LES PROPRIETES THERMIQUES DE LA MATIERE

LES PROPRIETES THERMIQUES DE LA MATIERE

On va maintenant aborder un nouveau sujet, la thermodynamique, qui traite de l’ ´energie interne emmagasin ´ee par le mouvement et l’interaction des atomes d’un syst `eme. Cette discipline est aussi appel ´ee, physique thermique, et traite en gros la temp ´erature, le transfert d’ ´energie et la transformation d’ ´energie.

L’ ´energie thermique est une forme d’ ´energie interne d’un syst `eme ca- ract ´eris ´e par les 3 variables : Pression, Volume, Temp ´erature (P, V, T). Ses variations sous forme de chaleur sont ´etudi ´ees macroscopiquement au moyen des lois de la Thermodynamique et microscopiquement elles sont associ ´ees

`a l’ ´energie cin ´etique des mol ´ecules du syst `eme.

On commencera par l’introduction de la notion de temp ´erature, li ´ee `a la sen- sation du chaud et du froid. Bien que la temp ´erature soit une grandeur fonda- mentale comme la masse et le temps, elle est habituellement associ ´ee `a la concentration d’ ´energie thermique dans un syst `eme mat ´eriel.

La temp ´erature

Tous les thermom `etres sont bas ´es sur la mesure d’une propri ´et ´e de la mati `ere qui varie avec la temp ´erature.

– l’ ´echelle Celsius ou centigrade

T_C = 0^◦C au point de cong ´elation de l’eau

T_C = 100^◦C `a la temp ´erature d’ ´ebullition de l’eau ( `a pression atmosph ´erique normale).

– l’ ´echelle Fahrenheit

T_F = 0^◦F au point le plus froid en 1717

T_F = 96^◦F `a la temp ´erature du corps humain : Ce qui donne,

T_F = 32^◦F au point de cong ´elation de l’eau T_F = 212^◦F `a la temp ´erature d’ ´ebullition de l’eau ( `a pression atmosph ´erique normale).

On a donc 180 degr ´es Farenheit pour 100 degr ´es Celsius et

1^◦C =(180/100)^◦F=(9/5)^◦F. Un degr ´e Fahrenheit est plus petit qu’un degr ´e Cel- sius : 5^◦C = 9^◦F, soit

T_F = 32^◦ + (9/5)T_C ou T_C = (5/9)(T_F − 32^◦)

La temp ´erature absolue et z ´ero absolu

Les ´echelles Celsius et Farenheit n’ont que tr `es peu de lien avec la nature fondamentale du concept de la temp ´erature. Y-a-t’il un z ´ero universel de temp ´erature reli ´e `a l’essence m ˆeme de la mati `ere et de l’ ´energie ? Oui, c’est le z ´ero absolu de temp ´erature. Etudions le comportement d’un gaz lorsqu’on diminue sa temp ´erature `a volume constant.

La pression varie lin ´eairement jusqu’ `a la liqu ´efaction du gaz, o `u le processus s’arr ˆete brusquement. Presque tous les gaz ont le m ˆeme comportement. De plus, quelque soit le gaz, si on prolonge cette droite vers les basses temp ´eratures, elle rencontre l’axe de pression nulle `a la m ˆeme temp ´erature,

-273,15^◦C : c’est le z ´ero absolu.

On d ´efinit une temp ´erature thermodynamique ou absolue en degr ´es Kel- vin(K) :

T(K) → T(^◦C) + 273, 15

Exemple : La temp ´erature

EXEMPLE 1 : D ´eterminez la temp ´erature `a laquelle les thermom `etres Fahren- heit et Celsius indiquent la m ˆeme temp ´erature ?

On utilise l’ ´equation : T_F = 32^◦ + (9/5)T_C dans laquelle on pose T_C = T_F, soit :

T_F = 32^◦ + (9

5)T_F Les 2 ´echelles co¨ıncident `a -40^◦.

