Résolution du ∂∂ ̄ pour les formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants

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Résolution du ∂∂ ̄ pour les formes différentielles ayant

une valeur au bord au sens des courants

Souhaibou Sambou

To cite this version:

Souhaibou Sambou. Résolution du ∂∂ ̄ pour les formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants. Mathématiques [math]. Université Assane Seck de Ziguinchor (Sénégal), 2019. Français. �tel-03224077v2�

UNIVERSITÉ ASSANE SECK DE ZIGUINCHOR

École Doctorale : Sciences, Technologies et Ingénierie

UFR SCIENCES ET TECHNOLOGIES DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES

THÈSE

Domaine : Sciences et Technologies

Mention : Mathématiques et Applications Spécialité : Mathématiques Pures

Option : Analyse et géométrie complexe Présentée par :

SOUHAIBOU SAMBOU Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ ASSANE SECK DE ZIGUINCHOR

Sujet de la thèse :

Résolution du ∂ ¯

∂ pour les formes différentielles

ayant une valeur au bord au sens des courants

Sous la direction de Marie Salomon SAMBOU

Soutenue publiquement le 23 Mars 2019 devant le jury composé de :

Président : M. Oumar SALL Université Assane Seck de Ziguinchor (Sénégal) Rapporteurs : M. Chérif BADJI Université Cheikh Anta Diop de Dakar (Sénégal)

M. El Hadj Cheikh Mbacké DIOP Université Cheikh Anta Diop de Dakar (Sénégal) M. Diaraf SECK Université Cheikh Anta Diop de Dakar (Sénégal) Examinateur : M. Amoussou Thomas GUEDENON Université Assane Seck de Ziguinchor (Sénégal) Directeur : M. Marie Salomon SAMBOU Université Assane Seck de Ziguinchor (Sénégal)

Thèse effectuée au sein du Laboratoire Mathématiques et Applica-tions (LMA) de l’UFR Sciences et Technologies de l’Université Assane Seck de Ziguinchor

Remerciements

Les premiers pas dans la recherche se font rarement seuls et sans aide ni soutien. Mon cas ne fait pas exception et je tiens ici à remercier tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à l’aboutissement de ce travail.

Mes remerciements sont adressés d’abord à mon Directeur de thèse Marie Salomon SAMBOU. Il a été pour moi, depuis le début de mon master et tout au long de ma thèse un mentor remarquable. Il m’a montré comment construire mon intuition mathématique, comment prendre du recul face à un problème, comment rédiger de manière lisible · · · Mais aussi au-delà de ses qualités mathématiques, c’est par ses qualités humaines qu’il a su rendre ces années agréables et enrichissantes. Il a tou-jours été très attentif à ce que je ressentais, et pas seulement aux mathématiques qui nous liaient formellement. Il m’est parfois arrivé au cours de ma thèse, d’être démo-tivé mais en sortant de son bureau, j’étais de nouveau confiant et prêt à attaquer des questions mathématiques passionnantes. Je lui suis aussi reconnaissant d’avoir su rester très disponible jusqu’à la fin de ma thèse. Bref, un énorme merci.

J’adresse aussi mes remerciements à mes trois rapporteurs Chérif BADJI, EL Hadj Cheikh Mbacké DIOP et Diaraf SECK pour leur relecture scrupuleuse du manuscrit et leurs remarques qui m’ont permis de clarifier ma pensée parfois embrouillée. Je suis honoré par la présence de Oumar SALL qui a acepté de présider le jury de ma thèse et Amoussou Thomas GUEDENON qui m’a fait l’honneur d’accepter d’être membres de mon jury, je le remercie sincèrement.

Pendant ces trois années de thèse, j’ai pris un énorme plaisir à enseigner l’algébre, l’analyse et l’EDP en première et en deuxième année. Je voudrais donc remercier sincèrement les professeurs avec qui j’ai travaillé (ou je travaille), il s’agit de Daouda Niang DIATTA, Moussa FALL, Diène NGOM et Mansour SANÉ. Je remercie aussi tous les étudiants qui ont suivi (ou suivent) mes TD. J’espère avoir réussi à leur transmettre le goût pour les mathématiques.

Je voudrai également remercier tous les professeurs et tous les doctorants du dé-partement de mathématiques de l’université Assane Seck de Ziguinchor (UASZ)

particulièrement ceux du groupe de recherche en analyse et géométrie complexe : Mamadou Eramane BODIAN, Mamadou Dian DIALLO, Sény DIATTA, Ibrahima HAMIDINE, Winnie Ossete INGOBA et Waly NDIAYE. Mes remerciements vont aussi à l’endroit de tous les membres du club mathématiques de l’université Assane Seck de Ziguinchor (UASZ) et tous mes camarades de promotion à l’université As-sane Seck de Ziguinchor (UASZ) avec qui j’ai cheminé de la première année à la cinquième année (Master2) : Boubacar Sidy BALDE, Abdoulaye Bambo DIATTA, Abdoulaye DIOUF, Nestor DJINTELBE, Alioune FAYE, Tidiane MBALLO, Ous-seynou SARR.

Mes remerciements à mes amis non mathématiciens dont les encouragements m’ont permis de ne pas dévier de mon objectif final. Merci à Ansoumana BADJI, Yous-soupha BADJI, Abdourahmane DIATTA, Assane DIATTA, Moustapha DIATTA, Sény DIATTA, Habib DIOUF, Mouhamadou Aly DIOUF, Kaoussou DIEME, Fa-tou BinFa-tou MANGA, Abdou SAMBOU · · · Un grand merci aux gérants du campus numérique francophone de l’UASZ ainsi qu’à leurs vigiles( Abdoulaye BA et Henry DIEME) qui m’ont permis d’effectuer mes recherches dans les meilleurs conditions possibles dans leur local. Un merci aussi aux étudiants avec qui j’ai partagé le bu-reau : Marcel Sihintoe BADIANE, Marthe Fama BIAGUI, Marie Joseph Niokininho DIEDHIOU, Mariama CISSE, Pape Modou SARR · · ·

Ces remerciements ne peuvent s’achever sans une pensée pour ma famille, Parents, Frères et Sœurs, dont leurs encouragements sont pour moi les piliers fondateurs de ce que je suis et de ce que je fais.

Une pensée spéciale à Papa Mamadou SAMBOU (Paix à son âme) qui n’a pas vu l’aboutissement de mon travail mais je sais que vous en seriez très fier de votre fils ! ! !.

Dédicace

Je tiens à dédier ce travail :

« A Mamadou SAMBOU le grand frère de mon papa, dont le Miséricordieux a pris en 2014 au moment du début de mon mémoire de master. Vous m’aviez apporté tout le soutien nécessaire. Que le Tout-Clément, le Bienfaiteur par excellence vous récompense pour tout. »

Résumé

Ce mémoire de thèse est consacré à l’étude de quelques problèmes du ∂ ¯∂ pour les formes différentielles de classe C∞et ayant une valeur au bord au sens des courants. Le premier problème présenté concerne la résolution du ∂ ¯∂ pour les formes diffé-rentielles de classe C∞ et ayant une valeur au bord au sens des courants dans un domaine étoilé strictement pseudoconvexe de Cn _{et la généralisation de ce résultat} aux variétés : c’est-à-dire dans le cas d’un domaine contractile complètement stric-tement pseudoconvexe d’une variété analytique complexe (c’est le cas convexe). Ensuite, nous nous intéressons à la résolution du ∂ ¯∂ pour les formes différentielles de classe C∞ et ayant une valeur au bord au sens des courants dans le complémentaire respectif de chacun des domaines précédents : c’est le cas concave.

Enfin, nous terminons par la résolution du ∂ ¯∂ pour les formes différentielles de classe C∞ et ayant une valeur au bord au sens des courants dans un domaine non borné de Cn _{dont le complémentaire est aussi non borné et est Lévi-plat : c’est le cas des} demi-espaces.

Mots-clés : L’opérateur ∂ ¯∂, Cohomologie de De Rham, Courant prolongeable, Valeur au bord, Formes à croissance polynomiale.

The ∂ ¯

∂-problem for a differential

forms with boundary value in

currents sense

Abstract

This thesis is devoted to the study of some problems of the ∂ ¯∂ for the differential forms of class C∞ with boundary value in currents sense.

The first problem presented concerns the resolution of the ∂ ¯∂ for the differential forms of class C∞ with boundary value in currents sense on a strictly pseudoconvex starry domain of Cn _{and the generalization of this result to the manifolds, that is to} say in the case of a strongly pseudoconvex contractible domain of a complex mani-fold : it is the convex case.

Next, we are interested in solving of the ∂ ¯∂ for the differential forms of class C∞ with boundary value in currents sense in their respective complementary : it is the concave case.

Finally, we end with the resolution of the ∂ ¯∂ for the differential forms of class C∞ with boundary value in currents sense in an unbounded domain of Cn whose Com-plementary is also unbounded and it is Lévi flat : this is the case of half-spaces.

Keywords : ∂ ¯∂ operator, the De Rham Cohomology, extensible currents, forms with polynomial growing.

