`APROPOSDEHEINRICHOLBERS 1 / 7

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSS ´´ EES.

ECOLES NATIONALES SUP ´´ ERIEURES DE L’A ´ERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANC ´EES, DES T ´EL ´ECOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT– ´ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES T ´EL ´ECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE,

ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI `´ ERE TSI) CONCOURS D’ADMISSION 2009 PREMI `ERE ´EPREUVE DE PHYSIQUE

Fili`ere MP

(Dur´ee de l’´epreuve: 3 heures) L’usage de la calculatrice est autoris´e

Sujet mis `a disposition des concours : ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE–EIVP, Cycle international

Les candidats sont pri´es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi`ere page de la copie : PHYSIQUE I — MP.

L’´enonc´e de cette ´epreuve comporte 7 pages.

– Si, au cours de l’´epreuve, un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il est invit´e `a le signaler sur sa copie et `a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´et´e amen´e `a prendre.

– Il ne faudra pas h´esiter `a formuler les commentaires (incluant des consid´erations num´eriques) qui vous sembleront pertinents, mˆeme lorsque l’´enonc´e ne le demande pas explicitement. Le bar`eme tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualit´es de r´edaction de la copie.

A PROPOS DE HEINRICH OLBERS `

L’astronome allemand HEINRICHW. M. OLBERS(1758—1840) d´ecouvrit les ast´ero¨ıdes Pallas et Vesta en 1802 et en 1807 ; en 1831, il r´ealisa la premi`ere observation de la com`ete qui porte son nom (13P/Olbers). Les caract´eristiques orbitales de cette com`ete ont ´et´e d´etermin´ees initialement par C. F. GAUSSet F. BESSEL. Elle a ´et´e observ´ee pour la derni`ere fois lors de son passage au p´erih´elie (distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines propri´et´es de cette com`ete sont examin´ees dans la Partie I.

OLBERSa aussi ´etudi´e le paradoxe qui porte aujourd’hui son nom : si l’univers contient une multitude d’´etoiles distribu´ees `a peu pr`es r´eguli`erement, un observateur terrestre qui observe le ciel dans une direction arbitraire devrait toujours voir au moins une ´etoile, aussi lointaine soit-elle ; tout point du ciel devrait donc sembler brillant, de jour comme de nuit. Certains aspects de cette affirmation paradoxale seront discut´es dans la partie II.

Les vecteurs sont not´es en caract`eres gras :v,Fet leurs normes en italiquekvk=v,kFk=F. Dans le syst`eme de coordonn´ees sph´eriques(r,θ,ϕ)et dans la base orthonorm´ee(er,eθ,eϕ), on rappelle quegradf(r,θ,ϕ) =∂f

∂rer+1 r

∂f

∂ θe_θ+ 1 rsinθ

∂f

∂ ϕeϕ. On note ˙x=dx

dt la d´eriv´ee d’une fonctionx(t).

I. — La com`ete 13P/Olbers

Les parties I.A et I.B de ce probl`eme peuvent ˆetre abord´ees ind´ependamment.

I.A. — Mouvements com´etaires

On ´etudie dans cette partie le mouvement d’un corps ponctuelMde massem, soumis `a l’action d’un centre attracteur fixe `a l’origineOdes coordonn´ees d’un r´ef´erentiel galil´eenR. On poserar=kOMk.

L’action de ce centre attracteur est d´ecrite par une force uniqueF=−m·gradU(r), o`uUest une fonction suppos´ee connue. On note aussivla vitesse deMdansR,LO=mOM∧v,L=kLOk>0 etC=L/m

1 —Montrer que le mouvement deMest plan.

On choisira d’appeler(Oxy)ce plan, orient´e par la conventionLO=Lez; l’´etude du mouvement de Mdans(Oxy)s’effectuera en coordonn´ees polaires(r,ϕ).

2 —On noteE=mεl’´energie m´ecanique deM. Exprimerεen fonction der,C, ˙retU(r).