EXEMPLE 2 : La temp ´erature normale du corps humain est de 98,6^◦F. A quoi correspond-elle en degr ´es Celsius ?

On ´etablit d’abord que 98,6^◦F se trouve `a 98,6-32,0=66,6<sup>◦</sup>F au-dessus du point de cong ´elation de l’eau. Comme chaque <sup>◦</sup>F=(<sup>5</sup><sub>9</sub>)<sup>◦</sup>C, alors 66,6 ×(<sup>5</sup><sub>9</sub>) = 37,0<sup>◦</sup>C au-dessus du point de cong ´elation. Comme ce point se situe `a 0^◦C, la temp ´erature normale du corps est de 37,0^◦C.

Etendue du domaine de variation de la temp ´erature

◦C Ph ´enom `enes ^◦K

-273,2 z ´ero absolu 0

-269 Ebullition de l’h ´elium 4,2

-196 Ebullition de l’azote 77,2

-183 Ebullition de l’oxyg `ene 90,2

-79 Cong ´elation de la neige carbonique 194,2

-39 Cong ´elation du mercure 234,2

0 Cong ´elation de l’eau 273,2

∼ 37 Temp ´erature du corps humain ∼ 310

78 Ebullition de l’alcool 351

100 Ebullition de l’eau 373,2

327 Fusion du plomb 600

1063 Fusion de l’or 1336

1000-1400 Fusion du verre 1273-1673

1300-1400 Fusion de l’acier 1573-1673

6000 surface du soleil 6273

15×10⁶ Int ´erieur du soleil 15×10⁶

Dilatation thermique des solides

En g ´en ´eral les corps s’allongent ou augmentent de volume lorsque la temp ´erature s’accroˆıt.

Dilatation lin ´eique

Pour des solides allong ´es, on trouve :

∆L = L_oα ∆T

∆L

L_o = α ∆T

α : Coefficient de dilatation lin ´eique qui s’exprime en K⁻¹.

En chauffant un corps, ses atomes se mettent `a vibrer avec une plus grande amplitude et la distance entre eux devient plus grande.

Plus le point de fusion d’un mat ´eriau est ´elev ´e, plus la liaison interatomique est forte et plus faible est le coefficient de dilatation lin ´eique.

Application : le bilame form ´e de 2 lames m ´etalliques poss ´edant des coeffi- cients de dilatation diff ´erents.

EXEMPLE : Dilatation lin ´eique

Une poutre en acier soutient un tableau d’affichage dans un stade en plein air.

La poutre avait une longueur de 12m lorsqu’elle a ´et ´e pos ´ee, un jour d’hiver

`a 0<sup>◦</sup>C. (a) Quelle sera sa longueur un jour d’ ´et ´e o `u il fait 32^◦C ? (b) Sachant qu’elle a une section de 100 cm², quelle force serait capable d’ ´etirer la poutre de la m ˆeme quantit ´e ?

SOLUTION : (a) Avec α= 12 ×10⁻⁶K⁻¹,

∆L = αL_o∆T

= (12 × 10⁻⁶K⁻¹)(12m)(32K) = 4, 6 × 10⁻³m

(b) Pour trouver la force, on se sert du module de Young, qui relie la contrainte

`a la d ´eformation.

F = EA∆L L_o

= (200 × 10⁹Pa)(100 × 10⁻⁴m²)(4, 6 × 10⁻³m)/12m = 77 × 10⁴N C’est aussi la force qu’exercerait la poutre sur tout ce qui s’opposerait `a sa dilatation dans la direction de sa longueur. Il est donc imp ´eratif de pr ´evoir la dilatation et la contraction thermiques lors de la conception de la construction.

Dilatation thermique des solides (suite)

Dilatation volumique

∆V = V_oβ ∆T

β : Coefficient de dilatation volumique qui s’exprime en K⁻¹.