Table des matières

Remerciements 3

Dédicace 5

Introduction 10

1 Préliminaires 15

1.1 Calculs différentiels sur une variété différentiable . . . 15

1.1.1 Notion de variété . . . 16

1.1.2 Espace tangent . . . 16

1.1.3 Fibrés vectoriels . . . 17

1.1.4 Formes différentielles . . . 18

1.1.5 Opérateur de différentiation extérieure . . . 19

1.1.6 Notion de distribution . . . 20

1.1.7 Courants . . . 21

1.1.8 Dérivation d’un courant . . . 23

1.1.9 Courant prolongeable . . . 23

1.1.10 Cohomologie de De Rham . . . 23

1.1.11 Cohomologie de ˇCech . . . 25

1.2 Notion de variété complexe . . . 27

1.2.2 Variété complexe . . . 29

1.2.3 Formes différentielles de bidegré (p, q) . . . 30

1.2.4 Courants . . . 32

1.2.5 _{Courants d’ordre k ∈ N . . . .} 32

1.2.6 Formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants . . . 33

1.2.7 Groupes de ¯∂ cohomologie . . . 33

2 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas convexe 36 2.1 Préliminaires . . . 37

2.2 Isomorphismes entre groupes de cohomologie . . . 39

2.3 Résolution du ∂ ¯_{∂ dans le cas convexe de C}n . . . 42

2.4 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas convexe d’une variété analytique complexe 46 3 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas concave 52 3.1 Préliminaires . . . 53

3.2 Résolution du ∂ ¯_{∂ dans le cas concave de C}n . . . 54

3.3 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas concave d’une variété analytique complexe 56 4 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas des demi-espaces 63 4.1 Préliminaires . . . 64

4.2 Résolution du d . . . 66

4.3 Résolution du ∂ ¯∂ dans le cas des demi-espaces . . . 68

Conclusion et perspectives 71

Introduction

Ce travail porte sur quelques problèmes de résolution du ∂ ¯∂ pour les formes diffé-rentielles ayant une valeur au bord au sens des courants. La résolution du ∂ ¯∂ découle de la théorie du pluripotentiel introduite par Pierre Lelong et Kiyoshi Oka dans les années 1940. La théorie du pluripotentiel est l’analogue en dimension supérieure de la théorie du potentiel classique qui est consacrée à l’étude de l’équation de Laplace et à l’étude des fonctions sousharmoniques dans le plan complexe. Les objets prin-cipaux de la théorie du pluripotentiel sont les fonctions plurisousharmoniques, les courants et l’opérateur de Monge-Ampère noté ddc ₌ i

π∂ ¯∂. Cette théorie est un outil très puissant en analyse complexe et son développement semble loin d’être épuisé. Dans [19] Sambou et Sané ont établi le résultat suivant :

Théorème 1 : Soit Ω ⊂⊂ Cn_{un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse} de classe C∞ et soit f une (0, r)-forme différentielle de classe C∞, ¯∂-fermée, admet-tant une valeur au bord au sens des courants, 1 ≤ r ≤ n. Il existe une (0, r − 1)-forme différentielle g de classe C∞ ayant une valeur au bord au sens des courants telle que

¯ ∂g = f .

D’après Lojaciewicz et Tomassini dans [14], si f est une forme différentielle ayant une valeur au bord au sens des courants sur un domaine Ω, alors f est un courant prolongeable. Pour établir la preuve du théorème 1, ils montrent d’abord que pour tout courant prolongeable f d’ordre l, défini sur Ω et ¯∂-fermé, il existe une solution u du ¯∂ qui est aussi un courant prolongeable d’ordre l. Ensuite ils montrent la pro-position suivante :

Proposition 2 : Soit Ω un domaine à bord lisse de classe C∞ et soit f une fonction à croissance polynomiale sur Ω ; alors f admet une valeur au bord au sens des distributions.

Pour enfin établir la preuve du théorème 1.

Alors on se pose la question de savoir si on se donne une forme différentielle f de classe C∞ ayant une valeur au bord au sens des courants et d-fermée, existe-t-il une forme différentielle g de classe C∞ ayant une valeur au bord au sens des courants telle que ∂ ¯∂g = f ?

Pour répondre à cette question, la démarche classique est de résoudre l’équation du = f où u et f sont des formes différentielles de classe C∞ ayant une valeur au bord au sens des courants, ensuite on résout le ∂ et le ¯∂ pour la décomposition de la solution obtenue et comme conséquence on obtient la résolution du ∂ ¯∂.

Dans le premier chapitre, nous donnons quelques notions préliminaires et quelques résultats qui nous seront utiles pour la suite.

Pour résoudre l’opérateur d, on a besoin de mettre des hypothèses topologiques sur le domaine Ω et pour le ¯∂, on a besoin de mettre des hypothèses géométriques sur le domaine Ω. Nous traiterons :

• Le cas convexe au chapitre 2, c’est-à-dire où Ω est un domaine étoilé strictement pseudoconvexe de Cn_{, on a le résultat suivant :}

Théorème 3 : Soit Ω ⊂⊂ Cn _{un domaine étoilé strictement pseudoconvexe à} bord lisse de classe C∞ avec Hj(bΩ) trivial pour 1 ≤ j ≤ n − 2. Si f est une (p, q)-forme différentielle de classe C∞, d-fermée, admettant une valeur au bord au sens des courants sur Ω avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et 1 ≤ q ≤ n − 1, alors il existe une (p − 1, q − 1)-forme différentielle u de classe C∞, définie sur Ω, ayant une valeur au bord au sens des courants telle que ∂ ¯∂u = f .

Il faut noter que, le domaine Ω ⊂⊂ Cn _{considéré dans le théorème 3 est} relative-ment compact, donc les courants prolongeables à support dans Ω sont d’ordre fini. L’espace des formes différentielles de classe C∞ à support compact dans Ω est un espace de Fréchet.

On cherche à étendre le théorème 3 au domaine contractile complètement stricte-ment pseudoconvexe, à bord lisse de classe C∞d’une variété analytique complexe en utilisant une partition de l’unité et la théorie classique des faisceaux.

On obtient ainsi la version globale du théorème 3 :

Théorème 4 : Soient M une variété analytique complexe de dimension n et Ω ⊂⊂ M un domaine contractile complètement strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe C∞. Supposons que Hj_{(bΩ) soit trivial pour 1 ≤ j ≤ n − 2. Alors}

l’équation ∂ ¯∂u = f , où f est une (p, q)-forme différentielle de classe C∞, d-fermée, ayant une valeur au bord au sens des courants, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et 1 ≤ q ≤ n − 1, admet une solution u qui est une (p − 1, q − 1)-forme différentielle de classe C∞, avec une valeur au bord au sens des courants.

• Le cas concave au chapitre 3, c’est-à-dire où Ω est le complémentaire dans Cn d’un domaine étoilé strictement pseudoconvexe, on a le résultat suivant :

Théorème 5 : Soit D ⊂⊂ Cn _{un domaine étoilé strictement pseudoconvexe à} bord lisse de classe C∞ avec Hj_{(bD) trivial pour 1 ≤ j ≤ n − 2. Posons Ω = C}n_{\ D.} Si f est une (p, q)-forme différentielle de classe C∞, d-fermée et admettant une valeur au bord au sens des courants sur Ω, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et 1 ≤ q ≤ n − 1, alors il existe une (p − 1, q − 1)-forme différentielle u de classe C∞, définie sur Ω, ayant une valeur au bord au sens des courants telle que ∂ ¯∂u = f .

Contrairement au cas convexe, Ω n’est pas borné donc D( ¯Ω) n’est pas un espace de Fréchet mais une limite inductive d’espace de Fréchet. Donc nous commençons d’abord par montrer que les courants prolongeables à support dans Ω sont d’ordre fini, ensuite on résout le d et le ¯∂ et enfin comme conséquence on obtient la résolution du ∂ ¯∂.

En s’inspirant du lemme 4.3 de [16] et des résultats obtenus dans la partie concave de [20], on établit des résultats locaux et ensuite on étend ces résultats aux variétés analytiques complexes en utilisant une partition de l’unité et la théorie classique des faisceaux.

On obtient ainsi la version globale du théorème 5 :

Théorème 6 : Soient M une variété analytique complexe de dimension n et D ⊂⊂ M un domaine contractile complètement strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe C∞. Supposons que M est une extension (n − 1)-convexe de D et une extension contractile de D avec Hj_{(bD) trivial pour 1 ≤ j ≤ n − 2. Posons} Ω = M \ D. Si

◦

Ω= Ω et f est une (p, q)-forme différentielle de classe C∞, d-fermée et admettant une valeur au bord au sens des courants sur Ω, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et 1 ≤ q ≤ n − 1, alors il existe une (p − 1, q − 1)-forme différentielle u de classe C∞, définie sur Ω, ayant une valeur au bord au sens des courants telle que ∂ ¯∂u = f .

formes différentielles de classe C∞, ayant une valeur au bord au sens des courants, définies dans un domaine Ω ⊂ Cn à bord lisse de classe C∞ tel que Hj(bΩ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 2, qui n’est pas relativement compact ainsi que son complémentaire, et est Lévi-plat. Le résultat obtenu est le suivant :

Théorème 7 : Soit le domaine Ω = {z = (z1, · · · , zn) ∈ Cn : Im(zn) > 0}, alors pour toute (p, q)-forme différentielle f de classe C∞, d-fermée, admettant une valeur au bord au sens des courants et définie sur Ω, avec 1 ≤ p ≤ n − 1 et 1 ≤ q ≤ n − 1, alors il existe une (p − 1, q − 1)-forme différentielle g de classe C∞, définie sur Ω, ayant une valeur au bord au sens des courants telle que ∂ ¯∂g = f .

Ce dernier cas concerne un domaine Lévi-plat non borné ainsi que son complé-mentaire. La résolution dans ce cas a fait intervenir en plus une résolution du ¯∂b sur le bord du domaine.

Conventions et notations

Soit Ω un ouvert d’une variété analytique complexe M de dimension n. On note : ˇ

Hr_{(Ω) le r-ième groupe de cohomologie de De Rham des courants prolongeables} définis sur Ω.

ˇ

H0,r_{(Ω) le (0, r)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des courants} prolon-geables définis sur Ω.

Hr_{(Ω) le r-ième groupe de cohomologie de De Rham des formes différentiables de} classe C∞, définies sur Ω .