Le pointMest en fait le centre d’une com`ete sph´erique et homog`ene se d´eplac¸ant dans le champ de gravitation du Soleil (de masseM_⊙). Pour tout le reste de la partie I.A, on adopte l’expression U(r) =−K/r o`uK est une constante, et l’on se place dans le r´ef´erentiel suppos´ee galil´een dans lequel le Soleil est fixe, homog`ene et sph´erique. De plus, on n´eglige l’influence des tous les autres corps du syst`eme solaire.

3 —ExprimerKen fonction de la constante de la gravitation universelleG et de la masse du SoleilM⊙.

4 —A quelle condition sur` εle mouvement deMv´erifie-t-ilr_min6r6rmax<∞avecr_min6=rmax? Les constantesrminetrmaxsont respectivement appel´ees p´erih´elie et aph´elie de la trajectoire.

On suppose d´esormais que la condition de la question 4 est v´erifi´ee. L’origine des instants (t=0) et des angles polaires (ϕ=0) sera choisie de sorte quer(t=0) =rmin,ϕ(t=0) =0.

5 —Exprimer εetCen fonction deK,r_minetr_maxpuis en fonction deK,a=rmax+r_min

2 et

p=rmaxrmin

a .

6 —Quelle est, sans d´emonstration, la nature de la trajectoire deM? Indiquer en justifiant votre r´eponse, la signification physique des param`etresa,pete=r_max−r_min

rmax+rmin

? Repr´esenter la trajectoire deMen pr´ecisant les points et dimensions remarquables.

7 —On ´etudie la partie de la trajectoire pour laquelle 0<ϕ<π. Quel est alors le signe de ˙r? Exprimer ˙ren fonction deε,K,Cetr. Montrer que la dur´eeτde parcours dermin`ar(ϕ)le long de cette trajectoire s’´ecrit

τ= ra

K Z_r(ϕ)

r_min

r

pa²e²−(r−a)²dr

8 —On effectue le changement de variabler=a(1−ecosξ). L’angleξ est appel´eanomalie excentrique. Exprimer la dur´eeτ du trajet du mobileMdepuis l’instant initial jusqu’`a sa position actuelle rep´er´ee parξ, en fonction deξ,e,aetKpuis deξ,eet de la p´eriodeTdu mouvement deM.

Quel est le nom de la relation qui lieT,Keta?

On consid`ere que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est circulaire, de rayona<sub>0</sub>=1 UA (unit´e astronomique) et de p´eriodeT0=1 ann´ee=365,25 jours. Les caract´eristiques orbitales, assez stables, de la com`ete 13P/Olbers sont les suivantes : excentricit´ee=0,930 ; distance au Soleil au p´erih´elie rmin=1,18 UA. On admettra que les relationsτ(ξ)etr(ξ)se g´en´eralisent `a tout point de la trajectoire de cette com`ete.

9 —A quelle date la com`ete reviendra-t-elle pour la prochaine fois au p´erih´elie ? `` A quelle date la com`ete se trouvera-t-elle la prochaine fois `a la distancer=26,06 UA du Soleil ?

Com`ete Ikeya-Zhang photographi´ee en 2002 `a l’observatoire de Haute-Provence.

I.B. — La queue de la com`ete

En 1811, OLBERSproposa pour la premi`ere fois une th´eorie quantitative pour expliquer la formation de la queue des com`etes, en imaginant que les particules qui la composent sont soumises `a une force r´epulsive d’origine ´electrique variant comme le carr´e de l’inverse de la distance au Soleil. On connaˆıt aujourd’hui le m´ecanisme de formation de la queue de la com`ete, en particulier si elle est form´ee de poussi`eres solides.

C1 C2 C3

S1

S₂

φ φ φ

Les poussi`eres sont entraˆın´ees par un flux de particules (le vent solaire) ´emises par le Soleil et se d´eplac¸ant `a une vitesse de l’ordre de 400 km·s⁻¹. On ´etudie pour simplifier (cf. ci-dessus) une com`ete se d´eplac¸ant en ligne droite `a la vitesse de 30 km·s⁻¹; la droite en traits pleins d´esigne la trajectoire de la com`ete, et les traits pointill´es la direction du vent solaire.

