet caract´eristique (A, γ, ν).

Alors, pour toute fonction g de C² de R^d dans R , on a dg(Xt) = dVt+dMt, avec la partie drift

dVt=

"

γ.∇g+1 2

Xd i,j=1

Ai,j

∂²g

∂xi∂xj

+ Z

R^d

[g(Xt⁻+y)−g(Xt⁻)− ∇g.y1_|y|<1]ν(dy)

# dt et la partie martingale locale

dMt=∇g.AdBt+ Z

R^d

g(X_t−+y)−g(X_t−) ˜JX(dt, dy).

1.1.2 G´ en´ erateur infinit´ esimal

Le générateur infinitésimal de X est défini, pour tout g ∈ Cb² fonction bornée deux fois dérivable et dont les dérivées sont aussi bornées, par

A^X(g)(x) =A^cX(g)(x) +B^X(g)(x), avec

A^cX(g)(x) = γ.∇g(x) + 1 2

Xd i,j=1

A_i,j ∂²g

∂xi∂xj

(x), et

BX(g)(x) = Z

R^d

g(x+y)−g(x)− ∇g(x).y1_|_y_|_<1 ν(dy).

(20)

On peut définir aussi le générateur infinitésimal au sens des distributions pour toute fonction bornée g. En effet, A^cX(g) peut être défini au sens des distributions pour toute fonction g localement intégrable. Et pour toute fonction g ∈ L^∞, on peut définir la distribution B^X(g) telle que pour la fonction φ∈D(R^d), la fonction C^∞ à support compact, on a

hBX(g), φi=hg,B^∗X(φ)i, o`u BX^∗ est donn´e par

B^∗X(φ)(x) = Z

R^d

φ(x−y)−φ(x) +y.∇φ(x)1_{|y|≤1}ν(dy).

La fonction BX^∗(φ)(x) est continue int´egrable (voir [21]).

Nous présentons, maintenant, les hypothèses qui nous permettront de nous affranchir de l’hypothèse de bornitude de f dans ce qui précède. On définit pour toute la suite l’ensemble D^ν comme l’ensemble des fonctions mesurables de R^d dans R vérifiant l’hypothèse

(A) Il existe une fonction continue, positive, croissante et sous-multiplicative Φ de R₊ dans R₊ avec Φ(x)→∞∞ telle que

∀x∈RR^d, |f(x)| ≤Φ(|x|)

|y|>1Φ(|y|)ν(dy)<∞ (1.1) Nous consid´ererons, par abus de notation, qu’une fonction g(t, x) surI×R^d dans R appartient `a D^ν si pour tout t ∈I ⊂R⁺, la fonction g(t, .)∈ D^ν.

Proposition 1.1.6 Soient une fonction f ∈ D^ν et x∈R^d. Alors, E(sup

t≤T |f(X_t^x)|)<∞, avec X_t^x =x+Xt.

Preuve :

Soit f ∈ D^ν , on a alors, sup_t_∈_[0,T_]|f(X_t^x)| ≤ sup_t_∈_[0,T_]Φ(|X_t^x|). Comme Φ est croissante et sous-multiplicative, on a aussi

sup

t∈[0,T]

Φ(|x+Xt|)≤CΦ(|x|) sup

t∈[0,T]

Φ(|Xt|).

La croissance de Φ nous donne aussi sup

t∈[0,T]

Φ(|X_t|)≤Φ( sup

t∈[0,T]|X_t|).

(21)

Enfin grˆace aux propositions 1.1.1 et1.1.2, on obtient E(Φ( sup

t∈[0,T]|Xt|))<∞, donc

E( sup

t∈[0,T]|f(X_t^x)|)≤CΦ(|x|)E(Φ( sup

t∈[0,T]|X_t|))<∞.

Pour un ouvertU ⊂R^d, on noteD(U) l’ensemble des fonctionsC^∞`a support compact dans U.