On trouve la relation suivante : β ∼ 3α ce qu’on d ´emontre en n ´egligeant les termes en α² et α³ dans le d ´eveloppement suivant : si les cot ´es varient de L

`a (L + ∆L), la variation de volume s’ ´ecrit :

∆V = (L_o + ∆L)³ − L³_o ∼ 3L²_o ∆L = 3V_o ∆L/L_o

∆V = V_o 3α ∆T

mat ´eriau α (K⁻¹) β (K⁻¹) Temp.(^◦C)

Aluminium 22, 1 × 10⁻⁶ −23

Aluminium 23, 0 × 10⁻⁶ 72 × 10⁻⁶ 20

Aluminium 33, 5 × 10⁻⁶ 527

Ciment ∼ 12 × 10⁻⁶ ∼ 35 × 10⁻⁶ 20

Acier 12 × 10⁻⁶ 36 × 10⁻⁶ 20

Verre(Pyrex) 3 × 10⁻⁶ 9 × 10⁻⁶ 20

Pour les solides, α est positif et est l ´eg `erement d ´ependant de la temp ´erature.

Dilatation thermique des liquides

Dilatation volumique

∆V = V_oβ ∆T

mat ´eriau β(K⁻¹) Temp.(^◦C) Ac ´etone 1487 × 10⁻⁶ 20

Mercure 181 × 10⁻⁶ 20 Ether 1630 × 10⁻⁶ 20

Eau 207 × 10⁻⁶ 20

Exemple : Un automobiliste fait le plein avec 56 litres d’essence `a 10<sup>◦</sup>C. Il rentre chez lui, et enferme sa voiture dans un garage `a 20^◦C. Quelle quantit ´e d’essence risque de couler du r ´eservoir ?

SOLUTION : Calculons d’abord la variation du volume d’essence de : 56 litres =56 ×10³cm³ =0,056 m³.

∆V_e = β_eV_e∆T = (950 × 10⁻⁶K⁻¹)(0, 056m³)(+10K) = 5, 32 × 10⁻⁴m³ Supposons le r ´eservoir en acier. Son volume augmente de :

∆V_r = β_rV_r∆T = (36 × 10⁻⁶K⁻¹)(0, 056m³)(+10K) = 0, 202 × 10⁻⁴m³ Ainsi le volume qui d ´eborde est de 0,51×10⁻³m³ = 0, 51 litre.

Quand un objet se dilate ou se contracte, toutes les cavit ´es ou d ´eformations de l’objet se dilatent ou se contractent proportionellement.

Cas particulier de l’eau

Lorsque l’eau se trouve `a 0<sup>◦</sup>C et qu’on la chauffe, son volume diminue jusqu’ `a ce qu’elle atteigne 4^◦C. Au-dessus de ce point, elle se comporte normalement et se dilate `a mesure que la temp ´erature augmente.

Sa masse volumique passe donc par un maximum `a 277,13K (3,98<sup>◦</sup>C), endroit o `u le coefficient de dilatation β change de signe.

L’eau se cristallise en une structure plus ordonn ´ee qui prend plus d’espace. En cons ´equence le volume augmente brusque- ment, `a 273K(0^◦C),la masse volumique de l’eau est 999,8kg/m³, tandis que celle de la glace est seulement 917kg/m³.

Cons ´equences pour la vie aquatique : oxyg ´enation des lacs en profondeur

le lac g `ele de haut en bas → vie aquatique se maintient en hiver.

Dilatation thermique des gaz

Les 3 lois que nous allons voir sont des relations fondamentales qui ont ´et ´e

´etablies exp ´erimentalement. Elles d ´ecrivent le comportement des gaz sous des conditions bien d ´efinies : il faut ´eviter les hautes densit ´es, les hautes pres- sions et les basses temp ´eratures. Pour d ´efinir l’ ´etat d’un gaz contenu dans une enceinte, il faut donner les valeurs de 3 variables P, V, T.

– Loi de Boyle-Mariotte : P V =Constante [T constante]

Le dessin de P en fonction de V est une hyperbole.

– Loi de Gay-lussac : ^P_T = Constante [V constant]

Quand le volume d’un gaz reste constant, la pres- sion absolue d’une quantit ´e de gaz, varie propor- tionnellement `a la temp ´erature.