10 —En justifiant votre r´eponse, indiquer si le Soleil est dispos´e du cˆot´eS₁ou du cˆot´eS₂sur la figure ci-dessus.

11 —En justifiant tout autant la r´eponse et sur cette mˆeme figure, la com`ete se d´eplace-t-elle dans le sensC1→C2→C3ou dans le sensC3 →C2→C1? Calculer l’angleφ entre la direction Soleil–com`ete et la direction moyenne de la queue de la com`ete.

FIN DE LA PARTIE I

II. — Le paradoxe d’Olbers

Les parties II.A, II.B et II.D de ce probl`eme peuvent ˆetre abord´ees de mani`ere ind´ependante, `a condi- tion ´eventuellement d’admettre les r´esultats donn´es par l’´enonc´e s’ils n’ont pas pu ˆetre ´etablis.

II.A. — ´ Equilibre thermique et rayonnement

On ´etudie un gaz parfait en ´equilibre thermique `a la temp´eratureT (uniforme) dans un champ de forces ext´erieures ; la forceFexerc´ee sur une mol´ecule du gaz de massemestF=mG, o`u le champ de forcesG=−gradUd´erive du potentielU.

On noteRla constante molaire des gaz parfaits,N_Ala constante d’AVOGADRO,M=N_Amla masse molaire du gaz etk=R/N_Ala constante de BOLTZMANN. La pression dans le gaz est not´eeP.

z z+dz

bb

z

G 12 —On consid`ere un volume ´el´ementaire de ce gaz, d’extension suffisam-

ment faible pour que l’on puisse consid´erer le champ de gravitationG=−Gez

constant sur ce volume. Ce volume sera constitu´e d’un cylindre de gaz, com- pris entre les altitudeszetz+dz, de sectionSet de hauteur dz, en ´equilibre m´ecanique sous l’action du champ de forcesGet des forces de pression. Expri- mer la d´eriv´ee dP/dzen fonction deG,P,T,metk.

13 — En d´eduire une ´equation diff´erentielle reliantPetU, avec comme param`etresm,ketT. Montrer enfin qu’`a l’´equilibre thermique, la densit´e parti- culaire dans le gaz (n: nombre de mol´ecules par unit´e de volume) v´erifien=n0exp

−E kT

, o`un0

est une constante, etE=mUest l’´energie potentielle d’une mol´ecule dans le champU.

Nous admettrons dans la suite la g´en´eralit´e de ce r´esultat : le nombre de mol´ecules d’´energie E dans une assembl´ee de mol´ecules `a l’´equilibre thermique `a la temp´erature T est proportionnel `a exp(−E/kT).

On d´ecrit maintenant un corps solide en ´equilibre thermique `a la temp´eratureT. Les atomes formant ce corps sont, dans ce mod`ele, r´epartis en deux populations, `a raison den1atomes par unit´e de volume

`a l’´energieE<sub>1</sub>etn<sub>2</sub>atomes par unit´e de volume `a l’´energieE₂, avecE₂>E₁.

Ce solide absorbe et ´emet en permanence un rayonnement ´electromagn´etique, que l’on d´ecrira ici comme une assembl´ee de particules (photons) ; on ne s’int´eresse ici qu’aux photons de fr´equences voisines deν= (E2−E1)/h(o`uhest la constante de PLANCK) susceptibles d’ˆetre absorb´es ou ´emis lors des transitions entre les deux niveaux d’´energie.

Selon un mod`ele propos´e par EINSTEIN, les processus d’´emission et d’absorption des photons par le solide se compensent et sont r´egis par les ´equations diff´erentielles

dn₁ dt =−dn₂

dt =A(ν)n2+ [−B(ν)n1+C(ν)n2]uν(ν,T)

o`uuν(ν,T)repr´esente la densit´e volumique spectrale d’´energie ´electromagn´etique : si l’on note n^∗(ν,T) le nombre de photons par unit´e de volume et par unit´e de fr´equence, on a alors la re- lation uν(ν,T) =hνn^∗(ν,T); les grandeurs positivesA(ν), B(ν) etC(ν), appel´ees coefficients d’EINSTEIN, ne d´ependent que de la fr´equenceν.

