Inférence géométrique discrète

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Inférence géométrique discrète

Louis Cuel

To cite this version:

Louis Cuel. Inférence géométrique discrète. Interface homme-machine [cs.HC]. Université de Grenoble,

2014. Français. �NNT : 2014GRENM074�. �tel-01551790�

TH ` ESE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSIT ´ E DE GRENOBLE

Sp ´ecialit ´e : Math ´ematiques Appliqu ´ees

Arr ˆet ´e minist ´eriel : 7 ao ˆut 2006

Pr ´esent ´ee par

Louis Cuel

Th `ese dirig ´ee par Jacques-Olivier Lachaud et codirig ´ee par Boris Thibert

pr ´epar ´ee au sein Laboratoire de Math ´ematiques de l’universit ´e de Sa- voie / Laboratoire Jean Kuntzmann

et de Math ´ematiques, Sciences et Technologie de l’Information, Infor- matique

Inf ´erence G ´eom ´etrique Discr `ete

Th `ese soutenue publiquement le 18 d ´ecembre 2014, devant le jury compos ´e de :

M. Simon Masnou

Professeur `a l’universit ´e Lyon 1, Pr ´esident

M. Pierre Alliez

Directeur de recherche `a l’INRIA Sophia-Antipolis, Rapporteur

M. R ´emy Malgouyres

Professeur `a l’universit ´e d’Auvergne, Rapporteur

M. Jacques-Olivier Lachaud

Professeur `a l’universit ´e de Savoie, Directeur de th `ese

M. Boris Thibert

Maˆıtre de conf ´erence `a l’universit ´e Joseph Fourier, Co-Directeur de th `ese

U NIVERSIT ´ E J OSEPH F OURIER

Ecole Doctorale MSTII ´

Math´ ematiques, Sciences et Technologie de l’Information, Informatique

TH` ESE

pour obtenir le grade de D OCTEUR de l’Universit´ e Joseph Fourier Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques Appliqu´ ees

pr´ epar´ ee au laboratoire Laboratoire de Math´ ematiques de l’universit´ e de Savoie / Laboratoire Jean Kuntzmann

pr´ esent´ ee et soutenue publiquement le 18 d´ ecembre 2014 par

Louis Cuel

Inf´ erence G´ eom´ etrique Discr` ete

Directeur de th` ese : Jacques-Olivier Lachaud Co-directeur de th` ese : Boris Thibert

Jury

M. Pierre Alliez, Rapporteur

M. R´ emy Malgouyres, Rapporteur

M. Simon Masnou, Examinateur

M. Jacques-Olivier Lachaud, Directeur de th` ese

M. Boris Thibert, Co-directeur de th` ese

Sommaire

Sommaire . . . . iii

I NTRODUCTION G´ EN ´ ERALE 1 1 Inf´ erence g´ eom´ etrique . . . . 2

2 Tour d’horizon des m´ ethodes d’estimation . . . . 3

3 Fonctions distances . . . . 5

4 Contributions / R´ esum´ e de la th` ese . . . . 6

I I NF ´ ERENCE G´ EOM ´ ETRIQUE ET F ONCTION D ISTANCE 11 1 F ONCTION D ISTANCE 13 1 Fonction distance et ensemble ` a reach positif . . . . 14

2 Formule des tubes . . . . 16

2.1 Mesure de Hausdorff . . . . 16

2.2 Volume d’un offset . . . . 17

3 Stabilit´ e de la projection . . . . 20

3.1 Stabilit´ e L

. . . . 20

3.2 Pseudo-continuit´ e de la projection . . . . 21

2 E STIMATION DE N ORMALES ET A NALYSE EN C OMPOSANTES P RINCIPALES 25 1 Stabilit´ e de l’analyse en composantes principales . . . . 26

1.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 26

1.2 Stabilit´ e dans R

. . . . 27

1.3 D´ emonstration du Th´ eor` eme de stabilit´ e. . . . . 28

2 Application en G´ eom´ etrie Digitale . . . . 33

2.1 Pr´ erequis en G´ eom´ etrie Digitale . . . . 33

2.2 Convergence multigrille de l’estimateur de normale ACP . . 35

3 Exp´ erimentations . . . . 38

3.1 Exp´ erimentations sur les nuages de points . . . . 38

3.1.1 Validation en 2D . . . . 38

3.1.2 Heuristique sur les Surfaces en 3D . . . . 39

3.2 Exp´ erimentations en g´ eom´ etrie discr` ete . . . . 40

3.3 Analyse en composantes principales pond´ er´ ee . . . . 43

3 D IGITAL V ORONOI C OVARIANCE M EASURE 47 1 Voronoi covariance measure . . . . 48

1.1 Nuages de points . . . . 49

1.2 Surface lisse . . . . 49

1.3 Stabilit´ e . . . . 49

2 VCM sur des ensembles digitaux . . . . 50

2.1 D´ efinition . . . . 50

2.2 Convergence multigrille de l’estimateur VCM . . . . 50

2.3 Estimation du VCM d’un nuage de points. . . . 51

2.4 Stabilit´ e du VCM. . . . 53

3 Convergence multigrille de l’estimateur de normale . . . . 54

4 Exp´ erimentations . . . . 57

II D ISTANCES R OBUSTES POUR L ’I NF ´ ERENCE G´ EOMETRIQUE 61 4 F ONCTIONS DISTANCE - LIKE 63 1 G´ en´ eralit´ es . . . . 64

1.1 D´ efinition . . . . 64

1.2 Stabilit´ e des gradients des fonctions distance-like . . . . 65

2 Distance ` a une mesure . . . . 66

2.1 D´ efinition . . . . 66

2.2 Stabilit´ e de la distance ` a une mesure . . . . 67

2.3 Distance ` a une mesure et distance ` a un compact . . . . 67

3 Exemples de fonctions distance-like calculables . . . . 68

3.1 Witnessed-k-distance . . . . 68

3.2 Median-k-distance . . . . 69

3.3 Center-k-distance . . . . 70

3.4 Une approximation de la k-distance support´ ee par P . . . . 70

5 V ORONOI C OVARIANCE M EASURE G´ EN ´ ERALIS ´ E 71 1 Introduction . . . . 71

2 δ-Voronoi covariance measure . . . . 72

2.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 72

2.2 Stabilit´ e du δ-VCM . . . . 74

2.3 d´ emonstration du th´ eor` eme 5.5 . . . . 75

3 Exemples de δ-VCM . . . . 77

3.1 VCM utilisant la distance ` a une mesure . . . . 77

3.2 VCM utilisant la witnessed k-distance . . . . 77

3.3 Autres variantes du δ-VCM . . . . 78

4 Impl´ ementation et Exp´ erimentations . . . . 78

4.1 Calcul du VCM pour une distance de puissance . . . . 78

4.1.1 Intersection . . . . 78

4.1.2 Int´ egration . . . . 79

4.2 Evaluation du ´ d

-VCM . . . . 79

4.2.1 Estimation des normales . . . . 80

4.2.2 Estimation de la courbure et d´ etection des arˆ etes vives . . . . 83

4.3 Comparaison avec le d

-VCM . . . . 85

4.4 d

-VCM digital . . . . 85

C ONCLUSION G´ EN ´ ERALE 89

N OTATIONS 91

Bibliographie 93

I NTRODUCTION G´ EN ´ ERALE

F IGURE 1 – Un nuage de points approchant une surface

Sommaire

1 Inf´ erence g´ eom´ etrique . . . . 2

2 Tour d’horizon des m´ ethodes d’estimation . . . . 3

3 Fonctions distances . . . . 5

4 Contributions / R´ esum´ e de la th` ese . . . . 6

1 I ^NF ´ ERENCE G ´ EOM ´ ETRIQUE

La probl´ ematique de l’inf´ erence g´ eom´ etrique consiste ` a estimer l’information g´ eom´ etrique d’une forme ` a partir de donn´ ees discr` etes partielles. En pratique,

´

etant donn´ e un objet S comme une surface ou un volume, les m´ ethodes d’acquisi- tion aboutissent ` a la donn´ ee d’un objet K approchant S. En inf´ erence g´ eom´ etrique, on cherche tout d’abord ` a d´ efinir des quantit´ es g´ eom´ etriques sur les objets K et S comme les courbures ou les mesures de courbure, puis on montre que ces quan- tit´ es sont proches sous des hypoth` eses les plus larges possible.