Proposition 1.1.7 Soit g une fonction de D^ν. Alors, l’application Tg d´efinie sur D(R) par

Tg :φ7→ hg,B^∗X(φ)i= Z

g(x)B^∗X(φ)(x)dx, est une distribution sur D(R^d).

Preuve :

La linéarité de Tg découle de celle de BX^∗.

Soientg une fonction mesurable v´erifiant (A) et φune fonction deD(R^d), alors

|hg,B^∗X(φ)i| ≤ Z

R^d

|g(x)| Z

|φ(x−y)−φ(x)−y.∇φ(x)1_{|y|≤1}|ν(dy)dx

= Z

R^d

Z

|y|≤1|g(x)||φ(x−y)−φ(x) +y.∇φ(x)|ν(dy)dx +

Z

R^d

Z

|y|>1|g(x)||φ(x−y)−φ(x)|ν(dy)dx.

Soit K un compact tel que suppφ ⊂K. Alors pour tout y∈ B(0,1), la boule unité fermée, on a suppφ(.−y)⊂K+B(0,1) , d’où

(φ(x−y)−φ(x) +y.∇φ(x))1_{|y|≤1} = (φ(x−y)−φ(x) +y.∇φ(x))1_{|y|≤1}.1K+B(0,1)(x).

(22)

Ce qui nous permet d’´ecrire

|hg,BX^∗(φ)i| ≤ Z

K+B(0,1)|g(x)|1

2||D²φ||∞

Z

|y|≤1|y|²ν(dy)

| {z }

=C

dx

+ Z

R^d

Z

|y|>1|g(x)||φ(x−y)|ν(dy)dx+ Z

R^d

Z

|y|>1|g(x)||φ(x)|ν(dy)dx

≤ C Z

K+B(0,1)|g(x)|dx+ Z

|y|>1

Z

K|g(x+y)||φ(x)|dxν(dy) +ν(|y|>1)

Z

K|g(x)||φ(x)|dx.

Comme g ∈ D^ν, on a |g(x+y)| ≤ aΦ(|x|)Φ(|y|) et Φ localement born´ee (continue), donc

|Tg(φ)| ≤ C Z

K+B(0,1)

Φ(|x|)

1 +|φ(x)| Z

|y|>1

(aΦ(|y|) + 1)ν(dy)

dx (1.2)

< ∞.

Si (ϕp)p une suite de D(R^d) convergente¹ vers 0, alors (ϕp)_p et (D²ϕp)_p sont uni- formément convergentes sur K+B(0,1). On conclut, grâce à (1.2), que

Tg(ϕp) −→

p→∞0.

Remarque:

Si la fonction g est dans C²∩ D^ν et quek∇gk etkD²gk sont aussi dans D^ν, alors on retrouve

hBX(g), φi=hTg, φi.

On d´esignera, dans toute la suite, pour toute fonction g ∈ D^ν, par BX(g) la distribution Tg, et par A^X(g) la distribution A^cX(g) +B^X(g). On notera aussi A^∗X(g) l’op´erateur adjoint de AX, pour tout ϕ∈D(R^d),

hAX(g), ϕi=hg,A^∗X(ϕ)i.

1. Il existe un compact K et un entier N tels que pour tout p≥N, supp(ϕp)⊂K, et pour tout multi-indiceα∈N^d, chacune des suites de dérivées∂^αϕp converge uniformément surK.

(23)

On a A^∗X(g) = A^cX^∗(g) +BX^∗(g).

Dans ce qui suit, nous étendrons certaines propriétés de B^X vérifiées pour les fonctions de L^∞ aux fonctions de D^ν. Ces proposition nous permettent d’utiliser la régularisation.

Proposition 1.1.8 Soient (gn)n une suite de fonctions de D^ν et deux fonctions g, φ ∈ D^ν telles que (gn)n converge simplement vers g et, pour tout n ∈ N, on a

|g_n| ≤ φ. Alors, on a la convergence de la suite de distributions (AX(g_n))_n vers A^X(g).