– loi de Charles : ^V_T = Constante [P constante]

On retrouve la formule : ∆V = V_o β ∆T avec β = 0, 003660 = 1/273, 15, ∼ m ˆeme valeur pour tous les gaz. La pente ∆V /∆T = βV_o est constante et le graphique est une droite. Si on double la temp ´erature `a pression constante, le vo- lume double aussi.

Loi des gaz parfaits

Multiplions les 3 lois pr ´ec ´edentes : on trouve pour une quantit ´e donn ´ee de gaz P V

T = Constante

Une autre quantit ´e peut varier et nous devons en tenir compte, c’est la masse, m, du gaz. Pour T et V fixes, si m double, P double. De m ˆeme, pour P et T fixes, si m double, V double. Donc P V α m ou encore

P V = Constante m T

L’exp ´erience montre que cette constante prend une valeur diff ´erente selon les gaz sauf si on utilise le nombre de moles,n, plut ˆot que la masse :

P V = n R T

R : constante des gaz parfaits qui conserve la m ˆeme valeur pour tous les gaz.

R = (8, 314510 ± 0, 000070))J/(mol·K)

Comme on a la relation suivante entre le nombre total de mol ´ecules,N, le nombre de moles,n, soit :N = nN_A o `u N_A est le nombre d’Avogadro :

P V = nRT = N

N_A R T = N k_B T la Constante de Boltzmann : k_B = _N^R

A = (1,380658±0, 000012)×10⁻²³J/K

Exemples : gaz parfaits

EXEMPLE 1 : Un r ´eservoir de volume 1 m³ est rempli d’air `a 0<sup>◦</sup>C et `a 20 fois la pression atmosph ´erique. Quel sera le volume occup ´e par ce gaz `a 1 atm et

`a 20^◦C ?

Comme P V /T = Constante, on peut ´ecrire : P_iV_i

T_i = P_fV_f T_f V_f = P_iV_iT_f

P_fT_i = (20)(1, 00m³)(293, 15K)

(1)(273, 15K) = 21,5m³

il faut utiliser les temp ´eratures absolues. L’augmentation de volume pro- vient surtout de la diminution de pression.

EXEMPLE 2 : D ´eterminer le volume d’une mole de n’importe quel gaz qui se comporte comme un gaz parfait dans les conditions CNTP :

V = nRT

P = (1mole)

(1, 013 × 10⁵Pa)(8, 315J/mole · K)(273, 15 K) = 22, 4 × 10⁻³m³. Une mole de n’importe quel gaz parfait occupe 22,4 litres dans CNTP.

Les gaz r ´eels : liqu ´efaction

La courbe A⁰ en pointill ´e repr ´esente le comportement d’un gaz qui ob ´eit `a la loi des gaz parfaits, tandis que la courbe A indique celui d’un gaz r ´eel `a m ˆeme temp ´erature. A pression ´elev ´ee, le volume du gaz r ´eel est inf ´erieur

`a celui que pr ´evoit la loi des gaz parfaits. Plus la temp ´erature s’abaisse (courbes B et C) plus on s’ ´eloigne du comportement des gaz parfaits. A pres- sions ´elev ´ees, les mol ´ecules sont plus rapproch ´ees. A basses temp ´eratures, leur ´energie potentielle li ´ee aux forces d’attraction entre les mol ´ecules, cesse d’ ˆetre n ´egligeable devant leur ´energie cin ´etique consid ´erablement r ´eduite. A pression donn ´ee, le volume du gaz devient moindre et `a basse temp ´erature la substance se liqu ´efie, ce qui rapproche les mol ´ecules.

La courbe D correspond `a une situation o `u il y a liqu ´efaction. A mesure que la pression aug- mente, le volume diminue jusqu’au point b au- del `a duquel le volume continue `a d ´ecroˆıtre sans que la pression varie. La substance passe de l’ ´etat gazeux `a l’ ´etat liquide (point a).