L’estimation de quantit´ es diff´ erentielles, la reconstruction de surfaces, et la d´ etection d’arˆ etes vives sont motiv´ ees par un grand nombre d’applications en traitement des images 3D (“geometry processing” et “computer graphics”). De nombreux syst` emes d’acquisition 3D donnent en sortie, un nuage de points ou ensemble de voxels

. Il est donc crucial de d´ evelopper des algorithmes d’extrac- tion d’informations g´ eom´ etriques directement sur des nuages de points. Ces al- gorithmes seront en particulier applicables aux ensembles digitaux et aux trian- gulations. Il apparaˆıt, depuis un certain temps, que l’inf´ erence g´ eom´ etrique peut ˆ

etre utile dans l’analyse de donn´ ees telles que celles r´ ecolt´ ees dans des forˆ ets [Par06] ou des milieux urbains [CGAY13] et provenant de diverses domaines tels que l’imagerie m´ edicale [LDF04]. Les informations g´ eom´ etriques sont utiles dans divers algorithmes de traitement de ces donn´ ees dont la visualisation, la segmentation, la d´ etection de sym´ etries ou la reconstruction de surfaces sont les exemples principaux. La reconstruction de surfaces cherche ` a reconstruire un ob- jet 2-dimensionnel, le plus souvent une triangulation ou une surface implicite,

`

a partir d’un nuage de points (voir [BTS

14] pour un ´ etat de l’art r´ ecent des m´ ethodes de reconstruction). Plusieurs algorithmes d´ efinissent leur reconstruc- tion comme une filtration de la triangulation de Delaunay [CG06]. La plupart de ces m´ ethodes n’ont pas de garanties de retrouver la bonne topologie ou les bonnes normales. Certaines d’entre elles garantissent une bonne reconstruction dans le cadre restreint o` u le nuage de d´ epart est situ´ e sur la surface sous-jacente [AB99]

ou avec un bruit Hausdorff assez faible [DG06]. Les hypoth` eses mises en jeu dans les pr´ ec´ edentes m´ ethodes sont souvent assez fortes et la reconstruction de surfaces

`

a partir de donn´ ees bruit´ ees est encore peu garantie. Pour palier ` a ce probl` eme, certaines m´ ethodes de reconstruction de surfaces utilisent en entr´ ee un nuage de points muni d’informations g´ eom´ etriques telles que les normales. La qualit´ e de la reconstruction est alors li´ ee ` a la qualit´ e des informations fournies. Par exemple, les m´ ethodes de reconstruction de Poisson [KBH06] sont tr` es d´ ependantes de la qualit´ e des normales donn´ ees en entr´ ee.

La recherche de garanties en inf´ erence g´ eom´ etrique sur des objets bruit´ es est donc un pr´ erequis ` a l’obtention de garanties sur de nombreux traitements. Dans notre approche, c’est la stabilit´ e de la fonction distance ` a un compact qui permet d’obtenir la stabilit´ e d’une m´ ethode d’inf´ erence. La fonction distance ` a un compact est stable pour la distance de Hausdorff et permet d’obtenir des garanties quand les approximations sont proches au sens de Hausdorff. La distance ` a une mesure est un outil qui permet d’obtenir une meilleur stabilit´ e, par exemple aux points aberrants (appel´ es outliers). Les travaux relatifs aux garanties obtenues avec la

1. contraction de “volumetric pixels”, ce terme d´ esigne les cubes composant une image 3D

fonction distance et la distance ` a une mesure seront pr´ esent´ es dans la section 3 de l’introduction. Au pr´ ealable, je donne un tour d’horizon de diverses m´ ethodes d’es- timation n’ayant pas forc´ ement de garanties, mais qui peuvent ˆ etre int´ eressantes pour leur pr´ ecision et leur stabilit´ e exp´ erimentale.

2 T OUR D ’ HORIZON DES M ´ ETHODES D ’ ESTIMATION

Cette section constitue un survol des m´ ethodes d’estimation g´ eom´ etrique.

a) b)

F IGURE 2 – Diff´ erents types de donn´ ees. a) nuage de points digital. b) triangulation

E STIMATION DES NORMALES ET COURBURES . Un grand nombre de r´ esultats d’inf´ e- rence g´ eom´ etrique se basent sur des donn´ ees structur´ ees telles que les contours digitaux [KL12] ou les triangulations [MT04]. Il existe un grand nombre d’algo- rithmes d’estimation de courbures sur les triangulations [Ham93, KLM98, SW92, Tau95]. On peut se r´ ef´ erer ` a [MSR07] pour une comparaison des m´ ethodes d’esti- mation des courbures moyennes et Gaussiennes sur les triangulations. En pratique, c’est souvent int´ eressant d’estimer des quantit´ es directement sur des nuages de points non structur´ es obtenus par exemple ` a l’aide d’un scanner. Je pr´ esente ici ` a travers quelques exemples, trois familles de m´ ethodes d’estimations g´ eom´ etriques sur des nuages de points.

La m´ ethode la plus r´ epandue pour estimer les normales et courbures ` a par-

tir d’un nuage de points consiste ` a approcher localement la surface sous-jacente

par un polynˆ ome. La m´ ethode de l’analyse en composante principale a pour but

d’approcher localement la surface par le plan qui minimise l’erreur au sens des

moindres carr´ es. Cela correspond ` a un polynˆ ome de degr´ e 1. Dans [MNG04],

les auteurs montrent la convergence d’un estimateur de normale ` a une surface

bas´ e sur l’analyse en composante principale. Dans [CP05], les auteurs utilisent la

formule de Taylor pour d´ efinir des fonctions polynomiales proches du nuage de points. Cette derni` ere m´ ethode a l’inconv´ enient de ne pas ˆ etre garantie th´ eorique- ment.

Une deuxi` eme classe de m´ ethodes permet l’estimation de la normale et des courbures ` a partir d’un nuage de points en reconstruisant une surface lisse proche du nuage ` a l’aide d’une fonction implicite. La surface implicite est alors d´ efinie comme une ligne de niveau d’une fonction r´ eelle. Les m´ ethodes moving least square [AK04, PY07] cherchent une fonction qui minimise localement les moindres carr´ es avec un poids. La m´ ethode ´ etudi´ ee dans [FCOS05] s’int´ eresse particuli` erement ` a la robustesse aux outliers tout en prenant en compte la pr´ esence d’arˆ etes vives.

Des garanties topologiques et g´ eom´ etriques d’une m´ ethode moving least square sont donn´ ees dans [Kol08] mais la convergence des normales n’est pas garantie.