H0,r_{(Ω) le (0, r)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des formes} différen-tiables de classe C∞, définies sur Ω .

Hr_{(bΩ) le r-ième groupe de cohomologie de De Rham des formes différentiables de} classe C∞, définies sur bΩ.

˜

Hr_{(Ω) Le r-ième groupe de cohomologie de De Rham des formes différentielles} de classe C∞, ayant une valeur au bord au sens des courants sur Ω.

˜

H0,r_{(Ω) Le (0, r)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des formes} différen-tielles de classe C∞, ayant une valeur au bord au sens des courants sur Ω. OΩ le faisceau des fonctions holomorphes sur Ω.

ˇ

OΩ le faisceau sur Ω des germes de fonctions holomorphes sur Ω, ayant une valeur au bord au sens des distributions.

F0,r_{(Ω) le faisceau sur Ω des (0, r)-formes différentielles sur Ω, ayant une valeur} au bord au sens des courants.

ˇ Hr_{(Ω, O}

Ω) le r-ième groupe de cohomologie de ˇCech des formes différentielles définies sur Ω à valeur dans le faisceau OΩ.

ˇ Hr_{(Ω, ˇO}

Ω) le r-ième groupe de cohomologie de ˇCech des formes différentielles définies sur Ω à valeur dans le faisceau ˇOΩ.

Chapitre 1

Préliminaires

« La Topologie est précisément la discipline mathématique qui permet le passage du local au global. » R. Thom (1968) L’objectif de ce chapitre est de présenter quelques notions de base relatives à la résolution du ∂ ¯∂.

1.1

Calculs différentiels sur une variété différentiable

Soient n ∈ N et k ∈ NS{∞, ω}.

Si k 6= w, on note Ck_{la classe des fonctions k-fois différentiables et de dérivée k-ième} continue et Cw _{celle des fonctions réelles analytiques.}

Définition 1.1 Soient X et Y deux espaces topologiques. Deux applications continues f0 : X −→ Y et f1 : X −→ Y sont dites homotopes lorqu’elles sont reliées par une homotopie, c’est-à-dire une application continue F : X × [0, 1] −→ Y telle que F|X×{0}= f0 et F|X×{1} = f1.

Définition 1.2 Soient X et Y deux espaces topologiques. On dit qu’une appli-cation continue f : X −→ Y est une équivalence d’homotopie lorsqu’il existe une application continue g : Y −→ X telle que g ◦ f et f ◦ g soient homotopes à l’identité (de X et de Y respectivement).

Dans ce cas, les espaces topologiques X et Y sont dits homotopiquement équivalents, ou de mˆeme type d’homotopie.

Un espace topologique est dit contractile lorsqu’il est homotopiquement équivalent à un singleton.

Exemple 1.3 _{Les espaces vectoriels C}n_{, R}n_{ou plus généralement tout sous-espace} convexe ou étoilé de Rn sont contractiles.

1.1.1

Notion de variété

Définition 1.4 Soit M un espace topologique séparé de dimension n. Un atlas de classe Ck sur M est une collection d’homéomorphismes ϕα : Uα → Vα, α ∈ I, appelée carte différentielle où (Uα)α∈I constitue un recouvrement ouvert de M , (Vα)α des ouverts de Rn _{tels que pour tous α et β ∈ I, les fonctions de transition}

ϕαβ = ϕα◦ ϕ−1_β : ϕβ(Uα∩ Uβ) → ϕα(Uα∩ Uβ) sont des difféomorphismes de classe Ck_.

Définition 1.5 (Variété différentiable)

Une variété différentiable M de dimension n et de classe Ck_{est un espace topologique} séparé muni d’un atlas de classe Ck _{à valeurs dans R}n.(cf. [8])

Définition 1.6 Soient M une variété différentiable de classe Ck _{et de dimension} n, Ω ⊂ M un ouvert et s ∈ N∪{∞, w} tel que 0 ≤ s ≤ k. Une fonction f : Ω → R est de classe Cs sur Ω si f ◦ ϕ−1_α : ϕ(uα) → R est différentiable de classe Cs pour toute carte locale (uα, ϕα). L’ensemble des fonctions de classe Cs sur Ω est noté Cs(Ω, R). Définition 1.7 Soient M et N deux variétés différentiables de classes respectives Cp _{et C}s _{et de dimensions respectives m et n. Soit k ≤ min(p, s).}

On dit qu’une application continue f : M −→ N est de classe Ck _{lorsque pour} toutes cartes locales (Uα, ϕα) sur M et (Vβ, ψβ) sur N , l’application fβα : ψβ ◦ f ◦ ϕ−1_α : ϕα(Uα) −→ ψβ(Vβ) qui envoie l’ouvert ϕα(Uα) de Rm dans l’ouvert ψβ(Vβ) de Rn _{est de classe C}k_{. On dit que f est un C}k_{-difféomorphisme lorsque f est un} homéomorphisme et f et f−1 sont de classe Ck.

1.1.2

Espace tangent

Définition 1.8 Soient M une variété différentiable de dimension n et de classe Cket a ∈ M . Un vecteur tangent à M au point a noté v est un opérateur différentiel

de premier ordre qui agit sur les fonctions de la manière suivante : pour tout système de coordonnées locales (x1, ..., xn), on a (v.f )(a) = X 1≤j≤n vj ∂f ∂xj

(a) ; où les vj sont des réels.

L’ensemble des vecteurs tangents à M au point a est appelé espace tangent à M au point a. On le note par TaM .

Dans un système de coordonnées locales (x1, ..., xn) autour de a sur Ω ⊂ M , on écrit simplement v = X 1≤j≤n vj ∂ ∂xj .

Par conséquent, pour tout a ∈ Ω, le n-uplet {_∂x∂

j}1≤j≤nconstitue une base de l’espace

TaM .

Définition 1.9 _{Soient M une variété de dimension n et f : M → R une fonction} différentiable. On appelle différentielle de f , l’opérateur différentiel df (a) qui agit sur TaM de la manière suivante : v = X 1≤j≤n vj ∂ ∂xj , df (a).v = X 1≤j≤n vj ∂ ∂xj f (a) = v.f (a). En particulier, si f = xj et v = _∂x∂_j alors dxj(a)._∂x∂_j =

∂xj

∂xj = 1.

(dx1, ..., dxn) est la base duale de (_∂x∂

1, ...,

∂

∂xn). L’espace dual de TaM est appelé

espace cotangent à M en a et se note T_a∗M .

1.1.3

Fibrés vectoriels

Définition 1.10 Soient M une variété différentiable de dimension n et K = R ou C un champ scalaire. Un fibré vectoriel de rang r au-dessus de M est une variété E de classe C∞ munie d’une application π : E −→ M de classe C∞ appelée pro-jection et d’une structure de K-espace vectoriel de dimension r sur chaque fibre Ex = π−1(x). Cela veut dire qu’il existe un recouvrement ouvert (Vα)α∈I de M et des C∞-difféomorphismes θα appelés trivialisations

θα : E|Vα −→ Vα× K

r _{où E}

|Vα = π

−1 (Vα) telle que pour tout x ∈ Vα l’application

Ex θα

−→ {x} × Kr

soit un isomorphisme d’espaces vectoriels. Pour chaque α, β ∈ I , l’application

θαβ = θα◦ θ−1β : (Vα∩ Vβ) × Kr −→ (Vα∩ Vβ) × Kr peut se mettre sous la forme

θαβ(x, ξ) = (x, gαβ(x).ξ), (x, ξ) ∈ (Vα∩ Vβ) × Kr

où la famille (gαβ) est inversible à coefficients dans C∞(Vα ∩ Vβ, Gl(r, K)), d’inverse (gαβ)−1 = (gβα) et satisfaisant à la condition de cocycle

gαβgβγ = gαγ sur Vα∩ Vβ ∩ Vγ.

La collection (gαβ) est appelée système de matrices de transition. Réciproquement, toute collection de matrices inversibles satisfaisant la condition de cocycle définit un fibré vectoriel E, obtenu en recollant les cartes Vα× Kr via les identifications θαβ. Exemple 1.11 Les fibrés tangent T M = [

a∈M

TaM et cotangent T∗M = [

a∈M T_a∗M d’une variété différentiable M de dimension n sont des fibrés vectoriels localement triviaux de rang n au-dessus de M .

Définition 1.12 Soit Ω ⊂ M un ouvert. Soient E un fibré vectoriel sur M et k ∈ N ∪ {+∞, ω}. Une section de classe Ck de E|Ω est une application s : Ω −→ E de classe Ck _{telle que s(x) ∈ E}

x, pour tout x ∈ Ω (i.e π ◦ s = IdΩ).

1.1.4

Formes différentielles

Définition 1.13 _{Soient n et p deux éléments de N, et M une variété différentiable} de classe Cr _{de dimension n, avec r ∈ N ∪ {∞, ω}. Une p-forme différentielle (resp.} p-forme différentielle de classe Cr) sur M est une section (resp. une section de classe Cr_{) du fibré vectoriel des p-formes extérieures Λ}p_T∗_{M .}

Ainsi, une p-forme différentielle ω associe à tout x dans M , une forme p-linéaire alternée ωx sur l’espace tangent TxM à M en x.

On note Ep

r(M ) l’ensemble des p-formes différentielles de classe Cr sur M .

Remarque 1.14 Soit M une variété différentielle de classe C∞ de dimension n. Pour chaque carte (U, ϕ) avec comme coordonnées (x1, . . . , xn), nous avons la base

{(dx1)a, . . . , (dxn)a} de l’espace cotangent Ta∗M . On a ΛpT_a∗M = vect{(dxi1)a∧ . . . ∧ (dxip)a}1≤i1<...<ip≤n .