La preuve de cette proposition est une conséquence direct du théorème de convergence dominée.

Lemme 1.1.1 Soit g une fonction de D^ν, alors pour toute fonction ϕ dans D(R^d), g∗ϕ est aussi une fonction de D^ν.

Preuve :

Soient g une fonction mesurable v´erifiant (A) etφ une fonction deD(R^d), alors pour tout x, y ∈R^d, |g(x−y)| ≤Φ(|x|+|y|), d’o`u

|g∗ϕ(x)| ≤ Z

R^d

Φ(|x|+|y|)|ϕ(y)|dy ≤ a Z

R^d

Φ(|y|)|ϕ(y)|dy

Φ(|x|)

= [a(Φ(|.|)∗ |ϕ|) (0)] Φ(|x|).

Proposition 1.1.9 Soitg une fonction deD^ν. Alors pour toute fonctionϕ ∈D(R^d), on a

B^X(g∗ϕ) = B^X(g)∗ϕ.

(cette ´egalit´e est au sens des distributions)

La preuve de cette proposition est très similaire au cas où g est bornée [21].

1.2 Caract´ erisation de la propri´ et´ e de surmartin- gale

On d´efinit, pour tout ouvert U ⊂R^d et toutx∈U , le temps d’arrˆet τ_U^x = inf{t≥0, x+Xt∈/ U}.

(24)

Proposition 1.2.1 Soit f une fonction de C²(R^d)∩ D^ν et k∇f(x)k,kD²f(x)k ∈ D^ν et soit U un ouvert de R^d. Alors, on a ´equivalence entre les deux propositions suivantes

– Le processus f(X_t^x_∧_τ^x

U) est une surmartingale pour tout x de U. – Pour tout x∈U, on a AXf(x)≤0.

Preuve :

Par le lemme d’Itˆo on a f(x+Xt) =f(x) +Rt

0 AXf(Xs+x)ds+Mt o`u Mt est une martingale locale. Soit (τ_n)_n_≥₁ une suite de temps d’arrˆet croissante telle que

– τn → ∞p.s.

– pour tout n ≥1,Mt∧τn est une martingale Supposons quef(X_t^x_∧_τ^x

U) est une surmartingale pour toutxdeU. Consid´erons ensuite un x∈U choisi arbitrairement, on a alors pour toutt ∈]0, T[

E(f(x+Xt∧τ_U^x∧τn))≤f(x).

Donc grˆace au lemme d’Itˆo, on obtient E(1

t

Z t∧τ_U^x∧τn

0 AXf(Xs+x)ds) = 1

tE(f(x+Xt∧τ_U^x∧τn)−f(x))≤0.

Afin d’appliquer le théorème de convergence dominée, nous majorons|AXf(Xs+x)|, pour tout s≤t

|AXf(Xs+x)| ≤ |γ|k∇f(X_s^x)k+C1kD²f(X_s^x)k +

Z

|y|≤1|f(X_s^x−+y)−f(X_s^x−)− ∇f(X_s^x−).y|ν(dy) +

Z

B^c(0,1)|f(X_s^x−+y)−f(X_s^x−)|ν(dy)

≤ C₁^′Φ(|X_s^x|) +C₂^′sup

|u|≤1||D²f(u+X_s^x)||

Z

|y|≤1|y|²ν(dy)ds +

Z

B^c(0,1)

Φ(|X_s^x|)(Φ(|y|) + 1)ν(dy)ds

≤ Φ(|x|) sup

s≤t

Φ(|Xs|)

C₁^′ +C₂^′Φ(1) Z

|y|≤|y1|²ν(dy)ds+ Z

B^c(0,1)

(Φ(|y|) + 1)ν(dy)ds

. En faisant tendren vers l’infini, on at∧τ_U^x∧τn→t∧τ_U^x et par convergence domin´ee, on obtient donc

E(1 t

Z t∧τ_U^x

0 AXf(X_s+x)ds)≤0.

(25)

Etant donné que´ f ∈ C²∩ D^ν et que X est continu à droite p.s. , on aA^Xf(Xs+x) est continue à droite p.s. et commeτ_U^x >0 p.s, on obtient, en faisant tendre tvers 0, que pour tout x dans U,

AXf(x)≤0.