D’autres m´ ethodes bas´ ees sur les surfaces implicites consid` erent la surface comme

´

elastique et la d´ eforment ` a chaque pas de temps pour se rapprocher d’un minimum d’´ energie [ZOF01, ZOMK98]. Si la surface donn´ ee en initialisation de l’algorithme est suffisamment proche de la surface sous-jacente, alors cette m´ ethode est assez robuste. Mais on ne peut pas garantir pour ces m´ ethodes d’atteindre un minimum global d’´ energie.

Il existe aussi des m´ ethodes statistiques pour estimer des quantit´ es g´ eom´ etri- ques. Dans [YLL

07], des m´ ethodes statistiques sont utilis´ ees pour am´ eliorer la m´ ethode pr´ esent´ ee dans [HDD

92] bas´ ee sur l’analyse en composante principale.

Plus r´ ecemment, Boulch et al. [BM12] a propos´ e un estimateur statistique des normales bas´ e sur le “Randomized Hough Transform” tr` es robuste au bruit et aux outliers. N´ eanmoins, cette m´ ethode est plus un classifieur de normales qu’un es- timateur de normales. En effet, le nuage de points est divis´ e en un nombre fini de groupes de points sur un crit` ere de proximit´ e des normales. Cette m´ ethode n´ ecessite le choix d’un param` etre de taille qui contrˆ ole le cardinal des groupes.

D ´ ETECTION DES AR ˆ ETES VIVES . Le probl` eme de d´ etection d’arˆ etes vives est tr` es proche du probl` eme d’estimation des courbures et comme pour les courbures, la plupart des algorithmes existants pour la d´ etection des arˆ etes vives prennent une triangulation en entr´ ee. Dans [HPW05], les auteurs utilisent la courbure discr` ete et dans [WHH10], les auteurs utilisent l’application de Gauss pour detecter les arˆ etes. Les r´ esultats sont visuellement bons, mais non robustes au bruit Hausdorff et aux outliers. Quelques algorithmes utilisent en entr´ ee un nuage de points. Dans [PKG03], les auteurs pr´ esentent une m´ ethode bas´ ee sur l’ACP qui est int´ eressante par ses propri´ et´ es multi-´ echelles. Cependant, ces m´ ethodes n’ont pas de garan- ties puisqu’elles sont d´ efinies par une s´ eries de processus souvent complexes. Plus r´ ecemment, la m´ ethode d’estimation des normales d´ evelopp´ ee dans [BM12] et pr´ esent´ ee dans le pr´ ec´ edent paragraphe permet la d´ etection d’arˆ etes vives. Elle utilise le fait que la distribution statistique des normales dans une zone proche d’une arˆ ete est radicalement diff´ erente que sur une partie lisse.

I NF ´ ERENCE G´ EOM ´ ETRIQUE EN G´ EOM ´ ETRIE D IGITALE . En g´ eom´ etrie digitale, la

fac¸on classique de relier la quantit´ e estim´ ee dans l’espace discret ` a la quantit´ e eu-

clidienne est la convergence multigrille : quand la forme est discr´ etis´ ee avec un pas

de grille h tendant vers 0, la quantit´ e estim´ ee doit converger vers celle attendue.

a) b)

F IGURE 3 – Diff´ erents types de bruits. a) Nuage de points avec un fort bruit Haus- dorff. b) Nuage de points avec un fort bruit Hausdorff et des outliers

En dimension 2, quelques estimateurs convergents multigrille ont ´ et´ e introduits pour approcher la normale, [dVL08, PG11] et la courbure [PG11, KL09, RL11].

En 3D, des m´ ethodes empiriques pour l’estimation des normales et courbures ont

´

et´ e introduites dans [FM08]. Plus r´ ecemment, un estimateur de courbures conver- geant bas´ e sur les invariants int´ egraux a ´ et´ e pr´ esent´ e dans [CLL14].

3 F ONCTIONS DISTANCES

D ISTANCE ` A UN COMPACT . Un des principaux probl` emes qui se pose en inf´ erence g´ eom´ etrique est la question de l’´ echelle ` a laquelle on regarde l’objet. Il apparaˆıt n´ ecessaire de choisir un param` etre qui d´ efinit l’´ echelle ` a laquelle faire les calculs.

L’information ` a une ´ echelle R ∈ R

est contenue dans la ligne de niveau R de la fonction distance. L’´ etude du R-voisinage tubulaire de K a ainsi permis de ga- rantir des m´ ethodes d’inf´ erence en topologie et en g´ eom´ etrie. Cette id´ ee a ´ et´ e utilis´ ee pour d´ evelopper des m´ ethodes d’estimation de la topologie [NSW08], du cˆ one normal [MOG11, CCSL09] et des mesures de courbure [MOG11, CCSLT09].

Dans [NSW08], les auteurs garantissent ainsi qu’il est possible, sous certaines

conditions d’´ echantillonnage, de retrouver l’homologie. La fonction distance et

l’offset sont aussi utilis´ es dans [CCSL09] pour obtenir des garanties sur l’estima-

tion du cˆ one normal dans le cadre des surfaces ` a µ-reach positif. Une condition

d’´ echantillonnage est donn´ ee pour que la reconstruction de l’offset soit isotope ` a

l’objet sous-jacent. Dans [CCSLT09], les auteurs utilisent la fonction distance et

la th´ eorie du cycle normal pour prouver la stabilit´ e des mesures de courbure des

offsets dans le cas des compacts ` a µ-reach strictement positif. Dans [MOG11], les

auteurs utilisent un estimateur de normale et de courbures d´ efini ` a l’aide d’une matrice de covariance : le Voronoi Covariance Measure (VCM). Le VCM capte l’in- formation g´ eom´ etrique contenue dans les cellules de Voronoi du nuage de points.

Les m´ ethodes pr´ esent´ ees ci-dessus s’appuient sur la stabilit´ e de la fonction dis- tance. L’une des propri´ et´ e principale de la fonction distance est sa stabilit´ e au bruit Hausdorff qui peut s’exprimer ainsi : si K

est un compact proche de K, alors les distance d

et d

sont proches. La fonction distance a deux autres propri´ et´ es importantes de r´ egularit´ e :

• d

est 1-Lipschitzienne, i.e. ∀ x, y ∈ R

, k d

(x) − d

(y) k ≤ k x − y k .

• d

est 1-semi concave, i.e. k . k

− d

est convexe.

Ces deux propri´ et´ es interviennent directement ou indirectement dans de nom- breuses ´ etudes de stabilit´ e d’estimateurs.

D ISTANCE ` A UNE MESURE . Les m´ ethodes du paragraphe pr´ ec´ edent s’appuient sur la stabilit´ e de la fonction distance qui est robuste au bruit Hausdorff. Or la pr´ esence d’un seul outlier dans le nuage de points fait tomber l’hypoth` ese Hausdorff et les th´ eor` emes ne s’appliquent plus. Il a ´ et´ e montr´ e dans [CCSM11] que la distance

`

a une mesure poss´ edait, comme la distance ` a un compact, les deux propri´ et´ es de r´ egularit´ e (Lipschitz et 1-semi concave). Les m´ ethodes bas´ ees sur la distance ` a une mesure peuvent en cons´ equence s’appuyer sur ces propri´ et´ es. La distance ` a une mesure est un outil qui contient de l’information sur la g´ eom´ etrie et qui est stable pour la distance de Wasserstein (en un sens qui sera pr´ ecis´ e par la suite), ce qui permet la pr´ esence d’outliers [CCSM11]. La stabilit´ e de cet outil a r´ ecemment

´

et´ e utilis´ e dans une m´ ethode d’analyse topologique de donn´ ees [BCOS13].