Pour α ∈ ΛpT_a∗M , on a la représentation locale

α =

0

X

|I|=p αIdxI

où dxI = dxi1 ∧ . . . ∧ dxip et les αI sont des fonctions définies sur U .

1.1.5

Opérateur de différentiation extérieure

Définition 1.15 L’opérateur de différentiation extérieure d est un opérateur dif-férentiel

d : Cs_{(Ω, Λ}p_T∗

xM ) → Cs−1(Ω, Λp+1T ∗

xM ) défini localement par : si u(x) =

0

X

|I|=p

uI(x)dxI est une p-forme différentielle sur M .

I = (i1, ...ip) avec 1 ≤ i1 < ... < ip ≤ n du = 0 X |I|=p n X k=1 ∂uI ∂xk dxk∧ dxI.

Il vérifie les propriétés suivantes :

i) d(u ∧ v) = du ∧ v + (−1)pu ∧ dv (Règle de Leibniz) ii) d2_{u = 0 (idempotence).}

Définition 1.16 Une forme différentielle α ∈ E_rp(M ) est dite : 1. fermée si dα = 0.

2. exacte si α = dβ pour β ∈ Ep−1 r (M ).

1.1.6

Notion de distribution

Définition 1.17 _{Soit Ω un ouvert de R}n. On pose

D(Ω) := {ϕ : Rn −→ C, ϕ ∈ C∞(Rn) | supp(ϕ) ⊂ Ω, et supp(ϕ) compact } où supp(ϕ) = {x ∈ Rn_{|ϕ(x) 6= 0}.}

Une suite (ϕj)j∈N d’éléments de D(Ω) converge vers ϕ dans D(Ω) quand j tend vers +∞ si :

i) ∀ j, le support de ϕj et celui de ϕ sont contenus dans un compact K ⊂ Ω, ii) (Dαϕj(x))j∈N converge uniformément vers Dαϕ(x) sur K ⊂ Ω,

pour tout multi-indice α = (α1, ..., αn) avec αi ∈ N et Dα ₌ ∂|α|

∂x1α1...∂xnαn est la dérivée d’ordre |α| =: α1+ ... + αn.

Soit K ⊂ Rn un compact, on désigne par DK l’espace des fonctions ϕ : Rn−→ C de classe C∞ à support dans K.

Définition 1.18 Une forme linéaire T sur D(Ω) est dite séquentiellement continue sur D(Ω) si l’application T : D(Ω) −→ C est continue au sens suivant : pour toute suite (ϕj)j∈N d’éléments de D(Ω), si ϕj converge vers ϕ dans D(Ω), la suite des nombres complexes T (ϕj) converge vers T (ϕ).

Définition 1.19 Une distribution T sur Ω est une forme linéaire sur D(Ω) sé-quentiellement continue. On note D0(Ω) l’espace des distributions sur Ω.

Remarque 1.20 Si T ∈ D0_{(Ω) et α ∈ N}n_{, alors l’application ϕ 7→ (−1)}|α|_{hT, D}α_ϕi est une distribution appelée dérivée d’ordre α de T . On la note par DαT .

Exemple 1.21

1) Soient Ω un ouvert de Rn et a ∈ Rn. La fonction

δa : D(Ω) → C définie par δa(ϕ) = ϕ(a) = hδa, ϕi est une distribution appelée mesure de Dirac.

2) Soit f une fonction localement intégrable1 _{sur Ω ⊂ R. Alors l’application} Tf : D(Ω) → R définie par Tf(ϕ) =

R

Ωf (x)ϕ(x)dx est une distribution sur Ω.

1. Une fonction à valeurs complexes sur un ouvert Ω de Rn _{est dite localement intégrable si sa}

1.1.7

Courants

Pour aborder ce paragraphe, il nous faut de la topologie d’espaces de Fréchet. Les résultats sont tirés de [11].

Définition 1.22 Un espace deFréchetest un espace vectoriel topologique complet dont la topologie est induite par une famille dénombrable et séparante de semi-normes2_.

Topologie d’espace de Fréchet sur Ep_{(M ) et topologie sur D}p_{(M )} Supposons tout d’abord que M soit un ouvert de Rn _{et notons E (M ) l’espace} vectoriel des fonctions de classe C∞ sur M .

Soient K un compact de M et α ∈ Nn_{, pour tout f ∈ E (M ), on pose} Pα

K(f ) = sup x∈K

|Dα_{f (x)|.} Les Pα

K ainsi définies sont des semi-normes sur E (M ). Considérons la topologie de E(M ) définie par ces semi-normes. Un système fondamental de voisinages de 0 pour cette topologie est donné par les ensembles

Vm

K,ε = {f ∈ E (M ) | ∀α ∈ Nn, |α| ≤ m, PKα(f ) < ε}.

Puisque M est un ouvert de Rn, il possède une suite exhaustive de compacts (Kj)j∈N telle que la famille (Vm

Kj,_n1)j,m∈N,n∈N

? (avec ε = 1

n) forme une base dénombrable de voisinages de 0. La topologie que nous venons de définir est donc métrisable. Une suite d’éléments de E (M ) converge vers 0 pour cette topologie si elle converge uni-formément vers 0 sur tout compact de M ainsi que toutes ses dérivées. Muni de cette topologie E (M ) est un espace de Fréchet.

Notons Ep(M ) l’espace des p-formes différentielles de classe C∞ définies sur M . Si ϕ ∈ Ep_{(M ) alors dans un système de coordonnées locales}

ϕ(x) = 0 X |I|=p ϕI(x)dxI I = (i1, ...ip) avec 1 ≤ i1 < ... < ip ≤ n,

dxI = dxi1 ∧ ... ∧ dxip et ϕI ∈ E(M ).

Pour tout compact K de M et α ∈ Nn, on pose ˜ P_Kα(ϕ) = sup |I|=p {Pα K(ϕI)}. Les semi-normes ˜Pα

K définissent une topologie d’espace de Fréchet sur l’espace vec-toriel Ep_{(M ).}

Considérons maintenant le cas où M est une variété. Soit A un atlas de M . On définit la topologie de Ep_{(M ) par les semi-normes ˜P}α

U,K définies pour U un domaine de la carte (U, h) ∈ A, K compact de U et α ∈ Nn _par

˜ Pα

U,K(ϕ) = ˜PKα((h −1₎∗_ϕ

|U) pour tout ϕ ∈ Ep(M ). Ainsi Ep_{(M ) muni de cette topologie est un espace de Fréchet.}

Si K est un compact de M , on note D_Kp (M ) le sous-espace vectoriel de Ep_{(M ) formé} par les formes différentielles de classe C∞, de degré p, à support dans K. C’est un fermé de Ep_{(M ) et donc si on le munit de la topologie induite par celle de E}p_{(M )} on obtient un espace de Fréchet. Puisque Dp_{(M ) =}[

K

D_Kp (M ) muni de la topologie induite par celle de Ep(M ) n’est pas complet, alors on met sur Dp(M ) la topologie limite inductive des topologies induites par Ep(M ) sur chaque Dp_K(M ).

Définition 1.23 Soit M une variété différentiable de classe C∞et de dimension m. On appelle courant de degré p (ou de dimension (m − p)) sur M toute forme linéaire continue sur Dm−p_{(M ). On note D}0

p(M ) l’ensemble des courants de degré p sur M , c’est un C-espace vectoriel et est le dual topologique de Dm−p(M ) . Localement, un courant T de degré p s’écrit T =

0

X

|I|=p

TIdxI, où les TI sont des distributions.

Remarque 1.24

1. Les courants de degré 0 sont des distributions.

2. Si w est une forme différentielle localement sommable de degré q sur M , elle définit un courant Tw, de dimension m − q par

hTw, ϕi = R

Mw ∧ ϕ pour tout ϕ ∈ D

1.1.8

Dérivation d’un courant

Soient M une variété différentiable de dimension m, Ω ⊂ M un ouvert et

T ∈ D0_p(Ω). L’opérateur de différentiation extérieure d défini pour les formes diffé-rentielles s’étend aux courants de la manière suivante :

si ϕ ∈ Dm−p−1(Ω), alors hdT, ϕi = (−1)p+1hT, dϕi et vérifie également la propriété d2 _{= 0.}

1.1.9

Courant prolongeable

Définition 1.25 Soit M une variété différentiable de dimension m et de classe Ck et soit Ω ⊂ M un ouvert. Un courant T de degré p défini sur Ω est dit prolongeable, si T est la restriction à Ω d’un courant ˜T (non unique) défini sur M .

Notons ˇD_p0(Ω) l’espace des courants de degré p définis sur Ω et prolongeables à M . Définition 1.26 Soit T ∈ D0_p(M ). On dit que T est nul sur M si hT, ϕi = 0 pour toute (m − p)-forme différentielle ϕ à support compact sur M . On appelle support de T et noté Supp(T ), le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel T est nul. Pour Ω ⊂⊂ M , on a les caractérisations suivantes pour les courants prolongeables dans [15].

Théorème 1.27 Les propriétés suivantes son équivalentes 1. T est prolongeable

2. Le courant défini sur M \ bΩ par T sur Ω et 0 sur le complémentaire de ¯Ω est prolongeable à M .

3. Il existe une constante C > 0 et un entier m tels que |T (ψ)|_{6 C ˜}P_Ω¯m(ψ) pour toute forme différentielle ψ de classe C∞ et à support compact dans Ω.

4. Il existe un monôme de dérivation D et une forme différentielle g sur Ω (res-triction d’une forme différentielle continue sur ¯Ω) tels que T = Dg sur Ω.