On suppose finalement que lim

T→+∞n₁= lim

T→+∞n₂=n_o.

14 —Quelles sont les unit´es SI de mesure et la signification physique des grandeursuν(T),A(ν), B(ν)etC(ν)?

15 —D´eterminer l’expression du rapport n2/n1 `a l’´equilibre. En utilisant la relation ´etablie

`a la question 13, montrer que l’on peut trouver 2 fonctionsF(ν) etH(ν) telles queuν(ν,T) = F(ν)

exp

hν kT

−H(ν) −1

. On exprimeraF(ν)etH(ν)en fonction deA(ν),B(ν)etC(ν).

II.B. — Loi de Planck

La loi dite de PLANCKdonne les expressions de la densit´e volumique spectrale d’´energie uν du rayonnement `a l’´equilibre thermique, et du flux surfacique spectral jν ´emis `a la surface d’un corps noir :

uν(ν,T) = 8πhν³ c³

exp

hν kT

−1

etjν(ν,T) = 2πhν³ c²

exp

hν kT

−1

o`ucest la vitesse de la lumi`ere dans le vide.

16 —Montrer que la loi de PLANCKest compatible avec les r´esultats de la question 15. D´eterminer les rapportsC(ν)/B(ν)etA(ν)/B(ν).

17 —Montrer que le flux surfacique total j rayonn´e par un corps noir se met sous la forme j=σT^ψ; On justifiera soigneusement la valeur deψet on exprimera la constanteσ en fonction de k,h,cet de l’int´egraleI=^R₀^∞e^−xx³[1−e^−x]⁻¹dx.

18 —En utilisant la relation∀ |z|<1,(1−z)⁻¹=

∞

∑

n=0

zⁿ, exprimerIen fonction de certaines valeurs des fonctionsΓd’EULERetζde RIEMANN, on rappelle que

∀x∈R^∗,Γ(x) = Z_∞

0

e^−tt^x−1dt, Γ(x+1) =xΓ(x)etζ(x) =

∞ n=1

∑

1 n^x.

On peut calculerΓ(1) =1,ζ(4) =π⁴/90, et mesurerk=1,38×10⁻²³J.K⁻¹,h=6,62×10⁻³⁴J.s, c=3,00×10⁸m.s⁻¹, d´eterminer la valeur num´erique deσ. Quel est le nom de cette constante ?

II.C. — Le ciel est clair, le jour. . .

On ´etudie ici un mod`ele simplifi´e d’univers illimit´e, les ´etoiles ´etant toutes assimil´ees `a des sph`eres de mˆeme rayonR⊙, de mˆeme temp´erature de surfaceT⊙, dont le rayonnement est r´egi par la loi de PLANCKaffirm´ee `a la partie II.B. Ces ´etoiles sont r´eparties statistiquement de mani`ere quasi-uniforme

`a raison den⊙ ´etoiles par unit´e de volume (n⊙R<sup>3</sup><sub>⊙</sub>≪1) dans tout l’univers, consid´er´e comme une sph`ere de grand rayonR_∞et de centreO. L’espace compris entre les ´etoiles est vide.

On consid`ere une plan`ete sph´erique, de centreO, de rayonR_p, dispos´ee au voisinage d’une des ´etoiles ci-dessus (appel´ee ´etoile locale) et `a beaucoup plus grande distance de toutes les autres ´etoiles de l’univers. La distancedentre le centre de la plan`ete et celui de son ´etoile locale v´erified≫R_⊙>R_p. On n´eglige toute pr´esence d’atmosph`ere autour de la plan`ete, et on fait l’hypoth`ese que cette derni`ere montre toujours la mˆeme face `a l’´etoile locale.

Pour les applications num´eriques, on adoptera les valeurs relatives au couple Soleil-Terre :T_⊙= 5 700 K,R_⊙=750 000 km,d=150×10⁶km.