4 C ONTRIBUTIONS / R´ ^ESUM ´ E DE LA TH ` ESE

Nous venons de voir qu’il existait un grand nombre de m´ ethodes d’estima- tion g´ eom´ etrique sur des approximations de surfaces. Seulement une petite partie d’entre elles sont garanties robustes au bruit Hausdorff et encore moins aux out- liers. L’objectif principal de cette th` ese est d’obtenir des garanties th´ eoriques sur la stabilit´ e de nos estimateurs au bruit Hausdorff (et ´ eventuellement aux outliers).

Un autre objectif de ce travail est d’´ etablir les liens entre les m´ ethodes d’es- timation de normales et de courbures en g´ eom´ etrie algorithmique et celles uti- lis´ ees en g´ eom´ etrie digitale. Comme on l’a vu dans la section 2 de l’introduction, de nombreuses m´ ethodes d’inf´ erence en g´ eom´ etrie digitale utilisent la g´ eom´ etrie sp´ ecifique des ensembles de pixels et voxels. On peut appliquer les algorithmes d´ efinis sur des nuages de points quelconques ` a des ensembles de voxels. Ainsi, les diff´ erentes m´ ethodes pr´ esent´ ees dans cette th` ese font l’objet d’une application en g´ eom´ etrie digitale ` a travers des exp´ erimentations mais aussi des r´ esultats de convergence multigrille. La difficult´ e principale du passage d’un r´ esultat de stabi- lit´ e Hausdorff sur des nuages de points ` a un r´ esultat de convergence en g´ eom´ etrie digitale est de d´ eterminer les valeurs des param` etres pour lesquelles on peut

´

etablir la convergence multigrille. Enfin, nous attachons une importance parti-

culi` ere au fait que les m´ ethodes d´ evelopp´ ees dans cette th` ese soient calculables

efficacement. Le travail de programmation li´ e ` a l’impl´ ementation des m´ ethodes

´

etudi´ ees dans cette th` ese repr´ esente une grande partie du travail fourni pour cette th` ese.

Premi` ere Partie :

Inf´ erence g´ eom´ etrique et fonction distance

Les chapitres 1, 2 et 3 constituent une premi` ere partie s’int´ eressant ` a des m´ ethodes d’inf´ erence utilisant la fonction distance.

C H . I : F ONCTION DISTANCE

Nous rappelons, dans ce premier chapitre, quelques propri´ et´ es de la fonction distance ` a un compact. La premi` ere section rappelle des propri´ et´ es de la fonction distance et des propri´ et´ es des compacts ` a reach positif. Dans la deuxi` eme section, nous rappelons la formule des tubes. La section 3 s’int´ eresse ` a la stabilit´ e de la projection ` a un compact. Dans le cas o` u K et K

sont deux compacts proches au sens de Hausdorff, nous rappelons un r´ esultat de stabilit´ e L

des projections sur K et K

(Th´ eor` eme 1.12). Nous d´ emontrons enfin un r´ esultat qui permet de contrˆ oler le comportement de la projection sur un compact K quand celui-ci approche une hyper-surface lisse S de R

(th´ eor` eme 1.14).

C H . II : E STIMATION DE NORMALES ET ACP

L’analyse en composante principale (ACP) est un outil classique d’analyse de donn´ ees. Nous montrons dans ce chapitre un r´ esultat de stabilit´ e d’estimateur de normale ` a l’aide de l’ACP (th´ eor` eme 2.3) qui donne une borne explicite de l’er- reur. Ce r´ esultat quantifie un r´ esultat de convergence montr´ e dans [MNG04] et implique directement le corollaire suivant qui ´ etablie qu’en choisissant convena- blement le param` etre d’´ echelle r et sous certaines conditions d’´ echantillonnage, on a la convergence de l’estimateur de normale.

Corollaire 2.4 . Soit C une courbe de classe C

de reach ρ > 0 et p un point de C.

Soit ε ∈ R

, a ∈ R

et r = aε

. Si P ⊂ B

(r) est un (ε, m)-´echantillon de C ∩ B

(r) tel que m ≤

, alors l’angle β entre la normale ` a C en p et la normale au nuage P au sens des moindres carr´es satisfait

β = O(m

ε

),

o` u la constante intervenant dans le O ne d´epend que de ρ et de a.

Appliqu´ e ` a des ensembles digitaux, ce r´ esultat permet d’obtenir une conver-

gence multigrille de l’estimateur (th´ eor` eme 2.13). Des exp´ erimentations sur des

nuages de points et des ensembles digitaux viennent confirmer la stabilit´ e en

pr´ esence de bruit Hausdorff (section 3). Le dernier paragraphe propose une heu-

ristique en ajoutant des poids aux points pour obtenir plus de robustesse au bruit.

C ^H . III : D ^IGITAL V ORONOI COVARIANCE MEASURE

Alors que l’analyse en composante principale cherche ` a estimer un plan tangent approchant la surface, le Voronoi covariance measure (VCM) tente d’approcher le cˆ one normal. Dans ce chapitre nous appliquons la m´ ethode du VCM aux ensembles de voxels dans R

pour ´ etablir un r´ esultat de stabilit´ e d’un estimateur de normale ` a l’aide du VCM (th´ eor` eme 3.6) qui donne une borne explicite de l’erreur. Ce r´ esultat implique directement le corollaire suivant qui donne la convergence multigrille de cet estimateur.

Corollaire 3.7 . Soit X un domaine compact de R

dont le bord ∂X est une surface de classe C

de reach ρ > 0. Soient a, b ∈ R

, r = ah

et R = bh

. Alors pour h > 0, on a

hb n

( p b

), n

(p

) i = O h

,

o` u n

(p

) est la normale ` a S en p

et b n

( p b

) est son approximation ` a l’aide de l’ACP.

Les exp´ erimentations permettent de confirmer la pr´ ecision et la robustesse de cette m´ ethode. Le VCM contient, en outre, des informations sur les courbures.

Les tests num´ eriques montrent que ces informations peuvent ˆ etre utilis´ ees pour d´ etecter les arˆ etes vives. D’autre part, nous automatisons le choix des param` etres en choisissant ceux qui minimisent l’erreur garantie par notre r´ esultat de stabilit´ e multigrille.

Deuxi` eme Partie :

Distances robustes pour l’inf´ erence g´ eom´ etrique

Les chapitres 4 et 5 forment une deuxi` eme partie consacr´ ee ` a l’inf´ erence g´ eom´ etri- que utilisant des fonctions distance robustes aux outliers, afin de garantir une es- timation robuste aux outliers. Cette partie constitue la contribution principale de cette th` ese.

C H . IV : F ONCTIONS DISTANCE - LIKE

La majorit´ e des m´ ethodes d’inf´ erence g´ eom´ etrique se basent, directement ou indirectement, sur la stabilit´ e de la fonction distance. Celle-ci est stable au bruit Hausdorff mais pas aux outliers. Ce chapitre a pour objet de rappeler les pro- pri´ et´ es des fonctions distance-like. On montre la stabilit´ e des gradients des fonc- tions distance-like (Proposition 4.4) qui est une cons´ equence directe de la stabilit´ e L

des gradients des fonctions convexes. On propose enfin des exemples de fonc- tions distance-like robustes et calculables efficacement.