1.1.10

Cohomologie de De Rham

Définition 1.28 Un complexe de cochaines est la donnée d’une suite . . . −→ Ck−1 d−→ Ck k d−−→ Ck+1 k+1 −→ . . .

où Ck_{est un groupe abélien pour tout k ∈ Z, ou plus généralement un module sur un} anneau A, et dk est un morphisme de groupes ou de A-modules tel que dk+1◦ dk = 0. L’opérateur dk est appelé opérateur cobord.

Définition 1.29 Soit C un complexe de cochaines. Les éléments de ker(dn) =: Zn(C) sont appelés cocycles. Les éléments de Im(dn−1) =: Bn(C) sont appelés co-bords et le groupe quotient Hn_{(C) =} Z

n_(C)

Bn_(C) est appelé n-ième groupe de cohomo-logie du complexe.

Exemple 1.30 On peut définir des groupes de cohomologie particuliers. L’application

d : Ek(M ) −→ Ek+1(M ) ψ 7−→ dψ définit un complexe de cochaines

0 −→ E0(M )−→ Ed 1_{(M )−→ · · ·}d _{−→ E}d n_{(M ) −→ 0.} car d2 _{= 0. Considérons}

Ker(d|Ek_{(M )}) = Zk(M ) := {u ∈ Ek(M ) : du = 0}

l’espace des k-formes différentielles de classe C∞ sur M qui sont d-fermées. Im(d|Ek−1_{(M )}) = Bk(M ) := {u ∈ Ek(M ), ∃ ω ∈ Ek−1(M ) avec dω = u}

l’espace des k-formes différentielles de classe C∞ sur M qui sont exactes.

Le k-ième groupe de cohomologie de De Rham d’une variété M est l’espace vec-toriel quotient

Hk(M ) := Ker(d|Ek(M )) Im(d|Ek−1_{(M )})

. Notez que Hk(M ) est un espace vectoriel réel.

On dit qu’un courant T de degré p défini sur un ouvert Ω de M est d-fermé si dT = 0. On pose

On dit qu’un courant T de degré p défini sur un ouvert Ω de M est d-exact s’il existe un courant S de degré (p − 1) tel que dS = T .

On note Bp_cour(Ω) = {dS | S ∈ D_p−10 (Ω)}. Puisque d2 _{= 0, donc B}p cour(Ω) ⊂ Zcourp (Ω). L’espace vectoriel H_courp (Ω) = Z p cour(Ω) Bcourp (Ω)

est appelé le p-ième groupe de cohomologie de De Rham des courants définis sur Ω. Théorème 1.31 [8, page 214]

L’application naturelle J : Hp_{(Ω) → H}p

cour(Ω) est un isomorphisme appelé isomor-phisme de Poincaré.

1.1.11

Cohomologie de ˇ

Cech

Pour introduire les groupes de cohomologie de ˇCech, nous rappelons quelques notions sur les faisceaux. Les résultats sont tirés de [13].

Définition 1.32 Soit X un espace topologique. Un faisceau F sur X est la donnée pour tout ouvert U de X d’un ensemble F (U ), dont les éléments sont appelés sec-tions de F sur U et pour deux ouverts U et V de X avec V ⊂ U , d’applicasec-tions dites de restriction rV,U : F (U ) → F (V ) vérifiant les propriétés suivantes :

i) rW,U = rW,V ◦ rV,U pour tous ouverts W ⊂ V ⊂ U . ii) rU,U = idF (U ) pour tout ouvert U .

iii) Si U est recouvert par des ouverts Ui (i ∈ I) et si on se donne des fi ∈ F (Ui) pour tout i ∈ I telle que fi|Ui∩Uj = fj|Ui∩Uj pour tous i, j ∈ I, alors il existe

une et une seule f ∈ F (U ) telle que f|Ui = fi ∀ i ∈ I.

Remarque 1.33 Si la condition (iii) n’est pas réalisée, alors on parle de préfaisceau. la notation Γ(U, F ) est parfois utilisée à la place de F (U ). Si U = X, on parle de sections globales.

Définition 1.34 Soit X un espace topologique. On appelle faisceau de groupes abé-liens (respectivement d’anneaux, de modules) sur X, la donnée sur X d’un faisceau tel que chaque F (U ) soit un groupe abélien (respectivement un anneau, un mo-dule) et les restrictions soient des morphismes de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de modules).

Exemple 1.35 L’ensemble des fonctions de classe C∞sur un ouvert U d’une variété différentiable noté C∞(U ) est un faisceau.

Définition 1.36 Soient X un espace topologique, F un faisceau de groupes abé-liens sur X et U = {U0, U1, · · · , Un} un recouvrement ouvert de X. On pose Ui0···ip =

Ui0 ∩ · · · ∩ Uip et Cp(U , F ) =    Y i0<···<ip F (Ui0···ip) si 0 < p ≤ n {0} si p > n

Autrement dit, c’est l’ensemble des applications qui associe à chaque p-uplet d’ou-verts du recouvrement U une section sur leur intersection.

L’application δ : Cp(U , F ) −→ Cp+1(U , F ) qui a S ∈ Cp_{(U , F ) associe (δS)} i0···ip = p+1 X j=0 (−1)jS_i

0i1···bij···ip+1|U_i0···ip+1 définit un

com-plexe de cochaines

0 −→ C0(U , F )−→ Cδ 1_{(U , F )−→ · · ·}δ _{−→ C}δ n_{(U , F ) −→ 0} car δ2 = 0. Soit

Ker(δ|Cp_{(U ,F )}) = {u ∈ Cp(U , F ) : δu = 0}

le groupe des p-cocycles à valeurs dans F .

Im(δ|Cp_{(U ,F )}) = {u ∈ Cp(U , F ), ∃ ω ∈ Cp−1(U , F ) avec δω = u}

le groupe des p-cobords à valeurs dans F .

Le p-ième groupe de cohomologie de ˇCech du faisceau F défini à l’aide du recouvre-ment U de X est l’espace quotient

ˇ

Hp(U , F ) = Ker(δ|Cp(U ,F )) Im(δ|Cp−1_{(U ,F )})

Définition 1.37 On définit la cohomologie de ˇCech de l’espace X comme la limite inductive sur tous les recouvrements de la cohomologie ci-dessus,

ˇ Hp(X, F ) = lim U ˇ Hp(U , F ). Définition 1.38 [8, Page 202]

Un faisceau F est dit acyclique sur un ouvert U de X si ˇHq_{(U, F ) = 0 pour tout} q ≥ 1.

Exemple 1.39 Soit X une variété différentiable et paracompacte, alors tout faisceau de EX-modules est acyclique.

Définition 1.40 Un complexe de faisceaux (L•, δ) 0 −→ F → L0 δ

0

−→ L1 δ−→ · · · L1 q δ−→ Lq q+1· · · .

est une résolution acyclique du faisceau F , si ˇHp(X, Lq) = 0 pour tout q ≥ 0 et p ≥ 1.

Si on désigne par F (U ) le faisceau des p-formes différentielles de classe C∞ sur U et ˇHp_{(M, R) le p-ième groupe de cohomologie deCechˇ des formes différentielles de} classe C∞ _{définies sur la variété différentiable M à valeurs dans R. On a le résultat} suivant :

Théorème 1.41 [13, Page 21]

Soit M une variété différentiable. L’application naturelle J : Hp_{(M ) → ˇH}p_{(M, R)} est un isomorphisme.

1.2

Notion de variété complexe

1.2.1

Pseudoconvexité

Dans ce paragraphe, nous allons donner quelques définitions pour préciser la situa-tion géométrique dans laquelle nous aurons à résoudre le ¯∂. Pour cela, commençons par définir dans le cas de plusieurs variables complexes la notion de fonction sous-harmonique. Ces fonctions nous serviront à définir la pseudoconvexité. Les résultats sont tirés de [6].

Définition 1.42 (Fonction harmonique)

Une fonction u de classe C2 _{définie dans un domaine D de C est dite harmonique si} ∆u = 0 où ∆ = 4 ∂

2

∂z∂ ¯z désigne l’opérateur de Laplace. Définition 1.43 (Fonction sous-harmonique)

Une fonction u définie sur un ouvert D de C à valeurs dans [−∞, +∞[ est dite sous-harmonique si :

i) u est semi-continue supérieurement (s.c.s.), c’est-à-dire {z ∈ D ; u(z) < s} est ouvert pour tout s ∈ R.

ii) Pour tout compact K ⊂ D et toute fonction h continue sur K, harmonique sur ◦

K, telle que h ≥ u sur bK, alors h ≥ u sur K. Définition 1.44 (Fonction plurisousharmonique)

Une fonction u de D ⊂ Cn _{dans R ∪ {−∞} est dite plurisousharmonique (psh) sur} D si u est semi-continue supérieurement et si pour tout a ∈ D et ω ∈ Cn, la fonction λ 7−→ u(a + λω) est sous-harmonique dans l’ouvert {λ ∈ C | a + λω ∈ D}.

Définition 1.45 (Forme de Lévi)

Soit D un ouvert de Cn _{et ρ une fonction de classe C}2 _{sur D. On appelle forme} de Lévi de ρ en z ∈ D la Hessien complexe Lzρ de ρ en z, c’est-à-dire la forme Hermitienne ζ 7−→ Lzρ(ζ) = n X j,k=1 ∂2_ρ(z) ∂zj∂ ¯zk ζjζ¯k.