Supposons, à présent, que pour tout x dans U, on a A^Xf(x) ≤ 0. Soient x ∈ U et deux réels positifs t, s tels que s≤t, alors

E(f(x+Xt∧τ_U^x∧τn)|Fs)

= E

"

(f(x) +

Z s∧τ_U^x∧τn

0 A^Xf(Xv+x)dv+

Z t∧τ_U^x∧τn

s∧τ_U^x∧τn

A^Xf(Xv+x)dv+Mt∧τ_U^x∧τn)|F^s

#

= f(x) +

Z s∧τ_U^x∧τn

0 AXf(Xv+x)dv+

=M_{s∧τ x}

U∧τn

z }| { E(Mt∧τ_U^x∧τn|Fs)

| {z }

=f(x+X_s_∧_{τ x}

U∧τn)

+E

Z t∧τ_U^x∧τn

s∧τ_U^x∧τn

AXf(Xv+x)dv

!

= f(x+Xs∧τ_U^x∧τn) +E Z t

s A^Xf(Xv +x)1_{_v<τ_U^x_∧_τ_n_}dv

. Or par hypoth`ese, on a AXf(Xv+x)1v<τ_U^x ≤0, donc

E(f(x+X_t_∧_τ_U^x_∧_τ_n)|Fs)≤f(x+X_s_∧_τ_U^x_∧_τ_n).

Commef est continue et que le processusX_t est quasi-continu `a gauche, on a f(x+X_s_∧_τ_U^x_∧_τ_n)−→n→∞ f(x+X_s_∧_τ_U^x).

Enfin, puisqueE(sup_t_∈_[0,T_]|f(X_t^x)|)<∞, on conclut par convergence domin´ee que E(f(x+Xt∧τ_U^x)|F^s)≤f(x+Xs∧τ_U^x).

On ´etend maintenant cette proposition aux fonctions dans D^ν mais non obligatoire- ment dans C²(R^d).

Proposition 1.2.2 Soient f une fonction continue de D^ν et U un ouvert de R^d. Alors, on a ´equivalence entre les deux assertions suivantes

– f(X_t^x_∧_τ^x

U) est une surmartingale pour tout x de U. – A^Xf ≤0 sur U, au sens des distributions.

(26)

Preuve :

On rappelle que, pour tout ouvert I ⊂R^d et tout z ∈I, on désigne par τ_I^z le temps d’arrêt ainsi défini τ_I^z = inf{t ≥0;z+X_t ∈/ I}.

Soit f une fonction continue v´erifiant (A).

1 ) Supposons que f(X_t^x_∧_τ^x

U) est une surmartingale pour tout x dans U. On a alors, pour tout x dans U et tout temps d’arrˆet τ,

E(f(x+Xt∧τ_U^x∧τ))≤f(x). (1.3) Soient a > 0 un réel positif arbitrairement choisi et Va ( U un ouvert tel que tout z ∈Va vérifie d(z, U^c)> a (quitte à choisira suffisamment petit). Considérons aussi une suite régularisante ρn tel que pour tout n,supp(ρn)⊂B(0,â₃). Pour tout x∈Va

et y∈B(0,^a₃), le temps d’arrˆetτ_V^x_a ≤τ_U^x⁻^y. En effet,

supposons que τ_U^x⁻^y < τ_V^x_a = inf{t ≥ 0;x+Xt ∈/ Va}, on a alors x+X_τ^x−y

U ∈ Va, d’o`u

x−y+X_τ^x−y

U ∈Va+B(0,a 3).

Or d Va+B(0,^a₃), U^c

≥a−^a₃ = ^2a₃ >0, d’o`ux−y+X_τ^x−y

U ∈/ U, ce qui est absurde.