C H . V : V ORONOI COVARIANCE MEASURE G ´ EN ´ ERALIS ´ E

On d´ eveloppe ici un estimateur de quantit´ es g´ eom´ etriques robuste aux outliers

`

a l’aide des fonctions distance-like. On g´ en´ eralise le Voronoi covariance measure aux fonctions distance-like. Pour chaque fonction distance like δ, le δ-VCM associe

`

a toute fonction mesurable χ une matrice V

(χ). On montre le r´ esultat suivant

qui ´ etablie la stabilit´ e de notre estimateur.

Th´ eor` eme 5.5 . Soit K un compact et δ une fonction distance-like. Pour toute fonc- tion born´ee et Lipschitzienne χ : R

−→ R

, on a

kV

(χ) − V

(χ) k

≤ C

k χ k

k δ − d

k

, o` u C

est une constante qui d´epend seulement de R, d et diam(K).

Ce r´ esultat assure que si une fonction distance-like δ est proche de la fonction distance ` a un compact d

, alors le δ-VCM V

est proche du VCM V

. Appliqu´ e

`

a la distance ` a une mesure, ce r´ esultat implique que le VCM g´ en´ eralis´ e permet une estimation robuste aux outliers de la normale ` a une hyper-surface. Des tests num´ eriques sur des nuages de point et sur des ensembles de voxels confirment en pratique la pr´ ecision et la robustesse au bruit Hausdorff et aux outliers des estimations de normales, courbures, directions de courbures (figure 4) et arˆ etes vives.

F IGURE 4 – Estimation des directions principales sur “Bimba”. Gauche : Donn´ ees en entr´ ee avec outliers (80% des points sont translat´ es d’une distance au plus 0.02, 10% sont translat´ es d’une distance entre 0.02 et 0.1, et 10% sont des outliers pris uniform´ ement dans une boˆıte englobante). Droite : pour chaque point, on projette l’estimation de la direction principale minimale du VCM g´ en´ eralis´ e sur la triangu- lation initiale.

Publications :

[1] L. Cuel, J.O. Lachaud, B. Thibert. Voronoi-based geometry estimator for 3D digital surfaces, Discrete Geometry for Computer Imagery, 2014.

[2] L. Cuel, J.O. Lachaud, Q. M´ erigot, B. Thibert. Robust Geometry Estima- tion using the Generalized Voronoi Covariance Measure, SIAM

Journal on Imaging Sciences (SIIMS), (soumis).

Communications :

[3] L. Cuel, J.O. Lachaud, Q. M´ erigot, B. Thibert. Robust Inference with a

Generalised Voronoi Covariance measure, euroCG, (2014) Israel.

Premi` ere partie

I NF ´ ERENCE G´ EOM ´ ETRIQUE ET

F ^ONCTION D ^ISTANCE

Chapitre 1

F ^ONCTION D ^ISTANCE

F IGURE 1.1 – Lignes de niveau de la fonction distance ` a un nuage de point

Sommaire

1 Fonction distance et ensemble ` a reach positif . . . . 14

2 Formule des tubes . . . . 16

2.1 Mesure de Hausdorff . . . . 16

2.2 Volume d’un offset . . . . 17

3 Stabilit´ e de la projection . . . . 20

3.1 Stabilit´ e L

. . . . 20

3.2 Pseudo-continuit´ e de la projection . . . . 21

I NTRODUCTION

Comme nous l’avons rappel´ e dans le chapitre pr´ ec´ edent, la fonction distance

`

a un compact K contient des informations g´ eom´ etriques sur le compact K. Pour

´

etablir un r´ esultat de stabilit´ e sur une m´ ethode d’inf´ erence g´ eom´ etrique bas´ ee sur la fonction distance, il peut ˆ etre utile de connaˆıtre les propri´ et´ es de la fonction distance et en particulier sa stabilit´ e et celle de son gradient. C’est en cela que ce chapitre constitue une introduction aux deux chapitres suivants qui d´ ecrivent deux r´ esultats d’inf´ erence g´ eom´ etrique bas´ es sur la fonction distance. Les propri´ et´ es de la fonction distance ont largement ´ et´ e ´ etudi´ ees [Fed59, Gro93]. On s’int´ eresse ` a des r´ esultats de stabilit´ e de la fonction distance car ils permettent d’obtenir des r´ esultats de stabilit´ e d’inf´ erence g´ eom´ etrique [CCSLT09, MOG11, CCSL09].

La section 1 de ce chapitre rappelle les r´ esultats de r´ egularit´ e de la fonction distance ` a un compact et les propri´ et´ es des compacts ` a reach positif. Nous rappe- lons ensuite dans la section 2 la formule des tubes dans le cadre des hyper-surfaces

`

a reach positifs. Cette formule sera utilis´ ee dans le chapitre 3, pour la preuve de la stabilit´ e d’un estimateur de normale. La section 3 de ce chapitre ´ etudie la sta- bilit´ e de la projection. Nous rappelons tout d’abord le r´ esultat de stabilit´ e L

de la projection [CCSM10]. Mon apport dans cette section est un r´ esultat qui permet de contrˆ oler le comportement de la projection sur un compact K quand celui-ci approche une hyper-surface lisse S (Th´ eor` eme 1.14). Ces deux r´ esultats seront utiles dans le chapitre 3.

1 F ONCTION DISTANCE ET ENSEMBLE ` A REACH POSITIF

La fonction distance ` a un compact K associe ` a tout point x ∈ R

sa distance ` a K :

d

(x) := min {k x − y k , y ∈ K }

o` u k . k est la norme euclidienne de R

. La distance au compact K caract´ erise enti` erement le compact K puisque K = { x ∈ R

, d

(x) = 0 } . Elle contient donc toute l’information sur la g´ eom´ etrie du compact K. L’objectif de cette section est d’´ etudier les propri´ et´ es de la fonction distance, fortement li´ ees ` a la notion de reach.

On rappelle la proposition suivante qui ´ etablit que la distance est Lipschitzienne et qui est une cons´ equence directe de l’in´ egalit´ e triangulaire.

Proposition 1.1. Pour tout compact K, la distance d

est 1-Lipschitzienne. i.e.

∀ x, y ∈ R

, | d

(x) − d

(y) | ≤ k x − y k .

En particulier d

est continue.

F IGURE 1.2 – Axe m´ edian et offset.

A XE M ´ EDIAN . L’axe m´ edian est introduit par Blum en 1967 [Blu67] et a ´ et´ e lar- gement ´ etudi´ e car il contient des informations g´ eom´ etriques. Le survey [ABE09]

fait le point sur la stabilit´ e et le calcul de l’axe m´ edian. Ce dernier est d´ efini comme l’ensemble des points de R

ayant plusieurs projections possibles sur K.

D´ efinition 1.2. (axe m´edian)

L’axe m´edian d’un compact K ⊂ R

est d´efini par

AM (K) = { x ∈ R

, ∃ y, z ∈ K, tq y 6 = z et k x − y k = k x − z k = d

(x) } . La figure 1.3 donne l’exemple d’un axe m´ edian dans le cas d’une courbe ferm´ ee de R

. On note p

la projection sur le compact K , c’est ` a dire l’application qui ` a un point x ∈ R

associe son plus proche voisin dans K. L’axe m´ edian corres- pond au lieu g´ eom´ etrique o` u la projection n’est pas d´ efinie, mais aussi ` a l’en- semble sur lequel la fonction distance n’est pas diff´ erentiable [Fed59]. Nous rappe- lons le r´ esultat suivant qui donne l’expression du gradient de la fonction distance (Th´ eor` eme 4.8 de [Fed59]).