Tout accroissement de pression r ´eduit `a peine son volume et la courbe monte verticalement.

Les gaz r ´eels : liqu ´efaction

La courbe C illustre le comportement de la substance `a une temp ´erature critique et le point c porte le nom de point critique. On peut d ´efinir la temp ´erature critique en disant que, sous ce point, un gaz devient liquide lors- qu’on lui applique une pression suffisante tan- dis qu’au-dessus de ce point, aucune pression ne peut le faire changer d’ ´etat. Pour liqu ´efier un gaz, il faut d’abord le refroidir sous sa temp ´erature critique.

Substance Temp. critique Pression critique

◦C K (atm)

Eau 374,9 647 218

Oxyg `ene -118 155 50

CO₂ 31 304 72,8

Azote -147 1276 33,5

Hydrog `ene -267,9 5,3 2,3

Diagrammes de phases

Il est possible de repr ´esenter le comportement d’une substance `a l’aide d’un graphique P versus T : c’est un diagramme de phases( ´echelle non lin ´eaire).

Dioxyde de carbone

Eau

– Courbe de vaporisation (courbe l − v) – Courbe de fusion (courbe s − l)

– Courbe de sublimation (courbe s − v)

– Point triple `a l’intersection des 3 courbes : les 3 phases coexistent en ´equilibre.

Substance Temp.(K) Pression (atm) Eau 273,16 (0,01^◦C) 6,03 ×10⁻³

CO₂ 216,6 5,10

Amoniac 195,4 6,00 ×10⁻²

Azote 63,2 1,24 ×10⁻¹

Hydrog `ene 13,8 6,95 ×10<sup>−2</sup> – La courbe v − l de l’eau s’ ´el `eve vers la

gauche, celle du CO₂ vers la droite. Seules les substances qui se dilatent en attei- gnant le point de cong ´elation, comme l’eau, pr ´esentent un tel comportement.

Equation d’ ´etat de van der Waals

Etudions le comportement des gaz r ´eels du point de vue microscopique (ou mol ´eculaire).

– Equation d’ ´etat de Clausius

si l’on tient compte de la taille r ´eelle des mol ´ecules

P (V − nb) = n R T ou P (v − b) = R T

v = V /n volume occup ´e par une mole, b volume non disponible par mole.

b tient compte du volume occup ´e par les mol ´ecules dans chaque mole.

– Equation d’ ´etat de van der Waals

On tient en plus compte de la port ´ee des diff ´erentes forces entre les mol ´ecules qui peut

ˆetre sup ´erieure `a la taille de celles-ci (P + a

v²)(v − b) = R T

a tient compte des forces intermol ´eculaires dans le gaz. Les constantes a et b diff `erent pour chaque gaz. Aucune des nombreuses

´equations d’ ´etat propos ´ees `a ce jour ne d ´ecrit exactement le comportement de tous les gaz.

Th ´eorie cin ´etique

Le fait que la mati `ere est constitu ´ee d’atomes se d ´eplacant constamment dans toutes les directions a ´et ´e ´etabli `a partir des lois de la m ´ecanique classique et porte le nom de th ´eorie cin ´etique. Cette th ´eorie permet de relier l’ ´energie cin ´etique moyenne des mol ´ecules du gaz `a la temp ´erature en Kelvin.

Un gaz r ´eel `a faible pression et loin du point de liqu ´efaction se comporte prati- quement comme un gaz parfait et peut ˆetre ´etudi ´e en utilisant cette th ´eorie qui repose sur les hypoth `eses suivantes :

– Volume du r ´ecipient contient un tr `es grand nombre de mol ´ecules, N, de masse m qui se d ´eplacent sans direction pr ´ecise `a diff ´erentes vitesses.

– Distance moyenne entre chacune des mol ´ecules est tr `es sup ´erieure `a leur diam `etre

– Elles ob ´eissent aux lois de la m ´ecanique classique et n’interagissent que lorsqu’elles entrent en collision (on n ´eglige les forces d’attraction entre elles entre les collisions)

– les chocs entre elles ou avec les parois rigides du r ´ecipient sont parfaitement

´elastiques.