Donc, en appliquant (1.3) avec le temps d’arrˆet τ =τ_V^x_a, on a E(f((x−y) +X_t_∧_τ^x

Va)) ≤ f(x−y) E(f((x−y) +Xt∧τ_Va^x ))ρn(y) ≤ f(x−y)ρn(y) Z

R^d

E(f((x−y) +Xt∧τ_Va^x ))ρn(y)dy ≤ Z

R^d

f(x−y)ρn(y)dy E(f∗ρn(x+Xt∧τ_Va^x )) ≤ f∗ρn(x).

D’après le lemme1.1.1, les fonctions f∗ρn vérifient les hypothèses de la proposition 1.2.1, on en déduit alors, que pour tout entier n et pour tout x∈Va, on a

AX(f∗ρn)(x)≤0.

On a aussi, d’après la proposition 1.1.9, l’égalité suivante au sens des distributions,

A^X(f)∗ρn =A^X(f∗ρn)≤0.

Donc en faisant tendre n vers l’infini, on a

AXf ≤0, sur Va (au sens des distributions).

(27)

Puisque Va a été choisi arbitrairement, l’inégalité s’étend donc sur tout U. 2 ) Supposons que A^Xf est une mesure négative surU.

On consid`ere la suite strictement croissante d’ouverts V¹

n

n∈N, alors V¹

n ↑ U. Soit ρn une suite r´egularisante telle que supp(ρn)⊂B(0,_n¹), alors pour tout m≥n, on a sur V¹

n, au sens des mesures

A^X(f)∗ρm ≤0.

En effet, pour toute fonction positive φ de D(V¹

n), on a en notant pour tout m, ˇ

ρm(x) = ρm(−x)

hAX(f)∗ρm, φi=hAX(f), φ∗ρˇmi, et puisque supp(φ∗ρˇm) ⊂ supp(ρm) +supp(φ) ⊂ B(0,_m¹) +V¹

n ⊂ U (i.e φ∗ρˇm ∈ D(U)), alors par hypoth`ese on a

hA^X(f)∗ρm, φi = hA^X(f), φ∗ρˇmi

≤ 0.

D’autre part, on a l’´egalit´e au sens des distributions A^X(f ∗ρm) =A^X(f)∗ρm ≤0 surV¹

n et donc, par r´egularit´e def∗ρm, on aAX(f∗ρm)(x)≤0 pour toutx∈V¹

n. En appliquant la proposition1.2.1, on obtient que f∗ρm(X_t^x_∧_τ^x

V1 n

) est une surmartingale pour tout x∈V¹

n et donc

E(f∗ρ_m(x+X_t_∧_τ_V^x

n1

)|Fs)≤f ∗ρ_m(x+X_s_∧_τ_V^x

n1

).

On fait tendre m vers l’infini

f∗ρm(x+Xs∧τ_V^x

n1

)→f(x+Xs∧τ_V^x

n1

), et

E(f ∗ρm(x+Xt∧τ_V^x

n1

)|Fs)→E(f(x+Xt∧τ_V^x

n1

)|Fs), d’o`u

E(f(x+Xt∧τ_V^x

1n

)|F^s)≤E(f(x+Xs∧τ_V^x

n1

)).

Montrons, maintenant, que τ_V^x₁

n →τ_U^x p.s.

On a V¹

n ր U, d’o`u τ_V^x₁

n

est croissante et limn→∞τ_V^x₁

n ≤ τ_U^x. En particulier, sur l’ensemble {limn→∞τ_V^x₁

n

=∞}, on a τ_U^x1_{lim_n→∞τ_V^x

n1

=∞} = lim

n→∞τ_V^x₁

n

=∞1_{lim_n→∞τ_V^x

1n

=∞}.