Proposition 1.3. Pour tout compact K, la distance d

est de classe C

sur R

\ (K ∪ AM (K)) et son gradient vaut

∀ x ∈ R

\ (K ∪ AM (K)), ∇ d

(x) = x − p

(x) d

(x) .

La fonction distance ´ etant lipschitzienne, le th´ eor` eme de Rademacher implique qu’elle est de classe C

presque partout au sens de Lebesgue. Cela implique en particulier que l’axe m´ edian est de mesure de Lebesgue nulle.

E NSEMBLE ` A REACH POSITIF . La notion de reach permet de d´ efinir un voisinage dans lequel la projection est bien d´ efinie.

D´ efinition 1.4 (reach).

Le reach d’un compact K est la distance entre K et son axe m´edian AM (K), c’est ` a dire

inf {k x − y k , x ∈ K, y ∈ AM (K) } .

Le reach correspond ` a la distance critique ` a laquelle on peut s’´ eloigner de K

en ´ etant sˆ ur de n’avoir qu’un seul plus proche point dans K. Tout au long de

cette th` ese nous consid` ererons des objets lisses ` a reach strictement positif et nous

nous int´ eresserons au voisinage tubulaire (voir figure 1.3) d’une taille plus petite que le reach dans lequel la projection est bien d´ efini. Formellement, on d´ efinit le voisinage tubulaire de K de param` etre t (ou t-offset) par : K

= { x ∈ R

, d

(x) ≤ t } . La proposition suivante donne une propri´ et´ e importante de la fonction distance d´ emontr´ ee par Federer [Fed59], dont on se servira tout au long de cette th` ese.

Proposition 1.5. Soient K un compact de reach ρ > 0 et r un r´eel tel que r < ρ.

Alors p

est

-lipschitzienne sur K

:

k p

(x) − p

(y) k ≤ ρ

ρ − r k x − y k .

En particulier, si t est un r´eel tel que 0 < t < r, d

est de classe C

sur K

\ K

, i.e.

la diff´erentielle de d

est lipschitzienne sur K

\ K

.

H YPER -S URFACE . Soit S ⊂ R

une vari´ et´ e plong´ ee orient´ ee de classe C

et de dimension d − 1. On peut alors trouver pour chaque point p ∈ S un voisinage dans S qui est l’image d’une fonction ψ

: O ⊂ R

→ R

de classe C

dont la diff´ erentielle est de rang maximal et telle que ψ

(0) = p. On dit qu’une hyper- surface est de classe C

si les ψ

peuvent ˆ etre choisis de classe C

, c’est ` a dire que la diff´ erentielle d’ordre k de d

est lipschitzienne. On note T

S le plan tan- gent ` a S en p et n

(p) la normale unitaire orient´ ee ` a S en p. L’application − Dn

(p) est un endomorphisme sym´ etrique de l’espace tangent T

S, et est en cons´ equence diagonalisable. Les courbures principales de S en p sont not´ ees λ

, λ

, ..., λ

, et sont d´ efinies comme les d − 1 valeurs propres de − Dn

(p). On appelle direc- tions principales les vecteurs propres correspondant e

, e

, ..., e

. Alors que la normale est une information d’ordre 1, les courbures principales sont li´ ees ` a la diff´ erentielle d’ordre 2. Federer donne dans [Fed59] la caract´ erisation suivante des hypersurfaces ` a reach positif :

Proposition 1.6. Une hyper-surface de classe C

est de classe C

si et seulement si elle est ` a reach strictement positif.

Le th´ eor` eme de Rademacher implique qu’une hyper-surface de classe C

` a reach positif est de classe C

presque partout. Les courbures d’une hyper-surface ` a reach ρ > 0 sont alors d´ efinies presque partout. Notons que, en les points o` u c’est d´ efini, les valeurs absolues des courbures principales sont major´ ees par

.

2 F ORMULE DES TUBES

Nous rappelons ici la formule des tubes qui donne une expression du volume d’un voisinage tubulaire d’un objet. On d´ eduira ainsi la proposition 1.10 qui sera utile dans le chapitre 3. Nous rappelons avant cela quelques d´ efinitions utiles pour la suite.

2.1 M ESURE DE H AUSDORFF

Nous d´ efinissons ici la mesure de Hausdorff qui est une g´ en´ eralisation des

notions d’aire et de volume. Pour tout ensemble A ⊂ R

, on note diam(A) son

diam` etre, c’est ` a dire la quantit´ e

diam(A) := sup {k x − y k , x, y ∈ A } .

D´ efinition 1.7. (mesure de Hausdorff) Soit K ⊂ R

et k ∈ R

, on d´efinit la k-mesure de Hausdorff de K par

H

(K ) := lim

ε→0

inf (

X

i=1

α(k)r(A

)

, K ⊂ [

i∈N

A

, diam(A

) ≤ ε )

(1.1) o` u les A

sont des parties de R

, r(A

) = diam(A

)/2 et α(k) est le volume de la boule unit´e de dimension k.

L’existence de la limite est assur´ ee par le fait que inf { P

i=1

α(k)r(A

)

, K ⊂ S

i

A

, diam(A

) ≤ ε } est une fonction d´ ecroissante de ε [Mor08]. La terminologie

“mesure de Hausdorff” est justifi´ ee car on peut montrer que c’est une mesure de Borel. Pour comprendre intuitivement cette mesure, plac¸ons-nous dans le cas d’une courbe C plong´ ee dans R

. Sa “longueur”, qui correspond ` a sa 1-mesure de Hausdorff, est d´ efinie ` a l’aide d’une suite de recouvrements de plus en plus fins auquel correspond une quantit´ e fini P

i

α(1)r(A

). Au contraire un objet “plein” de R

tel que la boule unit´ e, a une 1-mesure de Hausdorff infinie.

E NSEMBLES RECIFIABLES .

D´ efinition 1.8. Un ensemble A ⊂ R

est dit m rectifiable si H

(A) < ∞ et s’il existe une famille d´enombrable de fonctions lipschitziennes f

: R

→ R

telle que A ⊂ S

i

f

( R

) H

-presque partout.

On peut noter que les ensembles rectifiables admettent un espace tangent H

- presque partout ce qui permet en particulier d’int´ egrer sur ces ensemble [Mor08].

k-J ACOBIEN . Soien V ⊂ R

et W ⊂ R

deux ensembles rectifiables. Pour toute fonction lipschitzienne f : V → W , le k-Jacobien de f peut ˆ etre d´ efini comme la limite

J

f (p) = lim

r→0

H

(f (B

(r) ∩ V )) H

(B

(r) ∩ V ) ,

o` u B

(r) est la boule de R

de centre p et de rayon r. Si V et W sont deux vari´ et´ es de mˆ eme dimension m, alors pour H

-presque tout p de V , la k-Jacobienne n’est rien d’autre que le d´ eterminant de la diff´ erentielle de f en p qui est l’application lin´ eaire D

(p) : T

V → T

W .