Définition 1.46 (Domaine pseudoconvexe)

Soient Ω un domaine relativement compact de Cn à bord de classe C2 et ϕ une fonction de classe C2 _{à valeurs réelles définie sur un voisinage U}

bΩ du bord de Ω telle que

UbΩ∩ Ω = {z ∈ UbΩ| ϕ(z) < 0}

et dϕ(z) 6= 0 pour tout z ∈ bΩ. On dit que Ω est pseudoconvexe si Lzϕ(ζ) ≥ 0 pour tout z ∈ bΩ et ζ ∈ TC z (bΩ) où TC z (bΩ) = {ζ ∈ C n _| n X j=1 ∂ϕ(z) ∂zj ζj = 0}

Définition 1.47 (Domaine strictement pseudoconvexe)

Soient Ω un domaine relativement compact de Cn à bord de classe C2 et ϕ une fonction de classe C2 _{à valeurs réelles définie sur un voisinage U}

bΩ du bord de Ω telle que

UbΩ∩ Ω = {z ∈ UbΩ| ϕ(z) < 0}

et dϕ(z) 6= 0 pour tout z ∈ bΩ. On dit que Ω est strictement pseudoconvexe si Lzϕ(ζ) > 0 pour tout z ∈ bΩ et ζ ∈ TzC(bΩ) \ {0}.

Définition 1.48 _{Une fonction ϕ continue définie sur un ouvert Ω de C}n, à valeurs réelles est une fonction d’exhaustion pour Ω si, pour tout c ∈ R,

Ωc= {z ∈ Ω | ϕ(z) < c} est relativement compact dans Ω.

Si Ω n’est pas borné, on définit la pseudoconvexité de la manière suivante :

Définition 1.49 Un domaine Ω ⊂ Cn est donc pseudoconvexe s’il admet une fonc-tion d’exhausfonc-tion plurisousharmonique continue.

Proposition 1.50 [11, proposition 3.15]

Soit Ω un ouvert de Cn_{. S’il existe une fonction plurisousharmonique continue ϕ} définie sur un voisinage UbΩ du bord de Ω telle que

UbΩ∩ Ω = {z ∈ UbΩ | ϕ(z) < 0}, alors Ω est pseudoconvexe.

1.2.2

Variété complexe

Dans cette partie nous définissons les formes différentielles et les courants dans des variétés analytiques complexes. Définissons d’abord la notion de variété complexe. Définition 1.51 Soit M un espace topologique séparé, on appelle atlas complexe une collection d’homéomorphismes {ϕα : Uα → Vα}α ∈ I, où (Uα)α∈I constitue un recouvrement ouvert de M , (Vα)α des ouverts de Cn tels que pour tous α et β ∈ I, les fonctions de transition

sont des biholomorphismes.

On dira que deux atlas complexes sont compatibles si leur réunion est un atlas complexe. On définit ainsi une relation d’équivalence.

Définition 1.52 (Variété analytique complexe)

On appelle variété analytique complexe M un espace topologique séparé, réunion dénombrable de compacts, muni d’une classe d’équivalence d’atlas complexes.

1.2.3

Formes différentielles de bidegré (p, q)

Soit M une variété analytique complexe de dimension (complexe) n. Considérons M comme une variété différentiable réelle de dimension 2n. Pour tout z ∈ M , on a l’espace cotangent T_z∗M de M en z et la structure complexe Jz de Tz∗M (c’est-à-dire l’endomorphisme R-linéaire de Tz∗M vérifiant Jz◦ Jz = −IdT∗

zM et définie localement

par Jz(dxj) = dyj et Jz(dyj) = −dxj). Soit Tz∗MCle complexifié de Tz∗M , c’est-à-dire l’ensemble des éléments de la forme u + iv où u, v ∈ T_z∗M et i = √−1. Jz se prolonge en un endomorphisme C-linéaire de Tz∗MC noté encore Jz tel que Jz2 = −IdT∗

zMC

comme suit : Jz(u + iv) =: Jz(u) + iJz(v) pour tous u, v ∈ Tz∗M .

On a i et −i comme valeurs propres de Jz et la décomposition suivante : T_z∗MC _{= T}∗ z1,0M ⊕ T ∗ z0,1M où T_z1,0∗ M = {v ∈ T_z∗MC_/J zv = iv} T_z0,1∗ M = {v ∈ T_z∗MC_/J zv = −iv} T_1,0∗ M = [ z∈M T_z1,0∗ M et T_0,1∗ M = [ z∈M

T_z0,1∗ M sont respectivement le fibré cotangent

holomorphe et le fibré cotangent antiholomorphe. Pour p, q ∈ N tels que 1 ≤ p, q ≤ n, notons Λp_T∗

z1,0M et ΛqT ∗

z0,1M respectivement les espaces vectoriels des p-formes extérieures sur Tz1,0M et des q-formes extérieures sur Tz0,1M .

Dans un système de coordonnées locales (z1, ...., zn), ΛpT_z1,0∗ M = vect{dzi1 ∧ .... ∧ dzip}1≤i1<....<ip≤n

ΛqT_z0,1∗ M = vect{d¯zj1 ∧ .... ∧ d¯zjq}1≤j1<....<jq≤n

donc

ΛpT_1,0∗ M := [ z∈M

ΛpT_z1,0∗ M et ΛqT_0,1∗ M := [ z∈M

ΛqT_z0,1∗ M sont respectivement les fi-brés des p-formes extérieures sur le fibré T1,0M et des q-formes extérieures sur le fibré T0,1M . On pose Λ(p,q)_T∗ zMC = ΛpT ∗ z1,0M ⊗ ΛqT ∗ z0,1M donc localement Λ(p,q)T_z∗MC_{= vect{dz} i1 ∧ .... ∧ dzip∧ d¯zj1 ∧ ... ∧ d¯zjq} avec 1 ≤ i1 < .... < ip ≤ n et 1 ≤ j1 < .... < jq ≤ n.

Définition 1.53 Le fibré Λ(p,q)T∗MC _{est appelé fibré des (p, q)-formes extérieures} sur

T∗MC₌ [ z∈M

T_z∗MC_.

Définition 1.54 On appelle forme différentielle de bidegré (p, q) (ou (p, q)-forme différentielle) de classe Cr _{(r ∈ N∪{∞, ω}) toute section de classe C}r_{de Λ}(p,q)_T∗_MC_. On note E_kp,q(M ) l’espace des (p, q)-formes différentielles de classe Ck _{sur M et} Ep,q_{(M ) l’espace des (p, q)-formes différentielles de classe C}∞ _{sur M .}

Dans un ouvert Ω ⊂ M de coordonnées locales (z1, ...., zn), une (p, q)-forme différen-tielles u de classe Ck s’écrit

u(z) =

0

X

|I|=p,|J|=q

uIJ(z)dzI ∧ d¯zJ, où les uIJ sont des fonctions de classe Ck, I = (i1, ..., ip) et J = (j1, ...., jq) sont des multi-indices d’entiers vérifiant 1 ≤ i1 < i2 < ... < ip ≤ n et 1 ≤ j1 < .... < jq ≤ n,

dzI = dzi1 ∧ ... ∧ dzip, d¯zJ = d¯zj1 ∧ .... ∧ d¯zjq et

P0

indique que la somme se fait suivant les indices croissants.

On note Dp,q_k (M ) le sous-espace vectoriel de E_kp,q(M ) formé par des (p, q)-formes dif-férentielles de classe Ck _{à support compact dans M , D}p,q_{(M ) le sous-espace vectoriel} de Ep,q(M ) formé des (p, q)-formes différentielles de classe C∞ à support compact dans M et D(M ) l’espace des fonctions de classe C∞ à support compact sur M . Toute fonction f ∈ D(M ) est appelée fonction test.

Définition 1.55 Soit Ω ⊂ Cn _{un domaine. On dit qu’une fonction f de classe C}∞ définie sur Ω est à croissance polynomiale d’ordre N ≥ 0, s’il existe une constante C telle que pour tout z ∈ Ω, on a

|f (z)| ≤ C d(z)N

où d(z) désigne la distance de z au bord de Ω.

Une forme différentielle de classe C∞ sur Ω est à croissance polynomiale d’ordre N ≥ 0 si ses coefficients sont à croissance polynomiale d’ordre N .

1.2.4

Courants

Définition 1.56

On appelle espace des courants de bidegré (n − p, n − q) (ou de bidimension (p, q)) sur M et on le note D_p,q0 (M ), le dual topologique de Dp,q_{(M ) muni de la topologie} limite inductive des topologies induites par Ep,q_{(M ) sur chaque D}p,q

K (M ). Remarque 1.57 Soit T : Dp,q_{(M ) −→ C une forme linéaire. Alors T ∈ D}0

p,q(M ) si et seulement si pour tout compact K de M , T|Dp,q_K (M ) est continue.

1.2.5

_{Courants d’ordre k ∈ N}

On a

Dp,q(M ) = \ k∈N

D_kp,q(M ). Dp,q_{(M ) est dense dans chaque D}p,q

k (M ) ; donc l’application i : [D_kp,q(M )]0 −→ [Dp,q_{(M )]}0 = D0_p,q(M ) ˜ T 7−→ T = ˜T|Dp,q_{(M )} est injective.

[D_kp,q(M )]0 est par définition le dual topologique de Dp,q_k (M ).

Définition 1.58 L’image i([Dp,q_k (M )]0) identifiée à [Dp,q_k (M )]0 est appelée espace des courants de bidegré (p, q) et d’ordre k et est notée D0k

p,q(M ).

Remarque 1.59 Soit T ∈ D_p,q0 _{(M ), alors T est d’ordre fini k ∈ N si et seulement} si T se prolonge continûment sur D_kp,q(M ).

1.2.6

Formes différentielles ayant une valeur au bord au sens

des courants

Définition 1.60 Soient M une variété différentiable et Ω ⊂⊂ M un domaine re-lativement compact à bord lisse de classe C∞, de fonction définissante ρ. Posons Ωε = {z ∈ Ω | ρ(z) < −ε} et notons bΩε le bord de Ωε.