Th ´eorie cin ´etique (suite)

La pression exerc ´ee par le gaz sur les parois est attribuable aux collisions des mol ´ecules contre ces parois. Lors d’une collision, la grandeur de la force exerc ´ee ´equivaut au taux de variation de la quantit ´e de mouvement, soit

F = ∆p/∆t. Le mouvement d’une mol ´ecule peut ˆetre d ´ecompos ´e en ses composantes dans les directions x, y et z. Lors d’une collision ´elastique d’une mol ´ecule sur la paroi normale `a x, les composantes de sa vitesse dans les directions y et z restent inchang ´ees ; seule la composante x est renvers ´ee de +v_x en −v_x. Ainsi pour une mol ´ecule de masse m

∆p_x = m v_x − (−m v_x) = 2 m v_x

∆t = 2L v_x F = ∆p_x

∆t = 2 m v_x

2L/v_x = mv_x² L Pour N mol ´ecules ayant des vitesses diff ´erentes :

F = m

L (v_x1² + v_x2² + .... + v_xN² ) = m

L N (v_x²) avec v_x² = (v_x1² + v_x2² + .... + v_xN² )/N

Th ´eorie Cin ´etique

D’apr `es Pythagore et en prenant les moyennes : v² = v_x² +v_y² +v_z². Comme les particules se d ´eplacent dans toutes les directions avec la m ˆeme probabilit ´e, nous avons : v_x² = v_y² = v_z², donc v² = 3 v_x² et

F = N mv²

3 L et la pression P = N mv²

3 LA = N mv² 3 V On peut ´ecrire l’ ´equation pr ´ec ´edente comme P V = ¹₃N m v².

En nous rappelant que l’ ´energie cin ´etique de translation d’un objet est E_C = ¹₂mv², on peut ´ecrire :

P V = 2

3 N (1

2 m v²) = 2

3 N E_C

En comparant avec l’ ´equation des gaz parfaits,P V = N k_BT, on trouve que l’ ´energie cin ´etique moyenne de translation d’une mol ´ecule est :

E_C = 1

2 mv² = 3

2 k_B T = 3 2

R N_A T

La temp ´erature d’un gaz parfait est proportionnelle `a la moyenne de l’ ´energie cin ´etique de translation de ses mol ´ecules et ne d ´epend pas de la nature du gaz.

Vitesse des mol ´ecules dans un gaz

Des ´equations pr ´ec ´edentes on peut d ´eduire que : v² = 3 k_B T

m = 3 R T M v_qm =

√

v² =

v u u u u u t

3 k_B T m

o `u v_qm est la vitesse quadratique moyenne qui d ´epend de T et de m. Ce n’est pas exactement la vitesse moyenne : en effet, une analyse statistique montre que v¯ = 0, 92v_qm.

En fait les mol ´ecules d’un gaz r ´eel subissent un tr `es grand nombre de colli- sions les unes avec les autres, ∼ 10<sup>5</sup> collisions par cm parcouru. L’effet de ce tr `es grand nombre de collisions n’est pas de r ´eduire les vitesses des mol ´ecules ou de les rendre ´egales, mais de les distribuer selon une loi de distribution par- ticuli `ere avec des vitesses allant de z ´ero `a l’infini. C’est le physicien ´ecossais J.C.Maxwell qui le premier a trouv ´e la distribution des vitesses des mol ´ecules d’un gaz. Son r ´esultat, connu sous le nom de distribution des vitesses de Maxwell est le suivant :

Vitesse des mol ´ecules dans un gaz

Distribution des vitesses de Maxwell : P (v) = 4πN(_{2π k}^m

B T)^3/2 v² e⁻

m v2 2 kB T

La distribution de Maxwell d ´epend uni- quement de la temp ´erature pour un gaz donn ´e. La surface sous ces courbes comprise entre 2 vitesses quelconques est