2.2 V OLUME D ’ UN OFFSET

Nous nous int´ eressons ici au volume des offsets des hyper-surfaces de R

de

classe C

` a reach positif. La formule des tubes ´ etablit que ce volume est un po-

lynˆ ome en le param` etre d’offset. Elle a ´ et´ e donn´ ee dans le cas des ensembles

convexes par Steiner [Ste43], et dans le cas lisse dans [Wey39]. Federer a g´ en´ eralis´ e

ces deux formules dans le cadre des ensembles ` a reach positif [Fed59]. On rappelle

ici la formule des tubes dans le cas des hyper-surfaces ` a reach positif.

Lemme 1.9 (Formule des tubes). Soit S ⊂ R

une hyper-surface de classe C

de reach ρ > 0. Soient R > 0 et B un bor´elien de R

, on a :

H

(S

∩ p

(B ∩ S)) = Z

B∩S

Z

−R

Π

(1 − tλ

(x))dtdx, o` u les λ

(x) sont les courbures principales de S.

D´emonstration. La d´ emonstration utilise la formule g´ en´ erale de l’aire-coaire. Soit f la fonction d´ efinie par

f : S × ] − R, R[ −→ S

(x, t) 7−→ x + t. n

(x)

Comme S est une hyper-surface de classe C

, la fonction f est Lipschitzienne.

On peut donc appliquer la formule g´ en´ erale de l’aire-coaire (formule 3.13 de [Mor08]) qui nous donne :

Z

S^R

d H

(x) = Z

S×]−R,R[

J

(f )d H

(x).

D’apr` es le th´ eor` eme de Rademacher, n

est diff´ erentiable presque partout, et on a pour presque tout x, J

(f)(x) = Π

(1 − tλ

(x)), ce qui permet de conclure.

On en d´ eduit la proposition suivante qui sera utile au chapitre 3.

Proposition 1.10. Soit S ⊂ R

une d − 1-vari´et´e de classe C

et de reach ρ > 0.

Soit R > 0 et ε > 0 tels que R + ε <

. Alors pour tout bor´elien B tel que ∂(B ∩ S) est une vari´et´e de dimension d − 2, on a :

1) H

S

∩ p

(B ∩ S)

≤ 2

R H

(B ∩ S) 2) H

(S

\ S

) ∩ p

(B ∩ S)

≤

H

(B ∩ S)ε 3) H

∂[S

∩ p

(B ∩ S)]

≤ H

( C )R

+ 2

H

(B ∩ S) En particulier, si B est une boule de rayon r, on a :

a) H

S

∩ p

(B ∩ S)

= O(Rr

).

b) H

(S

\ S

) ∩ p

(B ∩ S)

= O(εr

).

c) H

∂[S

∩ p

(B ∩ S)]

= O(Rr

+ r

),

o` u la notation O fait intervenir une constante qui ne d´epend que du reach ρ.

D´emonstration. Le lemme 1 donne : H

(S

∩ p

(B ∩ S)) =

Z

B∩S

Z

−R

Π

(1 − tλ

(x))dtdx.

On peut majorer tous les | λ

(x) | par

, on a donc H

(S

∩ p

(B ∩ S)) ≤

Z

B∩S

dx × Z

−R

1 + t

ρ

dt ≤ H

(B ∩ S) × 2R 3

2

.

F IGURE 1.3 – Volume d’un offset.

La preuve du deuxi` eme point est similaire. Le volume de (S

\ S

) ∩ p

(B ∩ S) est plus petit que

Z

B∩S

dx ×

"Z

1 + t

ρ

dt +

Z

−R−ε

1 − t

ρ

dt

# .

Il suffit alors d’utiliser l’´ egalit´ e suivante : Z

R−ε

1 + t

ρ

dt = 1 d

1 + R + ε ρ

− 1 d

1 + R − ε ρ

.

En factorisant par

h

1 +

−

1 +

i

, on conclut ` a l’aide de la majoration suivante

1 d

1 + R + ε ρ

−

1 + R − ε ρ

×

d−1

X

k=0

1 + R + ε ρ

1 + R − ε ρ

≤ 2ε ρ

3 2

.

Pour le point 3), on a

∂ [S

∩ p

(B ∩ S)] = A

∪ A

, o` u

A

= { x ∈ R

, k x − p

(x) k = R et p

(x) ∈ B ∩ S } A

= S

∩ p

(∂(B ∩ S))

Et similairement au premier point, on a H

(A

) = R

B∩S

Π

(1 − λ

(x)R)dx

≤ 2 H

(B ∩ S)

1 +

≤ 2

H

(B ∩ S).

On note C = ∂ [B ∩ S]. Comme pour le lemme 1.9, l’ensemble A

a pour pa- ram´ etrisation la fonction

f : C × ( − R, R) −→ A

(x, t) 7−→ x + t.n

(x)

Par hypoth` ese, C admet en tout point un plan tangent pour lequel on peut d´ efinir une base orthonorm´ ee. Le 2-jacobien de f en (x, t) est donn´ ee par Π

(1 − tλ

(x)), o` u les λ

(x) sont les courbures de S en x dans les directions de la base orthonorm´ ee de l’espace tangent ` a C en x. On a

H

(A

) = Z

C

Z

−R

| Π

(1 − tλ

(x)) | dtdx ≤ H

( C ) Z

−R

1 + 1

2

dt

≤ H

( C )R 3

2

.

La preuve des points a, b et c suivent en remarquant que si B est une boule de rayon r, alors H

(B ∩ S) = O(r

) et H

( C ) = O(r

).

3 S TABILIT ´ E DE LA PROJECTION

Sur les nuages de point ou sur les triangulations, il n’existe pas de d´ efinition standard de normales et courbures comme sur les surfaces lisses, mais une grande diversit´ e d’estimateurs. Nous nous int´ eresserons, dans les chapitres suivants, aux garanties th´ eoriques sur la qualit´ e des estimateurs ainsi qu’` a leur r´ esistance aux perturbations. Ces garanties sont tout naturellement li´ ees ` a la stabilit´ e de la fonc- tion distance et de son gradient.

Nous rappelons d’abord un r´ esultat de stabilit´ e en norme L

de la projection sur un nuage de points proche d’une hyper-surface ` a reach positif (section 3.1). Ce r´ esultat sera utilis´ e dans le chapitre 3 et g´ en´ eralis´ e dans le chapitre 4. La contri- bution de cette section est le Th´ eor` eme 1.14 qui permet de contrˆ oler le compor- tement de la projection sur un compact approchant une hyper-surface. Ce dernier r´ esultat sera utilis´ e dans le chapitre 3.

3.1 S TABILIT ´ E L ¹

D´ efinition 1.11. Soient K et K

deux compacts, on appelle distance de Hausdorff entre K et K

le r´eel positif :

d

(K, K

) = inf { ε ∈ R

, K ⊂ K

et K

⊂ K

} .

Soit D un domaine de R

et E ⊂ D un ensemble rectifiable. Pour toute fonc- tion φ d´ efinie sur D et ` a valeur dans R

, on note k φ k

la norme L

restreinte ` a E, c’est-` a-dire le r´ eel k φ k

= R

E

k φ(x) k dx. De mˆ eme, k φ k

est la norme uni-

forme restreinte ` a E : k φ k

= sup

k φ(x) k . On rappelle le r´ esultat suivant qui

garantit la stabilit´ e de la projection [CCSM10].

Th´ eor` eme 1.12. Soient E un ouvert de R

de bord rectifiable, K et K

deux compacts de R

. Soit R = max( k d

k

, d

k

). On a :

k p

− p

k

≤ Cst × [ H

(E) + diam(K) H

(∂E)] × p

Rd

(K, K

) o` u la constante ne d´epend que de la dimension.