(28)

Sur l’ensemble {limn→∞τ_V^x₁

n

<∞}, on a dis(X_τ^x^x

V1 n

, U^c)≤ 1 n,

de plus, grâce à la quasi-continuité de X et la continuité de la fonction distance, on obtient

dis(X_lim^x _n→∞_τ^x

V1 n

, U^c) = 0, d’o`u limn→∞τ_V^x₁

n ≥τ_U^x et donc

nlim→∞τ_V^x₁

n

=τ_U^x.

A présent, en faisant tendre` n vers l’infini, toujours par quasi-continuité de Xt et continuité de f, on conclut que f(Xτ_V^x

n1

+x) converge vers f(Xlimn→∞τ_V^x

n1

+x) = f(X_τ_U^x +x). Enfin, par convergence domin´ee (f ∈ D^ν), on a bien

E(f(x+X_t_∧_τ_U^x)|Fs)≤f(x+X_s_∧_τ_U^x).

Corollaire 1.2.1 Soient U un ouvert de R^d, un processus de Lévy Xt de mesure de Lévy ν et f une fonction continue de D^ν. Alors, le processus e⁻^rtf(X_t^x) est une martingale (respectivement une sous-martingale) pour tout x∈U si et seulement si la mesure A^rf = 0 sur U (respectivement A^rf ≥0 sur U), où

A^rf =A^Xf−rf.

1.3 Options am´ ericaines et In´ equation variation- nelle

La valeur d’une option américaine d’échéance T et de pay-off f, à une date t ≤ T, est donnée par l’expression suivante

Pt =ess sup

τ∈Tt,T

E e⁻^r(τ⁻^t)f(Xτ)|Ft

,

oùX_test un processus de Lévy etTt,T est l’ensemble des temps d’arrêt à valeurs dans [t, T]. Dans ce cadre Markovien et sous les hypothèses d’intégrabilité nécessaires, on a la proposition suivante (voir [15, 11])

(29)

Proposition 1.3.1 On d´efinit la fonction uf, pour tout (t, x)∈[0, T]×R^d, par uf(t, x) = sup

τ∈Tt,T

E(e⁻^r(τ⁻^t)f(X_τ^t,x)|F^t) = sup

τ∈T0,T−t

E(e⁻^rτf(X_τ^0,x)).

Alors,

uf(t, Xt) =ess sup

τ∈Tt,T

E e⁻^r(τ⁻^t)f(Xτ)|Ft

=Pt.

Le processus (e⁻^rtuf(t, Xt))0≤t≤T est l’enveloppe de Snell du processus (e⁻^rtf(t, Xt))0≤t≤T, la plus petite surmartingale qui majore ce dernier. On a aussi une caract´erisation du plus petit temps d’arrˆet optimal τ^∗ (voir [11]), par

τ^∗ = inf

s∈[0, T], uf(t+s, X_s^0,x) =f(X_s^0,x) . On a donc

uf(t, x) = E(e⁻^rτ^∗f(X_τ^0,x∗ )).

1.3.1 In´ equation variationnelle

Il a été déjà démontré, dans le cas où f est continue bornée (voir [27]), que la fonction uf est continue. Nous commen¸cons donc par montrer la continuité de uf

quand f ∈ D^ν. Ensuite, nous établirons le résultat principal de cette partie qui caractérise le prix d’une option américaine comme l’unique solution d’une inéquation variationnelle.

Proposition 1.3.2 Soient f une fonction continue bornée et T >0 un réel positif fixé, alors la fonction uf(t, x) est continue sur [0, T]×R^d.

Dans la proposition suivante, on établit la continuité de u_f quand f n’est plus borné mais f ∈ D^ν.

Proposition 1.3.3 Soient f une fonction continue de D^ν et T un r´eel positif fix´e, alors la fonction u_f(t, x) est continue sur [0, T]×R^d.

Preuve :

Soit f une fonction de continue de D^ν et consid´erons la suite de fonctions (fn)n≥1

d´efinie comme ceci 





−n if f(x)<−n f(x) if f(x)∈[−n, n]

n if f(x)> n