´egale au pourcentage du nombre total de mol ´ecules, N, qui ont une vitesse dans cet intervalle (la surface totale sous la courbe est 100%). Pour obtenir le nombre de particules dans cet intervalle de vitesse, il faut multiplier ce pourcentage par le nombre total de particules,N. La majorit ´e des vitesses est concentr ´ee autour de v_qm et seulement 1 mol ´ecule sur 10000 a une vitesse sup ´erieure `a 3v_qm : ceci est utilis ´e dans les processus de fusion nucl ´eaire par exemple.

Exemple 1 : Vitesse des mol ´ecules dans un gaz

Rappel de Math

Huit particules se d ´eplacent aux vitesses suivantes, exprim ´ees en m/s : 1,0, 6,0, 4,0, 2,0, 6,0, 3,0, 2,0 et 5,0. Calculer (a) leur vitesse moyenne et (b) leur vitesse quadratique moyenne.

SOLUTION : (a) La vitesse moyenne vaut :

¯

v = 1,0 + 6, 0 + 4, 0 + 2,0 + 6, 0 + 3, 0 + 2,0 + 5, 0

8 = 3, 6m/s

(b) La vitesse quadratique moyenne vaut : v_qm =

v u u u u u t

(1, 0)² + (6, 0)² + (4,0)² + (2, 0)² + (6, 0)² + (3, 0)² + (2, 0)² + (5, 0)²

8 m/s

= 4, 1m/s

¯

v et v_qm ne sont en g ´en ´eral pas ´egales.

Exemple 2 : Vitesse des mol ´ecules dans un gaz

(a) D ´eterminer la moyenne de l’ ´energie cin ´etique de translation pour des mol ´ecules d’air `a 20^◦C ? (b) D ´eterminer la vitesse quadratique moyenne ?

SOLUTION : (a) La moyenne de l’ ´energie cin ´etique de translation ne d ´epend que de la temp ´erature et pas de la nature du gaz. Donc

E_C = 3

2k_B T = (3

2)(1, 38 × 10⁻²³J/K)(293K) = 6,21 × 10⁻²¹J On a le m ˆeme r ´esultat pour azote et oxyg `ene.

(b) Il faut traiter s ´epar ´ement le cas de l’oxyg `ene et de l’azote car ces gaz ont des masses diff ´erentes. La masse,m, d’une mol ´ecule est la masse molaire divis ´ee par le nombre de mol ´ecules dans une mole (nombre d’Avogadro), soit :

m_O2 = 0,032kg/mol

6, 022 × 10²³mol ´ecules/mol = 5, 3 × 10⁻²⁶kg m_N2 = 0,028kg/mol

6, 022 × 10²³mol ´ecules/mol = 4, 7 × 10⁻²⁶kg et la vitesse quadratique de l’oxyg `ene vaut :

v_qm =

v u u u u u t

3k_BT

m =

v u u u u u u t

(3)(1, 38 × 10⁻²³J/K)(293K)

5, 3 × 10⁻²⁶kg = 4, 83 × 10²m/s Pour l’azote, on trouve v_qm = 5, 17 × 10²m/s ou encore 1500 km/h.

Le libre parcours moyen

La distance parcourue par une mol ´ecule entre 2 collisions est variable : la moyenne sur un tr `es gd nombre de chocs s’appelle le libre parcours moyen.

Supposons un gaz constitu ´e de mol ´ecules semblables de rayon r. La mol ´ecule de gauche se d ´eplace vers la droite selon la ligne pointill ´ee `a la vitesse caract ´eristique du gaz v¯ et va heurter n’importe quelle autre mol ´ecule dont le centre se trouve `a l’int ´erieur du cylindre de rayon 2r. Supposons que toutes les mol ´ecules, dont la concentration est n_v, sont au repos sauf celle de gauche.