La d´ emonstration s’appuie sur un th´ eor` eme plus g´ en´ eral donnant la stabilit´ e du gradient de fonctions convexes qui est un r´ esultat cl´ e de [CCSM10] et [MOG11] : Th´ eor` eme 1.13. Soient E un sous-ensemble de R

de bord rectifiable, et f, g : E → R

deux fonctions localement convexes sur E tels que diam( ∇ f(E) ∪ ∇ g(E)) ≤ C

, alors,

k∇ f − ∇ g k

≤ C

× [ H

(E) + (C

+ k f − g k

) H

(∂E)] × k f − g k

o` u la constante C

ne d´epend que de la dimension.

3.2 P SEUDO - CONTINUIT ´ E DE LA PROJECTION

Le th´ eor` eme suivant ´ etablit que la projection p

sur l’ensemble K qui est proche d’une hyper-surface lisse S se comporte “presque comme” la projection p

. Ce r´ esultat n’implique pas la continuit´ e de la projection sur le compact K , mais il indique que si K est suffisament proche de S et x de x

, alors p

(x) sera proche de p

(x

). Ce r´ esultat est li´ e aux propri´ et´ es classiques de la projection sur un ensemble ` a reach positif.

F IGURE 1.4 – D´ emonstration du lemme 1.15

Th´ eor` eme 1.14. Soit S une hypersurface plong´ee dans R

de classe C

et de reach ρ > 0. Soit K un compact tel que d

(S, K) = ε < 2ρ et R < ρ un nombre positif. Si x et x

sont des points de S

tels que k x − x

k ≤ η, alors :

k p

(x) − p

(x

) k ≤ 2 p

8ερ + 2ε + 1

1 −

η.

Ce r´ esultat sera utilis´ e dans le chapitre 3. La preuve du th´ eor` eme est une cons´ equence des lemmes 1.15 et 1.16. On note B

(r) la boule de centre p et de rayon r.

Lemme 1.15. Soit S une hyper-surface plong´ee dans R

de classe C

et de reach ρ > 0. Soit r < ρ et x ∈ R

tel que d(x, S) = δ < r. Si q ∈ S satisfait k q − p

(x) k > r alors k x − q k

>

r

+ δ

.

D´emonstration. La d´ emonstration est illustr´ ee sur la figure 1.4. Comme S a un reach ρ strictement positif, il existe une boule B

(ρ) de centre c et de rayon ρ tangente ` a S au point p

(x). L’int´ erieur de cette boule n’intersecte pas S et les points c, x, et p

(x) sont align´ es. Soit q un point de S tel que k q − p

(x) k = ¯ r ≥ r.

On note P le plan passant par c, x, p

(x) et p. Soit y ∈ ∂B

(ρ) ∩ ∂B

(¯ r) ∩P . On a clairement que p

(x) est ` a ´ egale distance de q et y. De plus, comme q / ∈ B

(ρ), c est plus proche de y que de q, Par suite, le segment [c, p

(x)] est plus proche de y que de q, ce qui implique que k x − q k ≥ k x − y k . Comme k x − y k est la longueur de la diagonale d’une trap` eze r´ egulier, on a k x − y k

≥

¯ r

+ δ

, ce qui nous permet de conclure.

F IGURE 1.5 – D´ emonstration du lemme 1.16.

Lemme 1.16. Soit S une hyper-surface plong´ee dans R

de reach ρ > 0. Soit K un compact tel que d

(S, K) = ε avec ε ≤ 2ρ. Soit R un nombre tel que R < ρ. Pour tout x ∈ S

, on a

p

(x) ∈ B(p

(x), p

8ερ + ε)

D´emonstration. La d´ emonstration est illustr´ ee sur la figure 1.5. Soit x ∈ S

. On note δ = k x − p

(x) k . Il existe p

∈ K tel que k p

(x) − p

k < ε. On a donc k x − p

k ≤ k x − p

(x) k + k p

(x) − p

k ≤ δ + ε, ce qui implique que k x − p

(x) k ≤ δ + ε. Soit p ∈ K tel que p / ∈ B ( p

(x), √

8ρε + ε). Il nous faut maintenant prouver

que p 6 = p

(x). Commenc¸ons par supposer que δ < ε. L’in´ egalit´ e ε ≤ 2ρ implique que 3ε < √

8ρε + ε et donc k p − p

(x) k ≥ 3ε. On a

k x − p k > k p − p

(x) k − k p

(x) − x k > 3ε − δ > 2ε ≥ k x − p

(x) k , ce qui assure que p 6 = p

(x).

On suppose maintenant que δ ≥ ε. Il existe q ∈ S tel que k q − p k ≤ ε et donc k q − p

(x) k ≥ √

8ρε. Le lemme 1.15 implique de plus que k x − q k

>

× 8ρε + δ

. Le fait que δ ≥ ε implique que k x − q k > δ + 2ε. On a finalement

k x − p k ≥ k x − q k − ε > δ + ε ≥ k x − p

(x) k . Ce qui assure que p 6 = p

(x).

D´emonstration du Th´eor`eme 1.14.

L’in´ egalit´ e triangulaire nous donne

k p

(x) − p

(x

) k ≤ k p

(x) − p

(x) k + k p

(x) − p

(x

) k + k p

(x

) − p

(x

) k . La proposition 1.5 de la section pr´ ec´ edente assure que p

est

1−^Rρ

-Lipschitzienne sur S

. On a donc k p

(x) − p

(x

) k ≤

ρ

η. Les deux autres termes sont born´ es

avec le lemme 1.16.

Chapitre 2

E STIMATION DE N ORMALES ET

A NALYSE EN C OMPOSANTES

P RINCIPALES

Sommaire

1 Stabilit´ e de l’analyse en composantes principales . . . . 26 1.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 26 1.2 Stabilit´ e dans R

. . . . 27 1.3 D´ emonstration du Th´ eor` eme de stabilit´ e. . . . . 28 2 Application en G´ eom´ etrie Digitale . . . . 33 2.1 Pr´ erequis en G´ eom´ etrie Digitale . . . . 33 2.2 Convergence multigrille de l’estimateur de normale ACP . 35 3 Exp´ erimentations . . . . 38 3.1 Exp´ erimentations sur les nuages de points . . . . 38 3.2 Exp´ erimentations en g´ eom´ etrie discr` ete . . . . 40 3.3 Analyse en composantes principales pond´ er´ ee . . . . 43

I NTRODUCTION

L’analyse en composantes principales est une m´ ethode tr` es utilis´ ee en statis- tiques pour trouver des directions privil´ egi´ ees dans des jeux de donn´ ees [Jol86, ZHT06], mais aussi dans des domaines proches de la g´ eom´ etrie comme la vision par ordinateur [BMVS04, KRV06]. Hoppe et. al. [HDD

92] ont propos´ e un algo- rithme pour estimer la normale ` a un nuage de points approximant une courbe de R

ou une surface de R

utilisant l’analyse en composantes principales (ACP). La normale ` a un point p peut alors ˆ etre d´ efinie comme la normale au plan minimisant la somme des distances au carr´ e aux points situ´ es dans une boule centr´ ee en p. Mi- tra et. al. [MNG04] ont montr´ e un r´ esultat de convergence des normales calcul´ ees avec l’ACP.

C ONTRIBUTION . Dans ce chapitre, nous nous int´ eressons ` a des r´ esultats effectifs

en quantifiant l’erreur faite sur l’estimation de la normale. Nous montrons une