19 —Dans un premier mod`ele, on ne tient compte que de l’´etoile locale. On consid`ere d’une part que la face ´eclair´ee de la plan`ete est `a temp´erature uniformeTeet d’autre part que cette plan`ete ´emet un rayonnement conforme `a la loi de PLANCK. D´eterminer l’expression et la valeur num´erique deT_e en r´egime permanent. Quelle est, dans ce mod`ele, la temp´erature de la face non ´eclair´ee ?

z θ

P

C 20 —On ´etudie maintenant un mod`ele o`u la temp´erature de la partie

´eclair´ee de la plan`ete n’est pas uniforme ; un pointPde la face ´eclair´ee est caract´eris´e par l’angleθfait par le rayon vecteurCPmen´e depuis le centreC de la plan`ete avec la direction d’´eclairement. D´eterminer, `a l’´equilibre radia- tif local, l’expression de la temp´eratureT(θ)d’un point de la face ´eclair´ee en fonction deT<sub>⊙</sub>,R<sub>⊙</sub>,detθ. On d´efinit la temp´erature moyenne de la plan`ete par ¯T=1

S ZZ

T(P)dS, l’int´egrale ´etant ´etendue `a toute la surfaceSde la plan`ete. D´eterminer l’ex- pression et la valeur num´erique de ¯T.

21 —Ce mod`ele vous paraˆıt-il satisfaisant pour d´ecrire la temp´erature de surface de la Terre ? Comment proposeriez-vous de l’am´eliorer ?

On adopte enfin un mod`ele plus complet, destin´e `a rendre compte des ´echanges thermiques entre les diff´erentes parties adjacentes de la surface de la plan`ete. Celle-ci est d´ecrite comme une couche sph´erique de rayonRp, de faible ´epaisseure≪Rp, conductrice thermique avec la conductivit´e ther- miqueλ constante. En r´egime permanent, la temp´erature de sa surfaceT(θ) ne d´epend que de l’angleθ.

22 — Rappeler et justifier qualitativement la loi de FOURIERde la conduction thermique. En d´eduire que la temp´eratureT(θ)v´erifie l’´equation diff´erentielle

1 sinθ

d dθ

sinθdT

dθ

+α

Z⁴(θ)−T⁴(θ)

=0

on exprimera la constanteαen fonction des donn´ees du probl`emes et la fonctionZ(θ)en fonction de T<sub>⊙</sub>,R<sub>⊙</sub>etdpour 06θ6π.On ne cherchera pas `a r´esoudre cette ´equation diff´erentielle.

II.D. — . . . et la nuit ?

Dans les mod`eles d´evelopp´es ci-dessus, la temp´erature des plan`etes sur leur face sombre apparaˆıt comme tr`es faible ; elles ne sont en effet ´eclair´ees que par«cette obscure clart´e qui tombe des ´etoiles» (CORNEILLE). Nous allons estimer, avec OLBERS, que la quantit´e de lumi`ere rec¸ue ainsi est pourtant a prioriloin d’ˆetre n´egligeable.

Dans cette partie, on ´etudie une plan`ete isol´ee, sans ´etoile locale, et donc plong´ee dans une nuit perp´etuelle : la surface de la plan`ete n’est ´eclair´ee que par un ciel nocturne. Revenant au mod`ele pr´esent´e au d´ebut de la partie II.C, on suppose les ´etoiles r´eparties uniform´ement `a raison den_⊙ par unit´e de volume, `a une distance variablerdu centreCde la plan`ete, sph´erique de rayonRp. On rappelle quervarie der₀>R_p`aR_∞≫r₀.

2R_p Plan`ete (le sch´ema n’est pas `a l’´echelle)

r

Une ´etoile

Le rayonnement de chaque

´etoile est isotrope

23 —Exprimer le nombre dNd’´etoiles comprises entre deux sph`eres de centreCet de rayonret r+dr. En d´eduire la puissance thermique rec¸ue par la plan`ete de la part de ces ´etoiles. On n´egligera ici tout ph´enom`ene d’absorption ou d’ombre : les ´etoiles ne s’occultent pas. En d´eduire que la puissance totale rec¸ue par la plan`ete s’´ecritP=κR∞, o`u on exprimeraκ en fonction de la constanteσ des questions 17 et 18 ainsi que deT_⊙,R_⊙,R_petn_⊙.