Par cons ´equent, le nombre de celles dont le centre se trouve `a l’int ´erieur du cylindre est

´egal `a :n_v × Volume du cylindre, ce qui donne aussi le nombre de collisions qui se produi- ront, soit n_v π (2r)² v¯ ∆t.

Le libre parcours moyen (suite)

Ainsi nous obtenons

λ = longueur parcourue

nombre de collisions = v∆t¯

n_vπ (2r)²v∆t¯ = 1

4π r² n_v

On constate que λ est inversement proportionnel `a l’aire de section (πr<sup>2</sup>) des mol ´ecules et `a leur concentration (nombre/volume), n_v. Mais les autres mol ´ecules bougent en fait, et le nombre de collisions subies dans l’intervalle

∆t d ´epend plut ˆot de la vitesse relative v_rel des mol ´ecules qui s’entrechoquent.

Ainsi le nombre de collisions `a la seconde doit s’ ´ecrire avec v_rel plut ˆot qu’avec v. Un calcul pr ´ecis montre que¯ v_rel = √

2¯v, soit :

λ = 1

4π √

2 r² n_v

Le libre parcours moyen des mol ´ecules d’air au niveau de la mer est ∼ 0.1µm.

A une altitude de 100km, la masse volumique de l’air a diminu ´e si bien que λ = 16cm et `a 300km, il serait de 20km.

Exemple : Le libre parcours moyen

Calculer le libre parcours moyen pour les mol ´ecules d’air `a CNTP ? Le diam `etre des mol ´ecules de O₂ et N₂ est d’environ 3 × 10⁻¹⁰m.

Calculons d’abord la concentration (nombre de mol ´ecules par unit ´e de volume) des mol ´ecules d’air. On a vu qu’une mole de gaz parfait occupe toujours un volume de 22,4 litres dans les conditions CNTP, donc par mole

n_v = (1mole)6, 02 × 10²³mol ´ecules/mole

22, 4 × 10⁻³m³ = 2, 69 × 10²⁵mol ´ecules/m³ Donc

λ = 1

4π √

2 (1, 5 × 10⁻¹⁰ m)² (2, 7 × ×10²⁵m⁻³) ∼ 9 × 10⁻⁸m ce qui repr ´esente 300 fois le diam `etre d’une mol ´ecule.

C’est la raison pour laquelle il faut attendre un certain temps avant qu’un par- fum se r ´epande dans une pi `ece ; les mol ´ecules se d ´eplacent `a grandes vi- tesses mais en zigzag dans toutes les directions.

Diffusion

Si deux gaz de masses mol ´eculaires diff ´erentes sont m ´elang ´es dans une enceinte munie d’une petite ouverture, le gaz plus l ´eger, donc qui a des mol ´ecules anim ´ees de la plus grande vitesse moyenne v_qm, s’ ´echappe plus rapidement que l’autre gaz. Cette conclusion fut confirm ´ee exp ´erimentalement par Rayleigh en 1896 en s ´eparant partiellement deux gaz en les faisant diffu- ser `a travers une barri `ere poreuse vers une enceinte vide.

Cette id ´ee inspira l’un des proc ´ed ´es conc¸us pendant la 2eme Guerre Mondiale pour produire la bombe atomique. Le mat ´eriau de la bombe, l’uranium 235 fis- sile, est inclus dans le minerai, m ´elang ´e avec l’uranium 238, non fissile, plus lourd, mais chimiquement identique. On a en fait 0,7% d’uranium 235 dans l’uranium naturel et les centrales nucl ´eaires utilisent un uranium enrichi `a 3%- 5% d’uranium 235.

L’uranium naturel est combin ´e au fluor, pour former l’hexafluorure d’uranium gazeux. On fait diffuser ce gaz environ 4000 fois `a travers des barri `eres conte- nant chacune des milliards de trous minuscules, plus petits que le dizi `eme du libre parcours moyen (< 10<sup>−5</sup>mm). Etant plus l ´eger, l’uranium 235 passe `a travers les barri `eres plus facilement, se s ´eparant de l’uranium 238.