Soit f une fonction de classe C∞ sur Ω. On dit que f admet une valeur au bord au sens des distributions s’il existe une distribution T définie sur le bord bΩ de Ω telle que pour toute fonction ϕ ∈ C∞(bΩ), on ait :

lim ε→0

Z

bΩε

f ϕεdσ =< T, ϕ >

où ϕε = i∗εϕ avec ˜˜ ϕ une extension de ϕ à Ω et iε : bΩε → bΩ un difféomorphisme qui tend vers l’identité quand ε tend vers 0 ; dσ désigne l’élément de volume.

Une forme différentielle de classe C∞ sur Ω admet une valeur au bord au sens des courants si ses coefficients locaux ont une valeur au bord au sens des distributions. On note ˜Dp,q_{(Ω) l’espace des (p, q)-formes différentielles de classe C}∞

sur Ω ayant une valeur au bord au sens des courants.

1.2.7

Groupes de ¯

∂ cohomologie

Pour introduire les groupes de cohomologie, nous rappelons quelques notions sur l’opérateur de Cauchy-Riemann.

1.2.7.1 Sur les opérateurs d et ¯∂ pour les formes différentielles et pour les courants

Soit M une variété analytique complexe de dimension n et soit ψ une (p, q)-forme différentielle de classe Cr_{, avec r > 1 et d’expression locale}

ψ = 0 X

|I|=p,|J|=q

ψIJdzI∧ d¯zJ, 0 6 p, q 6 n.

La dérivée extérieure dψ de ψ est donnée par

dψ = 0 X |I|=p,|J|=q,16k6n  ∂ψIJ ∂zk dzk+ ∂ψIJ ∂ ¯zk d¯zk  ∧ dzI∧ d¯zJ.

On peut donc écrire de manière unique dψ = ∂ψ + ¯∂ψ où ∂ψ est une (p + 1, q)-forme différentielle et ¯∂ψ est une (p, q + 1)-forme différentielle avec

∂ψ = 0 X |I|=p,|J|=q,16k6n ∂ψIJ ∂zk dzk∧ dzI∧ d¯zJ, ¯ ∂ψ = 0 X |I|=p,|J|=q,16k6n ∂ψIJ ∂ ¯zk d¯zk∧ dzI∧ d¯zJ. ainsi d = ∂ + ¯∂.

L’opérateur de différentiation extérieure d et l’opérateur de Cauchy-Riemann ∂ sa-¯ tisfont respectivement les relations d2 = 0 et ¯∂2 _{= 0.}

1.2.7.2 Cohomologie de Dolbeault L’application

¯

∂ : Ep,q(M ) −→ Ep,q+1(M ) ψ 7−→ ∂ψ¯

définit un complexe de cochaines

0 −→ Ep,0(M )−→ E∂¯ p,1_{(M )→ · · ·−}∂¯ _{−→ E}∂¯ p,n_{(M ) −→ 0} car ¯∂2 = 0.

On note

Zp,q_{(M ) = {f ∈ E}p,q_{(M ) | ¯∂f = 0}}

l’espace des (p, q)-formes différentielles ¯∂-fermées (qui est un sous-groupe de Ep,q_{(M ))} et

B(p,q)_{(M ) =f ∈ E}p,q_{(M ) | ∃ g ∈ E}p,q−1_{(M ) avec ¯∂g = f}

l’espace des (p, q)-formes différentielles ¯∂-exactes (qui est aussi un sous-groupe de Zp,q_{(M ) car une forme différentielle ¯∂-exacte est ¯∂-fermée).}

Le groupe quotient

H(p,q)(M ) := Z

(p,q)_{(M )} B(p,q)_{(M )}

est appelé (p, q)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des (p, q)-formes différen-tielles de classe C∞ sur M .

L’opérateur ¯∂ défini pour les formes différentielles s’étend pour les courants par dua-lité.

On dit qu’un courant T de bidegré (n − p, n − q) défini sur un ouvert Ω de M est ¯

∂-fermé si ¯∂T = 0. On note

Z_cour(p,q)(Ω) = {T ∈ D_p,q0 (Ω) | ¯∂T = 0}.

On dit qu’un courant T de bidegré (n − p, n − q) défini sur un ouvert Ω de M est ¯

∂-exact s’il existe un courant S de bidegré (n − p, n − q − 1) tel que ¯∂S = T . On note B_cour(p,q)(Ω) = { ¯∂S | S ∈ D0_p,q−1(Ω)}. Puisque ¯∂2 _{= 0 donc B}(p,q) cour(Ω) ⊂ Zcour(p,q)(Ω). L’espace vectoriel H_cour(p,q)(Ω) = Z (p,q) cour(Ω) Bcour(p,q)(Ω)

est appelé le (p, q)-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des courants définis sur Ω.

Théorème 1.61 [11, Théorème 4.1]

L’application naturelle J : H(p,q)_{(Ω) → H}(p,q)

cour(Ω) est un isomorphisme appelé iso-morphisme de Dolbeault.

Chapitre 2

Résolution du ∂ ¯

∂ dans le cas convexe

« L’algébre n’est pas vraiment une discipline indépendante, mais un fondement et un outil pour l’ensemble des mathématiques, et son développement rapide dans les dernières années a été en fait suscité et dirigé par les besoins d’autres disciplines mathématiques. » L. KRONECKER (Math. Werke, vol.V , P. 387, 1861)

Introduction

Le but de ce chapitre est en première partie l’étude de quelques isomorphismes de groupes de cohomologie de De Rham et en deuxième partie la résolution du ∂ ¯∂ pour les formes différentielles ayant une valeur au bord au sens des courants dans les cas suivants :

I Ω est un domaine étoilé strictement pseudoconvexe de Cn. Ici on utilise le résultat principal et les méthodes de [19] pour résoudre le d et en déduire la résolution du ∂ ¯∂.

I Ω est un domaine contractile complètement strictement pseudoconvexe d’une va-riété analytique complexe M . Les résultats de cette partie peuvent être vus comme les analogues globaux des résultats de la partie précédente de ce chapitre. La parti-tion de l’unité et la théorie des faisceaux nous seront d’un apport capital pour passer du local au global.

2.1

Préliminaires

Dans cette partie, nous rappelons quelques notions sur les suites de complexes. Les résultats sont tirés de [23].

Définition 2.1 cf [9]

On appelle suite d’espaces vectoriels (Ej)j∈J, la donnée :

1. d’une famille d’espaces vectoriels indexée par un intervalle J de Z telle que pour tout indice j ∈ J , j + 1 ∈ J ,

2. d’homomorphisme hj de Ej dans Ej+1 avec Imhj−1 ⊂ ker hj. On désignera une telle suite par le diagramme suivant :

· · ·−→ Ehj−1 j hj −→ Ej+1 hj+1 −→ Ej+2 hj+2 −→ · · ·

Définition 2.2 Soit (Ej)j∈J, une famille de groupes abéliens (respectivement d’an-neaux, de modules) indexée par un intervalle J de Z. Une suite de morphismes de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de modules) est une suite exacte

· · ·−→ Ehj−1 j hj −→ Ej+1 hj+1 −→ Ej+2 hj+2 −→ · · ·

de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de modules) si pour tout j ∈ J , on a ker hj = Imhj−1.

Remarque 2.3 Une suite exacte de morphismes de groupes abéliens (respective-ment d’anneaux, de modules) de la forme

0−→F −→ Gf −→ H−→0g

est dite suite exacte courte de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de mo-dules).

Définition 2.4 Un complexe de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de mo-dules) est une suite de morphismes de groupes abéliens (respectivement d’anneaux, de modules)

A• : 0 −→ A0 d−→ A1 1 d_{−→ · · ·}2 _{−−→ A}di−1 i−1 d_{−→ A}i i d_{−−→ A}i+1 i+1_{−→ · · ·}

Définition 2.5 Soient (A•, d) et (B•, d) deux complexes de groupes abéliens (respec-tivement d’anneaux, de modules). On appelle morphisme de complexes f : A• → B• la donnée pour tout i d’un morphisme fi _{: A}i _{→ B}i _{tel que le diagramme}

Ai−1 fi−1  di //_Ai fi  Bi−1 di //_Bi commute.

Remarque 2.6 Une suite exacte de complexes est une suite · · · −→A• −→ Bf • −→ Cg •−→ · · · de morphismes de complexes telle que pour tout i la suite · · · −→Ai _{−→ B}fi i _{−→ C}gi i_{−→ · · ·} soit exacte.

Lemme 2.7 [23, lemme B.1]

Un morphisme de complexes f : A• → B• _{induit des morphismes en cohomologie} fi : Hi(A•) → Hi(B•).

Proposition 2.8 [23, proposition B.2]

Soit 0 −→ A•−→B• _{−→ C}• _{−→ 0 une suite exacte de complexes. Alors il existe des} morphismes de connexion d : Hn(C•) → Hn+1_(A•_{) tels que l’on ait une suite exacte} longue

0 → H0(A•) → H0(B•) → H0(C•) → H1(A•) → H1(B•) → H1(C•) → · · · → 0. Définition 2.9 (cf [16])

Soit M une variété analytique complexe de dimension n. Une fonction ρ de classe C∞ sur M est dite q-convexe, 1 ≤ q ≤ n, si sa forme de Lévi possède au moins q valeurs propres strictement positives ; ρ est dite q-concave si −ρ est q-convexe. Définition 2.10 (cf [16])

Soient M une variété analytique complexe de dimension n et Ω ⊂⊂ M un domaine relativement compact de M . On dit que Ω est complètement strictement q-convexe, 0 ≤ q ≤ n − 1, s’il existe une fonction (q + 1)-convexe ϕ, définie dans un voisinage U_Ω¯ de ¯Ω telle que Ω = {z ∈ U_Ω¯ | ϕ(z) < 0}.