24 —Leparadoxe de la nuit noireouparadoxe d’Olberspeut ˆetre exprim´ee ainsi :«si l’univers est infini, le rayonnement provenant des ´etoiles l’est aussi et le ciel de nuit devrait ˆetre clair ; si par contre l’univers est fini, il n’est pas stable et s’effondrera.»Expliquer bri`evement la nature de l’instabilit´e

´evoqu´ee ici.

Le paradoxe de la nuit noire ne se pr´esente plus dans le cadre des mod`eles d’univers modernes (en particulier dans le mod`ele cosmologique standard, ou«big bang»). Dans ce mod`ele, l’univers est fini et une ´etoile quelconque situ´ee `a la distancerde la plan`ete de l’observateur s’´eloigne de celui-ci radialement `a la vitesseV=H0·r, o`uH0=2,5×10⁻¹⁸s⁻¹est la constante de HUBBLE.

On sait aussi, en supposant valide la cin´ematique classique non relativiste, que la longueur d’ondeλ_a apparente de la lumi`ere rec¸ue de la part d’une ´etoile qui ´emet de la lumi`ere `a la longueur d’ondeλ<sub>⊙</sub> estλa=λ<sub>⊙</sub>(1+V/c), o`uc=3,0×10⁸m·s⁻¹est la vitesse de la lumi`ere : c’est l’effet DOPPLER- FIZEAU.

25 —En utilisant la loi de PLANCKdonn´ee en II.B, montrer que la longueur d’ondeλmcorrespon- dant au maximum d’´emission de rayonnement d’´energie thermique d’un corps solide `a la temp´erature T, v´erifie la relationλ_m = µ/T. On exprimera la constanteµen fonction deh,k,cetx^∗solution non nulle de l’´equation 3−x=3e^−x. Comment s’appelle cette loi ?

26 —En utilisant la loi pr´ec´edente et en supposant valide la cin´ematique classique non relativiste, d´eterminer la temp´erature apparenteT_a d’une ´etoile situ´ee `a la distance r de l’observateur. Faire l’application num´erique pour une ´etoile semblable au Soleil, mais situ´ee `a dix milliards d’ann´ees- lumi`ere de la Terre (une ann´ee-lumi`ere est la distance parcourue dans le vide par la lumi`ere pendant une ann´ee).

27 —En consid´erant toujours la cin´ematique classique non relativiste, montrer que l’effet DOPPLER- FIZEAUpermet de lever le paradoxe d’OLBERSdans un univers infini. On donnen⊙≈10⁻⁵⁷m⁻³ ainsi que le flux surfacique moyen rec¸u du Soleil sur la Terrej_⊙≈1 kW.m⁻².

28 —Le mod`ele du«big bang»pr´evoit que l’univers est ˆag´e d’environ 13,7 milliards d’ann´ees.

Montrer que dans le cadre de ce mod`ele et sans mˆeme consid´erer l’effet DOPPLER-FIZEAU, le para- doxe d’OLBERSne tient plus. On noteraR<sub>th</sub>la distance maximale de l’´etoile observable dans le cadre du mod`ele du«big bang».

29 —La longueur d’onde du maximum du rayonnement thermique du Soleil estλ_⊙=520 nm.

Les processus physiques les plus anciens observ´es, et donc les plus lointains, sont associ´es au rayon- nement diffus cosmologique. Ce rayonnement a une temp´erature apparenteT_a=2,7 K. Quelle est la longueur d’onde apparenteλ_aassoci´ee au maximum d’´emission du rayonnement diffus cosmolo- gique ? Dans quel domaine spectral se situe-t-elle ? Savez-vous quand et par qui ce rayonnement a ´et´e d´ecouvert ?

FIN DE LA PARTIE II FIN DE L’ ´EPREUVE