S’il existe une fonction ϕ qui est (q + 1)-convexe dans un voisinage UbΩ du bord de Ω telle que Ω ∩ UbΩ = {z ∈ UbΩ | ϕ(z) < 0}, on dit alors que Ω est strictement q-convexe.

2.2

Isomorphismes entre groupes de cohomologie

Dans cette partie, nous apportons une solution à un problème posé par Bodian, Diallo et Sambou dans [2], où ils ont résolu le ∂ ¯∂ pour les courants prolongeables définis dans un domaine contractile Ω à bord vérifiant Hj(bΩ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 2. Mais ils ne savent pas cependant si leur résultat reste vrai pour un domaine contractile quelconque. On sait que pour résoudre l’équation du = f à support exact sur un domaine ¯Ω, on a besoin d’avoir l’annulation de Hj(Ω0\ Ω) pour corriger une solution provenant de l’annulation de Hj+1_{(Ω). Alors nous avons pu montrer que H}j_(Ω0_{\ Ω)} est isomorphe à Hj_{(bΩ), donc l’annulation de H}j_(Ω0_{\Ω) entraine l’annulation H}j_(bΩ) pour 1 ≤ j ≤ n − 2.

Théorème 2.11 Soit Ω ⊂⊂ Rn un domaine borné à bord lisse de classe C∞. Il existe un domaine Ω0 ⊂⊂ Rn_{avec Ω ⊂⊂ Ω}0

⊂⊂ Rn_{tel que la restriction de H}j_(Ω0_{) →} Hj_{(Ω) soit un isomorphisme pour j > 1 et surjective pour j = 1.}

Preuve: On utilisera des suites de Mayer-Vietoris (voir [9] page 181). Soit xo ∈ bΩ compact, il existe un voisinage B de xo dans Rn avec B contractile et suffisamment petit de sorte que B ∩ Ω soit contractile et B ∩ Ωc soit contractile (possible car bΩ est lisse). On note εr_{(Ω) l’espace des r-formes différentielles de classe C}∞ _{sur Ω.} La suite exacte

0 −→ ε•(Ω ∪ B)−→ε•(Ω) ⊕ ε•(B) −→ ε•(Ω ∩ B) −→ 0 induit en cohomologie, la suite exacte longue

0 → H0(Ω ∪ B) → H0(Ω) ⊕ H0(B) → H0(Ω ∩ B) → H1(Ω ∪ B) → H1(Ω) ⊕ H1(B) → H1_{(Ω∩B) → · · · → H}n−1_{(Ω∩B) → H}n_{(Ω∪B) → H}n_(Ω)⊕Hn_{(B) → H}n_{(Ω∩B) → 0.} Pour j > 1 on a j − 1 ≥ 1

Or Hj−1_{(Ω ∩ B) = 0, H}j_{(B) = 0 et H}j_{(Ω ∩ B) = 0, alors pour j > 1 H}j_{(Ω ∪ B) −→} Hj(Ω) est un isomorphisme et l’application H1(Ω ∪ B) −→ H1( ¯Ω) = H1(Ω) est surjective.

On peut appliquer le même raisonnement à l’ouvert Ω1 = Ω ∪ B. Comme bΩ est compact, on construit, par ce procédé, un ouvert Ω0 ayant les propriétés énoncées dans le théorème (2.11). Au bout d’un nombre fini d’étapes, on a Ω ⊂⊂ Ω0 avec Hj_(Ω0_{) −→ H}j_{( ¯Ω) = H}j_{(Ω) un isomorphisme pour j > 1 et surjective pour j = 1.}

 On peut aussi établir l’analogue du théorème (2.11) pour les ouverts d’une variété différentiable.

Théorème 2.12 Soient M une variété différentiable et Ω ⊂⊂ M un domaine rela-tivement compact à bord lisse de classe C∞.

1. Il existe Ω0 ⊂⊂ Ω tel que la restriction de Hj_{(M \ Ω) → H}j_{(M \ Ω}0

) soit un isomorphisme pour j > 1 et surjective pour j = 1.

2. Si Ω est de plus contractile et Hj_{(bΩ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n−2 alors l’application} Hj_{(M ) → H}j_{(M \ Ω) est un isomorphisme pour 2 ≤ j ≤ n − 2, surjective pour} j = 1 et j = n et injective pour j = n − 1.

Preuve:

1. Comme Ω et M \ Ω ont la même frontière qui est compacte,

posons M1 = (M \ Ω) ∪ B avec B un voisinage de x0 ∈ bΩ, contractile suffisam-ment petit de sorte que (M \ Ω) ∩ B soit contractile et Ω ∩ B soit contractile. La suite exacte

0 −→ ε•((M \ Ω) ∪ B)−→ε•(M \ Ω) ⊕ ε•(B) −→ ε•((M \ Ω) ∩ B) −→ 0 induit en cohomologie, la suite exacte longue

0 → H0_{((M \ Ω) ∪ B) → H}0_{(M \ Ω) ⊕ H}0_{(B) → H}0_{((M \ Ω) ∩ B) →} H1((M \ Ω) ∪ B) → H1(M \ Ω) ⊕ H1(B) → H1((M \ Ω) ∩ B) → · · · → Hn_{((M \ Ω) ∪ B) → H}n_{(M \ Ω) ⊕ H}n_{(B) → H}n_{((M \ Ω) ∩ B) → 0.}

Or Hj_{(B) = 0 et H}j_{((M \ Ω) ∩ B) = 0 pour j ≥ 1 alors pour j > 1} Hj((M \ Ω) ∪ B) → Hj(M \ Ω) est un isomorphisme et H1((M \ Ω) ∪ B) → H1_{(M \ Ω) est surjective.}

Pour M2 = M1∪ B, on reprend le même processus avec M2 et au bout d’un nombre fini d’étapes, on a recouvert M \ Ω par ˜M ( c’est-à-dire M \ Ω ⊂ ˜M ). On prend Ω0 = ˜Mc_{⊂⊂ Ω alors H}j_{(M \ Ω) → H}j_{(M \ Ω}0_{) est un isomorphisme} pour j > 1 et surjective pour j = 1.

2. Si de plus, Ω est contractile et Hj_{(bΩ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 2, alors on a la} suite exacte

0 −→ ε•(M )−→ε•(M \ Ω) ⊕ ε•( ¯Ω) −→ ε•(bΩ) −→ 0 qui induit en cohomologie, la suite exacte longue

0 → H0_{(M ) → H}0_{(M \ Ω) ⊕ H}0_{( ¯Ω) → H}0_{(bΩ) → H}1_{(M ) → H}1_{(M \} Ω) ⊕ H1_{( ¯Ω) → H}1_{(bΩ) → · · · → H}n−2_{(M ) → H}n−2_{((M \ Ω) ⊕ H}n−2_{( ¯Ω) →} Hn−2(bΩ) → Hn−1(M ) → Hn−1(M \ Ω) ⊕ Hn−1( ¯Ω) → Hn−1(bΩ) → Hn(M ) → Hn_{(M \ Ω) ⊕ H}n_{( ¯Ω) → 0.}

Puisque Hj_{( ¯Ω) = H}j_{(Ω) = 0 pour j ≥ 1 et H}j_{(bΩ) = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 2,} alors l’application induite par Hj(M ) → Hj(M \ Ω) est un isomorphisme pour 2 ≤ j ≤ n − 2, surjective pour j = 1 et j = n et injective pour j = n − 1.

 Donnons un résultat d’isomorphisme sur les groupes de cohomologie de De Rham : Théorème 2.13 Soit Ω un domaine contractile de Rn _{à bord lisse et Ω}0 _{⊃⊃ Ω tel} que Hj_(Ω0_{) = 0 pour j ≥ 1. Alors l’application induite par H}j_(Ω0_{\ Ω) → H}j_{(bΩ) est} un isomorphisme pour j ≥ 1 et Hn(Ω0 \ Ω) = 0.

Preuve: La suite exacte courte

0 −→ ε•(Ω0) −→ ε•(Ω0\ Ω) ⊕ ε•_{( ¯Ω) −→ ε}•_{(bΩ) −→ 0} induit, en cohomologie, la suite exacte longue

0 → H0(Ω0) → H0(Ω0\ Ω) ⊕ H0_{(Ω) → H}0_{(bΩ) → H}1_(Ω0

) → H1(Ω0\ Ω) ⊕ H1_{(Ω) →} H1_{(bΩ) → · · · → H}n−1_{(bΩ) → H}n_(Ω0_{) → H}n_(Ω0 _{\ Ω) ⊕ H}n_{(Ω) → H}n_{(bΩ) → 0.} Puisque Hj_(Ω0_{) = H}j_{(Ω) = 0 pour j > 0, alors en remplaçant H}j_(Ω0_{) et H}j_{(Ω) par} 0 dans la suite longue, on a Hj(Ω0 \ Ω) → Hj_{(bΩ) est un isomorphisme pour j ≥ 1}

et Hn_(Ω0 _{\ Ω) = 0. }

On a Hj_(Ω0 _{\ Ω) → H}j_{(bΩ) est un isomorphisme pour j ≥ 1, alors pour pouvoir} résoudre l’équation du = f à support exact sur ¯Ω on a besoin d’avoir l’annulation de Hj_(Ω0 _{\ Ω) pour corriger une solution provenant de l’annulation de H}j+1_{(Ω). Le} théorème (2.13) montre que l’annulation de Hj_(Ω0_{\ Ω) est équivalente à l’annulation} de Hj(bΩ) avec 1 ≤ j ≤ n − 2. Nous pensons que c’est une particularité de la coho-mologie deDe Rham par rapport à la cohomologie de Dolbeault.